二项式定理的性质 导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

二项式定理的性质学案8 【题型1 二项式系数的最值问题】 【例1】的展开式中系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【变式1-1】已知的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为（    ） A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项 【变式1-2】）二项式的展开式中系数的最大值是 ． 【题型2 奇次项与偶次项的系数和】 【例2】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】）在展开式中，的偶数次幂的项的系数和为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知，则的值是（    ） A．680 B． C．1360 D． 【题型3 整除和余数问题】 【例3】98除的余数是（   ） A．1 B．9 C．3 D．6 【变式3-1】若能被整除，则的最小正整数取值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3-2】中国南北朝时期的著作《孙子算经》对同余除法有较深的研究.设为整数，若和同时除以所得的余数相同，则称和对模同余，记为 若， ，，则（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2025 【题型4 近似计算问题】 【例4】最接近下列哪个数字（    ） A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 【变式4-1】某银行大额存款的年利率为，小张于2024年初存入大额存款10万元，按照复利计算8年后他能得到的本利和约为（    ）（单位：万元，结果保留一位小数） A．12.6 B．12.7 C．12.8 D．12.9 【题型5 杨辉三角】 【例5】“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，用代表第行，第个数，，例如，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A． B．在第行中，最大 C． D． 【变式5-1】（25-26高三上·福建·开学考试）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表．数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．下列结论不正确的是（   ） A． B．第2025行的第1013个数和第1014个数相等 C．在杨辉三角中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 D．记杨辉三角中第行的第个数为，则 二项式定理的性质学案8答案 【例1】【答案】B【解答过程】易知的展开式的各项系数分别为， 由二项式系数的对称性可知系数最大的项为第四项.故选：B. 【变式1-1】【答案】C 由已知，故，故通项为（，1，…，8），故奇数项的系数为正数，偶数项的系数为负数，故最大，因此第七项的系数最大，故选：C． 【变式1-2】【答案】32展开式第项系数为，设第项系数最大，则 ，解得，∴，∴系数的最大值是：．故答案为：32. 【例2】【答案】C【解答过程】设， 则，， 因此，.故选：C. 【变式2-1】D设，令可得，令可得，两式子相加得，，故，展开式中，的偶数次幂的项的系数和为. 【变式2-2】【答案】B令，则，即 令，则，即，两式相加可得，故选：B. 【例3】【答案】A， 故98除的余数是1．故选：A. 【变式3-1】【答案】C由题意得, ， 而一定能被整除， 只需保证能被整除即可，而， 得到， 故， 而一定能被整除，只需保证能被整除即可， 若使最小，则满足，解得，故C正确.故选：C. 【变式3-2】【答案】C因为， 又 所以 所以a除以10的余数就等于除以10的余数，即为3， 而给定的五个数中，只有2023除以10后余数为3，所以.故选：C. 【例4】【答案】C由题意得，由二项式定理得，而从第3项以后，后面的项非常小，我们进行忽略即可，所以我们得到，则其与1.22更接近，故C正确.故选：C. 【变式4-1】【答案】B存入大额存款10万元，按照复利计算，每年末本利和是以10为首项，为公比的等比数列，所以本利和．故选：B． 【例5】【答案】C对于选项A，，故A错误；对于选项B，第100行中第50个数是，又，故B错误；对于选项C，第2025行中第1013个数和第1014个数分别为和，因，故，故C正确；对于选项D，因为，则，故D错误；故选：C. 【变式5-1】【答案】D对于A， ， A正确；对于B，第2025行的第1013个数和第1014个数分别为，而，B正确；对于C，第行所有数字的平方和， 第行的中间一项的数字是展开式中项的系数，而， 又展开式中项的系数为，因此，C正确；对于D，因为，所以，D不正确.故选：D. 学科网（北京）股份有限公司 $