4.5 第2课时 垂线的基本事实与点到直线的距离-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（湘教版·新教材）

该初中数学课件聚焦“垂线的基本事实与点到直线的距离”，涵盖垂线画法、基本事实及垂线段性质，通过生活实例导入，衔接相交线知识，为后续几何学习搭建基础支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实（如引水、跳远成绩），用数学思维辨析概念（如平行与垂直的基本事实），借数学语言表达几何关系（面积法求距离）。实例丰富且分层，助力学生提升几何直观与应用能力，为教师提供素养导向的教学素材。

第4章　平面内的两条直线 4.5　垂 线 第2课时　垂线的基本事实与点到直线的距离 初中数学培优课堂  　垂线的画法及基本事实 1.过点P作直线l的垂线CD,下面三角板的摆放正确的是( )  A　　　     B　　　     C　　　     D A     解析　点P在三角板的一条直角边上,三角板的另一直角边落 在直线l上,只有A选项符合. 初中数学培优课堂 2.小明与小刚在讨论数学问题时,有如下对话: 小明:在同一平面内,过一点A有且只有一条直线与已知直线m 平行. 小刚:在同一平面内,过一点A有且只有一条直线与已知直线m 垂直. 对于两个人的说法,正确的是 ( ) A.小明对　　　    B.小刚对 C.两人均对　　　    D.两人均不对     B     初中数学培优课堂 解析　因为在同一平面内,过直线外一点有且只有一条直线 与已知直线平行;在同一平面内,过一点有且只有一条直线与 已知直线垂直,所以小明错,小刚对,故选B. 初中数学培优课堂 3.在下列各图中,用三角板分别过点C画线段AB的垂线. 初中数学培优课堂 解析       初中数学培优课堂  　垂线段及点到直线的距离 4.(2025广东深圳龙岗期末)如图,要把河中的水引到水池A中, 应在河岸B处(AB⊥CD)开始挖渠才能使水渠的长度最短,这 一做法蕴含的数学原理是 ( ) A.垂线段最短 B.经过一点有无数条直线 C.两点确定一条直线 D.两点之间,线段最     A     初中数学培优课堂 5.(2025北京东城期末)某部门要在一条笔直的东西方向的马 路边植树,准备利用运输车将树苗从集中存放点M处运送到A, B,C,D四个发放点,发放点A,B,C,D与存放点M的位置如图所 示.在四个发放点中,与集中存放点M距离最近的是 ( ) A.发放点A　　　    B.发放点B C.发放点C　　　    D.发放点D     B     初中数学培优课堂 解析　因为MB⊥AD,垂线段最短,所以在四个发放点中,与集 中存放点M距离最近的是发放点B.故选B. 初中数学培优课堂 6.数学来源于生活又应用于生活.下列现象中能用“点到直线 的距离”来解释的是 ( ) A.弯曲河道改直　　　    B.测量跳远成绩 C.木板上弹墨线　　　    D.两钉子固定木条     B     初中数学培优课堂 解析　选项A中的现象能用“两点之间,线段最短”来解释, 不能用“点到直线的距离”来解释,故A不符合题意;选项B中 的现象可以用“点到直线的距离”来解释,故B符合题意;选 项C,D中的现象可以用“两点确定一条直线”来解释,不能用 “点到直线的距离”来解释.故选B. 初中数学培优课堂 7.【学科特色·教材变式P117例3】如图,在三角形ABC中,∠ABC= 90°,BD⊥AC,垂足为D,AC=10,AB=6,BC=8,则点A到BC的距离 为_________,点C到AB的距离为_________,点B到AC的 距离为___________.     4.8         8         6     初中数学培优课堂 解析　因为∠ABC=90°,所以AB⊥BC,所以点A到BC的距离为 AB的长,点C到AB的距离为CB的长,所以点A到BC的距离为6, 点C到AB的距离为8, 因为BD⊥AC,所以点B到AC的距离为BD的长, 因为S△ABC= AB·BC= AC·BD,所以BD= =4.8,所以点B 到AC的距离为4.8. 初中数学培优课堂 8.如图,说明如何量出点C到直线AB的距离,三名同学有不同 的做法.   甲同学:只要量出线段BC的长度即可; 乙同学:过点C无法向直线AB作垂线,所以无法量出点C到直 线AB的距离; 初中数学培优课堂 丙同学:过点C作直线AB的垂线,垂线和直线AB不相交,所以不 能量出点C到直线AB的距离. 你同意他们的做法吗?若不同意,请你写出正确的做法. 解析　不同意.正确做法:延长AB,过点C作CD⊥AB的延长线 于点D(图略),则CD的长即为点C到直线AB的距离. 初中数学培优课堂   9.【跨体育与健康·跳远】(2025广东广州中学期中,★☆☆)在 体育课上,某同学跳远后留下的脚印如图所示,则他本次的跳 远成绩是 ( )     C     A.线段PC的长度    B.线段QD的长度 C.线段PA的长度　  D.线段QB的长度 初中数学培优课堂 10.(2025湖南株洲炎陵期末,★☆☆)如图,河道l的一侧有A,B 两个村庄,现要铺设一条引水管道把河水引向A,B两村,下列四 种方案中最节省材料的是 ( )     B     初中数学培优课堂 解析　依据垂线段最短,以及两点之间,线段最短,可得最节省 材料的是选项B中的方案. 初中数学培优课堂 11.(2025福建厦门海沧期末,★☆☆)如图,点P在直线l外,点A,B 在直线l上,若PA=5,PB=7,则点P到直线l的距离可能为( ) A.7　　　    B.6　　　    C.5　　　    D.4          D 解析　因为点P在直线l外,PA=5,PB=7,且垂线段最短,所以点 P到直线l的距离小于5且大于0,故选D. 初中数学培优课堂 12.(2025山西运城平陆期中,★☆☆)如图,已知直线BC及直线 外一点A,按要求解答下列问题: (1)借助三角板画出射线CA、线段AB,过点C画CD⊥AB,垂足 为D. (2)比较线段CD长度和线段CA长度的大小,并说明判断依据. 初中数学培优课堂 解析    (1)如图:   (2)CA>CD,理由:因为CD⊥AB, 所以根据垂线段最短得CA>CD. 初中数学培优课堂 13.(★★☆)如图,为了解决A,B,C,D四个小区的缺水问题,市政 府准备投资修建一个水厂. (1)不考虑其他因素,请你画图确定水厂H的位置,使之与四个 小区的距离之和最小. (2)若计划把河流EF中的水引入水厂H中,且水厂H到EF的距 离最短,请你画图确定铺设引水管道的位置,并说明理由. 初中数学培优课堂 解析    (1)如图,连接AC和BD,线段AC和BD的交点H就是水厂 的位置.   (2)饮水管道(HM)的位置如图,理由是垂线段最短. 初中数学培优课堂   14.【新课标·几何直观】如图,已知三角形ABC,按要求作图. (1)过点A作BC边上的高AD. (2)过点C作AB,AC的垂线分别交直线AB于点E,F. (3)AB=15,BC=7,AD=12,求点C到直线AB的距离. 初中数学培优课堂 解析    (1)如图,AD即为所求.   (2)如图所示,CE,CF即为所求. (3)因为S△ABC= AB·CE= BC·AD,所以CE= = = , 即点C到直线AB的距离为 . 初中数学培优课堂 $