专题09 乘法公式与整式的化简（考点清单，2考点10题型+命题预测）-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲（浙教版2024）

专题09 乘法公式与整式的化简 （2个考点梳理+10种题型解读+提升训练+命题预测） 清单01 平方差公式 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.即： 特点：等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；等号右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与相反项的平方差. 【注意事项】 1）对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式．如：(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式. 2）公式中的字母a、b可以是一个数、一个单项式、一个多项式，所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误. 【补充】常见验证平方差公式的几何图形 清单02 完全平方公式 完全平方公式：两个数的和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）这两数乘积的两倍.即. 特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 口诀：首平方，尾平方，二倍乘积放中央，中间符号同前方. 完全平方式的常见变形（①-⑤基础必须掌握）： 通过面积法推导完全平方公式： ①如图甲所示是一个边长为a+b的正方形，面积为，它的面积还可以看成是由两个小正方形与两个长方形的和，即，所以可以得到； ②如图乙所示，边长为a-b的小正方形的面积是，它的面积还可以看成是由大的正方形面积减去两个小的长方形面积，即，所以可以得到. 【考点题型一】利用平方差公式化简求值（） 1．（22-23八年级上·黑龙江大庆·开学考试）在下列各式中，能用平方差公式计算的有（    ） ①②③ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（21-22七年级下·浙江·期中）代数式的末尾数字是（    ） A．0 B．1 C．6 D．8 3．（22-23七年级下·浙江温州·期中）若，则＝ ． 4．（23-24七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中， 【考点题型二】平方差公式与几何图形（） 5．（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）小王叔叔改建一个边长为a米的正方形养鸡场，计划纵向扩大2米，横向缩短2米，则改建后养鸡场面积的变化情况是（  ） A．面积减少4m2 B．面积增加4m2 C．面积增加2m2 D．面积不变 6．（22-23八年级上·广东东莞·期中）如图，阴影部分是边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列3种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（ ）        A． B． C． D． 7．（21-22八年级上·山西吕梁·期末）数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成新的图形．现给出下列3种不同的剪、拼方案，其中能够验证平方差公式的方案是 ．（请填上正确的序号） 8．（21-22七年级下·浙江杭州·期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它们的面积，可得到一个数学等式，例如图①可以得到．请解答下列问题： (1)类似图①的数学等式，写出图②表示的数学等式：______； (2)若，，用上面得到的数学等式求的值； (3)小明同学用图中的x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长为a、b的长方形拼出一个面积为的长方形，求的值； (4)如图④大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个小长方形的两边，观察图案，以下关系式正确的是______（填序号）． ①，②，③，④ 【考点题型三】运用完全平方公式进行运算（） 9．（22-23七年级下·浙江温州·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（22-23八年级上·天津红桥·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（22-23八年级上·河南南阳·期末）若，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D．无法判断 12．（22-23七年级下·浙江绍兴·期中）化简： 13．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）已知实数a满足，求的值． 【考点题型四】完全平方公式与几何图形（） 14．（21-22七年级下·浙江宁波·期中）如图，在一块边长为的正方形花圃中，两纵两横的4条宽度为的人行道把花圃分成 9块，下面是四个计算种花土地总面积的代数式：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的有（    ） A．（2） B．（1） （3） C．（1） （4） D．（4） 15．（22-23七年级下·浙江湖州·阶段练习）三种不同类型的长方形砖长宽如图所示，现有A类、C类各若干块，B类4块，小双用这些地砖拼成一个正方形（不重叠无缝隙），那么小双拼成正方形的边长是 ．（用含m，n的代数式表示）    16．（21-22七年级下·浙江温州·期中）某中学开展“筑梦冰雪，相约冬奥”的学科活动，设计几何图形作品表达对冬奥会的祝福．小冬以长方形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示．若四个正方形的周长之和为32，面积之和为12，则长方形ABCD的面积为 ． 17．（22-23七年级下·浙江·期末）如图，将4个长为，宽为的长方形木条拼成一个正方形相框．    (1)若，，求正方形和正方形的面积； (2)用两种不同的方法计算大正方形的面积，你发现了什么代数结论？ 【考点题型五】利用完全平方公式求参数值（）（易错） 18．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）若关于x的多项式，则的值是__________． 【考点题型六】乘法公式在解决数的计算问题中的巧妙应用（） 19．（22-23八年级上·河南南阳·期末）我们学习的平方差公式不但可以使运算简便，也可以解决一些复杂的数学问题．尝试计算的个位数字是 ． 20．（2022·江苏盐城·二模）用简便方法计算时，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 21．（21-22七年级下·浙江宁波·阶段练习）简便计算 (1) (2) 22．（2025七年级下·全国·专题练习）用简便方法计算下列各式： (1)； (2)； (3)……． 【考点题型七】通过对完全公式变形求值（） 23．（24-25七年级下·浙江温州·阶段练习）已知，，请你求出下列代数式的值． (1)； (2)； (3)． 24．（22-23八年级上·广东广州·期末）回答下列问题 (1)若，则________，________． (2)若，则________； (3)若，求的值． 25．（24-25七年级下·江西南昌·阶段练习）已知，求下列各式的值． (1)． (2)． 26．（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）已知实数满足，． (1)_____，_____； (2)求 【考点题型八】利用配方法求最值（） 27．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）阅读理解应用：想要比较与的大小关系，可以进行作差法，结果如下：若，则；若，则；若，则． (1)比较与的大小； (2)直接利用（1）的结论求的最小值； (3)已知请你运用前面介绍的方法比较代数式A与B的大小． 28．（22-23八年级上·河南周口·期末）阅读材料：在求多项式的最小值时，小明的解法如下：，因为，所以，即的最小值为4．请仿照以上解法，解决以下问题： (1)求多项式的最小值； (2)猜想多项式有最大值还是最小值，并求出这个最值． 29．（23-24八年级上·四川眉山·期中）利用完全平方公式和的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子： 例1、分解因式： 例2、求代数式的最小值： 又∵ ∴当时，代数式有最小值，最小值是． 仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题： (1)分解因式：； (2)代数式有最 （大、小）值，当x＝ 时，最值是 ； (3)当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值． 【考点题型九】利用配方法比较大小（） 30．（22-23七年级下·浙江丽水·阶段练习）阅读理解： 在教材中，我们有学习到，又因为任何实数的平方都是非负数，所以，即．例如，比较整式和的大小关系，因为，所以．请类比以上的解题过程，解决下列问题： (1)比较整式和的大小关系，并请说明理由． (2)比较整式和的大小关系，并请说明理由． 31．（21-22七年级下·江苏泰州·期中）阅读与思考：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法． 例如：． (1)【解决问题】补全下列完全平方式： ①_________；②_______． (2)【变式训练】试说明无论x取何值，代数式是正数； (3)【深入研究】若，，比较M、N的大小； (4)【拓展应用】关于x、y的二元一次方程组和的解相同，求的值． 【考点题型十】整式的混合运算（） 32．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）下面是聪聪同学进行整式运算的过程，请你认真阅读并完成相应任务． 计算： 解：原式第一步 第二步 ．第三步 任务一：仔细检查聪聪同学的解题过程，回答下列问题． ①以上解题过程中，第一步需要依据________和________公式进行运算（用字母表示公式）． ②第________步开始出现错误． 任务二：请写出本题的正确解题过程． 33．（2025·浙江衢州·一模）先化简，再求值：，其中，． 34．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【命题预测】 1．（20-21七年级下·浙江宁波·期中）计算下列各式，其结果为的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·江苏泰州·期中）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“完美数”，例如：因为，所以称24为“完美数”，下面4个数中为“完美数”的是（    ） A．2020 B．2024 C．2025 D．2026 3．（2023·浙江杭州·二模）已知，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（22-23八年级上·河南新乡·期末）下列各式不能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 5．（22-23七年级下·浙江温州·期中）观察：， ， ， ， 据此规律，求的个位数字是（  ） A．1 B．3 C．5 D．7 6．（23-24九年级上·江苏南通·期末）已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 7．（22-23七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）已知，则的值为 ． 9．（21-22七年级下·浙江金华·期末）对于任何实数，我们都规定符号的意义是，按照这个规定请你计算：当时，的值为 ． 10．（2023七年级下·江苏·专题练习）已知，则 ， ． 11．（23-24七年级下·浙江·期中）计算： (1)． (2)． 12．（23-24八年级上·吉林长春·期中）用简便算法计算 (1) (2) 13．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等． 例如：分解因式：； 又例如：求代数式的最小值：∵， 又∵； ∴当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：_______． (2)已知实数，满足，求的值； (3)当______、______时，多项式的最大值______． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 乘法公式与整式的化简 （2个考点梳理+10种题型解读+提升训练+命题预测） 清单01 平方差公式 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.即： 特点：等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；等号右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与相反项的平方差. 【注意事项】 1）对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式．如：(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式. 2）公式中的字母a、b可以是一个数、一个单项式、一个多项式，所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误. 【补充】常见验证平方差公式的几何图形 清单02 完全平方公式 完全平方公式：两个数的和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）这两数乘积的两倍.即. 特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 口诀：首平方，尾平方，二倍乘积放中央，中间符号同前方. 完全平方式的常见变形（①-⑤基础必须掌握）： 通过面积法推导完全平方公式： ①如图甲所示是一个边长为a+b的正方形，面积为，它的面积还可以看成是由两个小正方形与两个长方形的和，即，所以可以得到； ②如图乙所示，边长为a-b的小正方形的面积是，它的面积还可以看成是由大的正方形面积减去两个小的长方形面积，即，所以可以得到. 【考点题型一】利用平方差公式化简求值（） 1．（22-23八年级上·黑龙江大庆·开学考试）在下列各式中，能用平方差公式计算的有（    ） ①②③ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】直接利用平方差公式以及完全平方公式将原式变形得出答案． 【详解】解：①，能用平方差公式计算，符合题意； ②，无法运用平方差公式计算； ③，能用平方差公式计算，符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查平方差公式以及完全平方公式，正确记忆公式是解题关键． 2．（21-22七年级下·浙江·期中）代数式的末尾数字是（    ） A．0 B．1 C．6 D．8 【答案】A 【分析】先应用平方差公式，将算式化简，再找指数与结果尾数之间的规律，最后应用规律求出结果即可． 【详解】 ， ， ， 尾数为3， 尾数为9， 尾数为7， 尾数为1， 尾数为3， 故尾数为1， 尾数为0， 故选：A． 【点睛】本题考查乘方运算，平方差公式，能够发现规律应用规律是解决本题的关键． 3．（22-23七年级下·浙江温州·期中）若，则＝ ． 【答案】4 【分析】把利用平方差公式展开，然后把代入计算整理即可求解． 【详解】解：因为， 所以； 故答案为：4． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，把已知条件变形是解题的关键． 4．（23-24七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中， 【答案】， 【分析】本题考查的是乘法公式的灵活应用，先按照平方差公式计算乘法运算，再合并同类项即可，再把，代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 【考点题型二】平方差公式与几何图形（） 5．（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）小王叔叔改建一个边长为a米的正方形养鸡场，计划纵向扩大2米，横向缩短2米，则改建后养鸡场面积的变化情况是（  ） A．面积减少4m2 B．面积增加4m2 C．面积增加2m2 D．面积不变 【答案】A 【分析】由已知：原来正方形的边长为，分别表示出改建后的养鸡场长和宽，求出面积差． 【详解】解：原来正方形的边长为， 则改建后的养鸡场长为：，宽为， 原来面积为，改建后面积为， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了平方差公式和长方形的面积，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系求解． 6．（22-23八年级上·广东东莞·期中）如图，阴影部分是边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列3种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（ ）        A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别在两个图形中表示出阴影部分的面积，继而可得出验证公式，即可得到答案． 【详解】解：在图①中， 左边的图形中阴影部分的面积为：， 右边图形中的阴影部分的面积为：， 故可得：，可验证平方差公式，符合题意； 在图②中， 左边图形中阴影部分的面积为：， 右边图形中的阴影部分的面积为：， 故可得：，可验证平方差公式，符合题意； 在图③中， 左边的图形中阴影部分的面积为：， 右边图形中的阴影部分的面积为：， 故可得：，可验证平方差公式，符合题意； 故能够验证平方差公式的是：①②③， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分的面积是解题的关键． 7．（21-22八年级上·山西吕梁·期末）数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成新的图形．现给出下列3种不同的剪、拼方案，其中能够验证平方差公式的方案是 ．（请填上正确的序号） 【答案】①②/②① 【分析】根据图形及平方差公式的特征可进行求解． 【详解】解：由图可知： 图①：； 图②：； 图③：第一个图阴影部分面积为：，第二个图阴影部分的面积为：； ∴综上所述：能够验证平方差公式的方案为①②； 故答案为①②． 【点睛】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 8．（21-22七年级下·浙江杭州·期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它们的面积，可得到一个数学等式，例如图①可以得到．请解答下列问题： (1)类似图①的数学等式，写出图②表示的数学等式：______； (2)若，，用上面得到的数学等式求的值； (3)小明同学用图中的x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长为a、b的长方形拼出一个面积为的长方形，求的值； (4)如图④大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个小长方形的两边，观察图案，以下关系式正确的是______（填序号）． ①，②，③，④ 【答案】(1) (2)40 (3)104 (4)①③④ 【分析】(1)整体计算正方形的面积和分部分求和，二者相等； (2)依据 =进行计算即可； （3）依据所拼图形的面积为：，而（a+7b）(9a+4b)=9a2+67ab+28b2，可得x,y,z的值，从而得解； （4）由图可知： 通过计算可以判定①，③，④正确，而无法判定②正确． 【详解】（1）根据图形可得： 故答案为： （2）由（1）得： = ∵a+b+c=10，ab+ac+bc=30 ∴， （3）由拼图可知：所拼图形的面积为： ∴x=9，y=28，z=67， ∴x+y+z=9+28+67=104； （4）由图可知： 故①正确； 即 故③正确； =， 故④正确； 根据已知条件无法的到xy=m 故②错误； 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，完全平方公式的几何背景，灵活应用完全平方公式即平方差公式运算是解题的关键． 【考点题型三】运用完全平方公式进行运算（） 9．（22-23七年级下·浙江温州·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据完全平方公式，同底数幂的乘法和平方差公式逐个判断即可． 【详解】解：A．，故本选项不符合题意； B．，故本选项符合题意； C．，故本选项不符合题意； D．，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了完全平方公式，同底数幂的乘法和平方差公式等知识点，能熟记完全平方公式、同底数幂的乘法和平方差公式是解此题的关键，注意：，． 10．（22-23八年级上·天津红桥·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】解：A；，计算错误，不符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，计算错误，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟知完全平方公式是解题的关键． 11．（22-23八年级上·河南南阳·期末）若，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】根据完全平方公式的变形，将b化简，进而与a比较即可求解． 【详解】解：， ， 故． 故选A． 【点睛】本题考查了完全平方公式的变形，掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 12．（22-23七年级下·浙江绍兴·期中）化简： 【答案】3 【分析】根据完全平方公式及去括号展开，再计算合并同类项即可得出答案． 【详解】 ． 【点睛】本题考查了完全平方公式，去括号原则、合并同类项原则，熟练掌握公式及其法则是解题的关键． 13．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）已知实数a满足，求的值． 【答案】 【分析】根据得到，化简代数式整体代入求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， 原式 ； 【点睛】本题考查已知代数式的值化简求值，解题的关键是正确化简代数式，整体代入求解． 【考点题型四】完全平方公式与几何图形（） 14．（21-22七年级下·浙江宁波·期中）如图，在一块边长为的正方形花圃中，两纵两横的4条宽度为的人行道把花圃分成 9块，下面是四个计算种花土地总面积的代数式：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的有（    ） A．（2） B．（1） （3） C．（1） （4） D．（4） 【答案】C 【分析】由平移法可得，种花土地总面积等于边长为（a-2b）的正方形的面积；由图可得，种花土地总面积=a2-4ab+4b2；据此得出结论． 【详解】解：由平移法可得，种花土地总面积=（a-2b）（a-2b）； 由图可得，种花土地总面积=a2-4ab+4b2； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，解决此类问题的关键是运用几何直观理解，解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． 15．（22-23七年级下·浙江湖州·阶段练习）三种不同类型的长方形砖长宽如图所示，现有A类、C类各若干块，B类4块，小双用这些地砖拼成一个正方形（不重叠无缝隙），那么小双拼成正方形的边长是 ．（用含m，n的代数式表示）    【答案】或 【分析】设A类需用a块，C类需用c块，根据题意得拼成的正方形的面积为：是一个完全平方式，据此求解即可得． 【详解】解：设A类需用a块，C类需用c块， 这些地砖拼成的正方形的面积为：， 根据题意，是一个完全平方式，， 所以或者； 当，时，， 此时正方形的边长为：； 当，时，， 此时正方形的边长为：； 故答案为：或． 【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是理解题意，掌握完全平方公式的结构特征． 16．（21-22七年级下·浙江温州·期中）某中学开展“筑梦冰雪，相约冬奥”的学科活动，设计几何图形作品表达对冬奥会的祝福．小冬以长方形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示．若四个正方形的周长之和为32，面积之和为12，则长方形ABCD的面积为 ． 【答案】5 【分析】设，，由四个正方形的周长之和为24，面积之和为12列方程求解即可． 【详解】解：设，，由四个正方形的周长之和为32，面积之和为12可得， ，， 即①，②， 由①得，③， ③②得， 所以， 即长方形的面积为5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了完全平方公式与图形面积，用代数式表示两个正方形的周长和面积是解决问题的关键． 17．（22-23七年级下·浙江·期末）如图，将4个长为，宽为的长方形木条拼成一个正方形相框．    (1)若，，求正方形和正方形的面积； (2)用两种不同的方法计算大正方形的面积，你发现了什么代数结论？ 【答案】(1)正方形的面积为：，正方形的面积为： (2)面积计算见解析， 【分析】（1）根据正方形面积计算公式求解即可； （2）根据大长方形面积等于边长乘以边长，以及大正方形面积等于4个小长方形面积加上小正方形面积进行求解即可． 【详解】（1）解：正方形的面积为： 正方形的面积为：； （2）解：方法一：正方形的面积为： 方法二：正方形的面积为： ∵两种表示方法表示的面积相等， ∴． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，代数式求值，熟知完全平方公式是解题的关键． 【考点题型五】利用完全平方公式求参数值（）（易错） 18．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）若关于x的多项式，则的值是__________． 【答案】或 【分析】利用完全平方公式展开，根据系数相同得到关于a，b的方程，解之，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，，或，， ∴或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握公式的展开方法． 【考点题型六】乘法公式在解决数的计算问题中的巧妙应用（） 19．（22-23八年级上·河南南阳·期末）我们学习的平方差公式不但可以使运算简便，也可以解决一些复杂的数学问题．尝试计算的个位数字是 ． 【答案】4 【分析】将原式利用平方差公式将偶数项化简为，末尾是2，4，8，6四个一组循环，由此求解即可． 【详解】解： ， ∵，，，，，…， ∴末尾是2，4，8，6四个一组循环， ∵， ∴的个位数是6， ∴的个位数是4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查平方差公式的应用，找规律；熟练掌握平方差公式，多个数相乘后数的个位循环特点是解题的关键． 20．（2022·江苏盐城·二模）用简便方法计算时，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方差公式进行简便运算． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】本题考查了用乘法公式简便运算，解题的关键是利用平方差公式对数字进行变形，凑出平方差公式的结构形式． 21．（21-22七年级下·浙江宁波·阶段练习）简便计算 (1) (2) 【答案】(1)4043 (2)39601 【分析】（1）利用平方差公式进行计算即可； （2）将转化为，利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： = = = （2） = = = = 【点睛】本题考查了平方差公式、完全平方公式的应用，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是解题的关键． 22．（2025七年级下·全国·专题练习）用简便方法计算下列各式： (1)； (2)； (3)……． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是平方差公式和完全平方公式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． （1）先将化为，再利用完全平方公式计算即可； （2）先提取公因数，再利用完全平方公式计算； （3）每个括号中都利用平方差公式计算，然后逐项相乘约分即可； 【详解】（1） 解：原式 ； （2） 解：原式 ； （3） 解：原式… ． 【考点题型七】通过对完全公式变形求值（） 23．（24-25七年级下·浙江温州·阶段练习）已知，，请你求出下列代数式的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，多项式乘多项式，代数式求值，掌握相关运算法则是解题关键． （1）利用完全平方公式求解即可； （2）结合（1）所得结果，利用完全平方公式求解即可； （3）根据多项式乘多项式展开计算求值即可． 【详解】（1）解：， ， ，， （2）解：由（1）可知，， 则； （3）解：． 24．（22-23八年级上·广东广州·期末）回答下列问题 (1)若，则________，________． (2)若，则________； (3)若，求的值． 【答案】(1)6；2 (2) (3) 【分析】（1）根据完全平方公式进行求解即可； （2）根据完全平方公式的变形可知据此求解即可； （3）先根据已知式子求出，同（2）求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：6；2； （2）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解；∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了分式的求值，熟知完全平方公式是解题的关键． 25．（24-25七年级下·江西南昌·阶段练习）已知，求下列各式的值． (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式的变形求值，正确求出的值是解题的关键． （1）把已给条件式两边同时除以x即可得到答案； （2）根据（1）所求结合完全平方公式得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：当时，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 26．（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）已知实数满足，． (1)_____，_____； (2)求 【答案】(1)9；1 (2)79 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． （1）利用完全平方公式将两等式展开，等号两边分别相加消去项，即可求出的值；相减消去，即可求出的值； （3）利用结合，求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴得：， ∴， ∴； ∴得： ∴； （2）解：∵， ∴ ． 【考点题型八】利用配方法求最值（） 27．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）阅读理解应用：想要比较与的大小关系，可以进行作差法，结果如下：若，则；若，则；若，则． (1)比较与的大小； (2)直接利用（1）的结论求的最小值； (3)已知请你运用前面介绍的方法比较代数式A与B的大小． 【答案】(1) (2)最小值为5 (3) 【分析】（1）直接利用作差法，再配方，然后利用非负性得出结论即可； （2）利用（1）中结论得出答案即可； （3）直接利用作差法，再配方，然后利用非负性得出结论即可． 【详解】（1）∵ ∴ （2）由（1）可知 则      即最小值为5 （3）∵A-B= = = = ∴． 【点睛】此题考查配方法的运用，非负数的性质，作差法是比较两个式子大小常用的方法，掌握完全平方公式是解题的关键． 28．（22-23八年级上·河南周口·期末）阅读材料：在求多项式的最小值时，小明的解法如下：，因为，所以，即的最小值为4．请仿照以上解法，解决以下问题： (1)求多项式的最小值； (2)猜想多项式有最大值还是最小值，并求出这个最值． 【答案】(1) (2)多项式有最大值，最大值为11，理由见解析 【分析】（1）仿照阅读材料，把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答； （2）利用完全平方式把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴的最小值为； （2）解：多项式有最大值，最大值为11，理由如下： ， ∵， ∴， ∴， ∴多项式有最大值，最大值为11． 【点睛】本题主要考查了完全平方式的应用，正确理解题意把给的多项式变形成一个完全平方式与一个数的和或差的形式是解题的关键． 29．（23-24八年级上·四川眉山·期中）利用完全平方公式和的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子： 例1、分解因式： 例2、求代数式的最小值： 又∵ ∴当时，代数式有最小值，最小值是． 仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题： (1)分解因式：； (2)代数式有最 （大、小）值，当x＝ 时，最值是 ； (3)当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值． 【答案】(1) (2)大，2，2 (3)当时，这个多项式有最小值，最小值为8 【分析】本题考查了因式分解、求最值，完全平方公式，平方差公式的运用． （1）利用完全平方公式计算因式分解可得； （2）利用完全平方公式可得代数式有最大值还是最小值，当x为何值时，最值等于多少；（3）利用完全平方公式，对多项式进行因式分解，再求出最小值是多少． 【详解】（1）解： （2）解： ∵， ∴有最大值，当时，有最大值2； （3）解： ∵ ∴当时，这个多项式有最小值，最小值为8． 【考点题型九】利用配方法比较大小（） 30．（22-23七年级下·浙江丽水·阶段练习）阅读理解： 在教材中，我们有学习到，又因为任何实数的平方都是非负数，所以，即．例如，比较整式和的大小关系，因为，所以．请类比以上的解题过程，解决下列问题： (1)比较整式和的大小关系，并请说明理由． (2)比较整式和的大小关系，并请说明理由． 【答案】(1)，理由见详解 (2)，理由见详解 【分析】（1）运用作差法，再根据材料提示方法比较即可求解； （2）运用作差法，配方法得到完全平方公式，再根据材料提示方法比较即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查运用乘法公式进行整式的运算，作差法比较整式的大小，任何实数的平方的非负形等知识的综合，掌握以上知识及运算法则是解题的关键． 31．（21-22七年级下·江苏泰州·期中）阅读与思考：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法． 例如：． (1)【解决问题】补全下列完全平方式： ①_________；②_______． (2)【变式训练】试说明无论x取何值，代数式是正数； (3)【深入研究】若，，比较M、N的大小； (4)【拓展应用】关于x、y的二元一次方程组和的解相同，求的值． 【答案】(1)①1；② 4y2 (2)见解析 (3)M≥N (4)2 【分析】（1）根据完全平方式的形式直接得出结果； （2）先将原式配成完全平方式即可； （3）将M、N分别配成完全平方式，再比较大小； （4）解方程组，用含m、n的代数式表示出x、y，再将x、y代入求出m、n的值，即可计算． 【详解】（1）解：①1　；② 　4y2　＋4y＋1. （2）x2﹣12x＋37 ＝ x2﹣12x＋36＋37﹣36   ＝（x﹣6）2＋1                       ∵（x﹣6）2≥0        ∴（x﹣6）2＋1＞0                     ∴无论x取何值，代数式x2﹣12x＋37是正数 （3）M﹣N＝（2x2＋4x＋5＋y2）﹣（x2＋6x＋4） ＝2x2＋4x＋5＋y2﹣x2﹣6x﹣4 ＝x2﹣2x＋1＋y2 ＝（x﹣1）2＋y2                  ∵（x﹣1）2≥0  y2≥0 ∴（x﹣1）2＋y2 ≥0                  ∴M≥N （4）解二元一次方程组 得         把代入中得 ①＋②得：2m2＋2mn＋n2＋4m＋4＝0 ∴m2＋2mn＋n2＋m2＋4m＋4＝0 ∴（m＋n）2＋（m＋2）2＝0                            ∴ ∴                             ∴m＋2n＝﹣2＋2×2＝2 ∴m＋2n的值为2 【点睛】本题考查完全平方式，解二元一次方程组，灵活运用完全平方式是解题的关键． 【考点题型十】整式的混合运算（） 32．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）下面是聪聪同学进行整式运算的过程，请你认真阅读并完成相应任务． 计算： 解：原式第一步 第二步 ．第三步 任务一：仔细检查聪聪同学的解题过程，回答下列问题． ①以上解题过程中，第一步需要依据________和________公式进行运算（用字母表示公式）． ②第________步开始出现错误． 任务二：请写出本题的正确解题过程． 【答案】任务一：①；；②一；任务二：见解析 【分析】本题主要查了整式的混合运算： 任务一：①根据完全平方公式和平方差公式解答即可；②第一步中的完全平方公式运用错误； 任务二：先根据完全平方公式和平方差公式计算，再合并同类项，即可求解． 【详解】解：任务一：①第一步需要依据和公式进行运算； 故答案为：； ②第一步开始出现错误； 故答案为：一． 任务二： 原式 ． 33．（2025·浙江衢州·一模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握完全平方公式和整式乘法运算法则，是解题的关键．先根据完全平方公式和单项式乘多项式进行化简，然后再代入数据进行求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 34．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查整式的化简求值，掌握整式的运算法则是解题的关键．根据完全平方公式和平方差公式及单项式乘以多项式运算法则先展开合并，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 【命题预测】 1．（20-21七年级下·浙江宁波·期中）计算下列各式，其结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据完全平方公式和平方差公式逐个判断即可． 【分析】解：A．，故本选项不符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，故本选项不符合题意； D．，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方公式和平方差公式，能熟记公式是解此题的关键，平方差公式和完全平方公式． 2．（22-23七年级下·江苏泰州·期中）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“完美数”，例如：因为，所以称24为“完美数”，下面4个数中为“完美数”的是（    ） A．2020 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】根据题意可设这两个连续奇数分别为和（n为正整数），即得这个“完美数”为，即为8的倍数，从而即可求解． 【详解】解：∵一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“完美数”， ∴可设这两个连续奇数分别为和（n为正整数）， ∴这个“完美数”为， ∴这个“完美数”为8的倍数． 观察各选项可知只有B．2024是8的倍数， ∴这4个数中2024是“完美数”． 故选B． 【点睛】本题考查整式混合运算的应用．理解“完美数”的定义是解题关键． 3．（2023·浙江杭州·二模）已知，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】首先利用平方差公式，求得，继而求得答案． 【详解】解：当时， ， 故选：A． 【点睛】此题考查了平方差公式的应用．注意利用平方差公式将原式变形是关键． 4．（22-23八年级上·河南新乡·期末）下列各式不能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方差公式，依次进行判断即可． 【详解】解：A. ， 能用平方差公式计算，故选项不符合题意； B. ， 不能用平方差公式计算，故选项符合题意； C. ， 能用平方差公式计算，故选项不符合题意； D.， 能用平方差公式计算，故选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式，熟练掌握这些公式是解题的关键． 5．（22-23七年级下·浙江温州·期中）观察：， ， ， ， 据此规律，求的个位数字是（  ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】根据题目规律解答即可． 【详解】根据题意可得规律：， ∴， ∵的个位数字是； 的个位数字是； 的个位数字是； 的个位数字是； 的个位数字是； 的个位数字是； 而 ∴的个位数字是； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平方差公式，根据材料找出规律是解答本题的关键． 6．（23-24九年级上·江苏南通·期末）已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查完全平方公式的变形运用，掌握完全平方公式的变形运用是解题的关键． 将转化为，设，则， 代入得，整理得，由根的判别式，解得或，从而求出的最小值． 【详解】解： ， ∵， 原式 设，则， ∴ 整理，得， 当，解得或，方程有解， 当时，原式， 当时，原式， 的最小值是0 故选：C． 7．（22-23七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据即可求得答案． 【详解】 所以，． 故选：C． 【点睛】本题主要考查完全平方公式和平方根，解题的关键在于牢记完全平方公式之间的关系：． 8．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）已知，则的值为 ． 【答案】3 【分析】先求出，再把代入得到，由此求出a、c的值，进而求出b的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，正确推出是解题的关键． 9．（21-22七年级下·浙江金华·期末）对于任何实数，我们都规定符号的意义是，按照这个规定请你计算：当时，的值为 ． 【答案】3 【分析】根据规定符号的意义可得3x（x-2）-（x+1）（x-1），然后先去括号，再合并同类项，最后把x2-3x=1代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： 原式=3x（x-2）-（x+1）（x-1） =3x2-6x-x2+1 =2x2-6x+1， 当x2-3x=1时， 原式=2（x2-3x）+1 =2×1+1 =3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，实数的运算，理解规定符号的意义是解题的关键． 10．（2023七年级下·江苏·专题练习）已知，则 ， ． 【答案】 2 0 【分析】已知，两边分别平方可求得，再进行求解即可得出答案． 【详解】解：∵，两边平方得：，即：， ∴对其两边进行平方得：：，即：，， ∵， ∵， ∴， 故． 故答案为：2，0． 【点睛】本题考查了完全平方公式和平方差公式的应用，难度适中，关键是熟练灵活运用完全平方公式进行解题． 11．（23-24七年级下·浙江·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，平方差公式，单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法运算法则计算即可； （2）先根据平方差公式、单项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（23-24八年级上·吉林长春·期中）用简便算法计算 (1) (2) 【答案】(1)1 (2)90000 【分析】（1）将变形为，运用平方差公式计算，即可求解； （2）将变形为，则原式可逆用完全平方公式计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 【点睛】题词考查利用平方差与完全平方公式进行简便计算，熟练掌握平方差与完全平方公式是解题的关键． 13．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等． 例如：分解因式：； 又例如：求代数式的最小值：∵， 又∵； ∴当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：_______． (2)已知实数，满足，求的值； (3)当______、______时，多项式的最大值______． 【答案】(1) (2)16 (3)，，9 【分析】（1）根据阅读材料，先将配方后，再利用平方差公式分解即可； （2）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质求出a，b的值，代入计算即可； （3）把所给的多项式配方后根据非负数的性质进行解答． 【详解】（1）解： ； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴； （3） ，； ， 当，时， 即，时，取得最大值为9． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，平方差公式，非负数的性质，解题时要注意配方的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$