精品解析： 吉林省松原市前郭三中2024-2025学年八年级下学期月考数学试卷（4月份）

2024—2025学年吉林省松原市前郭三中八年级（下）月考 数学试卷（4月份） 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知最简二次根式与二次根式能够合并，则a的值为（ ）． A. 5 B. 3 C. 4 D. 7 3. 估计()的值在（ ） A. 1到2之间 B. 2到3之间 C. 3到4之间 D. 5到6之间 4. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是（　） A. B. C. D. 5. 下面各组数中，是勾股数的是（ ） A. ，2，7 B. 0.2，0.6，0.8 C. 3，4，5 D. 5，8，10 6. 如图，在Rt中，，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 7. 若二次根式，则_______． 8. 已知，则的值为________． 9. 规定=+，，则＝___． 10. 中，斜边，则的值是______． 11. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则__________． 三、解答题：本题共11小题，共87分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 12. 计算：． 13. 先化简，再求值：，其中，． 14. 在中，，若，，求和的长． 15. 在一个边长为的正方形内部挖去一个边长为的正方形(如图)，求剩余部分(阴影)的面积． 16. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点，网格中有以格点A、B、C为顶点的，请你根据所学的知识回答下列问题： （1）判断的形状，并说明理由： （2）求的面积． 17. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是的中点），它高出水面1尺（尺）.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（），求水的深度PN. 18. 如图，一根直立的旗杆高8米，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为4米． （1）求旗杆在距地面多高处折断； （2）工人在修复的过程中发现在折断点的下方1.25米的点处有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，在距离旗杆底部5米处是否有被砸伤的风险？ 19. 座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中表示周期（单位：），l表示摆针的摆长（单位：），，若一台座钟的摆针的摆长为． （1）求该座钟摆针摆动的周期；（结果保留根号和） （2）若该座钟的摆针每摆动一个来回发出一次滴答声，在内，该座钟至少发出多少次滴答声？（参考数据：，） 20. 如图，在中，，，，若点P从点C出发，以每秒的速度沿折线方向运动一周，当P点到达终点C时停止运动，设运动时间为秒（）． （1）若P点在边上且满足，则此时________； （2）若P点恰好在的角平分线上，求此时的值； （3）在P点运动的过程中，当为何值时，是等腰三角形，直接写出的值． 21. 材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：； ．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：； ．根据上述知识，请你完成下列问题： （1）比较大小： （填“”，“”或“”）； （2）计算：； （3）若，求的值． 22. 【探究发现】 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：. （1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：中，，，，. 求证：. 证明：由图可知， ，______， 正方形边长为______， ， 即． 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E （2）求证：，； （3）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：； 【实际应用】 （4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年吉林省松原市前郭三中八年级（下）月考 数学试卷（4月份） 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义对各选项分析判断，即可求解． 【详解】， ∴选项A，B，D，都不是最简二次根式，选项C中，是最简二次根式 故选：C 2. 已知最简二次根式与二次根式能够合并，则a的值为（ ）． A. 5 B. 3 C. 4 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查合并同类二次根式，根据题意，得到与为同类二次根式，根据同类二次根式的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与二次根式能够合并， ∴， ∴； 故选C． 3. 估计()的值在（ ） A. 1到2之间 B. 2到3之间 C. 3到4之间 D. 5到6之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，先进行二次根式的混合运算，然后再估算出无理数的值即可解答． 【详解】解： ； ∵， ∴， ∴， ∴估计的值在2和3之间， 故选：B． 4. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是（　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，由数轴可知：，则，化简所求代数式即可．由数轴得到是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴． 故选：B． 5. 下面各组数中，是勾股数的是（ ） A. ，2，7 B. 0.2，0.6，0.8 C. 3，4，5 D. 5，8，10 【答案】C 【解析】 【分析】勾股数需要同时满足两个条件，一是三个数都为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此对各选项进行判断即可． 【详解】∵勾股数的定义为：可以构成直角三角形三边的正整数，满足（为最大数）． A选项中，∵不是正整数， ∴不符合要求， ∴A错误． B选项中，∵三个数都是小数，不是正整数， ∴不符合要求， ∴B错误． C选项中，∵3，4，5都是正整数，且， ∴满足条件， ∴C正确． D选项中，∵，，， ∴不满足条件， ∴D错误． 6. 如图，在Rt中，，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，圆面积的计算等知识点，先根据勾股定理得到三角形的三边关系，再用圆面积的计算方法得到三个半圆的面积的关系，进而求得结论； 【详解】解：∵在Rt中，, ∴ ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， 故选项B,C,D错误，不符合题意；选项 A正确，符合题意； 故选：A 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 7. 若二次根式，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】将等式两边同时平方，转化为一元一次方程求解，再验证二次根式有意义的条件即可得到结果． 【详解】解：对两边同时平方， 得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， 验证：当时，，满足二次根式有意义的条件． 8. 已知，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先判断出，再利用二次根式的性质进行化简，然后将代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 9. 规定=+，，则＝___． 【答案】## 【解析】 【分析】利用定=+计算，利用计算的值． 【详解】解：∵ ， ∴， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，关键是理解新定义运算规则，利用规则转化为四则运算． 10. 中，斜边，则的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】先画图，再利用勾股定理可求的值，从而易求的值． 【详解】解：如图所示， 在中，， 又∵， ∴， ∴． 故答案是∶2． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 11. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则__________． 【答案】73 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴. 故答案为：73． 三、解答题：本题共11小题，共87分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 12. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】利用绝对值及二次根式的性质，有理数的乘方法则，立方根的定义计算后再算加减即可． 【详解】解：原式． 13. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算得到，接着计算出和的值，再代入计算． 【详解】解：原式， ，， ，， 原式． 14. 在中，，若，，求和的长． 【答案】， 【解析】 【分析】设，，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：∵， ∴设，则， 由勾股定理得：， 即， 解得：（负值舍去）， ，． 15. 在一个边长为的正方形内部挖去一个边长为的正方形(如图)，求剩余部分(阴影)的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，用大正方形的面积减去小正方形的面积即可求出剩余部分的面积． 【详解】解： 即阴影部分的面积是. 16. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点，网格中有以格点A、B、C为顶点的，请你根据所学的知识回答下列问题： （1）判断的形状，并说明理由： （2）求的面积． 【答案】（1）直角三角形，理由见解析；（2）5 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理得到，，，再根据勾股定理的逆定理即可求解； （2）用正方形的面积减去3个三角形的面积即可求解． 【详解】解：（1）是直角三角形，理由： 正方形小方格边长为1， ，，． ， 是直角三角形； （2）的面积， 故的面积为5． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理，解题的关键是熟知勾股定理及勾股定理的逆定理． 17. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是的中点），它高出水面1尺（尺）.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（），求水的深度PN. 【答案】12尺 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化成勾股定理的问题是解题的关键． 根据题意可得，然后中运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：，点是AB的中点， . ，， . 在中，根据勾股定理可得：. ，解得. 答：水的深度PN为12尺． 18. 如图，一根直立的旗杆高8米，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为4米． （1）求旗杆在距地面多高处折断； （2）工人在修复的过程中发现在折断点的下方1.25米的点处有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，在距离旗杆底部5米处是否有被砸伤的风险？ 【答案】（1）旗杆距地面3米处折断 （2）在距离旗杆底部5米处有被砸伤的风险 【解析】 【分析】（1）设长为米，则长为米，根据勾股定理即可得到结论； （2）设旗杆再次折断时，旗杆顶新的着地点为，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：由题意知，， 设长为米，则长为， 根据勾股定理得， 解得． 答：旗杆距地面3米处折断； 【小问2详解】 解：如图，设旗杆再次折断时，旗杆顶新的着地点为， 连接． （米）， （米）． （米）． 即距离旗杆底部周围6米的范围内有被砸伤的风险． 在距离旗杆底部5米处有被砸伤的风险． 19. 座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中表示周期（单位：），l表示摆针的摆长（单位：），，若一台座钟的摆针的摆长为． （1）求该座钟摆针摆动的周期；（结果保留根号和） （2）若该座钟的摆针每摆动一个来回发出一次滴答声，在内，该座钟至少发出多少次滴答声？（参考数据：，） 【答案】（1）该座钟摆针摆动的周期为； （2）在内，该座钟至少发出次滴答声． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，计算出钟摆的周期是解决本题的关键． （1）根据公式计算即可； （2）利用时间除周期得到滴答次数． 【小问1详解】 解：将，代入， 得， 答：该座钟摆针摆动的周期为； 【小问2详解】 ． ． 或． 答：在内，该座钟至少发出次滴答声． 20. 如图，在中，，，，若点P从点C出发，以每秒的速度沿折线方向运动一周，当P点到达终点C时停止运动，设运动时间为秒（）． （1）若P点在边上且满足，则此时________； （2）若P点恰好在的角平分线上，求此时的值； （3）在P点运动的过程中，当为何值时，是等腰三角形，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）或或12或13 【解析】 【分析】（1）设，则，在中，依据，列方程求解即可得到t的值． （2）过P作于D，设，则，在中，，列方程求解即可得到t的值． （3）分四种情况：当P在上且时，当P在上且时，过C作于D，当P在上且时，当P在上且时，分别依据等腰三角形的性质即可得到t的值． 【小问1详解】 解：如图，设，则， ∵，，， ， 在中，， ， 解得：， , ， 故答案为：； 【小问2详解】 如图，过P作于D， 平分， ∵， ∴（） ∴， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 【小问3详解】 ①如图，当P在上且时， ； ②如图，当P在上且时，过C作于D， ，， 在中，， ， ； ③如图，当P在上且时， ， ； ④如图，当P在上且时， ，而， ， ， 是的中点，即， ； 综上所述，当或或12或13 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定以及勾股定理的综合运用．画出图形，利用分类讨论的思想是解第（3）题的关键． 21. 材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：； ．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：； ．根据上述知识，请你完成下列问题： （1）比较大小： （填“”，“”或“”）； （2）计算：； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的性质，二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）先分母有理化得到，，然后比较大小即可； （2）先分母有理化，然后合并同类二次根式； （3）先利用分母有理化得到，则移项得到，再两边平方可得到，然后把变形位，最后利用整体代入的方法计算． 【小问1详解】 解：，， ∵， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 【探究发现】 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：. （1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：中，，，，. 求证：. 证明：由图可知， ，______， 正方形边长为______， ， 即． 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E （2）求证：，； （3）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：； 【实际应用】 （4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 【答案】（1）， （2）见解析 （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理解决问题的关键． （1）依据题意得， 再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图所示图形,然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）依据题意,通过证明即可判断得解； （3）依据题意，用两种方法分别表示出梯形和，再列式变形即可得解； （4）依据题意，结合图形，“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为，可得又设 故又在 中,则，求出后可列式计算得解. 【详解】(1)证明：由图可知， ，， 正方形边长为， ， 即． 故答案为：，； （2）证明: ∵, ∴， ∵, ∴， ∴， 又, , ∴. ∴； (3)证明： 由题意，第一种方法： ， 第二种方法： ， ， ， ； (4)由题意,如图, ∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为, ， 设则， 在中, ， 将代入可得， ， ， ∴小正方形的边长等于 ∴风车的面积为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $