精品解析：安徽省淮南市凤台县凤台部分学校联考2025-2026学年九年级上学期12月期中数学试题

凤台部分学校联考2025-2026学年上学期九年级期中试卷 数学 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数是二次函数，则m的值为（ ） A. 1或 B. 1 C. 或3 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义．根据二次函数定义可知最高次项次数为2，且最高次项系数不为零，据此列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得，解得， 故选：D． 2. 已知二次函数的图象如图所示，则在同一坐标系中与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，二次函数及一次函数的图象和性质．由已知二次函数的图象与x轴的交点的横坐标都在之间，就可以确定二次函数与直线的交点的横坐标也都在之间． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴的交点的横坐标都在之间， 而， ∴二次函数与直线的交点的横坐标也都在之间， ∴在同一坐标系中与的图象可能是选项A， 故选：A． 3. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于(﹣1，0)，(3，0)两点，则下列判断中，错误的是（ ） A. 图象的对称轴是直线x＝1 B. 当﹣1＜x＜3时，y＜0 C. 当x＞1时，y随x的增大而减小 D. 一元二次方程中ax2+bx+c＝0的两个根是﹣1和3 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象和性质即可判断A、C、D选项正确，B选项错误．进而可以选择． 详解】解：根据函数图象可知： A、∵抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于（﹣1，0），（3，0）两点， ∴图象的对称轴是直线x＝1，因此A选项正确，不符合题意； B、当﹣1＜x＜3时，y＞0，因此B选项错误，符号题意； C、当x＞1时，y随x的增大而减小，因此C选项正确，不符合题意； D、一元二次方程中ax2+bx+c＝0的两个根是﹣1和3．因此D选项正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像以及性质，能从函数图像获取有用的信息是解题的关键，还需掌握二次函数的性质． 4. 一副眼镜的两个镜片下半部分轮廓分别对应两条抛物线的一部分，且在平面直角坐标系中关于y轴对称，如图所示（对应一个单位长度），轴，，最低点C在x轴上，且．则轮廓线所在抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用关于轴对称，，可得到点坐标为，由，最低点在轴上，则关于直线对称，可得到左边抛物线的顶点的坐标为，于是得到右边抛物线的顶点的坐标为，然后设顶点式利用待定系数法求抛物线的解析式． 本题考查了二次函数的应用：利用实际问题中的数量关系与直角坐标系中线段对应起来，再确定某些点的坐标，然后利用待定系数法确定抛物线的解析式，再利用抛物线的性质解决问题． 【详解】∵且，，且关于y轴对称， ∴点坐标为， ∵轴，，最低点在轴上， ∴关于直线对称， ∴左边抛物线的顶点的坐标为， ∴右边抛物线的顶点的坐标为， 设右边抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴轮廓线所在抛物线对应的函数表达式为， 故选：B． 5. 一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则x的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了根据反比例函数和一次函数图形，求出自变量取值范围，根据图象，找出使一次函数图象低于反比例函数图象时自变量的取值范围即可． 【详解】解：由图可知，当或时，， 故选：B． 6. 在投掷铅球项目中，铅球脱手后的飞行路线可以看做如图所示抛物线的一部分．设铅球落地点离投掷者的距离为，则S的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握二次函数的性质．根据题意，设抛物线的解析式为，将点代入求出函数解析式，令，即可求解． 【详解】解：根据题意，设抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 令，则， 解得：， 由图可知， ， ， ， 故选：B． 7. 如图，某零件的外径为，用一个交叉卡钳（）可测量零件的内孔直径．若，且量得，则零件的厚度x为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质求出x的长．求出和相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出，再根据外径的长度解答． 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵外径为， ∴， ∴． 故选：C． 8. 如图1，将边长为2的正方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重叠地拼成如图2所示的图形（点在同一直线上，点在同一直线上），则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的性质，配方法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合图1和图2，得，再证明，故，最后运用配方法解得，即可作答． 【详解】解：∵将边长为2的正方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重叠地拼成如图2所示的图形（点在同一直线上，点在同一直线上）， ∴，， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴ 即， ∴， 整理得 ∴ 解得（舍去），， 故选：C 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，以某点为位似中心，作出与的位似比为k的位似，则位似中心的坐标和k的值分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用位似图形的性质分别得出位似中心和位似比． 【详解】解：如图所示：位似中心F的坐标为：(2，2)， k的值为： 故选：B. 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键． 10. 如图，在中，是边中点，是上一点，且，连接并延长，交的延长线于，此时为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似性质和判定．作交于，得到，证明，根据，得到相似比为，进而得到． 【详解】解：如图，作交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 当m＝_____时，y＝（m+2）是二次函数． 【答案】2 【解析】 【分析】由y＝（m+2）是二次函数知m+2,=2,即可解出m的值. 【详解】依题意得，解得m=2. 【点睛】此题主要考查二次函数的定义，a是不可忽略的关键. 12. 已知抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于C，D两点，其中n＞0，若AD＝2BC，则n的值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】先求出抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴的交点，然后根据，得出，列出关于n的方程，解方程即可。 【详解】解： 把y=0代入得：， 解得：，， 把y=0代入得：， 解得：，， ∵， ∴， ∴， 即， ， 令，则， 解得：，， 当时，，解得：， ∵， ∴不符合题意舍去； 当时，，解得：， ∵， ∴符合题意； 综上分析可知，n的值为8． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，根据题意用n表示出，列出关于n的方程是解题的关键． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（0，3）和（9，0），若坐标轴上存在点C，使△OBC和△OAB相似，则点C的坐标是___________． 【答案】() ( 1,0 ) () 【解析】 【详解】如图,点C与点A关于x轴对称时,△OCB和△OAB全等,此时C点坐标为(0，−3); ∵∠COB=∠BOA， ∴当,△OBC∽△OAB,即,解得OC=9,此时C点坐标为(0,9)或(0,−9)， 综上所述,C点坐标为(0，−3),(0,9),(0,−9). 故答案为(0，−3),(0,9),(0,−9). 14. 如图，已知，以点为位似中心，作的位似图形，与的相似比为，连接，．若的面积为，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了位似的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．连接，根据平行四边形的性质先求出的面积为15，由证得，求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵和是以点B为位似中心的位似图形， ∴三点共线， 四边形平行四边形，面积为30， ∴的面积为15， 和是以为位似中心位似图形，且相似比为， ， ∴， ， ， 的面积． 故答案为：5． 三、计算题：本大题共2小题，共16分． 15. 关于的方程有三个实数根分别为、、，其中根与无关． （1）若，求实数的值． （2）若，试比较：与的大小，并说明你的理由． 【答案】（1） （2），见解析 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，二次函数与一元二次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）将化为，进而得到，、是方程的根，得到，再根据，进行求解即可； （2）设，根据，推出，设，则、是与轴的两个交点，根据，得到，进而推出，得到，即可得证． 【小问1详解】 解：由，得， ∵根与无关， ，、是方程的根， ， ， ， ∴ ； 【小问2详解】 ，理由如下： 设 ， ， 又，， ， 设， ∴、是与轴的两个交点， ， ∵抛物线的开口向上， ，即 ， ，即． 16. 已知、、满足，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是求分式的值，设，进而求得，，，再代入计算即可求解． 【详解】解：设， 则， 所以，，， 所以． 四、解答题：本题共7小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，二次函数图象过A，B，C三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB＝OC． （1）求点C的坐标； （2）求二次函数的解析式． 【答案】（1）C点的坐标为（0，5）；（2）y＝﹣x2+x+5． 【解析】 【分析】（1）先求出AB，再求出OC，即可得出C的坐标； （2）把A、B、C的坐标代入函数解析式，即可求出a、b、c的值，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0）， ∴AB＝1+4＝5， ∵AB＝OC， ∴OC＝5， ∴C点的坐标为（0，5）； （2）设过A、B、C点的二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c， 把A、B、C的坐标代入得：， 解得：a＝﹣，b＝，c＝5， 所以二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+5． 【点睛】本题考查了用待定系数法求出二次函数的解析式和函数图象上点的坐标特征，能用待定系数法求出函数的解析式是解此题的关键． 18. 杭州亚运会，34岁巩立姣以米的成绩夺得亚运会女子铅球冠军，实现亚运三连冠．下图是她在比赛前的某次掷球练习，铅球出手以后的轨迹可近似看作是抛物线的一部分，铅球出手时离地面米，铅球离抛掷点水平距离米时达到最高位置米．如图，以水平面为轴，她所站位置的铅垂线为轴建立平面直角坐标系，设铅球飞行的高度为米，铅球飞行水平距离为米． （1）求与之间的函数关系式； （2）巩立姣杭州亚运会夺冠成绩是否超过此次练习的成绩 【答案】（1） （2）巩立姣杭州亚运会夺冠成绩超过此次练习的成绩 【解析】 【分析】（1）依题意，，顶点坐标为，设抛物线的解析式为，将点代入，即可求解； （2）将代入（1）中的解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，，顶点坐标为， 设抛物线的解析式为，将点代入得， ， 解得：， ∴， 【小问2详解】 解：当时，， 解得：（舍去）， ∵， ∴巩立姣杭州亚运会夺冠成绩超过此次练习的成绩． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出二次函数关系式是解题的关键． 19. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于、B两点．垂直于y轴，垂足为D，连接． （1）求一次函数与反比例函数的解析式． （2）求的面积． （3）直接写出使反比例函数值小于一次函数值的x的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）直接根据待定系数法求两个函数解析式即可； （2）求出点的坐标，则可知，然后得出边上的高根据三角形面积公式计算即可； （3）根据函数图像找出一次函数在反比例函数上方的部分即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于， ∴将分别代入，， 得，即， ∴一次函数解析式为， 反比例函数解析式为； 【小问2详解】 联立， 即， 解得：，（即为点）， 经检验，，是原方程的解， ∴点， ∴，边上的高为， ∴； 【小问3详解】 根据函数图像可得反比例函数值小于一次函数值的x的取值范围即为一次函数在反比例函数上方的部分， ∴反比例函数值小于一次函数值的x的取值范围为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，根据函数图像求不等式的解集等知识点，熟练掌握反比例函数以及一次函数的性质是解本题的关键． 20. 如图，在正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，连接、，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定，等腰直角三角形的性质， 先根据正方形的性质得和都是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质得，，然后根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 【详解】证明：∵，分别是正方形和正方形的对角线， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 21. 已知在中，，，点是线段上的一个动点，过点作的垂线交线段如图或线段的延长线如图于点． （1）当点在线段上时，求证：； （2）当为等腰三角形时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）的长为或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的定义； （1）由两对角相等，，证明． （2）当为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论．①当点在线段上时，如题图所示．由三角形相似关系计算的长；②当点在线段的延长线上时，如题图所示．利用角之间的关系，证明点为线段的中点，从而可以求出． 【小问1详解】 证明：， ， 在与中， ，， ； 【小问2详解】 解：在中，，， 由勾股定理得：． ①当点在线段上时，如题图1所示： 为钝角， 当为等腰三角形时，只可能是， 由（1）可知，， ， 即， 解得：， ； ②当点在线段的延长线上时，如题图所示： 为钝角， 当为等腰三角形时，只可能是． ， ， ，， ， ， ，点为线段中点， ． 综上所述，当为等腰三角形时，的长为或． 22. 小明决定利用所学数学知识测量出旗杆的高度．如图，已知A，B，C在同一条直线上，A，E，D也在同一条直线上，，，垂足分别是点B和点C，小明眼睛到地面高米，且米，的长度为9米． （1）求旗杆的高度； （2）小明在测量时发现通过地面直线上F处的一个小水坑刚好看到旗杆顶端D，求小水坑F到小明的距离的长． 【答案】（1）旗杆的高度为6米 （2）小水坑F到小明的距离的长为米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用． （1）证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解： ， ． ， ． ． ， ． ． ． 经检验，是原分式方程的解． 答：旗杆的高度为6米． 【小问2详解】 解：由题意得： ，， ． ． ． ． 即 经检验：是原分式方程的解． 答：小水坑F到小明的距离的长为米． 23. 已知抛物线． （1）对于任意实数a，该抛物线都会经过一个定点，求此定点的坐标． （2）当时，该抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D． ①如图（1），若点是轴上的动点，当取最大值时，求的面积； ②小聪研究发现：如图（2），，是抛物线上异于，的两个动点，若直线与直线的交点始终在直线上，那么在直线存在点，使得，，中必存在定值的三角形，请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 【答案】（1）定点坐标为 （2）①；②面积为定值，面积为4． 【解析】 【分析】（1）本题考查的是含参数的函数过定点问题，找到函数中的参数，确定参数的系数，令系数为零即可解决． （2）① 本题考查了求两条线段之差的最大值问题，解决问题的关键在于找到何时取得最大值，根据三角形三边关系“两边之差小于第三边”，、为定点，为动点，于是有，即当、、三点在一条直线上时取得最大值，利用待定系数法求出过点、的直线解析式，然后求出直线与轴交点即为所求的最大值时的位置，的距离可求，坐标已求，根据三角形面积公式可得面积． ② 由于，是抛物线上异于，的两个动点，要在直线存在点，使得，，中必存在定值的三角形，那么必然这个三角形的三个顶点是确定的，、为定点，于是直线存在定点使得的面积是定值．要确定直线存在定点，即需求带参数的函数过定点问题，需要确定参数的系数，令系数为零即可求恒过的定点．设，，直线：，直线：，直线：，将直线、、的解析式分别与抛物线解析式联立，利用根与系数的关系，求得解析式中系数与之间的关系式，再联立直线和直线解析式，其交点始终在直线上，可得到的关系式，然后化简将直线：变为只含一个参数的方程，即可求出直线恒过的定点，最后利用几何关系求出的面积． 【小问1详解】 解：， 当时，恒成立， 对于任意实数，该抛物线都会经过一个定点． 【小问2详解】 解：① 当时，抛物线的解析式为， 令，解得，， ，． 为抛物线顶点， 点横坐标为，纵坐标为， ， 当P，D，C三点在一条直线上时，取得最大值， 如图1，连接并延长，交x轴于点P， 设直线的解析式为， 将点，的坐标分别代入， 得解得， 直线的解析式为， 当时，， ， ． ② 面积为定值，面积为4． 解：如图2， 设，，直线：，直线：，直线：， 将点的坐标代入直线的解析式，得． 将点的坐标代入直线的解析式，得． 联立直线与抛物线的解析式，得， 整理得， 则，（提示：一元二次方程“根与系数的关系”）． 同理可得，， ，， ，， ， ． 联立直线与直线的解析式，得解得， 直线与直线的交点始终在直线上， ，化简得， ， 直线：， 当时，， 即不论为何值，直线EF恒过定点． 如图3，过点Q作轴于点K， ，，，， ， ， ，， ． 【点睛】本题综合考查了二次函数、一次函数，含参数的函数过定点问题，两条线段之差的最大值问题，联立函数解析式求交点的问题，一元二次方程根与系数的关系以及几何图形面积的求解；熟悉掌握含参数的函数过定点问题的方法，求两条线段之差最大值的理论依据，联立函数解析式求交点，利用根与系数的关系化简参数，切割几何图形求面积等方法是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 凤台部分学校联考2025-2026学年上学期九年级期中试卷 数学 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数是二次函数，则m的值为（ ） A. 1或 B. 1 C. 或3 D. 3 2. 已知二次函数的图象如图所示，则在同一坐标系中与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于(﹣1，0)，(3，0)两点，则下列判断中，错误的是（ ） A. 图象的对称轴是直线x＝1 B. 当﹣1＜x＜3时，y＜0 C. 当x＞1时，y随x的增大而减小 D. 一元二次方程中ax2+bx+c＝0的两个根是﹣1和3 4. 一副眼镜的两个镜片下半部分轮廓分别对应两条抛物线的一部分，且在平面直角坐标系中关于y轴对称，如图所示（对应一个单位长度），轴，，最低点C在x轴上，且．则轮廓线所在抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则x的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 6. 在投掷铅球项目中，铅球脱手后飞行路线可以看做如图所示抛物线的一部分．设铅球落地点离投掷者的距离为，则S的范围为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，某零件的外径为，用一个交叉卡钳（）可测量零件的内孔直径．若，且量得，则零件的厚度x为（ ） A. B. C. D. 8. 如图1，将边长为2的正方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重叠地拼成如图2所示的图形（点在同一直线上，点在同一直线上），则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，以某点为位似中心，作出与的位似比为k的位似，则位似中心的坐标和k的值分别为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，是边中点，是上一点，且，连接并延长，交的延长线于，此时为（ ） A B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 当m＝_____时，y＝（m+2）是二次函数． 12. 已知抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于C，D两点，其中n＞0，若AD＝2BC，则n的值为______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（0，3）和（9，0），若坐标轴上存在点C，使△OBC和△OAB相似，则点C的坐标是___________． 14. 如图，已知，以点为位似中心，作的位似图形，与的相似比为，连接，．若的面积为，则的面积为__________． 三、计算题：本大题共2小题，共16分． 15. 关于的方程有三个实数根分别为、、，其中根与无关． （1）若，求实数的值． （2）若，试比较：与的大小，并说明你的理由． 16. 已知、、满足，求的值． 四、解答题：本题共7小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，二次函数图象过A，B，C三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB＝OC． （1）求点C的坐标； （2）求二次函数的解析式． 18. 杭州亚运会，34岁巩立姣以米的成绩夺得亚运会女子铅球冠军，实现亚运三连冠．下图是她在比赛前的某次掷球练习，铅球出手以后的轨迹可近似看作是抛物线的一部分，铅球出手时离地面米，铅球离抛掷点水平距离米时达到最高位置米．如图，以水平面为轴，她所站位置的铅垂线为轴建立平面直角坐标系，设铅球飞行的高度为米，铅球飞行水平距离为米． （1）求与之间函数关系式； （2）巩立姣杭州亚运会夺冠成绩是否超过此次练习成绩 19. 如图，一次函数图像与反比例函数的图像相交于、B两点．垂直于y轴，垂足为D，连接． （1）求一次函数与反比例函数的解析式． （2）求的面积． （3）直接写出使反比例函数值小于一次函数值的x的取值范围． 20. 如图，在正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，连接、，求证：． 21. 已知在中，，，点是线段上的一个动点，过点作的垂线交线段如图或线段的延长线如图于点． （1）当点在线段上时，求证：； （2）当为等腰三角形时，求的长． 22. 小明决定利用所学数学知识测量出旗杆的高度．如图，已知A，B，C在同一条直线上，A，E，D也在同一条直线上，，，垂足分别是点B和点C，小明眼睛到地面高米，且米，的长度为9米． （1）求旗杆的高度； （2）小明在测量时发现通过地面直线上F处的一个小水坑刚好看到旗杆顶端D，求小水坑F到小明的距离的长． 23. 已知抛物线． （1）对于任意实数a，该抛物线都会经过一个定点，求此定点的坐标． （2）当时，该抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D． ①如图（1），若点是轴上的动点，当取最大值时，求的面积； ②小聪研究发现：如图（2），，是抛物线上异于，的两个动点，若直线与直线的交点始终在直线上，那么在直线存在点，使得，，中必存在定值的三角形，请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $