专题03 整式的乘除（期中复习知识清单，21题型）七年级数学下学期新教材浙教版

专题03 整式的乘除 幂的运算（★★★★★） 1. 同底数幂相乘：底数不变，指数相加；（，、为整数）。 2. 幂的乘方：底数不变，指数相乘；。 3. 积的乘方：等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；（为正整数）。 4. 同底数幂相除：底数不变，指数相减；（，、为正整数，且）。 5. 零指数幂：任何不等于零的数的零次幂都等于1；（）。 6. 负整数指数幂：任何不等于零的数的等于这个数的次幂的倒数； （，为正整数） 整式乘法（★★★★） 1. 单项式×单项式：把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。 2. 单项式×多项式：用单项式与乘多项式的每一项，再把所得的积相加； 3. 多项式×多项式：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加； 乘法公式（★★★★★） 1. 平方差公式：两数和与这两数差的积等于这两数的平方差；。 2. 两数和的完全平方公式：两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍； 。 3. 两数差的完全平方公式：两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍； 。 整式除法（★★★） 1. 单项式÷单项式：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 2. 多项式÷单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加； 整式的化简（★★★★★） 1. 步骤 ①观察结构：判断是否适用平方差或完全平方公式，优先用公式简化； ②按序运算：有括号先去括号（注意符号），再乘方、乘除，最后加减（合并同类项）； ③结果需要最简：无同类项、无括号、按降幂排列。 同底数幂乘法及其逆用 【例1】（2026·河南洛阳·一模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】原式是8个相加，可得，可化为，再利用同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：． 【变式1】（2026·江苏无锡·模拟预测）已知，，则的值为（   ） A．0 B．1 C．3 D．8 【答案】C 【分析】根据同底数幂相乘法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·安徽淮北·月考）已知，则________． 【答案】81 【分析】由得到，再利用同底数幂的乘方运算法则将变形为，再代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ． 【变式3】（25-26七年级下·河北张家口·月考）已知，那么关于之间满足的等量关系是__________． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法法则，将拆分为，代入已知幂的形式，对比指数即可得到等量关系． 【详解】解：， ， 可得， 根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加， 得， 【例2】（25-26七年级下·江苏泰州·月考）如果，，则（   ） A．75 B．20 C．10 D．3 【答案】A 【分析】根据同底数幂乘法法则的逆用，将所求式子变形后代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·江西赣州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆运算，逆用同底数幂的乘法法则，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选：C． 【变式2】（25-26六年级下·全国·课后作业）已知满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法的计算应用，熟练使用其性质是解题的关键． 根据同底数幂的乘法，可化成同类项，根据合并同类项，可得答案． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， ∴， 解得． 幂的乘方及其逆用 【例1】（25-26八年级下·河北张家口·月考）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据乘法的意义化简括号内a个a相加的和，再利用幂的乘方法则计算最终结果． 【详解】解：原式． 【变式1】（25-26八年级上·山东德州·期末）若，则___． 【答案】 32 【分析】本题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法法则，将转化为，然后利用同底数幂相乘的法则计算，再根据已知条件代入求值． 【详解】解：由，得， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：32． 【变式2】（25-26八年级上·福建福州·月考）计算： __________． 【答案】 【分析】先依据积的乘方法则计算，再运用同底数幂的乘法法则计算乘法运算，最后合并同类项得出结果． 【详解】解：原式 【例2】（25-26八年级上·黑龙江黑河·月考）若，则，的大小关系是(   ) A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用．通过将指数化为相同的幂次，比较底数大小，即可求解． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴， 即 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·云南昆明·期末）若，则的值为（    ） A．6 B．12 C．18 D．36 【答案】A 【分析】本题考查幂的运算性质，关键是逆用幂的乘方和同底数幂的乘法法则，将所求式子转化为已知条件的形式． 【详解】解：∵，且， ∴． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·安徽黄山·期末）已知，．若用只含有的代数式表示，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的运算，涉及幂的乘方运算和逆运算，由可得 ，再将变形为，代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 积的乘方及其逆用 【例1】（2026·广东珠海·一模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 【变式1】（2026·安徽·一模）下列各式中，计算结果等于的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查积的乘方与幂的乘方的运算，需根据相关运算法则分别计算各选项，再与对比得出答案． 【详解】解：∵积的乘方法则为，幂的乘方法则为， ∴对各选项计算如下： A选项：，符合要求； B选项：； C选项：； D选项：； ∴只有A选项计算结果等于． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·广东珠海·月考）已知，则_____ ． 【答案】6 【分析】本题考查幂的运算，利用积的乘方法则将 展开为 ，再代入已知条件计算． 【详解】解： = = ． ∵，， ∴ ． 故答案为： 6 【变式3】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如果，，那么______．（用含、的式子表示） 【答案】/ 【分析】本题考查积的乘方，掌握好幂运算的法则是关键． 利用积的乘方法则，将转化为，再代入已知条件即可． 【详解】解：由积的乘方法则可得，． 故答案为：． 【例2】（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）计算等于（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据积的乘方法则的逆用即可计算． 【详解】解：． 【变式1】（25-26六年级下·全国·课后作业）若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查积的乘方的逆运算，关键是熟练应用运算法则进行计算；将转化为，再利用积的乘方公式变形，代入已知条件即可求解． 【详解】∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·河南三门峡·期末）计算：_____． 【答案】1 【分析】本题考查了积的乘方逆运算，根据积的乘方法则将原式化为，然后计算乘法，再计算乘方． 【详解】解： ， 故答案为：． 幂的运算及辨析 【例1】（25-26八年级上·重庆·月考）计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法法则以及有理数的乘方运算，熟练掌握同底数幂相乘，底数不变、指数相加的法则，以及统一底数的技巧是解题的关键． （1）直接运用同底数幂的乘法法则，将指数相加进行合并化简； （2）先把底数统一，再运用同底数幂的乘法法则计算指数和，最后得出结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】（25-26八年级上·天津·月考）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了整式的运算，熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方运算法则，是解题的关键． （1）根据同底数幂乘法法则计算即可； （2）根据幂的乘方运算法则计算即可； （3）根据积的乘方运算法则计算即可； （4）先根据幂的运算法则计算，再合并即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）计算下列各式，并用幂的形式表示结果． (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的乘方运算，根据幂的乘方运算法则：底数不变，指数相乘，逐个计算即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【变式3】（25-26八年级上·广西崇左·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 【例2】（25-26九年级下·湖北武汉·月考）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用合并同类项、积的乘方、单项式乘单项式的法则逐一判断即可得到正确选项． 【详解】解：选项A：和不是同类项，不能合并，故A错误； 选项B：，故B错误； 选项C：，故C错误； 选项D： ，故D正确． 【变式1】（25-26九年级下·安徽滁州·月考）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，幂的乘方运算法则，逐一验证选项即可得到结果. 【详解】解：对于选项A：， ∴A错误， 对于选项B：， ∴B错误， 对于选项C：， ∴C正确， 对于选项D：， ∴D错误. 【变式2】（2026·湖南永州·一模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项正确，符合题意； C、和不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列对幂的变形，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘法逆运算法则，需根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”逐一验证选项的变形是否正确． 【详解】解：A、，则，变形正确，不符合题意； B、，则，变形不正确，符合题意； C、，则，变形正确，不符合题意； D、，，变形正确，不符合题意； 故选：B． 单项式的乘法 【例1】（2026·陕西宝鸡·一模）计算的结果为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 【变式1】（25-26八年级上·四川乐山·期末）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查单项式的乘法运算，解题的关键是掌握单项式乘法法则． 根据单项式乘法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·山东滨州·月考）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的运算法则解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【例2】（25-26九年级上·甘肃张掖·期中）计算： （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，通过分配律展开表达式，然后合并同类项即可简化． 【详解】解： 故选D 【变式1】（25-26七年级上·山东济南·期末）计算：__________． 【答案】 【详解】解：. 【变式2】（25-26七年级下·全国·周测）计算：____________． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，单项式乘多项式，正确计算是解题的关键． 先计算积的乘方，然后利用单项式乘多项式法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为． 【例3】（2026·辽宁抚顺·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】需根据同类项定义，单项式乘多项式，单项式乘单项式，幂的乘方的运算法则逐一判断选项． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，∴A错误； B、，∴B错误； C、，∴C错误； D、根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，可得， ∴D正确． 【变式1】（25-26七年级下·江苏苏州·月考）下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、根据合并同类项法则，合并同类项后所得项的系数是合并前各同类项系数的和，字母连同它的指数不变， 则，∴原运算错误，不符合题意； B、根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加， 则，∴原运算错误，不符合题意； C、根据幂的乘方法则，幂的乘方，底数不变，指数相乘， 则，∴原运算正确，符合题意； D、根据单项式乘多项式法则，单项式乘多项式就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加， 则，∴原运算错误，不符合题意． 【变式2】（25-26八年级上·云南昆明·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，积的乘方，幂的乘方，单项式乘以单项式，单项式乘以多项式的法则进行计算即可． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选B． 多项式的乘法 【例1】（25-26七年级上·上海·月考）计算：______． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键；根据多项式乘法的运算法则，将两个多项式的每一项分别相乘，再合并同类项即可． 【详解】解：； 故答案为． 【变式1】（2025·上海·模拟预测）计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键； 先利用法则去括号，再合并同类项即可． 【详解】， ， ， ， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）已知，则的值等于___________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，代数式求值，利用多项式乘以多项式的运算法则把代数式展开，再把已知代入计算即可求解，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·上海·期中）已知，则________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式法则，能正确根据法则展开是解题的关键； 通过展开左边多项式，与右边多项式比较系数，求出和的值，再计算它们的和． 【详解】∵左边， 右边， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【例2】（2026七年级下·北京·专题练习）下列计算错误的是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，关键是熟练掌握多项式乘多项式的法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 【详解】解：，与选项A结果一致，故计算正确； ，而选项B给出的结果为，两者不相等，故计算错误； ，与选项C结果一致，故计算正确； ，与选项D结果一致，故计算正确； 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·福建厦门·期末）已知，则的值为(　　)． A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】∵， 又∵， ∴， ∴，， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·河南周口·期末）若则m+n的值为（　 ） A． B．1 C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘以多项式，直接运用多项式乘法法则展开，通过系数对比求解出m和n的值，再计算它们的和即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴，， ∴， 故选：C． 【变式3】（25-26八年级上·北京·期中）小明在计算时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小亮告诉他结果中的一次项系数为，则被染黑的常数为______． 【答案】7 【分析】本题考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题关键． 设，根据多项式乘以多项式的运算法则将原式展开，使得一次项系数等于列方程求解即可． 【详解】设，则 ， 结果中的一次项系数为 ， 由题意得 ， 解得． 故答案为 7． 单项式与多项式乘法的应用 【例1】（25-26八年级上·山西朔州·期末）如图，小华同学用四个边长为的正方形、两个长和宽分别为和的长方形可以拼成图，也可以拼成图，则下列关系式中，能利用图和图验证的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘以多项式与图形的面积问题，分别求出两图形的面积，根据面积相等列等式即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，图的面积为：； 图的面积为：； 即， 故选：． 【变式1】（25-26八年级上·天津北辰·月考）一个长方形的长，宽分别是和，这个长方形的面积是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，掌握单项式乘多项式的定义是关键．根据长方形的面积等于长乘以宽列式计算即可． 【详解】∵长方形的面积=长×宽， ∴面积， ， ． 故选D． 【变式2】（25-26九年级下·山西太原·月考）近年来，我国逐步实施推广，用户通过预充值量子密钥的安全卡，即可在普通手机实现加密通话．已知原来单次量子安全通话服务的利润为元，技术升级后，现单次的利润比原来的4倍少10元，那么现在提供次量子安全通话服务的总利润为__________元．（用含、的代数式表示） 【答案】 【分析】先根据题干描述表示出现在单次量子安全通话的利润，再根据总利润等于单次利润乘以通话次数，列出代数式即可． 【详解】解：由题意得，原来单次通话利润为元， 现在单次通话利润为元， 因为总利润单次利润通话次数， 所以次通话的总利润为元． 【例2】（25-26八年级上·福建泉州·期末）下面四个整式中，不能表示图中几何图形的面积的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘法与几何图形面积，利用长方形面积公式以及割补法分别表示图中几何图形面积即可． 【详解】解：A、如图，①中，， ∴图中几何图形的面积的是，故A不符合题意； B、图中几何图形的面积无法用表示，故B符合题意； C、由于图中几何图形的面积4个长方形的面积和，即，故C不符合题意； D、图中右侧两个长方形可以拼接成一个长为，宽为的长方形，故图中几何图形的面积的是，故D不符合题意； 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，设，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是多项式乘多项式与图形面积、分式约分化简，解题关键结合判断约分后分式的取值范围． 先分别表示出甲图及乙图中的阴影部分面积，再利用分式约分可得的值，由确定的取值范围，进而得解． 【详解】解：由题意得，甲图中阴影部分面积， 乙图中阴影部分面积， ， ， 又， ， 即， ， ， ， ， 即， ， ， 只有在的可能取值范围内． 故选：． 【变式2】（25-26八年级上·陕西榆林·期末）图①中有3种卡片，其中两种是边长分别为a和b的正方形，一种是长为a、宽为b的长方形，若要用若干张图①中的卡片拼成一个图②中的大长方形，则需要这3种卡片共______张． 【答案】10 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果即可得到答案． 【详解】解： ， ∴要拼出一个长为，宽为 的大长方形需要这3种卡片共张， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·重庆·期中）如图，向阳小区内有一块长为，宽为的长方形空地，小区管理者计划在中间留一块长为2x，宽为的长方形地块修建一个花坛，然后将剩余部分进行绿化，则绿化部分的面积是___________（用含x，y的代数式表示） 【答案】 【分析】此题考查了多项式乘多项式；根据大长方形的面积减去小长方形的面积列出代数式，利用多项式乘多项式法则，及去括号合并同类项即可得出结果． 【详解】解：由题意可得： ． 故答案为：． 单项式乘法的求参问题 【例1】（25-26七年级下·江苏徐州·月考）若，则、的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用单项式乘单项式的运算法则和同底数幂的乘法法则化简左边后，对比等式两边相同字母的指数，据此列一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴，解得． 【变式1】（25-26七年级下·全国·周测）若，则（    ） A．6 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式乘多项式，正确计算是解题的关键． 利用单项式乘多项式法则展开左边表达式，比较同类项系数求即可. 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ . 故选：C. 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）要使成立，则__________，__________． 【答案】 2 【分析】此题考查了单项式乘多项式，涉及的知识有：去括号法则，合并同类项法则，以及多项式相等的条件，熟练掌握法则是解本题的关键． 将等式左边展开并整理后，比较两边多项式的对应系数 【详解】解：左边表达式展开： = =， 与右边 比较，得系数方程：一次项系数 ，常数项 ， 解得 , ． 故答案为：，． 【变式3】（25-26八年级上·四川巴中·月考）如果与相乘的结果是，那么__，__，___． 【答案】 3 4 32 【分析】本题考查单项式乘单项式，熟练掌握法则是解答此题的关键． 根据单项式乘以单项式法则即可求出m、n的值，进而即可求出的值． 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∴， 解得， ∴ ， 故答案为：3；4；32． 多项式乘法中不含某项求参问题 【例1】（25-26七年级下·广西桂林·月考）若的展开式中不含项，则（   ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】先根据单项式乘多项式法则展开，再合并同类项，根据展开式中不含项可知，项的系数为0，即可得解． 【详解】解： 展开式中不含项， ， 解得：． 【变式1】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）若的结果中不含x的一次项，则m的值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，需先展开式子，根据结果不含x的一次项即一次项系数为0，建立方程求解m的值． 【详解】解：∵ 又∵结果中不含x的一次项 ∴ 解得 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·吉林长春·期中）若的展开式中不含常数项，则m的值为______． 【答案】0 【分析】本题考查多项式乘以多项式不含某一项的问题，将多项式展开后，令常数项为零，求解m的值． 【详解】解：， ∵展开式不含常数项， ∴，解得； 故答案为：0． 【变式3】（25-26八年级上·四川巴中·月考）若展开后不含项，求a、m的值． 【答案】， 【分析】本题考查了多项式乘多项式，已知多项式乘积不含某项求字母的值，先理解题意，则，结合展开后不含项，得，解得a、m的值，即可作答． 【详解】解： ， ∵原式不含项， ∴， ∴， 则， ∴． 多项式乘法中的规律性问题 【例1】（25-26七年级下·福建漳州·月考）我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（   ） A．15 B．10 C．9 D．6 【答案】A 【分析】利用“杨辉三角”将展开，据此解答即可． 【详解】解：杨辉三角的规律是：每行两端的数为1，中间的数为上一行相邻两数之和． 的系数行：1，5，10，10，5，1； 的系数行：1，6，15，20，15，6，1； 即 则的展开式中，含项的系数是15． 【变式1】（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）【文化欣赏】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开的系数规律如图所示，其中“五乘”对应的展开式： 【应用体验】已知，则m的值为___． 【答案】 【分析】根据公式，令，代入公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 令， 得 ， ， ， ∴m的值是． 【变式2】（25-26八年级上·河南南阳·月考）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做从特殊到一般。如下所示： 【观察】①； ②； ③； …… 【归纳】（1）观察以上各等式并猜想： ①______； ②______； 【应用】（2）请运用上面的结论，解决下列问题： 计算． 【答案】（1）①②（2） 【分析】本题考查了数字规律，多项式乘法中的规律性问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①认真研究题干过程，即可作答； ②认真研究题干过程，即可作答； （2）结合，则，即可作答． 【详解】解：（1）观察以上各等式可得， ①； ②； （2）结合（1）中的， 则 ， ∴． 【变式3】（2026·安徽蚌埠·一模）新考法 项目式学习探究在数学活动课上，某兴趣小组将轴对称与有理数乘法结合起来，得到如下等式： ， ， ， ， ， … 请你根据上述等式的规律，完成下列任务： (1)填空： （i） ； （ii） (2)有同学利用代数知识证明上述等式中的规律，在证明的过程中，发现等式两边的结果为11的倍数，这名同学的证明过程如下： 设等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且， 则等式左边的式子可表示为，等式右边的式子可表示为 左边， 右边， ∴左边右边[ ]，为11的倍数． 阅读以上内容，并写出证明过程中横线上所缺的内容． 【答案】(1)（i）792，297；（ii）23，32 (2) 【分析】（1）观察题中等式即可发现规律； （2）根据整式的运算法则即可求解． 【详解】（1）解：根据题中等式的规律可得，（i）； （ii）； （2）解：对左边式子提取公因式11： ， 对右边式子提取公因式11： ， ∴横线上填：． 乘法公式 【例1】（25-26七年级下·重庆·开学考试）下列多项式乘法，不能用平方差公式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平方差公式要求两个二项式相乘，且两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，满足该条件才能用平方差公式计算，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算； B、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算； C、，两项都互为相反数，没有相同项，不符合平方差公式的使用条件，不能用平方差公式计算； D、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算． 【变式1】（25-26七年级下·山东枣庄·月考）若，则的值为__________． 【答案】 【分析】利用平方差公式化简等式左边，再通过乘方定义求解的值即可． 【详解】解： ， ∵ ∴． 【变式2】（24-25七年级下·吉林长春·月考）已知，则______． 【答案】1 【分析】根据幂的乘方与积的乘方运算法则、平方差公式计算即可． 【详解】解： ， ∵，即， ∴原式 【变式3】（25-26八年级上·湖北孝感·期末）已知，，则的值为_________________． 【答案】3 【分析】此处考查了因式分解的应用．利用平方差公式，将已知条件代入求解． 【详解】解：由平方差公式，得 ， 代入已知和， 得， 解得， 故答案为：3． 【例2】（25-26八年级上·四川眉山·期中）已知，求_______． 【答案】 【分析】本题考查根据完全平方公式求值，设，，则已知条件为，，再利用完全平方公式整体代入求解． 【详解】解：设，，则， ， ∵， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·河南开封·期中）若，则________． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式． 通过展开完全平方公式，比较等式两边对应项的系数，建立方程求解． 【详解】解：左边展开：=， 与右边比较得： ，解得， ，代入，得， 因此． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·江西赣州·月考）化简______． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式．应用完全平方公式和平方差公式展开表达式，再合并同类项，即可作答． 【详解】解： ． 故答案为： 【变式3】（25-26七年级下·四川巴中·月考）下列乘法公式的运用中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】熟练掌握两个公式的结构特征，逐项计算判断即可得到正确结果． 【详解】解：A、，错误． B、，错误． C、，正确． D、，错误． 乘法公式的应用 【例1】（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）数形结合是初中数学重要的思想方法，图①到图②的变化过程描述了一个重要的数学公式，这个公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两个图形的面积相等，列出等式即可． 【详解】解：图①中长方形的面积为：， 图②中相应图形的面积为：， 因此可以得出相应的公式：． 【变式1】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，把一个平行四边形纸板，分割成四个大小和形状完全相同的四边形，如图1；拼成一个边长为的大正方形，其正中央正好是一个边长为的小正方形空缺，如图2．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（   ） A．； B．； C．； D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式的几何验证，解题的关键是通过计算两个图形中阴影部分的面积，利用面积相等验证等式． 【详解】解：计算图1中拼成的平行四边形面积，其长为，高为，面积为； 计算图2中阴影部分面积，为大正方形面积减去小正方形面积，即， 由于阴影部分面积不变，故可验证等式． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·湖南常德·期末）如图，在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为3的小正方形，剩余阴影部分剪拼成一个无缝的长方形，若长方形的一条边长为，则它的一条邻边长是___________． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形，列代数式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先用x表示出剩余阴影部分的面积，再分解因式，然后根据长方形的一条边长为，得出它的一条邻边长． 【详解】解：在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为3的小正方形，剩余阴影部分的面积为， 因为长方形的一条边长为， 所以它的一条邻边长是， 故答案为：． 【例2】（25-26八年级上·四川泸州·期末）如图，有甲、乙、丙三种正方形和长方形纸片，用4张甲种纸片，1张乙种纸片和4张丙种纸片恰好拼成无重叠、无缝隙一个大正方形，则拼成的大正方形的边长为______． 【答案】/ 【分析】根据完全平方公式的特征进行计算，即可解答． 【详解】解：用4张甲种纸片、1张乙种纸片和4张丙种纸片恰好拼成无重叠、无缝隙一个大正方形， 这个大正方形的面积， 拼成的大正方形的边长为：． 【变式1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）现有边长分别是和的两个正方形，将B放在A的内部如图甲所示；将并列放置后构造新的正方形如图乙所示．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则的值为___________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是根据图形得出数量关系．根据正方形和的边长为和可得，，由完全平方公式变形即可得出答案． 【详解】解：正方形和的边长分别为和， 图甲阴影部分面积为：，图乙阴影部分面积为：， ． 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级下·山东枣庄·月考）如图将4个长、宽分别均为a，b的长方形，摆成了一个大的正方形，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形先求出拼接后大正方形的边长和小正方形的边长，再由阴影部分的面积关系建立等式即可； 【详解】解：由图可知，拼接后大正方形的边长为，小正方形的边长为， 阴影部分的面积， 阴影部分的面积是4个小长方形的面积和， 阴影部分的面积， ． 求完全平方公式中的字母系数 【例1】（25-26七年级下·四川成都·月考）若是一个完全平方式的展开式，则的值为（   ）． A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式的结构特征，将给定二次三项式与完全平方公式进行对比，对应系数即可求出的值． 【详解】解：∵完全平方公式为 ， 又∵，且原式是完全平方式的展开式， ∴，等式两边同时除以得， ∴ ． 【变式1】（25-26八年级上·湖北孝感·期末）如果关于的二次三项式是一个完全平方式，那么常数的值是（   ） A．或13 B．或12 C．13 D． 【答案】A 【分析】本题考查完全平方式的概念． 通过比较给定二次三项式与完全平方公式的形式，确定常数的值即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， 即， ∴或． 故选：A． 【变式2】（25-26七年级下·江苏常州·月考）若，m、n均为常数，则________． 【答案】3 【分析】利用完全平方公式展开左边后，对比系数即可得到和的值，进而求出． 【详解】解：，、为常数， ， 对比多项式对应项系数可得，，， ． 【变式3】（25-26七年级下·山东枣庄·月考）若是一个完全平方式，那么的值为___． 【答案】 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， 解得． 同底数幂的除法及其逆用 【例1】（25-26八年级上·广东湛江·期末）计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的除法，先计算幂的乘方，再计算同底数幂的除法即可得出结果． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级下·山东青岛·开学考试）已知，则______． 【答案】 【详解】解：， ， ． 【变式2】（25-26七年级下·陕西西安·月考）若，则____________． 【答案】64 【分析】先由已知等式得到的值，再利用同底数幂的除法法则化简所求式子，代入计算即可得到结果． 【详解】解： ， ， ． 【变式3】（25-26六年级下·全国·课后作业）若，则与之间的关系是___________． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则和除法法则．利用同底数幂的乘法法则和除法法则，将等式两边化为同底数幂的形式，再根据底数相同指数相等的原则，得到关于m和n的方程，进而求解关系． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 【例2】（25-26七年级下·江苏苏州·月考）已知，，则______． 【答案】4 【分析】根据计算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·广东揭阳·月考）若，则__________． 【答案】 【分析】先整理，再把代入计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·四川广安·期末）若，，，均为正整数，则_____．（用含，的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了同底数幂相乘，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用指数运算法则，将 分解为，再代入已知条件求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 零指数幂与负整数指数幂 【例1】（25-26八年级上·河南许昌·期末）计算：________． 【答案】 【分析】本题考查零指数幂与负整数指数幂的运算，根据零指数幂与负整数指数幂的运算性质进行计算求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·天津南开·期末）已知，化简，其结果为______． 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，零指数幂和负整数指数幂的运算，熟练掌握幂的混合运算，零指数幂和负整数指数幂的运算是关键．先用积的乘方公式计算，然后用幂的乘方公式计算，再根据同底数幂的乘法法则计算，结合零指数幂的计算，即可得到答案． 【详解】解： ． 【变式2】（25-26八年级上·天津河东·期末）已知无意义，且，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂，完全平方公式的变形求值． 由零指数幂无意义，得，再根据完全平方公式求值． 【详解】解：无意义， ， 即， ． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·广东江门·月考）成立的的值为____________． 【答案】2025 【分析】该题考查了零指数幂，根据指数方程的性质，当底数不为0且不等于时，幂为1当且仅当指数为0． 【详解】解：因为底数是无理数与有理数的和，且， 所以，且，， 因此，当方程成立时，当且仅当指数， 解得：． 故答案为：2025． 【例2】（25-26七年级下·山东青岛·月考）将，，这三个数按从小到大的顺序排列，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则，先计算出三个数的具体值，再比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·广东云浮·期末）若，，，，则它们的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了负整数指数幂、零指数幂、有理数乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 分别计算出a、b、c、d的具体数值，再比较数值大小即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 又∵， ∴． 故选：B． 【变式2】（25-26七年级下·江苏苏州·月考）已知，，则的大小关系是______．（用“＜”连接） 【答案】 【分析】先根据乘方的定义，负整数指数幂的运算法则，零指数幂的性质分别计算出a，b，c的值，再比较有理数的大小即可得到结果． 【详解】解：，，， ∵， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，，，则以上四个数中，最大数减最小数的值为______． 【答案】9 【分析】本题主要考查了乘方运算，零指数幂，负整数指数幂的运算，有理数比较大小，有理数的运算，熟练掌握相应运算法则是解题的关键． 分别计算a、b、c、d的值，比较大小后求差即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴最大数减最小数的值为． 故答案为：9． 整式的除法 【例1】（25-26七年级下·陕西西安·月考）计算：______； 【答案】 【分析】先根据积的乘方法则计算乘方，再根据单项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【变式1】（25-26七年级下·河北保定·月考）若，则括号内“”所表示的代数式为__________． 【答案】 【分析】根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解∶∵， ∴ ． 【变式2】（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）人类使用密码的历史悠久，利用下图的数学问题可以生成密码，则密码M是______． 数学问题与密码 密码M 【答案】2026 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式．根据单项式除以单项式法则计算即可． 【详解】∵， ∴． 故答案为：2026 【例2】（25-26八年级上·河南安阳·期末）计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式除以单项式的法则，根据多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式，然后相加． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·四川宜宾·期末）化简的结果是______． 【答案】/ 【分析】本题考查多项式除以单项式，掌握好整式除法的法则是关键． 按照多项式除以单项式的法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·上海奉贤·期末）已知长方形面积为，它的一边长为，则这个长方形另外一边长为_______． 【答案】 【详解】解：∵ 长方形的面积为，一边长为， ∴ 它的另一边长为：． 【变式3】（25-26八年级上·陕西延安·月考）如图，美美不小心在课后作业的第1题滴了一点墨水，留下一道残缺不全的题目，则被墨水覆盖的部分为_____． 课后作业 1．计算： 2…… 【答案】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，多项式乘以单项式．根据整式的除法，被除式等于商乘以除式，由此可求出被墨水覆盖的部分． 【详解】解：被覆盖部分为， 故答案为：． 用科学记数法表示数 【例1】（2026·河北沧州·模拟预测）某种计算机每秒可进行次运算，它工作分钟可以完成的运算次数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将工作时间的单位由分钟换算为秒，再计算总运算次数，最后转化为科学记数法即可． 【详解】解：∵ 分钟秒， ∴ 工作分钟的总时间为秒， 则计算总运算次数． 【变式1】（2026·河南商丘·一模）某种新型流感病毒的直径约为米，该直径用科学记数法表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，据此求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示为米． 【变式2】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）近似数精确到了_____________位； 【答案】万分 【分析】本题主要考查了科学记数法和精确度，将科学记数法表示的数还原为原数，根据最后一个有效数字的位置可确定精确度． 【详解】解：，最后一个有效数字7位于小数点后第四位，即万分位， 故精确到了万分位， 故答案为：万分． 【变式3】（25-26八年级上·上海·月考）的小数点与左起第一个非零数字之间有______个0． 【答案】5 【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，将科学记数法表示的较小的数还原，即可得出答案． 【详解】解：， ∴的小数点与左起第一个非零数字之间有5个0． 故答案为：5． 【变式4】（2025七年级下·全国·专题练习）（1）某种植物花粉的直径约为，用小数表示为______m； （2）某种生物孢子的直径约为，用科学记数法表示为______m． 【答案】 【分析】本题主要考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． （1）根据科学记数法表示方法将小数点向左移动5个单位即可． （2）根据科学记数法表示方法解答即可． 【详解】解：（1）用小数表示为． 故答案为：． （2）用科学记数法表示为． 故答案为：． 整式的混合运算 【例1】（24-25九年级下·山东枣庄·月考）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的乘除法，多项式乘多项式，负整数指数幂，根据运算法则进行逐项计算，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项计算错误； B、，故该选项计算错误； C、，故该选项计算正确； D、，故该选项计算错误； 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·河南平顶山·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键； 根据整式的运算法则依次计算判断即可求解； 【详解】A、，原式计算错误； B、，原式计算错误； C、，计算正确； D、，原式计算错误； 故选：C 【例2】（25-26八年级上·广西南宁·月考）计算： (1)； (2). 【答案】(1)15 (2) 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，整式的混合运算， 对于（1），根据，再计算； 对于（2），先根据整式的乘除法计算，再根据整式的加减法计算． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． 【变式1】（25-26八年级上·重庆北碚·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，涉及幂的乘方、同底数幂的除法、多项式乘多项式和平方差公式等，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先根据积的乘方运算法则计算，再根据同底数幂的除法运算法则计算，最后合并同类项； （2）先根据多项式乘多项式的运算法则和平方差公式，分别计算和，再去括号，最后合并同类项． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2】（25-26七年级下·四川巴中·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂展开计算，即可求解； （2）根据积的乘方，单项式乘单项式，多项式除以单项式，整式的加减运算展开计算，即可求解； （3）根据完全平方公式，多项式乘多项式，整式的加减运算展开计算，即可求解； （4）根据平方差公式和完全平方公式，展开计算即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ． （3）解：， ， ， ． （4）解：， ， ， ， ． 【变式3】（25-26七年级下·山东青岛·月考）计算： (1)； (2) (3)； (4)． (5)； (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）根据，再计算即可； （2）根据单项式的乘除法法则计算即可； （3）根据多项式除以单项式解答即可； （4）先将原式整理为，再根据平方差公式计算； （5）先将原式整理为，再根据平方差公式计算，然后根据完全平方公式计算； （6）先逆用积的乘方法则，再根据平方差公式计算和完全平方公式整理即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； （5）解：原式； （6）解：原式． 整式的化简求值 【例1】（25-26七年级下·广东清远·月考）先化简，再求值：其中 【答案】，0 【详解】解：原式 ； 当时，则原式． 【变式1】（24-25七年级下·山东聊城·月考）先化简，再求值． (1)，其中； (2)，其中， 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答； （2）先利用完全平方公式，平方差公式计算括号里，再算括号外，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当，时，原式． 【变式2】（25-26八年级上·山西长治·期末）先化简，再求值：，其中a，b满足 【答案】； 【分析】本题考查整式的运算及绝对值和偶次方的非负性，根据整式的运算法则及绝对值和偶次方的非负性即可求出答案． 【详解】解： ， ， ，， 解得：，， 当，时，原式 整式乘除的新定义问题 【例1】（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）我们知道：，现定义一种新运算：；比如，则，若，那么的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字类规律探索、同底数幂的乘法等知识，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先根据新运算的定义可得、、的值，再归纳类推出（其中为正整数），由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ， ， 归纳类推得：（其中为正整数）， ∴， ∴， 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·云南玉溪·期中）定义一种新运算：．例如：，则的结果是______． 【答案】 【分析】根据新运算的定义，将和代入公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ； 故答案为： 【变式2】（25-26七年级下·全国·周测）新定义：两数，之间的一种运算记作，若，则．我们称为“雅对”．例如：因为，所以． (1)①____________； ②若，则____________． (2)若，，，探究，，之间的数量关系． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查的是有理数的乘方运算和同底数幂的乘法，本题是新定义型，掌握新定义的规定，并熟练运用是解题的关键． （1）①②利用“雅对”定义解答即可； （2）利用“雅对”定义得到，，，再根据同底数幂的乘法法则进行计算，即可得到，，之间的数量关系． 【详解】（1）解：①，②． 【提示】①， ； ②， ， ， ，即． （2）解：由题意可知，，，， ， 即， ． 整式乘除的材料阅读问题 【例1】（25-26八年级上·山东德州·期末）阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． （1）下图给出的甲、乙、丙3个正方形分割方案，分别验证了以下乘法公式： ①②③ 甲、乙、丙3个图形对应的乘法公式序号按顺序排列为_____； 【解决问题】 （2）利用（1）中所得到的等式，解决下面的问题： ①若，求的值． ②若满足，求的值； 【拓展提升】 （3）如图丁，在线段上取一点，分别以，为边作正方形，，连接，，．若阴影部分的面积和为17，的面积为11，求的长度． 【答案】（1）①③②；（2）① 73，②185；（3） 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，完全平方公式变形求值． （1）分别用两种方法表示出阴影部分的面积即可解答； （2）①利用即可解答；②设，则，由公式即可解答； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，由题意可得，，，即，，求出，进而得到，即可解答． 【详解】（1）解：图甲中，由图可知，，也可以表示为， ∴，即， 图乙中，由图可知，，也可以表示为， ∴，即， 图丙中，由图可知，，也可以表示为， ∴， ∴甲，乙，丙3个图形按顺序排列为①③②； 故答案为：①③②． （2）解：①∵，， ； ②设，则， 由公式，得， 即； （3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 由题意可得，，，即，， ， ， ，， ，即． 【变式1】（25-26八年级上·湖北荆门·期末）“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． 如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形，长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证公式． 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （1）若，，则______； 【类比应用】 （2）若，求的值． 【知识迁移】 （3）如图②，点在线段上，四边形、都是正方形，连接、、．若阴影部分的面积和为，的面积为，求的长度． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，算术平方根等知识，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式的变形进行解答即可； （2）利用完全平方公式的变形进行解答即可； （3）设正方形的边长为m，正方形的边长为n，由题意可得，，进一步求出，，根据求出的值，最后根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：（1）， ， 当，时， ． 故答案为：． （2），， ； （3）设正方形的边长为m，正方形的边长为n， 则，，， ，， ，， ， ， ， ，， ，即． 【变式2】（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）【阅读理解】数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”这就是“算两次”原理．例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．如图1可以得到． 【类比应用】 （1）如图2，可以得到的代数恒等式是：　　； 【结论应用】 （2）若满足，求的值； 【迁移应用】 （3）两块完全相同的特制直角三角板()如图3所示放置，其中，，在一直线上，连接，，若一块直角三角板的面积为，与面积之和为，求线段的长． 【答案】【小问1】； 【小问2】； 【小问3】 【分析】（1）通过两种方法计算图2中长方形的面积，一种是直接用长乘宽，另一种是将其分割为小正方形和小矩形后求和，从而推导出对应的代数恒等式． （2）利用完全平方公式的变形，通过设元将已知条件转化为和的具体值，再代入变形公式即可求出所求代数式的值． （3）设出直角三角板的直角边，利用三角板的面积和与的面积和这两个条件，结合完全平方公式求出直角边的和，得到线段的长度． 【详解】（1）解：图2中，大长方形的长为，宽为，面积为； 同时，大长方形可分割为一个边长为的正方形、三个长为宽为的矩形和两个边长为的正方形，面积和为， 故恒等式为； （2）解：设，， 则，． ∵， ∴； （3）解：设，． ∵，、、共线， ∴，． ∵三角板的面积为， ∴，即． ∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴，即． 知识点 易错点 避坑技巧 幂的运算、整式乘法 1.符号运算失误，漏乘负号； 2.积的乘方漏算负号。 1. 运算前先判断每一步符号，遵循“负负得正、正负得负”； 2. 单项式乘多项式逐个分配，每一项都带符号； 3. 积的乘方先算底数符号的乘方，再算幂的乘方。 乘法公式（平方差、完全平方公式） 1.公式混淆； 2.完全平方公式漏写中间项。 1. 按式子结构选公式：“两数和×两数差”用平方差，“两数和/差的平方”用完全平方； 2. 牢记完全平方公式中间“2倍积”，避免漏写。 幂的运算（指数相关） 1.混淆合并同类项与幂的运算； 2.指数计算失误。 1. 区分两类运算：同类项才能合并（指数不变），幂的运算按法则计算； 2. 牢记口诀：同底相乘指数加、同底相除指数减、幂的乘方指数乘。 零指数幂、负整数指数幂 1.忽略零指数幂底数限制； 2.负指数幂运算错误。 1. 牢记无意义，运算前检查底数； 2. 负指数幂转化为正指数幂：，避免符号混淆。 整式除法（多项式÷单项式） 1.多项式除以单项式漏项； 2.系数、指数漏算。 1. 遵循“逐项除法”，多项式每一项都要除以单项式，再将商相加； 2. 逐项检查，分别计算系数和同底数幂的除法，避免漏项漏算。 1.幂运算：先定符号，再算指数。 2.乘法公式：认准结构，套公式比硬算快。 3.混合运算：先乘方，再乘除，最后加减。 4.化简求值：先化简，再代入。 5.简便运算：凑整用公式。 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 整式的乘除 幂的运算（★★★★★） 1. 同底数幂相乘：底数不变，指数相加；（，、为整数）。 2. 幂的乘方：底数不变，指数相乘；。 3. 积的乘方：等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；（为正整数）。 4. 同底数幂相除：底数不变，指数相减；（，、为正整数，且）。 5. 零指数幂：任何不等于零的数的零次幂都等于1；（）。 6. 负整数指数幂：任何不等于零的数的等于这个数的次幂的倒数； 整式乘法（★★★★） 1. 单项式×单项式：把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。 2. 单项式×多项式：用单项式与乘多项式的每一项，再把所得的积相加； 3. 多项式×多项式：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加； 乘法公式（★★★★★） 1. 平方差公式：两数和与这两数差的积等于这两数的平方差；。 2. 两数和的完全平方公式：两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍； 3. 两数差的完全平方公式：两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍； 整式除法（★★★） 1. 单项式÷单项式：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 2. 多项式÷单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加； 整式的化简（★★★★★） 1. 步骤 ①观察结构：判断是否适用平方差或完全平方公式，优先用公式简化； ②按序运算：有括号先去括号（注意符号），再乘方、乘除，最后加减（合并同类项）； ③结果需要最简：无同类项、无括号、按降幂排列。 同底数幂乘法及其逆用 【例1】（2026·河南洛阳·一模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·江苏无锡·模拟预测）已知，，则的值为（   ） A．0 B．1 C．3 D．8 【变式2】（25-26七年级下·安徽淮北·月考）已知，则________． 【变式3】（25-26七年级下·河北张家口·月考）已知，那么关于之间满足的等量关系是__________． 【例2】（25-26七年级下·江苏泰州·月考）如果，，则（   ） A．75 B．20 C．10 D．3 【变式1】（25-26八年级上·江西赣州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26六年级下·全国·课后作业）已知满足，求的值． 幂的乘方及其逆用 【例1】（25-26八年级下·河北张家口·月考）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·山东德州·期末）若，则___． 【变式2】（25-26八年级上·福建福州·月考）计算： __________． 【例2】（25-26八年级上·黑龙江黑河·月考）若，则，的大小关系是(   ) A． B． C． D．无法确定 【变式1】（25-26八年级上·云南昆明·期末）若，则的值为（    ） A．6 B．12 C．18 D．36 【变式2】（25-26八年级上·安徽黄山·期末）已知，．若用只含有的代数式表示，则________． 积的乘方及其逆用 【例1】（2026·广东珠海·一模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·安徽·一模）下列各式中，计算结果等于的是（  ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·广东珠海·月考）已知，则_____ ． 【变式3】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如果，，那么______．（用含、的式子表示） 【例2】（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）计算等于（   ） A．1 B．2 C． D． 【变式1】（25-26六年级下·全国·课后作业）若，，则（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·河南三门峡·期末）计算：_____． 幂的运算及辨析 【例1】（25-26八年级上·重庆·月考）计算． (1)； (2)． 【变式1】（25-26八年级上·天津·月考）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）计算下列各式，并用幂的形式表示结果． (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【变式3】（25-26八年级上·广西崇左·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【例2】（25-26九年级下·湖北武汉·月考）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级下·安徽滁州·月考）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·湖南永州·一模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列对幂的变形，不正确的是（    ） A． B． C． D． 单项式的乘法 【例1】（2026·陕西宝鸡·一模）计算的结果为（  ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·四川乐山·期末）计算：______． 【变式2】（25-26八年级上·山东滨州·月考）计算：______． 【例2】（25-26九年级上·甘肃张掖·期中）计算： （    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·山东济南·期末）计算：__________． 【变式2】（25-26七年级下·全国·周测）计算：____________． 【例3】（2026·辽宁抚顺·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·江苏苏州·月考）下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·云南昆明·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 多项式的乘法 【例1】（25-26七年级上·上海·月考）计算：______． 【变式1】（2025·上海·模拟预测）计算：_______． 【变式2】（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）已知，则的值等于___________． 【变式3】（25-26七年级上·上海·期中）已知，则________． 【例2】（2026七年级下·北京·专题练习）下列计算错误的是( ) A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·福建厦门·期末）已知，则的值为(　　)． A．， B．， C．， D．， 【变式2】（25-26八年级上·河南周口·期末）若则m+n的值为（　 ） A． B．1 C． D．5 【变式3】（25-26八年级上·北京·期中）小明在计算时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小亮告诉他结果中的一次项系数为，则被染黑的常数为______． 单项式与多项式乘法的应用 【例1】（25-26八年级上·山西朔州·期末）如图，小华同学用四个边长为的正方形、两个长和宽分别为和的长方形可以拼成图，也可以拼成图，则下列关系式中，能利用图和图验证的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·天津北辰·月考）一个长方形的长，宽分别是和，这个长方形的面积是（） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级下·山西太原·月考）近年来，我国逐步实施推广，用户通过预充值量子密钥的安全卡，即可在普通手机实现加密通话．已知原来单次量子安全通话服务的利润为元，技术升级后，现单次的利润比原来的4倍少10元，那么现在提供次量子安全通话服务的总利润为__________元．（用含、的代数式表示） 【例2】（25-26八年级上·福建泉州·期末）下面四个整式中，不能表示图中几何图形的面积的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，设，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·陕西榆林·期末）图①中有3种卡片，其中两种是边长分别为a和b的正方形，一种是长为a、宽为b的长方形，若要用若干张图①中的卡片拼成一个图②中的大长方形，则需要这3种卡片共______张． 【变式3】（25-26八年级上·重庆·期中）如图，向阳小区内有一块长为，宽为的长方形空地，小区管理者计划在中间留一块长为2x，宽为的长方形地块修建一个花坛，然后将剩余部分进行绿化，则绿化部分的面积是___________（用含x，y的代数式表示） 单项式乘法的求参问题 【例1】（25-26七年级下·江苏徐州·月考）若，则、的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·全国·周测）若，则（    ） A．6 B． C．8 D． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）要使成立，则__________，__________． 【变式3】（25-26八年级上·四川巴中·月考）如果与相乘的结果是，那么__，__，___． 多项式乘法中不含某项求参问题 【例1】（25-26七年级下·广西桂林·月考）若的展开式中不含项，则（   ） A． B．0 C． D． 【变式1】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）若的结果中不含x的一次项，则m的值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式2】（25-26八年级上·吉林长春·期中）若的展开式中不含常数项，则m的值为______． 【变式3】（25-26八年级上·四川巴中·月考）若展开后不含项，求a、m的值． 多项式乘法中的规律性问题 【例1】（25-26七年级下·福建漳州·月考）我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（   ） A．15 B．10 C．9 D．6 【变式1】（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）【文化欣赏】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开的系数规律如图所示，其中“五乘”对应的展开式： 【应用体验】已知，则m的值为___． 【变式2】（25-26八年级上·河南南阳·月考）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做从特殊到一般。如下所示： 【观察】①； ②； ③； …… 【归纳】（1）观察以上各等式并猜想： ①______； ②______； 【应用】（2）请运用上面的结论，解决下列问题： 计算． 【变式3】（2026·安徽蚌埠·一模）新考法 项目式学习探究在数学活动课上，某兴趣小组将轴对称与有理数乘法结合起来，得到如下等式： ， ， ， ， ， … 请你根据上述等式的规律，完成下列任务： (1)填空： （i） ； （ii） (2)有同学利用代数知识证明上述等式中的规律，在证明的过程中，发现等式两边的结果为11的倍数，这名同学的证明过程如下： 设等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且， 则等式左边的式子可表示为，等式右边的式子可表示为 左边， 右边， ∴左边右边[ ]，为11的倍数． 阅读以上内容，并写出证明过程中横线上所缺的内容． 乘法公式 【例1】（25-26七年级下·重庆·开学考试）下列多项式乘法，不能用平方差公式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·山东枣庄·月考）若，则的值为__________． 【变式2】（24-25七年级下·吉林长春·月考）已知，则______． 【变式3】（25-26八年级上·湖北孝感·期末）已知，，则的值为_________________． 【例2】（25-26八年级上·四川眉山·期中）已知，求_______． 【变式1】（25-26八年级上·河南开封·期中）若，则________． 【变式2】（25-26八年级上·江西赣州·月考）化简______． 【变式3】（25-26七年级下·四川巴中·月考）下列乘法公式的运用中，正确的是（    ） A． B． C． D． 乘法公式的应用 【例1】（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）数形结合是初中数学重要的思想方法，图①到图②的变化过程描述了一个重要的数学公式，这个公式是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，把一个平行四边形纸板，分割成四个大小和形状完全相同的四边形，如图1；拼成一个边长为的大正方形，其正中央正好是一个边长为的小正方形空缺，如图2．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（   ） A．； B．； C．； D． 【变式2】（25-26八年级上·湖南常德·期末）如图，在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为3的小正方形，剩余阴影部分剪拼成一个无缝的长方形，若长方形的一条边长为，则它的一条邻边长是___________． 【例2】（25-26八年级上·四川泸州·期末）如图，有甲、乙、丙三种正方形和长方形纸片，用4张甲种纸片，1张乙种纸片和4张丙种纸片恰好拼成无重叠、无缝隙一个大正方形，则拼成的大正方形的边长为______． 【变式1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）现有边长分别是和的两个正方形，将B放在A的内部如图甲所示；将并列放置后构造新的正方形如图乙所示．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则的值为___________． 【变式2】（25-26七年级下·山东枣庄·月考）如图将4个长、宽分别均为a，b的长方形，摆成了一个大的正方形，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（   ） A． B． C． D． 求完全平方公式中的字母系数 【例1】（25-26七年级下·四川成都·月考）若是一个完全平方式的展开式，则的值为（   ）． A． B． C．或 D． 【变式1】（25-26八年级上·湖北孝感·期末）如果关于的二次三项式是一个完全平方式，那么常数的值是（   ） A．或13 B．或12 C．13 D． 【变式2】（25-26七年级下·江苏常州·月考）若，m、n均为常数，则________． 【变式3】（25-26七年级下·山东枣庄·月考）若是一个完全平方式，那么的值为___． 同底数幂的除法及其逆用 【例1】（25-26八年级上·广东湛江·期末）计算：_____． 【变式1】（25-26七年级下·山东青岛·开学考试）已知，则______． 【变式2】（25-26七年级下·陕西西安·月考）若，则____________． 【变式3】（25-26六年级下·全国·课后作业）若，则与之间的关系是___________． 【例2】（25-26七年级下·江苏苏州·月考）已知，，则______． 【变式1】（25-26七年级下·广东揭阳·月考）若，则__________． 【变式2】（25-26八年级上·四川广安·期末）若，，，均为正整数，则_____．（用含，的代数式表示） 零指数幂与负整数指数幂 【例1】（25-26八年级上·河南许昌·期末）计算：________． 【变式1】（25-26八年级上·天津南开·期末）已知，化简，其结果为______． 【变式2】（25-26八年级上·天津河东·期末）已知无意义，且，则__________． 【变式3】（25-26八年级上·广东江门·月考）成立的的值为____________． 【例2】（25-26七年级下·山东青岛·月考）将，，这三个数按从小到大的顺序排列，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·广东云浮·期末）若，，，，则它们的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·江苏苏州·月考）已知，，则的大小关系是______．（用“＜”连接） 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，，，则以上四个数中，最大数减最小数的值为______． 整式的除法 【例1】（25-26七年级下·陕西西安·月考）计算：______； 【变式1】（25-26七年级下·河北保定·月考）若，则括号内“”所表示的代数式为__________． 【变式2】（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）人类使用密码的历史悠久，利用下图的数学问题可以生成密码，则密码M是______． 数学问题与密码 密码M 【例2】（25-26八年级上·河南安阳·期末）计算：________． 【变式1】（25-26八年级上·四川宜宾·期末）化简的结果是______． 【变式2】（25-26七年级上·上海奉贤·期末）已知长方形面积为，它的一边长为，则这个长方形另外一边长为_______． 【变式3】（25-26八年级上·陕西延安·月考）如图，美美不小心在课后作业的第1题滴了一点墨水，留下一道残缺不全的题目，则被墨水覆盖的部分为_____． 课后作业 1．计算： 2…… 用科学记数法表示数 【例1】（2026·河北沧州·模拟预测）某种计算机每秒可进行次运算，它工作分钟可以完成的运算次数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·河南商丘·一模）某种新型流感病毒的直径约为米，该直径用科学记数法表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式2】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）近似数精确到了_____________位； 【变式3】（25-26八年级上·上海·月考）的小数点与左起第一个非零数字之间有______个0． 【变式4】（2025七年级下·全国·专题练习）（1）某种植物花粉的直径约为，用小数表示为______m； （2）某种生物孢子的直径约为，用科学记数法表示为______m． 整式的混合运算 【例1】（24-25九年级下·山东枣庄·月考）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·河南平顶山·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·广西南宁·月考）计算： (1)； (2). 【变式1】（25-26八年级上·重庆北碚·期末）计算： (1)； (2)． 【变式2】（25-26七年级下·四川巴中·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】（25-26七年级下·山东青岛·月考）计算： (1)； (2) (3)； (4)． (5)； (6) 整式的化简求值 【例1】（25-26七年级下·广东清远·月考）先化简，再求值：其中 【变式1】（24-25七年级下·山东聊城·月考）先化简，再求值． (1)，其中； (2)，其中， 【变式2】（25-26八年级上·山西长治·期末）先化简，再求值：，其中a，b满足 整式乘除的新定义问题 【例1】（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）我们知道：，现定义一种新运算：；比如，则，若，那么的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·云南玉溪·期中）定义一种新运算：．例如：，则的结果是______． 【变式2】（25-26七年级下·全国·周测）新定义：两数，之间的一种运算记作，若，则．我们称为“雅对”．例如：因为，所以． (1)①____________； ②若，则____________． (2)若，，，探究，，之间的数量关系． 整式乘除的材料阅读问题 【例1】（25-26八年级上·山东德州·期末）阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． （1）下图给出的甲、乙、丙3个正方形分割方案，分别验证了以下乘法公式： ①②③ 甲、乙、丙3个图形对应的乘法公式序号按顺序排列为_____； 【解决问题】 （2）利用（1）中所得到的等式，解决下面的问题： ①若，求的值． ②若满足，求的值； 【拓展提升】 （3）如图丁，在线段上取一点，分别以，为边作正方形，，连接，，．若阴影部分的面积和为17，的面积为11，求的长度． 【变式1】（25-26八年级上·湖北荆门·期末）“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． 如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形，长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证公式． 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （1）若，，则______； 【类比应用】 （2）若，求的值． 【知识迁移】 （3）如图②，点在线段上，四边形、都是正方形，连接、、．若阴影部分的面积和为，的面积为，求的长度． 【变式2】（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）【阅读理解】数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”这就是“算两次”原理．例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．如图1可以得到． 【类比应用】 （1）如图2，可以得到的代数恒等式是：　　 ； 【结论应用】 （2）若满足，求的值； 【迁移应用】 （3）两块完全相同的特制直角三角板()如图3所示放置，其中，，在一直线上，连接，，若一块直角三角板的面积为，与面积之和为，求线段的长． 知识点 易错点 避坑技巧 幂的运算、整式乘法 1.符号运算失误，漏乘负号； 2.积的乘方漏算负号。 1. 运算前先判断每一步符号，遵循“负负得正、正负得负”； 2. 单项式乘多项式逐个分配，每一项都带符号； 3. 积的乘方先算底数符号的乘方，再算幂的乘方。 乘法公式（平方差、完全平方公式） 1.公式混淆； 2.完全平方公式漏写中间项。 1. 按式子结构选公式：“两数和×两数差”用平方差，“两数和/差的平方”用完全平方； 2. 牢记完全平方公式中间“2倍积”，避免漏写。 幂的运算（指数相关） 1.混淆合并同类项与幂的运算； 2.指数计算失误。 1. 区分两类运算：同类项才能合并（指数不变），幂的运算按法则计算； 2. 牢记口诀：同底相乘指数加、同底相除指数减、幂的乘方指数乘。 零指数幂、负整数指数幂 1.忽略零指数幂底数限制； 2.负指数幂运算错误。 1. 牢记无意义，运算前检查底数； 2. 负指数幂转化为正指数幂：，避免符号混淆。 整式除法（多项式÷单项式） 1.多项式除以单项式漏项； 2.系数、指数漏算。 1. 遵循“逐项除法”，多项式每一项都要除以单项式，再将商相加； 2. 逐项检查，分别计算系数和同底数幂的除法，避免漏项漏算。 1.幂运算：先定符号，再算指数。 2.乘法公式：认准结构，套公式比硬算快。 3.混合运算：先乘方，再乘除，最后加减。 4.化简求值：先化简，再代入。 5.简便运算：凑整用公式。 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $