1.2.2 完全平方公式-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（湘教版·新教材）

该初中数学课件聚焦“完全平方公式”，从整式乘法基础引入，通过跨学科实际应用案例导入，衔接公式推导、基础计算、简便运算及变形应用，构建从基础到提升的学习支架，帮助学生逐步掌握公式本质。 其亮点在于融合几何直观（如图形面积验证公式）、运算能力（简便计算与变形）和推理意识（多解法与错误辨析），例如通过图形分割验证公式体现数形结合，多解法题培养逻辑思维。学生能提升运算与推理能力，教师可借助分层题目实现精准教学。

第1章　整式的乘法 1.2　乘法公式 1.2.2　完全平方公式 初中数学培优课堂 专项突破1　跨学科——数的开方的实际应用 初中数学培优课堂  　完全平方公式 1.(2025湖南郴州桂阳期中)计算(a-3)2的结果是 ( ) A.a2-6a+9　　　    B.a2+6a+9 C.a2-6a+3　　　    D.a2-6a+6     A     解析    (a-3)2=a2-6a+9,故选A. 初中数学培优课堂 2.(2025湖南娄底双峰期中)下列各式中,能用完全平方公式计 算的是 ( ) A.(2a-3b)(-2a-3b)　     B.(a+3b)(a+3b) C.(a-3b)(a+3b)　　　     D.(3a-4b)(4a+3b)     B     解析    A.(2a-3b)(-2a-3b)=-(2a-3b)(2a+3b)=-4a2+9b2,不符合题 意;B.(a+3b)(a+3b)=(a+3b)2=a2+6ab+9b2,符合题意;C.(a-3b)(a+ 3b)=a2-9b2,不符合题意;D.(3a-4b)(4a+3b)=12a2+9ab-16ab-12b2 =12a2-7ab-12b2,不符合题意.故选B. 初中数学培优课堂 3.(2025湖南张家界桑植期中)若(x+3)2=x2+6x+a,则a的值为  ( ) A.9　　　    B.8　　　    C.6　　　    D.3     A     解析　因为(x+3)2=x2+6x+a成立,所以a=32=9. 初中数学培优课堂 4.运用完全平方公式计算: (1)(x-2y)2.　　　    (2) . (3) .　　　    (4)(a+2)2-(a-2)2. 初中数学培优课堂 解析    (1)原式=x2-4xy+4y2. (2)原式= +2× · y+ = x2-xy+ y2. (3)原式= =9x2+2xy+ y2. (4)原式=a2+4a+4-a2+4a-4=8a. 初中数学培优课堂 5.(2025北京海淀期中)嘉嘉在计算x(x-2)-(x+2)2时,解答过程如下: x(x-2)-(x+2)2 =x2-2x-(x2+4)……第一步 =x2-2x-x2+4………第二步 =-2x+4.……………第三步 (1)嘉嘉的解答从第_______步开始出错. (2)请写出正确的解答过程. 初中数学培优课堂 解析    (1)一. (2)x(x-2)-(x+2)2=x2-2x-(x2+4x+4)=x2-2x-x2-4x-4=-6x-4. 初中数学培优课堂  　利用完全平方公式进行简便计算 6.(2025湖南娄底新化期中)将9.52变形正确的是 ( ) A.9.52=92+0.52 B.9.52=(10+0.5)×(10-0.5) C.9.52=102-2×10×0.5+0.52 D.9.52=92+9×0.5+0.52     C     解析    9.52=(10-0.5)2=102-2×10×0.5+0.52,故选C. 初中数学培优课堂 7.利用完全平方公式计算1012+992得 ( ) A.2002　　　     B.2×1002 C.2×1002+1　　　     D.2×1002+2     D     解析    1012+992=(100+1)2+(100-1)2=1002+200+1+1002-200+1= 2×1002+2.故选D. 初中数学培优课堂 8.运用完全平方公式计算: (1)1022.　　　    (2)9992. 解析    (1)1022=(100+2)2=10 000+400+4=10 404. (2)9992=(1 000-1)2=1 0002-2 000+12=998 001. 初中数学培优课堂 易错警示    利用完全平方公式进行数的计算的关键是将底数 拆成两个数的和或差. 初中数学培优课堂   9.(2025湖南岳阳岳阳楼月考,★☆☆)下列运算:①(3x+y)2=9x2 +y2;②(a-2b)2=a2-4b2;③(-x-y)2=x2+2xy+y2;④ =x2-2x+ .其 中错误的有 ( ) A.1个　　　    B.2个　　　     C.3个　　　    D.4个     C     初中数学培优课堂 解析　①(3x+y)2=9x2+6xy+y2,故①运算错误;②(a-2b)2=a2-4ab+ 4b2,故②运算错误;③(-x-y)2=x2+2xy+y2,故③运算正确;④  =x2-x+ ,故④运算错误.所以运算错误的有①②④,共3 个.故选C. 初中数学培优课堂 10.(2025河北承德宽城期末,★☆☆)小明在利用完全平方公 式计算一个二项整式的平方时,不小心用墨水把中间一项的 系数染黑了,得到的结果为4a2■ab+9b2,则中间一项的系数是  ( ) A.12　　　    B.-12　　　     C.12或-12　　　    D.36     C     解析　由(2a±3b)2=4a2±12ab+9b2可知, 被染黑的部分为12或-12.故选C. 初中数学培优课堂 11.【学科特色·多解法】(2025湖南永州道县期中,★★☆)已 知x-y=3,xy=-2,则x2-xy+y2的值是 ( ) A.3　　　    B.7　　　    C.11　　　    D.15     B     解析　【解法一】因为x-y=3,所以(x-y)2=9,即x2-2xy+y2=9,所以 x2-xy+y2=x2-2xy+y2+xy=9-2=7. 【解法二】因为x-y=3,所以(x-y)2=9,即x2-2xy+y2=9,所以x2+y2=9 +2xy=9+2×(-2)=5,所以x2-xy+y2=x2+y2-xy=5-(-2)=5+2=7. 初中数学培优课堂 12.(2025湖南娄底冷水江期末,★★☆)已知(x+y)2=25,(x-y)2=9, 求xy与x2+y2的值. 解析　因为(x+y)2=25,(x-y)2=9, 所以xy= [(x+y)2-(x-y)2]= ×(25-9)=4,x2+y2= [(x+y)2+(x-y)2]=  ×(25+9)=17. 初中数学培优课堂 易错警示    求形如a+b,a-b,a 2 -b 2,(a±b)2,a 2 +b 2,ab等式子的值时,均可利用完全平方公式的变形公式求解. 初中数学培优课堂 13.(2025江苏盐城大丰实验初级中学月考,★★☆)阅读理解. 已知(a-12)2+(14-a)2=6,求(a-13)2的值. 解:由(a-12)2+(14-a)2=6,可得[(a-13)+1]2+[(a-13)-1]2=6.整理得 (a-13)2+2(a-13)+1+(a-13)2-2(a-13)+1=6,即2(a-13)2+2=6,所以(a -13)2=2. 请仿照上述方法,完成下列问题: (1)已知(a-98)2+(96-a)2=16,求(a-97)2的值. (2)已知(a-2 024)2=10,求(a-2 025)2+(2 023-a)2的值. 初中数学培优课堂 解析    (1)由(a-98)2+(96-a)2=16,可得[(a-97)-1]2+[(a-97)+1]2=16, 整理得(a-97)2-2(a-97)+1+(a-97)2+2(a-97)+1=16,即2(a-97)2+2= 16,所以(a-97)2=7. (2)原式=[(a-2 024)-1]2+[(a-2 024)+1]2=(a-2 024)2-2(a-2 024)+1 +(a-2 024)2+2(a-2 024)+1=2(a-2 024)2+2, 因为(a-2 024)2=10,所以原式=2×10+2=22. 初中数学培优课堂   14.【新课标·几何直观】(2025湖南岳阳岳阳楼校级月考)通 过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式. (1)如图1,一个大正方形被分割成边长分别为a和b的两个小正 方形和一边长为a,其邻边长为b的两个小长方形,由此可以验 证公式:__________,这种验证思路体现了下列哪一个数 学思想:_______(填“A”或“B”). A.数形结合　　　    B.分类讨论 利用上述公式解决问题: 初中数学培优课堂 【直接应用】 (2)若xy=4,x+y=6,则x2+y2=_______. 【类比应用】 (3)已知x满足(x-2 021)2+(x-2 025)2=34,求(x-2 023)2的值. 【知识迁移】 (4)按如图2所示的方式摆放了两张 正方形卡片,A,M,B在同一直线上. 若AB=10,且两个正方形的面积之和为52,求阴影部分的面积. 　　　     初中数学培优课堂 解析    (1)大正方形的边长为a+b,则其面积为(a+b)2,边长分别 为a和b的两个小正方形的面积加上两个小长方形的面积为a2 +2ab+b2,所以(a+b)2=a2+2ab+b2,这种验证思路体现了数形结合 的数学思想.故答案为(a+b)2=a2+2ab+b2;A. (2)由题意可得(x+y)2=62=36,所以x2+2xy+y2=36,因为xy=4,所以x2+ 2×4+y2=36,所以x2+y2=28.故答案为28. (3)设m=x-2 021,n=2 025-x,所以m2+n2=34,m+n=4,所以(m+n)2=1 6,所以m2+2mn+n2=16,所以mn=-9,所以原式=(x-2 021-2)(x-2 02 5+2)=(m-2)(-n+2)=-mn+2n+2m-4=-mn+2(n+m)-4=9+2×4-4=13. 初中数学培优课堂 (4)设AM=s,BM=t,则s+t=10,s2+t2=52,所以(s+t)2=102=100,所以s2 +2st+t2=100,所以st=24,所以S阴影=(s+t)2- s(s+t)- s(s+t)-t2=s2+ 2st+t2- s2- st- s2- st-t2=st=24. 初中数学培优课堂 $