精品解析：江苏徐州市 沛县第五中学等校2026年九年级中考一检模拟2 数学试题

九年级一检模拟2数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 2026的相反数是（ ） A. B. 2026 C. D. 2. 发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路．下列四款新能源汽车的标志中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列结果计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 估算应在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 5. 掷一枚质地均匀的硬币，连续掷四次，前三次都是正面朝上，则第四次正面朝上的概率是（ ） A. 1 B. C. D. 6. 如图，菱形中，，，则菱形的面积为（ ） A. B. C. 8 D. 16 7. 船在航行过程中，通常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图，点A，B表示两个灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的区域内，优弧上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”已知，要保证船D安全航行，则的度数可能是（ ） A. B. C. D. 8. 函数图像的大致位置如图所示，则，，，，，等代数式的值中，正数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 1个 D. 2个 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 9的算术平方根是_____． 10. 因式分解______. 11. 使有意义的x的取值范围是_________． 12. 2025年4月19日，首届人机半程马拉松赛在北京鸣枪开赛，来自北京亦庄的“天工Ultra”夺得全球首个人形机器人半程马拉松赛事桂冠．半程马拉松赛道长约21100米，数据21100用科学记数法表示为____． 13. 已知圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则圆锥的侧面积是______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，的边平行于x轴，过点A作的垂线，交于点B，且，反比例函数（k为常数，且，）的图象经过点A，若的面积为4，则k的值为__________． 15. 如图所示，、分别与相切于A、B两点，点C为上一点，连接、，若，则的度数为_____． 16. 如图，在矩形中，若，则的长为_______． 17. 定义：在平面直角坐标系中；如果一个点的横坐标与纵坐标的和为，则称该点为“级和值点”．在的范围内，若二次函数的图像上存在两个“级和值点”，则的取值范围为__________． 18. 如图，抛物线与直线交于点、点，点在直线上方的抛物线上，过点作，垂足为，则当最大时，点的横坐标为______． 三、解答题（本大题共有10小题，共86分） 19. 计算、化简： （1）计算：； （2）化简：． 20. 解方程、解不等式组： （1）解方程：； （2）解不等式组：． 21. 为传承中华优秀传统文化，某校积极开展活动，从诗词歌赋、戏剧戏曲、国宝非遗、饮食文化、名人书法五个方面让传统文化“活”起来．在某次竞赛活动中，学校随机抽取部分学生进行知识竞赛，竞赛成绩按以下五组进行整理（得分用x表示）：A：，B：，C：，D：，，并绘制出如图所示的统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）图1中A组所在扇形的圆心角度数为 ，请将条形统计图补充完整； （2）若此次竞赛进入初赛后还要进行三轮知识问答，将这三轮知识问答的成绩按的比例确定最后得分，得分达到90分及以上可进入决赛．小敏这三轮的成绩分别为86分、89分、93分，小敏能参加决赛吗？请说明理由． （3）经过初赛，进入决赛的学生有3名女生和2名男生，现从这5名学生中随机抽取2名学生担任该校的宣传传统文化小标兵，请用列表或画树状图的方法求这2名学生恰好是一名男生一名女生的概率． 22. 某块绿地改进浇水方式，将漫灌方式全部改为喷灌方式，平均每天用水量减少1吨，20吨水可以使用的天数是原来的2倍．问浇水方式改进后平均每天用水多少吨？ 23. 如图，点C是的中点，四边形是平行四边形． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果，求证：四边形是矩形． 24. 如图，已知矩形，，． （1）点E在矩形内部，为等边三角形，请在图1中用无刻度直尺和圆规画出符合要求的点E； （2）点P为线段上一点，若，请在图2中用无刻度直尺和圆规画出符合要求的点P； （3）若符合（2）中要求的点P必定存在，则m的取值范围是______． 25. 如图，内接于，是直径，切线切于C，交的延长线于点P，交于点E，交于点F； （1）求证：是的切线； （2）若，，求阴影部分的面积． 26. 嵩岳寺塔，中国四大名塔之一，属于全国重点文物保护单位．某学习小组想通过所学的知识来测量嵩岳寺塔的高度，如图，甲同学在点处操作一架无人机在点处观测到嵩岳寺塔的楼顶的俯角为，同一时刻，乙同学在点处观测到无人机在点处的仰角为，丙同学通过测量，得到点处到嵩岳寺塔底部点的距离，且点，，，，都在同一平面上，此时无人机所在点距地面的高度为，计算嵩岳寺塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 27. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，求的函数值的取值范围； （3）将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，点为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值． 28. 【发现问题】 在数学小组活动中，同学们遇到了这样一个问题： （1）如图1，在正方形中，E是边上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，求的度数． 【延伸类比】 小组内的某位同学提出，若四边形是矩形，那么会存在什么样的规律呢？于是他们提出了如下问题： （2）如图2，在矩形中，，，E是边上一点，连接，过点E作，点F在的上方并满足，连接，求的值． 【学以致用】 小组同学想进一步对图中进行变换，于是提出下面的问题： （3）如图3，在边长为的菱形中，，E为边上一点，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接，，，交于点G，若G为边的三等分点，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级一检模拟2数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 2026的相反数是（ ） A. B. 2026 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义即可求解． 【详解】解：的相反数是． 2. 发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路．下列四款新能源汽车的标志中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A、既是轴对称图形也是中心对称图形，符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意 ． 3. 下列结果计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘法、单项式乘多项式、积的乘方、同底数幂除法的运算法则. 逐一计算各选项并判断正误即可． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 估算应在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 【答案】D 【解析】 【分析】先根据二次根式的乘法法则化简原式，再估算无理数的范围，进而得到原式的取值范围． 【详解】解：， ∵ ，，且， ∴ ， 不等式三边同时加2，得， 即原式的值在5到6之间． 5. 掷一枚质地均匀的硬币，连续掷四次，前三次都是正面朝上，则第四次正面朝上的概率是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用概率的意义直接得出答案． 【详解】解：某人连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，结果都是正面朝上， 则他第四次抛掷这枚硬币，有两种等可能的结果：正面向上与反面向上．正面朝上的概率为：， 故选B． 【点睛】此题主要考查了概率的意义，正确把握概率的定义是解题关键． 6. 如图，菱形中，，，则菱形的面积为（ ） A. B. C. 8 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】过点D作，由题意易得的长，然后根据菱形的面积计算公式进行求解即可． 【详解】解：过点D作，如图所示： 四边形是菱形，，， ，， ， 在中，， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查菱形的性质及面积，含30度角直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质及面积是解题的关键． 7. 船在航行过程中，通常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图，点A，B表示两个灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的区域内，优弧上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”已知，要保证船D安全航行，则的度数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理先求出的度数，假设D点在优弧上时，，点需要在优弧外才能保证安全，因此需要满足小于时，船D才能安全通行即可得出结果． 【详解】解：为圆心，， ， 假设D点在优弧上时，， 点为触礁临界点，为危险角， 点需要在优弧外才能保证安全， 因此需要满足小于时，船D才能安全通行，选项D，满足题意， 故选：D． 8. 函数图像的大致位置如图所示，则，，，，，等代数式的值中，正数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 1个 D. 2个 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的开口方向以及与坐标轴交点位置、对称轴位置判断函数值符号，确定及相关代数式的符号． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴交于负半轴， ，；， ∵对称轴在轴右侧， ，即；  ，； 由图可知对称轴，且，  ，即； 当时，，当时， ；  ；  ，，  ，  ； 综上所述，正数只有这1个． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 9的算术平方根是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据一个正数的算术平方根就是其正的平方根即可得出． 【详解】∵， ∴9算术平方根为3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键． 10. 因式分解______. 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 先提取，再由平方差公式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 使有意义的x的取值范围是_________． 【答案】x≥6． 【解析】 【详解】试题解析：∵有意义， ∴x的取值范围是：x≥6． 考点：二次根式有意义的条件. 12. 2025年4月19日，首届人机半程马拉松赛在北京鸣枪开赛，来自北京亦庄的“天工Ultra”夺得全球首个人形机器人半程马拉松赛事桂冠．半程马拉松赛道长约21100米，数据21100用科学记数法表示为____． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数.确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正数，据此计算即可. 【详解】解： 13. 已知圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则圆锥的侧面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 根据圆锥的侧面积等于扇形的面积计算即可． 【详解】解：∵圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形， ∴圆锥的侧面积等于扇形的面积． 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，的边平行于x轴，过点A作的垂线，交于点B，且，反比例函数（k为常数，且，）的图象经过点A，若的面积为4，则k的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查已知图形面积求值，相似三角形的判定和性质，延长交轴于点，证明，求出的面积，根据同高三角形的面积比等于底边比，求出的面积，进而求出的面积，再根据值的几何意义，进行求解即可． 【详解】解：延长交轴于点， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵的面积为4， ∴，， ∴， ∵反比例函数（k为常数，且，）的图象经过点A，且双曲线在第二象限， ∴， ∴； 故答案为：． 15. 如图所示，、分别与相切于A、B两点，点C为上一点，连接、，若，则的度数为_____． 【答案】##55度 【解析】 【分析】连接、，根据圆的切线的性质可得，再根据四边形的内角和等于，可求得，最后根据圆周角定理，即可求得答案． 【详解】解：连接、， 、分别与相切于A、B两点， ， ， 和分别是所对的圆周角和圆心角， ． 【点睛】圆的切线问题，添加过切点的半径是常用的辅助线． 16. 如图，在矩形中，若，则的长为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据勾股定理求出BC，以及平行线分线段成比例进行解答即可． 【详解】解：在矩形中， ，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 17. 定义：在平面直角坐标系中；如果一个点的横坐标与纵坐标的和为，则称该点为“级和值点”．在的范围内，若二次函数的图像上存在两个“级和值点”，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，一元二次方程根的判别式，求不等式的解集，掌握以上知识及计算是关键． 设二次函数图象上的点为，结合二次函数有“级和值点”得，由此得到，根据由两个“级和值点”得到一元二次方程的判别式大于0，则有；设，则该函数的对称轴直线为，在时，由两个不相等的实数根，则当时，，当时，，由即可求解． 【详解】解：设二次函数图象上的点为， ∴， ∴，整理得，， ∵在的范围内，二次函数的图像上存在两个“级和值点”， ∴， 解得，， 设，则该函数的对称轴直线为， ∵在时，由两个不相等的实数根， ∴当时，，当时，， ∴， 综上所述，， 故答案为： ． 18. 如图，抛物线与直线交于点、点，点在直线上方的抛物线上，过点作，垂足为，则当最大时，点的横坐标为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．过点作交于点，可得，根据相似三角形的性质可得出，根据，得出关于的二次函数解析式，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于点， 依题意，设，则 则， ∵点、点， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ∴，即 ∴， ∴ ， 当时，取得最大值，此时点P的横坐标为2， 故答案为：2． 三、解答题（本大题共有10小题，共86分） 19. 计算、化简： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算乘方，化简二次根式，三角函数，零指数幂，再把各项结果相加即可； （2）先通分，再因式分解，然后转化成乘法约分即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 20. 解方程、解不等式组： （1）解方程：； （2）解不等式组：． 【答案】（1） ， （2） 【解析】 【分析】（1）根据配方法解方程即可； （2）根据解一元一次不等式组的方法计算即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解： 由①得， 解得； 由②得， ， 解得， ∴不等式组的解集为． 21. 为传承中华优秀传统文化，某校积极开展活动，从诗词歌赋、戏剧戏曲、国宝非遗、饮食文化、名人书法五个方面让传统文化“活”起来．在某次竞赛活动中，学校随机抽取部分学生进行知识竞赛，竞赛成绩按以下五组进行整理（得分用x表示）：A：，B：，C：，D：，，并绘制出如图所示的统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）图1中A组所在扇形的圆心角度数为 ，请将条形统计图补充完整； （2）若此次竞赛进入初赛后还要进行三轮知识问答，将这三轮知识问答的成绩按的比例确定最后得分，得分达到90分及以上可进入决赛．小敏这三轮的成绩分别为86分、89分、93分，小敏能参加决赛吗？请说明理由． （3）经过初赛，进入决赛的学生有3名女生和2名男生，现从这5名学生中随机抽取2名学生担任该校的宣传传统文化小标兵，请用列表或画树状图的方法求这2名学生恰好是一名男生一名女生的概率． 【答案】（1），见解析 （2）小敏能参加决赛，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先用组的人数除以组所占的百分比，求出参加此次竞赛的总人数，再计算组人数所占的百分比，最后用乘以组所占百分比，即可求出A组所在扇形的圆心角度数；用总人数乘以B组所占百分比，即可求出B组的人数，即可补充条形统计图； （2）将小敏三轮比赛成绩分别乘以其所占比例，求出其最后得分，即可进行解答； （3）画出树状图，根据概率公式求解即可； 【小问1详解】 解：参加此次竞赛总人数：（人）， A组所占百分比：， A组所在扇形的圆心角度数， B组人数：（人）， 条形统计图如图所示： ； 【小问2详解】 解：小敏最后得分：， ∴小敏能参加决赛； 【小问3详解】 解：画树状图如下： ∴一共有20种等可能的结果，其中这2名学生恰好是一男一女的情况有12种情况， ∴这2名学生恰好是一男一女的概率为． 22. 某块绿地改进浇水方式，将漫灌方式全部改为喷灌方式，平均每天用水量减少1吨，20吨水可以使用的天数是原来的2倍．问浇水方式改进后平均每天用水多少吨？ 【答案】浇水方式改进后平均每天用水1吨 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用．理解题意，找准等量关系，列出方程是解题的关键． 设浇水方式改进后平均每天用水x吨，则浇水方式改进前平均每天用水吨，根据“20吨水可以使用的天数是原来的2倍”列出方程求解即可． 【详解】设浇水方式改进后平均每天用水x吨，则浇水方式改进前平均每天用水吨， 根据题意，得 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：浇水方式改进后平均每天用水1吨． 23. 如图，点C是的中点，四边形是平行四边形． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果，求证：四边形是矩形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质以及点C是BE的中点，得到AD∥CE，AD=CE，从而证明四边形ACED是平行四边形； （2）由平行四边形的性质证得DC=AE，从而证明平行四边形ACED是矩形． 【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，且AD=BC． ∵点C是BE的中点， ∴BC=CE， ∴AD=CE， ∵AD∥CE， ∴四边形ACED是平行四边形； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=DC， ∵AB=AE， ∴DC=AE， ∵四边形ACED是平行四边形， ∴四边形ACED是矩形． 【点睛】本题考查了平行四边形和矩形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 24. 如图，已知矩形，，． （1）点E在矩形内部，为等边三角形，请在图1中用无刻度直尺和圆规画出符合要求的点E； （2）点P为线段上一点，若，请在图2中用无刻度直尺和圆规画出符合要求的点P； （3）若符合（2）中要求的点P必定存在，则m的取值范围是______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）分别以点A，B为圆心，为半径画弧，两弧的交点即为点E； （2）作等边三角形，，交于O，以O为圆心，为半径画圆，交于，点即为所求； （3）找出两个临界位置，①当点分别与点重合时，此时点重合；②当点重合时，此时与相切，根据矩形的性质，然后解直角三角形进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，为等边三角形，点E即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，点即为所求； 理由如下：在等边三角形，，矩形中，有 ， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：①当点分别与点重合时，此时点重合，如图： ∵四边形是矩形， ∴， 由（2）知， ∴； ②当点重合时，此时与相切，连接并延长交于点， ∴， ∵矩形中，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴符合（2）中要求的点P必定存在，则m的取值范围是． 25. 如图，内接于，是直径，切线切于C，交的延长线于点P，交于点E，交于点F； （1）求证：是的切线； （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，先根据切线的性质得到，再证明，可得，即可根据切线的判定证明结论； （2）先求出，，，再根据计算，即可得到答案． 【小问1详解】 证明：连接， 与相切于C， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 是的切线； 【小问2详解】 解：由（1）知，， ， ， 是直径， ， ， ， 在中，， 阴影部分的面积． 26. 嵩岳寺塔，中国四大名塔之一，属于全国重点文物保护单位．某学习小组想通过所学的知识来测量嵩岳寺塔的高度，如图，甲同学在点处操作一架无人机在点处观测到嵩岳寺塔的楼顶的俯角为，同一时刻，乙同学在点处观测到无人机在点处的仰角为，丙同学通过测量，得到点处到嵩岳寺塔底部点的距离，且点，，，，都在同一平面上，此时无人机所在点距地面的高度为，计算嵩岳寺塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 过点作于点，过点作于点，由等腰直角三角形的性质得，证明四边形是矩形得，，由得，最后根据解直角三角形的知识求出的长度，然后根据求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴嵩岳寺塔的高度约为． 27. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，求的函数值的取值范围； （3）将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，点为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）的最小值为： 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求解二次函数的解析式即可； （2）求解的对称轴为直线，而，再利用二次函数的性质可得答案； （3）求解，，可得，求解直线为，及，证明在直线上，如图，过作于，连接，过作于，可得，，证明，可得，可得，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：∵的对称轴为直线，而， ∴函数最小值为：， 当时，， 当时，， ∴函数值的范围为：； 【小问3详解】 解：∵， 当时，， ∴， 当时， 解得：，， ∴， ∴， 设直线为， ∴， ∴， ∴直线为， ∵拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，而顶点为， ∴， ∴在直线上， 如图，过作于，连接，过作于， ∵，， ∴，， ∵对称轴与轴平行， ∴， ∴， ∴， 由抛物线的对称性可得：，， ∴， 当三点共线时取等号， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为：． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，利用轴对称的性质求解线段和的最小值，锐角三角函数的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键． 28. 【发现问题】 在数学小组活动中，同学们遇到了这样一个问题： （1）如图1，在正方形中，E是边上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，求的度数． 【延伸类比】 小组内的某位同学提出，若四边形是矩形，那么会存在什么样的规律呢？于是他们提出了如下问题： （2）如图2，在矩形中，，，E是边上一点，连接，过点E作，点F在的上方并满足，连接，求的值． 【学以致用】 小组同学想进一步对图中进行变换，于是提出下面的问题： （3）如图3，在边长为的菱形中，，E为边上一点，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接，，，交于点G，若G为边的三等分点，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点F作交的延长线于点G，先证，则，，即．则，可得，可求的度数； （2）过点F作交的延长线于点H，先证，则，可得；由，则，可得； （3）延长，交于点N，在上取一点M，使，作于Q ，过点F作交的延长线于点P，先证，则，．可得 ．证明，可得，；再证，可得，可求；再得出，由，可求的面积． 【小问1详解】 解：如图1，过点F作交的延长线于点G， ， 四边形为正方形， ，， ； 绕点E顺时针旋转得到线段， ，， ， ， 在和中 ， ， ，， ，即， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：如图2，过点F作交的延长线于点H， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，即， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：如图3，延长，交于点N，在上取一点M，使．作于Q． 过点F作交的延长线于点P， 四边形为菱形， ，， ，即， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ，， ，即， ， ； 菱形的边长为， ． ， ， ， ∵G为的三等分点，， ，， ， ，， ， ，即 ， ， ，， ， ， ，， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $