7.2离散型随机变量分布列 导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

学案3 7.2　离散型随机变量及其分布列 学习目标　1.理解随机变量及离散型随机变量的含义. 2.了解随机变量与函数的区别与联系. 3.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质.4.理解两点分布． 知识点一　随机变量的概念、表示及特征 1．概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω都有_______的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． 2．表示：用_______表示随机变量，如X，Y，Z；用_______表示随机变量的取值，如x，y，z. 3．特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征： (1)取值依赖于样本点． (2)所有可能取值是明确的． 知识点二　离散型随机变量 可能取值为______或可以_______的随机变量，我们称之为离散型随机变量． 知识点三　离散型随机变量的分布列及其性质 1．定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2,3，…，n为X的概率分布列，简称分布列． 2．分布列的性质 (1)pi≥0，i＝1,2，…，n. (2)p1＋p2＋…＋pn＝1. 知识点四　两点分布 如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列为 X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0－1分布． 思考　随机变量X只取两个值，该分布是两点分布吗？ 判正误 (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( ) (2)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( ) (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( ) (4)由下列给出的随机变量X的分布列服从两点分布．( ) X 2 5 P 0.3 0.7 (5)．随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．(　) 一、随机变量的概念及分类 例1　下列变量中，哪些是随机变量，哪些是离散型随机变量？并说明理由． (1)某机场一年中每天运送乘客的数量； (2)某单位办公室一天中接到电话的次数； (3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数； (4)一瓶果汁的容量为500±2 mL. 二、求离散型随机变量的分布列 例2．在某年级的联欢会上设计一个摸奖游戏，在一个口袋中装有4个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出3个球，表示摸出红球的个数. （1）求的分布列；(用数字作答) （2）至少摸到2个红球就中奖，求中奖的概率.(用数字作答) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 例3　袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止，求取球次数X的分布列． 三、分布列的性质及应用 例4　设随机变量X的分布列P＝ak(k＝1,2,3,4,5)． (1)求常数a的值； (2)求P. 本例条件不变，求P. 例5 离散型随机变量的分布列为为常数，则 . 例6设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m (1)求的分布列； (2)求． 例7已知随机变量X服从两点分布，且，，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．或 7.2 离散型随机变量及其分布列学案3答案 唯一 大写英文字母 小写英文字母 _有限个 一一列举 思考：不一定，如果X只取0和1，则是两点分布，否则不是． √×√×√ 例1解　(1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量． (2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量． (3)明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量． (4)由于果汁的容量在498 mL～502 mL之间波动，是随机变量，但不是离散型随机变量． 例2【详解】（1）的取值为0，1，2，3， 则，， ，. ∴的分布列为： 0 1 2 3 （2）中奖的概率为. 例3解　X的可能取值为1,2,3,4,5，则第1次取到白球的概率为P(X＝1)＝， 第2次取到白球的概率为P(X＝2)＝＝，第3次取到白球的概率为P(X＝3)＝＝， 第4次取到白球的概率为P(X＝4)＝＝， 第5次取到白球的概率为P(X＝5)＝＝， 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 例4　解　由题意，所给分布列为 X 1 P a 2a 3a 4a 5a (1)由分布列的性质得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得a＝. (2)方法一　P＝P＋P＋P(X＝1)＝＋＋＝. 方法二　P＝1－P＝1－＝. 解　∵<X<，∴X＝，，.∴P＝P＋P＋P＝＋＋＝. 例5【答案】 【分析】结合裂项相消求和法，根据离散型随机变量的概率之和为1列方程求解即可. 【详解】，因为， 所以，解得.故答案为： 例6【答案】(1)分布列见解析(2) 【详解】（1），故，的可能取值为、、、， ，，，，故其分布列为： 0 1 2 3 0.1 0.3 0.3 0.3 （2）由，可得，. 例7【答案】A【详解】因为随机变量服从两点分布，所以..整理得，解得，.当，；当时，，故不合题意.综上，可得.故选：A. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $