6.3.1二项式定理 导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

选择性必修第三册 第六章 计数原理导学案 6.3.1二项式定理 导学案 【学习目标】 1.利用计数原理分析二项式的展开过程，归纳、猜想出二项式定理，并用计数原理加以证明； 2.掌握二项式定理及其二项展开式的通项； 3.经历二项式定理的探究过程，体验“归纳、猜想、证明”的数学发现过程，提高自己观察、分析、概括的能力，以及 “从特殊到一般”、“从一般到特殊”等数学思想的应用能力； 【问题导学】 问题1 ：探究：我们知道， ， ． （1）观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律？ （2）根据你发现的规律，你能写出的展开式吗？ （3）进一步地，你能写出的展开式吗？ 问题2 ：什么是二项式定理，二项式系数与系数有什么区别？ 【知识构建】 知识点一：二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn (n∈N*)． (1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理． (2)，展开式中一共有n＋1项． (3)二项式系数：各项的系数C (k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数． 知识点2:二项展开式的通项公式 (a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项， 记作Tk＋1＝Can－kbk.(k∈{0,1,2，…，n}) 【应用举例】 【例1】求的展开式． 分析：根据二项式定理， ． 【例2】（1）求的展开式的第4项的系数； （2）求的展开式中的系数． 分析：（1）的展开式的第4项是． 因此，展开式第4项的系数是280． 结论：的展开式的第4项的二项式系数是．一个二项展开式的某一项的二项式系数与这一项的系数是两个不同的概念． （2）的展开式的通项是． 根据题意，得，．因此，的系数是． 【随堂检测】 1．写出的展开式． 【答案】 【知识点】求二项展开式 【分析】根据二项式定理，展开求解. 【详解】在二项式定理中令，可得 ． 2．的展开式中的第4项为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】利用二项展开式的通项公式代值计算即得. 【详解】的展开式中的第4项为. 故选：A. 3．的展开式中常数项为（   ） A．-15 B．15 C．-20 D．20 【答案】C 【知识点】求二项展开式的第k项、求指定项的系数 【分析】结合二项式定理的通项公式求解即可. 【详解】该二项式展开式通项为. 令，则，所以. 故选：C. 4．在的展开式中，的系数是______. 【答案】240 【知识点】求指定项的系数 【详解】展开式的通项公式为：， 令，解得：，的系数为. 5.在的展开式中，含的项的系数是（    ） A．120 B．240 C．274 D．282 预设：在的展开式中含的项即从5个因式中取4个常数，1个，所以含的项为， 所以含的项的系数是. 故选：. 【小结反思】本节课你有哪些收获？还有哪些疑问？ - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $选择性必修第三册 第六章 计数原理导学案 6.3.1二项式定理 导学案 【学习目标】 1.利用计数原理分析二项式的展开过程，归纳、猜想出二项式定理，并用计数原理加以证明； 2.掌握二项式定理及其二项展开式的通项； 3.经历二项式定理的探究过程，体验“归纳、猜想、证明”的数学发现过程，提高自己观察、分析、概括的能力，以及 “从特殊到一般”、“从一般到特殊”等数学思想的应用能力； 【问题导学】 问题1 ：探究：我们知道， ， ． （1）观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律？ （2）根据你发现的规律，你能写出的展开式吗？ （3）进一步地，你能写出的展开式吗？ 问题2 ：什么是二项式定理，二项式系数与系数有什么区别？ 【知识构建】 知识点一：二项式定理 (a＋b)n＝ (n∈N*)． (1)这个公式所表示的规律叫做 ． (2)展开式中一共有 项． (3)二项式系数：各项的系数 (k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数． 知识点2:二项展开式的通项公式 (a＋b)n展开式的第 项叫做二项展开式的通项， 记作Tk＋1＝ .(k∈{0,1,2，…，n}) 【应用举例】 【例1】求的展开式． 【例2】（1）求的展开式的第4项的系数； （2）求的展开式中的系数． 【随堂检测】 1．写出的展开式． 2．的展开式中的第4项为（   ） A． B． C． D． 3．的展开式中常数项为（   ） A．-15 B．15 C．-20 D．20 4．在的展开式中，的系数是______. 5.在的展开式中，含的项的系数是（    ） A．120 B．240 C．274 D．282 【小结反思】本节课你有哪些收获？还有哪些疑问？ - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $