专题04 因式分解（期中复习知识清单，9题型）七年级数学下学期新教材浙教版

专题04 因式分解 因式分解的概念 ★★★ 1. 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解。 2. 关键判断：①结果必须是乘积形式；②对象是多项式；③变形与整式乘法互逆。 提公因式法 ★★★★★ 1. 公因式：一般地，一个多项式中每一项都含有的相同的因式。 2. 提取公因式：如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解。 3. 公式：。 添括号法则 ★★★ 1. 法则：括号前面添“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面添“－”号，括到括号里的各项都变号。 公式法 ★★★★★ 1. 平方差公式：；适用：两项、异号、能写成平方形式。 2. 完全平方公式：，；适用：三项、首尾平方、中间两倍积。 十字相乘法（简单二次三项式）★★★★ 1. 型如：。 2. 关键：找两数积为常数项、和为一次项系数。 因式分解的一般步骤 ★★★★ ①提：先提公因式； ②套：再用公式法/十字相乘； ③查：检查是否分解彻底，不能再分解为止。 因式分解的辨析 【例1】（25-26七年级上·上海奉贤·期末）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据因式分解的定义判断即可，因式分解的定义为：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解． 【详解】解：A选项：变形是整式乘法，右边不是积的形式，从左到右的变形不属于因式分解； B选项：右边是和的形式，不是整式的积，从左到右的变形不属于因式分解； C选项：左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，从左到右的变形属于因式分解； D选项：右边含分式，不是整式，从左到右的变形不属于因式分解． 【变式1】（25-26八年级上·广东湛江·期末）下列各式从左到右的变形为因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，且变形为从左到右，根据定义即可判断各选项． 【详解】解：∵因式分解要求从左到右变形后，结果为几个整式的积的形式， ∴A 选项中右边是和的形式，不是积的形式，不是因式分解； B 选项中，左边是多项式，右边，是两个整式的积的形式，变形正确，是因式分解； C 选项中，左边是积的形式，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解； D 选项中，右边是和的形式，不是积的形式，不是因式分解． 【变式2】（25-26八年级上·北京西城·月考）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是________．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】③ 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键． 根据因式分解的概念：将多项式写成几个整式积的形式，依据此对各个选项进行分析即可求出答案． 【详解】解：选项①是整式乘法，不是因式分解； 选项②右边不是积的形式，不是因式分解； 选项③左边是多项式，右边是整式的积，是因式分解； 选项④右边含有分式，不是整式，不是因式分解； 故答案为③． 提公因式法分解因式 【例1】（25-26八年级上·山西临汾·期末）多项式中，各项的公因式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式公因式的确定方法．确定多项式的公因式，从系数的最大公约数、各项共有的相同字母、相同字母的最低次幂这三方面分析组合． 【详解】解：∵ 各项系数的最大公约数是， ∵ 多项式各项都含有的相同字母为， ∵ 的最低次幂是，的最低次幂是， ∴ 各项的公因式是． 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·山东烟台·期末）多项式中，各项的最大公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了多项式的最大公因式． 根据最大公因式的定义，先确定各项系数的最大公约数，再确定各项都含有的字母的最低次幂，结合选项判断即可． 【详解】解：∵多项式各项系数6、12、的绝对值的最大公约数是3，各项都含有的字母为a、b，a的最低次幂是2，b的最低次幂是1， ∴该多项式的最大公因式可以为， 故选：B 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）（1）多项式中各项的公因式是______； （2）多项式中各项的公因式是______； （3）多项式中各项的公因式是_______． 【答案】 【分析】公因式是指多项式的各项都含有的因式，据此求解即可． 【详解】解：（1）多项式中各项的公因式是； （2）多项式中各项的公因式是； （3）多项式中各项的公因式是． 【例2】（2026·云南昭通·一模）分解因式：_____________． 【答案】 【详解】解：． 【变式1】（2026·吉林松原·一模）分解因式：_____． 【答案】 【分析】利用提公因式法提出公因式即可 【详解】解： 【变式2】（25-26七年级上·上海青浦·期中）分解因式：______________． 【答案】 【详解】解：． 【例3】（25-26八年级下·江苏盐城·月考）已知，，则的值为______． 【答案】12 【分析】把所求式子因式分解为，再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 【变式1】（25-26八年级下·四川成都·月考）已知实数m满足，则的值是_____． 【答案】 【分析】对所求多项式进行降次变形，结合已知条件计算，将所求式子提取公因式转化为含已知式子的形式，再代入求值． 【详解】， ． 【变式2】（2026·山东日照·一模）已知，，则代数式的值是______． 【答案】 【分析】先把提公因式分解因式，再整体代入进行计算即可． 【详解】解：由， ∵，， ∴原式， ∴代数式的值是． 添（去）括号 【例1】（25-26九年级下·河北石家庄·开学考试）下列各式中添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查添括号法则与提公因式，根据添括号法则，即添括号时，括号前为负号，括号里的各项都改变符号，括号前为正号，各项不变符号，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A、，则A错误； 选项B、，则B错误； 选项C、，则C错误； 选项D、根据添括号法则可得，变形符合规则，则D正确 故选：D． 【变式1】（25-26六年级上·山东淄博·期末）下列各式中，添括号或去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了去括号与添括号的法则，按照去括号或添括号的法则进行即可． 【详解】解：A、，故添括号错误； B、，故添括号错误； C、，故去括号错误； D、，故去括号正确． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在等号右边的括号内填上适当的项，使等式成立：（__________）． 【答案】 【分析】本题考查带括号的等式运算，熟练掌握括号的等式运算法则是解题的关键． 根据添括号法则，括号前面是负号时，括到括号里的各项都改变符号，据此求解即可． 【详解】解：等式左边为 ，右边为 ，要使等式成立，需使 ，即 ， 因为 所以括号内应填 ， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·全国·单元测试）将多项式中的一次项放在前面带有“+”号的括号里，二次项放在前面带有“-”号的括号里，结果为___________________． 【答案】 【分析】本题考查了对多项式的理解，先把一次项和二次项分别放在一起，然后根据添括号的法则计算即可． 【详解】解： 故答案为： ． 【例2】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）若，则代数式的值为___________． 【答案】 2026 【分析】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是注意整体代入思想的应用．将变形为，再将整体代入计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴原式． 故答案为：2026． 【变式1】（25-26六年级上·山东烟台·期末）若，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的计算和整体代入法．化简代数式，然后将条件式整体代入即可． 【详解】解： ， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·河北保定·月考）若，，则______． 【答案】13 【分析】本题考查了去括号法则与整式的加减运算，解题的关键是熟练运用去括号法则将式子化简，易错点是去括号时符号的变化；先利用去括号法则去掉式子中的括号，再通过交换律和结合律将式子变形为含有与的形式，最后代入已知条件求值． 【详解】 故答案为13． 平方差公式分解因式 【例1】（25-26九年级下·江苏苏州·月考）因式分解：________． 【答案】 【分析】本题考查利用平方差公式进行因式分解，原式符合平方差公式的结构特征，直接套用公式分解即可． 【详解】解： = = ． 【变式1】（2026·甘肃白银·一模）因式分解：______． 【答案】 【分析】利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）因式分解： （1）__________； （2）__________； （3）__________； （4）__________． 【答案】 【分析】这四道题均为两个数的平方差形式，可直接利用平方差公式进行因式分解，第（4）题需先将式子转化为平方差的标准形式再分解． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【例2】（25-26八年级下·江苏无锡·月考）若，，则__________． 【答案】3 【分析】根据可推出，结合已知条件可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·云南昆明·开学考试）已知，，则计算的结果为_________． 【答案】6 【分析】利用平方差公式将所求代数式因式分解，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 完全平方公式分解因式 【例1】（25-26九年级下·辽宁沈阳·开学考试）因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，观察多项式的结构特征，判断其符合完全平方公式的形式，利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·湖南郴州·期末）因式分解：________． 【答案】/ 【分析】本题考查了因式分解，根据完全平方公式因式分解，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·广东云浮·期末）如果多项式加上一个单项式后，可以用公式法分解因式，那么这个单项式可以是____（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键． 根据公式法分解因式即可求解． 【详解】解：若添加单项式，则， ∴多项式可以用公式法分解因式， ∴这个单项式可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【例2】（25-26七年级下·江苏泰州·月考）已知a，b，c满足，，，则的值为__________． 【答案】11 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·广东湛江·月考）已知，，，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式因式分解．先求出的值，再利用恒等式 进行计算． 【详解】解：已知， 则， ， ， 根据恒等式，将上述值代入可得： ． 故答案为：． 十字相乘法分解因式 【例1】（25-26九年级上·山东济南·期末）分解因式：_____． 【答案】 【分析】此题考查了十字相乘法的分解因式，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．根据十字相乘法分解因式即可得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·河南许昌·月考）分解因式：______． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，掌握运用十字相乘法分解因式是解题的关键．利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·北京海淀·自主招生）因式分解：__________． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式，准确的计算是解决本题的关键． 运用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 综合提公因式和公式法分解因式 【例1】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法和公式法． （1）先提取公因式，再用平方差公式分解； （2）先提取公因式，再用完全平方公式分解； （3）先提取公因式，再用平方差公式分解． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解： ， ； （3）解：， ， ． 【变式1】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）分解因式； (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式因式分解； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式2】（25-26八年级上·湖北十堰·期末）分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握运算方法是解答本题的关键． （1）原式运用平方差公式进行因式分解即可； （2）原式整理后运用完全平方公式进行因式分解即可； （3）原式运用十字相乘法分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式3】（25-26八年级上·山东泰安·月考）因式分解： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【分析】先提取公因式，再应用公式法进行分解即可； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； （5）解：原式； （6）解：原式； （7）解：原式； （8）解：原式； （9）解：原式； （10）解：原式 ． 已知因式分解的结果求参数 【例1】（25-26八年级上·四川南充·期末）已知多项式分解因式后有一个因式是，则的值为（    ） A．4 B． C．12 D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解和多项式乘多项式，能得出关于的方程是解此题的关键．因多项式有一个因式是，则当时，多项式的值为零，由此得出关于的方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵多项式有一个因式是， ∴当时，多项式值为零，即， 解得， 即k的值为． 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·河南商丘·期末）若多项式可因式分解为，其中，均为整数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式的乘法运算、因式分解的意义以及解方程组，熟练掌握多项式乘法法则和对应项系数相等的方法是解题的关键．先将因式分解后的式子展开，再与原多项式的各项系数对应相等，列出方程组求出整数、的值，最后计算的值． 【详解】解：∵将展开得, 又∵, ∴, 由得, 将，代入得，符合条件, ∴, 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·山东日照·月考）要使二次三项式在整数范围内能进行因式分解，那么整数的取值可以有（） A．4个 B．5个 C．8个 D．无数个 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，掌握知识点是解题的关键． 根据因式分解的条件，设二次三项式可分解为，其中a和b为整数，则，,由于a可取任意整数，p随之有无数个取值,即可解答． 【详解】解：∵二次三项式在整数范围内能因式分解， ∴可设，其中a，b为整数． 即， ∴． 令a为任意整数，则，亦为整数， ∴． 由于a可取无数个整数值，故p也有无数个可能取值． 故选D． 【变式3】（25-26七年级上·北京·期中）若多项式能分解成两个一次因式的积，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用，由于多项式能分解成两个一次因式的积，设分解形式为，展开后比较系数，得到方程组．通过求解方程组，得到，代入表达式计算即可． 【详解】解：设多项式分解为，展开得： 与多项式比较系数： 由和取整数解，． 代入得，； 代入得到，解得， ∴， ∴， 验证其他方程均成立． 当时，代入， 故答案为：． 因式分解的应用 【例1】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）[阅读材料] 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“A”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． [问题解决] (1)因式分解：； (2)因式分解：； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用换元法设，将原式化为，再利用完全平方公式得出，再将还原即可； （2）设，则原式后，再将还原后，最后再利用完全平方公式即可． 【详解】（1）解：令， 原式 ； （2）解：令， 则原式 ． 【变式1】（25-26八年级上·湖南常德·期末）把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有着广泛的应用． 例1．因式分解：． 解：原式． 例2．若，利用配方法求M的最小值． 解：． ∵，， ∴当时，M有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)是一个完全平方式，求 ； (2)分解因式：； (3)若，求y的最大值； (4)当m，n为何值时，代数式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1) (2) (3)132 (4)，，最小值为2016 【分析】（1）利用完全平方公式的结构特征即可确定出k的值； （2）把化为的形式，先用完全平方公式，再用平方差公式因式分解； （3）首先把y配方写成，根据平方的非负性得y的最大值； （4）用拆项的方法首先把多项式化为的形式，进一步分解因式，再根据平方的非负性求出多项式最小值． 【详解】（1）解：∵是一个完全平方式， ∴． 故答案为：； （2）解： ； （3）解：由题意得，， ∵， ∴， ∴． ∴当时，y有最大值，最大值为132； （4）解： ， 当，时代数式有最小值， 解得，，最小值为2016． 【变式2】（24-25八年级上·江西上饶·期末）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分解因式—十字相乘法， （1）根据十字相乘法分解因式即可； （2）根据十字相乘法分解因式即可； 掌握十字相乘法分解因式的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项： ， ③横向写出两因式：； （2）①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ， ③横向写出两因式：． 【例2】（25-26七年级下·江苏苏州·月考）如图，正方形与正方形的边长分别为，连接、，若阴影部分的面积为10．当的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据用含a、b的式子表示出阴影部分的面积即可得到答案． 【详解】解： ， ∵阴影部分的面积为10， ∴． ∴的值不变． 【变式1】（25-26八年级下·全国·周测）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证．观察图①，．接下来，观察图②，通过类比思考，因式分解：______________________________． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法，因式分解，观察图形体积的割补是解题的关键． 图②图形的体积有两种计算方法：（1）三个长方体体积相加；（2）大正方体体积减去小正方体体积，按要求列出式子，即可解答． 【详解】解：将图②分成三个长方体， 可得体积为 ， ． 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级下·辽宁沈阳·月考）问题呈现：小明用如图1的正方形和长方形若干个，拼成一个正方形，如图2和图3．小明计算：图2中，当时，正方形的面积既可以表示为，也可以用1个较大正方形和一个小正方形及两个长方形的面积和表示为，也就是说，这个正方形的面积为可以用等式表示为：． (1)请用小明计算的方法，直接写出图3中，若时，表示的等式为______． (2)数学发现：图2中有等式______；图3中有等式______． (3)数学思考：由图4可得到一个关于、的等量关系式是______． (4)在（3）的条件下，若，求的值． (5)知识迁移：如图5，长方形和正方形，其中，若，，求图中的阴影部分面积的和． 【答案】(1) (2)； (3) (4) (5) 【分析】（1）仿照题意用两种方法表示较大的正方形的面积即可得到答案； （2）根据题意和（1）所求即可得到答案； （3）用两种不同的方法表示最大的正方形的面积即可得到答案； （4）根据求解即可； （5）根据用含a、b的式子表示出，设，则，，据此求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：图3中，当时，较大的正方形的面积既可以用表示，也可以用最大的正方形的面积减去两个长方形的面积，再加上一个小正方形的面积，即可表示为，也就是说， 较大的正方形的面积为可以用等式表示为：． （2）解：由题意得图2中有等式， 图3中有等式 （3）解：大正方形的边长为，其面积为， 大正方形的面积等于中间的小正方形的面积加上4个长为a，宽为b的长方形面积，其面积为， ∴； （4）解：∵， ∴； （5）解： ， 设， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（2026·江苏南京·模拟预测）按照要求解答： (1)如图①，在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为（）的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积；可以验证乘法公式是______． (2)类似地，在棱长为的正方体上挖去一个棱长为（）的小正方体（如图②），通过不同的方法计算图中几何体的体积．由此可以得到的因式分解的等式是______，并证明这个等式． (3)结合上述经验，将因式分解的结果是______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过两种方法计算同一阴影面积，验证平方差公式； （2）通过两种方法计算同一几何体体积，推导并证明立方差公式； （3）拆项构造立方差公式，结合提公因式、完全平方公式进行因式分解． 【详解】（1）解：据图可知，对于阴影部分的面积， 方法：； 方法：， 故． （2）解：据图可知，对于图中几何体的体积， 方法：； 方法：， 故， 证明： ， 左边， 左边右边． （3）解： ． 【例3】（25-26八年级下·陕西西安·月考）小明是一位密码翻译爱好者，他在密码手册里记录了这样一条信息：，，，，，，分别对应“曲”，“美”，“最”，“铁”，“我”，“爱”六个字，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．最美铁曲 B．我爱最美 C．我爱美曲 D．我爱铁曲 【答案】A 【分析】先对原式因式分解，再根据因式与汉字的对应关系得到密码信息，即可选出正确选项． 【详解】解： ∵ ，，，，分别对应“曲”，“美”，“最”，“铁”， ∴结果呈现的密码信息可能是最美铁曲． 【变式1】（25-26八年级上·河南商丘·期末）日常生活中如取款、上网等经常遇到登录密码的情况，我们可以用因式分解的方法产生密码，如多项式，因式分解的结果是，若取，则各个因式的值是：，于是就可以把“”作为一个六位数的密码．那么对于多项式，取时，用上述方法产生的密码是___________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了因式分解的应用，正确分解因式是解答本题的关键． 先把因式分解，再把代入计算出各个因式的值，即可得到一个密码（各因式的排列顺序不同，得到的密码不同）． 【详解】解： ， 当时， ，，， 密码可以是：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【例4】（25-26六年级上·山东烟台·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个“智慧优数”，可以利用进行研究．若将“智慧优数”从小到大排列，则第6个“智慧优数”是________． 【答案】21 【分析】根据“智慧优数”的定义，利用平方差公式，分别计算不同值下“智慧优数”，并从小到大排列，找到第6个即可． 本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：由于，且m，n为正整数，设，则． 当时， ，得到：8，12，16，20，24，28，32，…… 当时，“智慧优数”为，得到：15，21，27，33，39，45，…… 当时，“智慧优数”为，得到：24，32，40，48，56，64，…… 当时，“智慧优数”为，得到：35，45，55，65，75，85，…… 当时，“智慧优数”为，得到：48，60，72，84，96，108，…… 将这些“智慧优数”从小到大排列：8，12，15，16，20，21，24，27，32，35，45，48，60，…… 故第6个“智慧优数”是21， 故答案为：21． 【变式1】（25-26八年级上·陕西延安·期末）若一个数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：因为，所以10是“完美数”，再如：（、是整数），所以也是“完美数”． (1)通过计算判断45是否为“完美数”； (2)已知（、是整数），要使为“完美数”，试求出符合条件的的值． 【答案】(1)45是“完美数” (2)符合条件的的值为10 【分析】（1）根据“完美数”的定义判断即可得出结果； （2）对进行配方，再结合“完美数”的定义计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴45是“完美数”； （2）解： ， ∵为“完美数”， ∴， ∴， ∴符合条件的的值为10． 【变式2】（2026·福建三明·一模）【阅读材料】用“割尾法”判断一个三位数能否是7的整数倍． 方法：三位数割掉末位数字得两位数，再用减去的2倍所得的差为．若是7的整数倍，则是7的整数倍． 注： 举例：对于三位数364，割掉末位数字4得36，，因为28是7的整数倍，所以364是7的整数倍． (1)①填空：226_____7的倍数．（填：“是”或“不是”） ②材料中的判断方法是“若是7的整数倍，则是7的整数倍”，请证明这种方法的正确性； (2)经论证，“割尾法”也能判断一个四位数是否为7的整数倍．若四位自然数能被7整除，求的所有可能取值． 【答案】(1)①不是；②见解析 (2)或 【分析】（1）①按照已知条件的举例和方法进行解答即可； ②按照多位数的表示方法表示出和，利用是7的整数倍，设，得，再整体代入即可解决； （2）根据题意可得能被7整除，推出，则能被７整除，即可解答． 【详解】（1）解：①根据题意可知，三位数226，割掉末位数字6得22， ， 不是7的整数倍， 不是7的整数倍； ②由题意，得：，， 是7的整数倍， 设（为整数）， ， ， 是7的整数倍． （2）解：根据题意可得，四位数，割掉末位数字6得， 四位自然数能被7整除， 三位自然数能被7整除， 即能被7整除， ， 能被7整除， ，且为整数， 则可得或． 知识点 易错点 避坑技巧 因式分解的概念与基本方法（提公因式法、公式法） 1. 混淆因式分解与整式乘法，结果仍保留和差形式，未分解成整式积的形式； 2. 提公因式时漏提系数的最大公因数，或公因式只提字母部分； 3. 提公因式后括号内漏写“1”，导致项数缺失； 4. 符号处理错误，首项为负时未统一提取负号，或提取负号后括号内项未全部变号； 5. 平方差公式误用：未判断两项是否均为平方项，或符号不符（如 也套用平方差）； 6. 完全平方公式误用：混淆和差公式，或漏写中间的“2倍积”项； 7. 分解不彻底，结果中仍含有可继续分解的多项式（如提公因式后仍能用公式分解）。 1. 牢记因式分解的定义：结果必须是整式的积的形式，可通过整式乘法还原验证； 2. 提公因式三步法：先找系数的最大公因数，再找相同字母的最低次幂，最后提取公因式，提取后括号内的项数与原多项式一致，缺项补“1”； 3. 首项为负先提负号，提负号后括号内每一项都要变号； 4. 公式法先看结构：两项且符号相反、均为平方项，用平方差；三项且首末项为平方项、中间项为±2倍积，用完全平方； 5. 分解后务必检查：公因式是否提尽，是否还能继续用公式分解，结果是否为最简整式积。 因式分解的综合应用（先提公因式再用公式法） 1. 未先提公因式，直接套用公式导致系数、次数出错； 2. 提公因式后，剩余多项式未判断是否符合公式结构； 3. 分解结果中括号内仍有同类项未合并，或系数含分数、小数未化为整数； 4. 多次分解时，步骤混乱导致漏项或符号错误。 1. 分解顺序口诀：先提公因式，再套公式，最后检查是否彻底； 2. 若多项式含分数/小数系数，先提取分数/小数系数化为整数系数多项式，再分解； 3. 分解后将括号内同类项合并，再判断是否能继续分解； 4. 每一步分解后都用整式乘法验证，避免符号和项数错误。 分解因式技巧： ①先看有无公因式，有则先提，优先提负号； ②两项优先平方差，三项优先完全平方/十字相乘； ③分解必查彻底性：直到每个因式不能再分； ④结果规范：小因式在前、按字母顺序排列； ⑤检验：用整式乘法还原，看是否相等。 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 因式分解 因式分解的概念 ★★★ 1. 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解。 2. 关键判断：①结果必须是乘积形式；②对象是多项式；③变形与整式乘法互逆。 提公因式法 ★★★★★ 1. 公因式：一般地，一个多项式中每一项都含有的相同的因式。 2. 提取公因式：如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解。 3. 公式：。 添括号法则 ★★★ 1. 法则：括号前面添“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面添“－”号，括到括号里的各项都变号。 公式法 ★★★★★ 1. 平方差公式：；适用：两项、异号、能写成平方形式。 2. 完全平方公式：，；适用：三项、首尾平方、中间两倍积。 十字相乘法（简单二次三项式）★★★★ 1. 型如：。 2. 关键：找两数积为常数项、和为一次项系数。 因式分解的一般步骤 ★★★★ ①提：先提公因式； ②套：再用公式法/十字相乘； ③查：检查是否分解彻底，不能再分解为止。 因式分解的辨析 【例1】（25-26七年级上·上海奉贤·期末）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·广东湛江·期末）下列各式从左到右的变形为因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·北京西城·月考）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是________．（填序号） ①；②；③；④． 提公因式法分解因式 【例1】（25-26八年级上·山西临汾·期末）多项式中，各项的公因式是（    ）． A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·山东烟台·期末）多项式中，各项的最大公因式是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）（1）多项式中各项的公因式是______； （2）多项式中各项的公因式是______； （3）多项式中各项的公因式是_______． 【例2】（2026·云南昭通·一模）分解因式：_____________． 【变式1】（2026·吉林松原·一模）分解因式：_____． 【变式2】（25-26七年级上·上海青浦·期中）分解因式：______________． 【例3】（25-26八年级下·江苏盐城·月考）已知，，则的值为______． 【变式1】（25-26八年级下·四川成都·月考）已知实数m满足，则的值是_____． 【变式2】（2026·山东日照·一模）已知，，则代数式的值是______． 添（去）括号 【例1】（25-26九年级下·河北石家庄·开学考试）下列各式中添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26六年级上·山东淄博·期末）下列各式中，添括号或去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在等号右边的括号内填上适当的项，使等式成立：（__________）． 【变式3】（25-26八年级上·全国·单元测试）将多项式中的一次项放在前面带有“+”号的括号里，二次项放在前面带有“-”号的括号里，结果为___________________． 【例2】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）若，则代数式的值为___________． 【变式1】（25-26六年级上·山东烟台·期末）若，则的值为______． 【变式2】（25-26七年级上·河北保定·月考）若，，则______． 平方差公式分解因式 【例1】（25-26九年级下·江苏苏州·月考）因式分解：________． 【变式1】（2026·甘肃白银·一模）因式分解：______． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）因式分解： （1）__________； （2）__________； （3）__________； （4）__________． 【例2】（25-26八年级下·江苏无锡·月考）若，，则__________． 【变式1】（25-26八年级下·云南昆明·开学考试）已知，，则计算的结果为_________． 完全平方公式分解因式 【例1】（25-26九年级下·辽宁沈阳·开学考试）因式分解：______． 【变式1】（25-26八年级上·湖南郴州·期末）因式分解：________． 【变式2】（25-26八年级上·广东云浮·期末）如果多项式加上一个单项式后，可以用公式法分解因式，那么这个单项式可以是____（写出一个即可）． 【例2】（25-26七年级下·江苏泰州·月考）已知a，b，c满足，，，则的值为__________． 【变式1】（25-26八年级上·广东湛江·月考）已知，，，则代数式的值为______． 十字相乘法分解因式 【例1】（25-26九年级上·山东济南·期末）分解因式：_____． 【变式1】（25-26八年级上·河南许昌·月考）分解因式：______． 【变式2】（25-26九年级上·北京海淀·自主招生）因式分解：__________． 综合提公因式和公式法分解因式 【例1】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）分解因式： (1)； (2)； (3)． 【变式1】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）分解因式； (1) (2) 【变式2】（25-26八年级上·湖北十堰·期末）分解因式： (1)； (2)； (3)． 【变式3】（25-26八年级上·山东泰安·月考）因式分解： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 已知因式分解的结果求参数 【例1】（25-26八年级上·四川南充·期末）已知多项式分解因式后有一个因式是，则的值为（    ） A．4 B． C．12 D． 【变式1】（25-26八年级上·河南商丘·期末）若多项式可因式分解为，其中，均为整数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山东日照·月考）要使二次三项式在整数范围内能进行因式分解，那么整数的取值可以有（） A．4个 B．5个 C．8个 D．无数个 【变式3】（25-26七年级上·北京·期中）若多项式能分解成两个一次因式的积，则的值为__________． 因式分解的应用 【例1】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）[阅读材料] 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“A”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． [问题解决] (1)因式分解：； (2)因式分解：； 【变式1】（25-26八年级上·湖南常德·期末）把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有着广泛的应用． 例1．因式分解：． 解：原式． 例2．若，利用配方法求M的最小值． 解：． ∵，， ∴当时，M有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)是一个完全平方式，求 ； (2)分解因式：； (3)若，求y的最大值； (4)当m，n为何值时，代数式有最小值，并求出这个最小值． 【变式2】（24-25八年级上·江西上饶·期末）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； 【例2】（25-26七年级下·江苏苏州·月考）如图，正方形与正方形的边长分别为，连接、，若阴影部分的面积为10．当的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·全国·周测）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证．观察图①，．接下来，观察图②，通过类比思考，因式分解：______________________________． 【变式2】（25-26七年级下·辽宁沈阳·月考）问题呈现：小明用如图1的正方形和长方形若干个，拼成一个正方形，如图2和图3．小明计算：图2中，当时，正方形的面积既可以表示为，也可以用1个较大正方形和一个小正方形及两个长方形的面积和表示为，也就是说，这个正方形的面积为可以用等式表示为：． (1)请用小明计算的方法，直接写出图3中，若时，表示的等式为______． (2)数学发现：图2中有等式______；图3中有等式______． (3)数学思考：由图4可得到一个关于、的等量关系式是______． (4)在（3）的条件下，若，求的值． (5)知识迁移：如图5，长方形和正方形，其中，若，，求图中的阴影部分面积的和． 【变式3】（2026·江苏南京·模拟预测）按照要求解答： (1)如图①，在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为（）的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积；可以验证乘法公式是______． (2)类似地，在棱长为的正方体上挖去一个棱长为（）的小正方体（如图②），通过不同的方法计算图中几何体的体积．由此可以得到的因式分解的等式是______，并证明这个等式． (3)结合上述经验，将因式分解的结果是______． 【例3】（25-26八年级下·陕西西安·月考）小明是一位密码翻译爱好者，他在密码手册里记录了这样一条信息：，，，，，，分别对应“曲”，“美”，“最”，“铁”，“我”，“爱”六个字，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．最美铁曲 B．我爱最美 C．我爱美曲 D．我爱铁曲 【变式1】（25-26八年级上·河南商丘·期末）日常生活中如取款、上网等经常遇到登录密码的情况，我们可以用因式分解的方法产生密码，如多项式，因式分解的结果是，若取，则各个因式的值是：，于是就可以把“”作为一个六位数的密码．那么对于多项式，取时，用上述方法产生的密码是___________（写出一个即可）． 【例4】（25-26六年级上·山东烟台·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个“智慧优数”，可以利用进行研究．若将“智慧优数”从小到大排列，则第6个“智慧优数”是________． 【变式1】（25-26八年级上·陕西延安·期末）若一个数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：因为，所以10是“完美数”，再如：（、是整数），所以也是“完美数”． (1)通过计算判断45是否为“完美数”； (2)已知（、是整数），要使为“完美数”，试求出符合条件的的值． 【变式2】（2026·福建三明·一模）【阅读材料】用“割尾法”判断一个三位数能否是7的整数倍． 方法：三位数割掉末位数字得两位数，再用减去的2倍所得的差为．若是7的整数倍，则是7的整数倍． 注： 举例：对于三位数364，割掉末位数字4得36，，因为28是7的整数倍，所以364是7的整数倍． (1)①填空：226_____7的倍数．（填：“是”或“不是”） ②材料中的判断方法是“若是7的整数倍，则是7的整数倍”，请证明这种方法的正确性； (2)经论证，“割尾法”也能判断一个四位数是否为7的整数倍．若四位自然数能被7整除，求的所有可能取值． 知识点 易错点 避坑技巧 因式分解的概念与基本方法（提公因式法、公式法） 1. 混淆因式分解与整式乘法，结果仍保留和差形式，未分解成整式积的形式； 2. 提公因式时漏提系数的最大公因数，或公因式只提字母部分； 3. 提公因式后括号内漏写“1”，导致项数缺失； 4. 符号处理错误，首项为负时未统一提取负号，或提取负号后括号内项未全部变号； 5. 平方差公式误用：未判断两项是否均为平方项，或符号不符（如 也套用平方差）； 6. 完全平方公式误用：混淆和差公式，或漏写中间的“2倍积”项； 7. 分解不彻底，结果中仍含有可继续分解的多项式（如提公因式后仍能用公式分解）。 1. 牢记因式分解的定义：结果必须是整式的积的形式，可通过整式乘法还原验证； 2. 提公因式三步法：先找系数的最大公因数，再找相同字母的最低次幂，最后提取公因式，提取后括号内的项数与原多项式一致，缺项补“1”； 3. 首项为负先提负号，提负号后括号内每一项都要变号； 4. 公式法先看结构：两项且符号相反、均为平方项，用平方差；三项且首末项为平方项、中间项为±2倍积，用完全平方； 5. 分解后务必检查：公因式是否提尽，是否还能继续用公式分解，结果是否为最简整式积。 因式分解的综合应用（先提公因式再用公式法） 1. 未先提公因式，直接套用公式导致系数、次数出错； 2. 提公因式后，剩余多项式未判断是否符合公式结构； 3. 分解结果中括号内仍有同类项未合并，或系数含分数、小数未化为整数； 4. 多次分解时，步骤混乱导致漏项或符号错误。 1. 分解顺序口诀：先提公因式，再套公式，最后检查是否彻底； 2. 若多项式含分数/小数系数，先提取分数/小数系数化为整数系数多项式，再分解； 3. 分解后将括号内同类项合并，再判断是否能继续分解； 4. 每一步分解后都用整式乘法验证，避免符号和项数错误。 分解因式技巧： ①先看有无公因式，有则先提，优先提负号； ②两项优先平方差，三项优先完全平方/十字相乘； ③分解必查彻底性：直到每个因式不能再分； ④结果规范：小因式在前、按字母顺序排列； ⑤检验：用整式乘法还原，看是否相等。 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $