10.5用二元一次方程组解决问题（题型专练）数学新教材苏科版七年级下册

10.5用二元一次方程组解决问题 题型一 由实际问题中抽象出二元一次方程组 1．（2025·沭阳县·校级期末）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米x斗，向桶中加谷子y斗，那么可列方程组为（　　） A． B． C． D． 2．（2026·启东市·模拟）我国古代数学著作《算法统宗》中记载着这样一道题，其大意是：醇酒1瓶，可以醉倒3位客人；薄酒3瓶，可以醉倒1位客人．若有33位客人总共饮了19瓶酒，且都醉倒了，问他们醇酒、薄酒各饮了多少瓶？设他们醇酒饮了x瓶，薄酒饮了y瓶，根据题意可列出方程组为（　　） A． B． C． D． 3．（2026·邗江区·校级一模）《九章算术》中记载了这样的问题：六鸡、七鸭共重24千克，鸡重鸭轻，互换其中一只，恰好一样重．问：每只鸡、鸭平均各重多少千克？设每只鸡平均重x千克，每只鸭平均重y千克，根据题意可列出方程组为（　　） A． B． C． D． 题型二 二元一次方程的实际应用——几何问题 1．（2025·鼓楼区·校级月考）如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为（　　） A．34 B．43 C．50 D．54 2．（2025·宜兴市·校级月考）在大正方形ABCD中，按图中的虚线裁剪出8块相同的大长方形AEFG纸片，4块相同的小长方形纸片和1个小正方形纸片，若大正方形ABCD的面积是49，小正方形（阴影部分）的面积是9，则每块大长方形AEFG的面积是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2025·工业园区·校级月考）塑料凳子轻便实用，在人们生活中随处可见，如图，3支塑料凳子叠放在一起的高度为55cm，5支塑料凳子叠放在一起的高度为65cm，当有10支塑料凳子整齐地叠放在一起时，其高度是　　cm． 4．（2025·亭湖区·校级月考）8个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图1所示，若拼成如图2所示的正方形，中间还留下一个洞，恰好是边长为2厘米的小正方形．一个小长方形的长为　　厘米． 题型三 二元一次方程的实际应用——数字游戏问题 1．（2025·鼓楼区·期中）如图，3×3的格子内填写了一些数和代数式，为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，x，y的值分别是（　　） A．﹣1，0 B．1，﹣1 C．﹣1，1 D．1，0 2．（2026·工业园区·校级月考）我国古代夏禹时期的“洛书”（如图①所示），就是一个三阶“幻方”（如图②所示），观察图①、图②，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系．在显示部分数据的新“幻方”（如图③所示）中，根据寻找出的关系，可推算出x，y的值分别为　　． 题型四 二元一次方程的实际应用——分段计费问题 1．（2024·沛县·校级月考）为了加强人们的节水意识，合理利用水资源，某市﹣采用价格调控手段达到目的．规定：每户居民每月用水不超过6吨时，按基本价格收费；超过6吨时，超过部分要加价收费．该市某户居民今年3、4月份的用水量和收费如下表所示，试求用水收费的两种价格． 月份 用水量（单位：吨） 水费（单位：元） 3 8 28 4 9 33 2．（2024·姜堰区·期末）根据以下素材，探索并完成任务． 水费、用水量是多少？ 素材1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段引导市民节约用水． 素材2 每户每月用水量不超过15立方米时，水费按a元/立方米收费； 每户每月用水量超过15立方米时，未超过的部分按a元/立方米收费，超过的部分按b元/立方米收费． 素材3 某用户今年4、5月份的用水量和水费如下表所示： 月份 用水量/立方米 水费/元 4 16 50 5 20 70 问题解决 任务1 确定用水单价 求a、b的值． 任务2 确定用水量 某用户预算6月份缴水费不超过80元，那么该用户这个月的用水量最多是多少立方米？ 题型五 二元一次方程的实际应用——生产问题 1．（2025·锡山区·校级期中）盲盒近来火爆，这种不确定的“盲抽”模式受到了大家的喜爱，一服装厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，现计划用135米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则需要　　米布料做玩偶A． 2．（2025·丹徒区·月考）工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人，其中女生人数比男生人数的2倍少8人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个． （1）请问该车间有男生、女生各多少人？ （2）已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为了使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少工人负责生产大齿轮，多少工人负责生产小齿轮？ 题型六 二元一次方程的实际应用——销售问题 1．（2025·沭阳县·期末）2025年亚洲冬季运动会于2月7日至2月14日在哈尔滨举行，某经销店调查发现：吉祥物“滨滨”和“妮妮”深受青少年喜爱．已知购进3个“滨滨”比购进2个“妮妮”多用80元；购进1个“滨滨”和2个“妮妮”共用160元．该商店决定购进“滨滨”和“妮妮”各100个，其总费用为（　　） A．11000元 B．10200元 C．10000元 D．9900元 2．（2025·盐城·真题）我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”大意为：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分．则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺绢的价格是　　分． 3．（2025·建邺区·校级期末）甲、乙、丙、丁四人到文具店购买同一种笔记本和橡皮，购买的数量及总价分别如表所示，若其中一人的总价算错了，则笔记本的单价为每本　　元． 甲 乙 丙 丁 笔记本（本） 15 16 18 21 橡皮（块） 25 10 30 35 总价（元） 200 158 234 273 4．（2025·无锡·校级期末）某水果销售店用1200元购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示： 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲种 5 7 乙种 10 15 （1）这两种水果各购进多少千克？ （2）由于乙种水果运输和售卖过程中出现了20%的损耗，若该水果店按售价销售完剩下的所有水果，是赚钱还是赔钱了？赚或赔了多少元？ 5．（2025·丹徒区·月考）某社区超市第一次用6000元购进一批甲、乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品件数的2倍少30件，已知甲商品的进价为22元/件，售价为29元/件；乙商品的进价为30元/件，售价为40元/件． （1）求超市购进的这批货中甲、乙两种商品各有多少件？ （2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部售出后一共可获得多少利润？ （3）该超市第二次分别以第一次同样的进价购进第二批甲乙两种商品，其中乙商品的件数是第一批乙商品件数的3倍，甲商品件数不变，甲商品按照原售价销售，乙商品在原价的基础上打折销售，第二批商品全部售出后获得的总利润比第一批获得的总利润多720元，求第二批乙商品在原价基础上打几折销售？ 题型七 二元一次方程的实际应用——过桥问题 1．（2025·海陵区·期中）为了测得隧道长度和火车通过隧道时的速度，小明和小亮在隧道两端进行观察：火车从开始入隧道到完全出隧道共用时24s，整列火车完全在隧道内的时间为16s，整列火车长240m．请你根据小明和小亮获得的数据，求隧道的长度和火车过隧道的速度． 2．（2022·海州区·期末）某隧道长1200m，现有一列火车从隧道通过，测得该火车从开始进隧道到完全出隧道共用了70秒，整列火车完全在隧道里的时间是50秒，求火车的速度和长度． 题型八 二元一次方程的实际应用——相遇问题 1．（2025·沛县·月考）小红和小丽在400m的环形跑道上跑步，他们于同一个起点同时出发．如果同向跑，那么经过200s两人第一次相遇；如果反向跑，那么经过40s两人第一次相遇．若小红比小丽跑得快，则小红、小丽跑步的平均速度分别是多少？ 2．（2024·徐州·期末）用二元一次方程组解决问题： A、B两地相距12km，甲骑电动车从A地出发到B地，与此同时，乙骑电动车从B地出发到A地，两人均保持匀速行驶．已知第10分钟两人相遇，又经过4分钟，甲剩余路程是乙剩余路程的8倍．求甲、乙二人的骑行速度． 题型九 三元一次方程组的实际应用 1．（2025·秦淮区·期末）甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需270元；购买甲1件、乙2件、丙3件，共需242元，那么购买甲、乙、丙三种商品各一件共需（　　） A．128元 B．130元 C．150元 D．160元 2．（2025·玄武区·校级月考）小明两次购买三种口味奶茶的数量和总价如表．现各买一杯，需要花费的钱数是（　　） 口味 次数 茉莉 桂花 蜜桃 总价 第一次 2杯 3杯 4杯 126元 第二次 4杯 3杯 2杯 120元 A．41元 B．31元 C．40元 D．30元 3．（2023·新吴区·期末）春节来临之际，某花店老板购进大量的康乃馨、百合、玫瑰，打算采用三种不同方式搭配成花束，分别取名为“眷恋”、“永恒”、“守候”．三种花束的每一束成本分别为a元、b元和c元．已知销售每束“眷恋”的利润率为10%，每束“永恒”的利润率为20%，每束“守候”的利润率为30%，当售出的三种花束数量之比为2：3：4时，老板得到的总利润率为25%；当售出的三种花束数量之比为3：2：1时，老板得到的总利润率为20%，则a：b：c为（　　） A．1：2：3 B．1：3：4 C．2：3：5 D．3：4：5 题型一 二元一次方程组的实际应用——几何问题（升级版） 1．（2025·盐城·校级期中）某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） 观察发现： 长方形铁片张数 正方形铁片张数 1个竖式无盖铁容器中 4 1 1个横式无盖铁容器中 3 2 （1）如果加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，则共需要长方形铁片　　张，正方形铁片　　张； （2）现有长方形铁片155张，正方形铁片70张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ （3）把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒．现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，再加工成铁盒，每张铁板的裁法有①裁3个长方形铁片；②裁4个正方形铁片；③裁1个长方形铁片和2个正方形铁片．若充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？ 题型二 二元一次方程组的实际应用——方案选择问题 1．（2025·江阴市·校级月考）2024年12月4日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”列入联合国教科文组织人类非文化遗产代表作名录．截至目前，我国有44个项目列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录、名册，总数位居世界第一．每逢春节，为了营造喜庆祥和的氛围，家家户户都会挂上红红的灯笼．在春节前夕，某商家购进A，B两种型号的灯笼共100对，共用去3780元，这两种型号的灯笼的进价、售价如下表： 型号 进价（元/对） 售价（元/对） A 54 72 B 27 32 （1）求该商家购进A，B两种型号的灯笼各多少对？ （2）为迎接新春到来，某单位购买A，B两种型号的灯笼（两种型号都购买）共花费336元，请你计算购买A，B两种型号的灯笼各多少对？并计算此时商家获利多少元？ 2．（2026·工业园区·校级月考）某学校组织爱心义卖，七（1）班选定一家商店采购钥匙扣和玩偶两种商品，钥匙扣每个4元，玩偶每个2元．为支持爱心事业，该商店推出两种优惠方案： 方案一 购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠 方案二 购买玩偶满50个时，立减10元 （1）若班委购买了钥匙扣和玩偶共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，则班委购买了钥匙扣和玩偶各多少个？ （2）现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案． 3．（2025·沛县·月考）某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表所示： 类型 进价/（元/个） 售价/（元/个） A款 m 120 B款 n 90 若该商场购进4个A款足球和11个B款足球需980元；购进2个A款足球和3个B款足球需340元． （1）求m和n的值； （2）某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3000元，那么该商场可获利多少元？ （3）为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售卖出两款足球总计盈利600元，那么该日商场销售A，B两款足球各多少个（每款都有销售）？ 4．（2024·海州区·校级月考）某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨30%，20%． 购进的台数 购进所需要的费用（元） A型 B型 第一次 10 20 3000 第二次 15 10 4500 （1）求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？ （2）A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元． ①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？ ②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为1000元，求有哪几种购进方案？ 题型一 三元一次方程组的实际应用（升级版） 1．（2025·常州·模拟）现有3张扑克牌，它们所标数字分别为正整数a、b、c，且1≤a＜b＜c≤9．甲、乙、丙三个同学同时从这3张扑克牌中随机各拿一张，获得与扑克牌所标数字相同数量的糖果后，完成一次游戏．已知甲、乙、丙3次游戏获得糖果之和分别为20颗、10颗、9颗，则正整数a、b、c分别为　　． 2．（2024·沭阳县·校级月考）阅读理解：已知实数x，y满足3x﹣y＝5…①，2x+3y＝7…②，求x﹣4y和7x+5y的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： （1）已知二元一次方程组，则x﹣y＝　　，x+y＝　　； （2）买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需多少元？ （3）对于实数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a，b，c是常数，等式右边是实数运算．已知3*5＝15，4*7＝28，求1*1的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.5用二元一次方程组解决问题 题型一 由实际问题中抽象出二元一次方程组 1．【答案】A 2．【答案】B 3．【答案】A 题型二 二元一次方程的实际应用——几何问题 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】90 4．【答案】10 题型三 二元一次方程的实际应用——数字游戏问题 1．【答案】C 2．【答案】﹣2、﹣6 题型四 二元一次方程的实际应用——分段计费问题 1． 【答案】不超过6吨时的价格为3元/吨，超过6吨的部分的价格为5元/吨． 【详解】解：设不超过6吨时的价格为x元/吨，超过6吨的部分的价格为y元/吨， 由题意可得：，解得：， 答：不超过6吨时的价格为3元/吨，超过6吨的部分的价格为5元/吨． 2． 【答案】（1）a的值为3，b的值为5； （2）该用户这个月的用水量最多是22立方米． 【详解】解：（1）由题意可得：，解得：， ∴a的值为3，b的值为5； （2）∵（80﹣15×3）÷5+15 ＝（80﹣45）÷5+15 ＝35÷5+15 ＝7+15 ＝22（立方米）， ∴该用户这个月的用水量最多是22立方米． 题型五 二元一次方程的实际应用——生产问题 1．【答案】81 2． 【答案】（1）该车间有男生31人，女生54人； （2）应该分配25名工人负责生产大齿轮，60名工人负责生产小齿轮． 【详解】解：（1）设该车间有男生x人，有女生y人， 由题意可得：，解得：， 答：该车间有男生31人，女生54人； （2）设应该分配m名工人负责生产大齿轮，则分配（85﹣m）名工人负责生产小齿轮， 由题意可得：3×16m＝2×10（85﹣m），解得：m＝25， ∴85﹣m＝60， 答：应该分配25名工人负责生产大齿轮，60名工人负责生产小齿轮． 题型六 二元一次方程的实际应用——销售问题 1．【答案】A 2．【答案】6 3．【答案】8 4． 【答案】（1）购进甲种水果40千克，乙种水果100千克；（2）赚钱了，赚了280元． 【详解】解：（1）设购进甲种水果x千克，乙种水果y千克， 由题意可得：，解得：， 答：购进甲种水果40千克，乙种水果100千克； （2）甲种水果的销售额为40×7＝280（元）， 乙种水果的销售额为100×（1﹣20%）×15＝1200（元）， ∴总销售额为280+1200＝1480（元）， ∴1480﹣1200＝280（元）， 答：赚钱了，赚了280元． 5． 【答案】（1）超市购进的这批货中甲种商品150件，乙种商品90件；（2）1950元；（3）9折． 【详解】解：（1）设超市购进的这批货中乙种商品x件，甲种商品y件， 由题意可得：，解得：， 答：超市购进的这批货中甲种商品150件，乙种商品90件； （2）（29﹣22）×150+（40﹣30）×90＝1950（元）， 答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部售出后一共可获得1950元利润； （3）设第二次乙种商品是按原价打y折销售， 由题意可得：（29﹣22）×150+（40×0.1y﹣30）×90×3＝1950+720，解得：y＝9， 答：第二次乙种商品是按原价打9折销售． 题型七 二元一次方程的实际应用——过桥问题 1． 【答案】隧道长1200m，火车过隧道的速度为60m/s． 【详解】解：设隧道的长度为xm，火车过隧道的速度为ym/s， 由题意可得：，解得：， 答：隧道长1200m，火车过隧道的速度为60m/s． 2． 【答案】火车的车身长为200米，速度是20m/s． 【详解】解：设火车的车身长为x米，速度是ym/s， 由题意可得：，解得：， 答：火车的车身长为200米，速度是20m/s． 题型八 二元一次方程的实际应用——相遇问题 1． 【答案】小红的平均速度是6m/s，小丽的平均速度是4m/s． 【详解】解：设小红的平均速度是xm/s，小丽的平均速度是ym/s； 由题意可得：，解得：， 答：小红的平均速度是6m/s，小丽的平均速度是4m/s． 2． 【答案】甲的骑行速度为24km/h，乙的骑行速度为48km/h． 【详解】解：设甲的骑行速度为xkm/h，乙的骑行速度为ykm/h， 由题意可得：，解得：， 答：甲的骑行速度为24km/h，乙的骑行速度为48km/h． 题型九 三元一次方程组的实际应用 1．【答案】A 2．【答案】A 3．【答案】A 题型一 二元一次方程组的实际应用——几何问题（升级版） 1． 【答案】（1）（4m+3n），（m+2n）； （2）加工的竖式铁容器有20个，横式铁容器各有25个； （3）最多可加工铁盒19个． 【详解】解：（1）由题意可得：如果加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器， 则共需要长方形铁片（4m+3n）张，正方形铁片（m+2n）张， 故答案为：（4m+3n），（m+2n）； （2）设加工的竖式铁容器有m个，横式铁容器有n个， 由题意可得：，解得：， 答：加工的竖式铁容器有20个，横式铁容器各有25个； （3）设做长方形铁片的铁板x张，做正方形铁片的铁板y张， 由题意可得：，解得：， ∴25×3＝75（片），9×4＝36（片）， ∴在这35张铁板中，25张做长方形铁片可做75片，9张做正方形铁片可做36片， 剩1张可裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片， ∴共可做长方形铁片75+1＝76（片），正方形铁片36+2＝38（片）， ∴可做铁盒76÷4＝19（个）， 答：最多可加工铁盒19个． 题型二 二元一次方程组的实际应用——方案选择问题 1． 【答案】（1）购进A种型号的灯笼40对，B种型号的灯笼60对； （2）购进A种型号的灯笼2对，B种型号的灯笼6对，此时商家获利66元． 【详解】解：（1）设商家购进A种型号的灯笼a对，B种型号的灯笼b对， 由题意可得：，解得：， 答：商家购进A种型号的灯笼40对，B种型号的灯笼60对； （2）设商家购进A种型号的灯笼x对，B种型号的灯笼y对， 由题意可得：72x+32y＝336， ∴9x+4y＝42， ∵两种型号都购买， ∴x，y均为正整数， 当x＝1时，，不合题意； 当x＝2时，y＝6，符合题意； 当x＝3时，，不合题意； 当x＝4时，，不合题意； 当x＝5时，，不合题意； ∴购进A种型号的灯笼2对，B种型号的灯笼6对， 此时商家获利2×（72﹣54）+6×（32﹣27）＝36+30＝66（元）， 答：购进A种型号的灯笼2对，B种型号的灯笼6对，此时商家获利66元． 2． 【答案】（1）班委购买了钥匙扣50个、玩偶30个； （2）方案1：购买钥匙扣35个、玩偶70个；方案2：购买钥匙扣40个、玩偶62个；方案3：购买钥匙扣45个、玩偶54个． 【详解】解：（1）设班委购买了钥匙扣x个、玩偶y个， 由题意可得：，解得：， 答：班委购买了钥匙扣50个、玩偶30个； （2）设购买钥匙扣a（a＞30）个、玩偶b（b≥50）个， 由题意可得：4×30+3.2（a﹣30）+2b﹣10＝266， ∴， ∵a、b是正整数，且a＞30，b≥50， ∴或或， ∴共有以下3种购买方案： 方案1：购买钥匙扣35个、玩偶70个； 方案2：购买钥匙扣40个、玩偶62个； 方案3：购买钥匙扣45个、玩偶54个． 3． 【答案】（1）m的值为80，n的值为60； （2）可获利1000元； （3）销售13个A款足球、9个B款足球或6个A款足球、18个B款足球． 【详解】解：（1）由题意可得：，解得：， ∴m的值为80，n的值为60； （2）由题意可得：120x+90y＝3000， ∴40x+30y＝1000， ∴（120﹣80）x+（90﹣60）y＝40x+30y＝1000， 答：该商场可获利1000元； （3）设该日商场销售a个A款足球，3b个B款足球， 由题意可得：（120﹣80﹣10）a+（90×3﹣60×3﹣10×2）b＝600， ∴， 又∵a，b均为正整数， ∴或， ∴或， 答：该日商场销售13个A款足球、9个B款足球或6个A款足球、18个B款足球． 4． 【答案】（1）第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元； （2）①A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元； ②有4种购进方案： 方案1：购进A型台灯2台，B型台灯14台；方案2：购进A型台灯5台，B型台灯10台； 方案3：购进A型台灯8台，B型台灯6台；方案4：购进A型台灯11台，B型台灯2台． 【详解】解：（1）设第一次购进A型台灯每台进价为x元，B型台灯每台进价为y元， 由题意可得：，解得：， 答：第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元； （2）①设A型台灯每台售价为m元，B型台灯每台售价为n元， 由题意可得：，解得：， 答：A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元； ②第二次购进的A型台灯的价格为：200（1+30%）＝260（元）， 第二次购进的B型台灯的价格为：50（1+20%）＝60（元）， 设购进A型台灯a台，B型台灯B台， 由题意可得：（340﹣260）a+（120﹣60）b＝1000，整理得：4a+3b＝50， ∵a、b为自然数， ∴或或或， ∴有4种购进方案： 方案1：购进A型台灯2台，B型台灯14台；方案2：购进A型台灯5台，B型台灯10台； 方案3：购进A型台灯8台，B型台灯6台；方案4：购进A型台灯11台，B型台灯2台． 题型一 三元一次方程组的实际应用（升级版） 1．【答案】1，4，8 2． 【答案】（1）﹣1，5；（2）购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需30元；（3）﹣11 【详解】解：（1）， 由①﹣②，得x﹣y＝﹣1， ①+②，得3x+3y＝15， ∴x+y＝5， 故本题答案为：﹣1，5； （2）设铅笔单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元， 由题意可得：， 由①×2﹣②，得m+n+p＝6， ∴5m+5n+5p＝5×6＝30， 答：购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需30元； （3）由题意可得：， 由①×3﹣②×2，得a+b+c＝﹣11， ∴1*1＝a+b+c＝﹣11． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.5用二元一次方程组解决问题 题型一 由实际问题中抽象出二元一次方程组 1．（2025·沭阳县·校级期末）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米x斗，向桶中加谷子y斗，那么可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意可得：． 故选：A． 2．（2026·启东市·模拟）我国古代数学著作《算法统宗》中记载着这样一道题，其大意是：醇酒1瓶，可以醉倒3位客人；薄酒3瓶，可以醉倒1位客人．若有33位客人总共饮了19瓶酒，且都醉倒了，问他们醇酒、薄酒各饮了多少瓶？设他们醇酒饮了x瓶，薄酒饮了y瓶，根据题意可列出方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可得：． 故选：B． 3．（2026·邗江区·校级一模）《九章算术》中记载了这样的问题：六鸡、七鸭共重24千克，鸡重鸭轻，互换其中一只，恰好一样重．问：每只鸡、鸭平均各重多少千克？设每只鸡平均重x千克，每只鸭平均重y千克，根据题意可列出方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设每只鸡平均重x千克，每只鸭平均重y千克，根据6只鸡、7只鸭共重24千克可得方程6x+7y＝24，根据互换其中一只，恰好一样重可得方程5x+y＝6y+x， ∴． 故选：A． 题型二 二元一次方程的实际应用——几何问题 1．（2025·鼓楼区·校级月考）如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为（　　） A．34 B．43 C．50 D．54 【答案】D 【详解】解：设每个小长方形的长为xcm，宽为ycm， 由题意可得：，解得：， ∴18×（2y+6）﹣6xy＝18×（2×3+6）﹣6×（9+3）＝54， 答：阴影部分的面积之和为54． 故选：D． 2．（2025·宜兴市·校级月考）在大正方形ABCD中，按图中的虚线裁剪出8块相同的大长方形AEFG纸片，4块相同的小长方形纸片和1个小正方形纸片，若大正方形ABCD的面积是49，小正方形（阴影部分）的面积是9，则每块大长方形AEFG的面积是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：设长方形AEFG纸片的长为a，宽为b（a＞b）， ∴（a﹣b）2＝9，即a﹣b＝3， 大正方形ABCD的面积是49，4块相同的小长方形纸片的长为2b，宽为b， ∴（a+3b）2＝49，即a+3b＝7， ∴，解得：， ∴每块大长方形AEFG的面积是1×4＝4． 故选：C． 3．（2025·工业园区·校级月考）塑料凳子轻便实用，在人们生活中随处可见，如图，3支塑料凳子叠放在一起的高度为55cm，5支塑料凳子叠放在一起的高度为65cm，当有10支塑料凳子整齐地叠放在一起时，其高度是　　cm． 【答案】90 【详解】解：设1支塑料凳子的高度为xcm，每叠放1支塑料凳子高度增加ycm， 由题意可得：，解得：， ∴x+9y＝45+9×5＝90， 答：10支塑料凳子整齐地叠放在一起的高度为90cm． 故答案为：90． 4．（2025·亭湖区·校级月考）8个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图1所示，若拼成如图2所示的正方形，中间还留下一个洞，恰好是边长为2厘米的小正方形．一个小长方形的长为　　厘米． 【答案】10 【详解】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm， 由题意可得：，解得：， 答：小长方形的长为10cm． 故答案为：10． 题型三 二元一次方程的实际应用——数字游戏问题 1．（2025·鼓楼区·期中）如图，3×3的格子内填写了一些数和代数式，为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，x，y的值分别是（　　） A．﹣1，0 B．1，﹣1 C．﹣1，1 D．1，0 【答案】C 【详解】解：由题意可得：，解得：． 故选：C． 2．（2026·工业园区·校级月考）我国古代夏禹时期的“洛书”（如图①所示），就是一个三阶“幻方”（如图②所示），观察图①、图②，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系．在显示部分数据的新“幻方”（如图③所示）中，根据寻找出的关系，可推算出x，y的值分别为　　． 【答案】﹣2、﹣6 【详解】解：由图②可知：“九宫图”中各数字之间的关系： 4+9+2＝15，3+5+7＝15，8+1+6＝15，4+3+8＝15，9+1+5＝15，2+7+6＝15，4+5+6＝15，2+5+8＝15， ∴“幻方”中各行、各列、各对角线上三个数字之和相等， 由图③中的第二行与第三列可得：，解得：， ∴x、y的值分别为﹣2、﹣6． 故答案为：﹣2、﹣6． 题型四 二元一次方程的实际应用——分段计费问题 1．（2024·沛县·校级月考）为了加强人们的节水意识，合理利用水资源，某市﹣采用价格调控手段达到目的．规定：每户居民每月用水不超过6吨时，按基本价格收费；超过6吨时，超过部分要加价收费．该市某户居民今年3、4月份的用水量和收费如下表所示，试求用水收费的两种价格． 月份 用水量（单位：吨） 水费（单位：元） 3 8 28 4 9 33 【答案】不超过6吨时的价格为3元/吨，超过6吨的部分的价格为5元/吨． 【详解】解：设不超过6吨时的价格为x元/吨，超过6吨的部分的价格为y元/吨， 由题意可得：，解得：， 答：不超过6吨时的价格为3元/吨，超过6吨的部分的价格为5元/吨． 2．（2024·姜堰区·期末）根据以下素材，探索并完成任务． 水费、用水量是多少？ 素材1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段引导市民节约用水． 素材2 每户每月用水量不超过15立方米时，水费按a元/立方米收费； 每户每月用水量超过15立方米时，未超过的部分按a元/立方米收费，超过的部分按b元/立方米收费． 素材3 某用户今年4、5月份的用水量和水费如下表所示： 月份 用水量/立方米 水费/元 4 16 50 5 20 70 问题解决 任务1 确定用水单价 求a、b的值． 任务2 确定用水量 某用户预算6月份缴水费不超过80元，那么该用户这个月的用水量最多是多少立方米？ 【答案】（1）a的值为3，b的值为5； （2）该用户这个月的用水量最多是22立方米． 【详解】解：（1）由题意可得：，解得：， ∴a的值为3，b的值为5； （2）∵（80﹣15×3）÷5+15 ＝（80﹣45）÷5+15 ＝35÷5+15 ＝7+15 ＝22（立方米）， ∴该用户这个月的用水量最多是22立方米． 题型五 二元一次方程的实际应用——生产问题 1．（2025·锡山区·校级期中）盲盒近来火爆，这种不确定的“盲抽”模式受到了大家的喜爱，一服装厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，现计划用135米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则需要　　米布料做玩偶A． 【答案】81 【详解】解：由题意可得：，解得：， 答：需要81米布料做玩偶A． 故答案为：81． 2．（2025·丹徒区·月考）工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人，其中女生人数比男生人数的2倍少8人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个． （1）请问该车间有男生、女生各多少人？ （2）已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为了使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少工人负责生产大齿轮，多少工人负责生产小齿轮？ 【答案】（1）该车间有男生31人，女生54人； （2）应该分配25名工人负责生产大齿轮，60名工人负责生产小齿轮． 【详解】解：（1）设该车间有男生x人，有女生y人， 由题意可得：，解得：， 答：该车间有男生31人，女生54人； （2）设应该分配m名工人负责生产大齿轮，则分配（85﹣m）名工人负责生产小齿轮， 由题意可得：3×16m＝2×10（85﹣m），解得：m＝25， ∴85﹣m＝60， 答：应该分配25名工人负责生产大齿轮，60名工人负责生产小齿轮． 题型六 二元一次方程的实际应用——销售问题 1．（2025·沭阳县·期末）2025年亚洲冬季运动会于2月7日至2月14日在哈尔滨举行，某经销店调查发现：吉祥物“滨滨”和“妮妮”深受青少年喜爱．已知购进3个“滨滨”比购进2个“妮妮”多用80元；购进1个“滨滨”和2个“妮妮”共用160元．该商店决定购进“滨滨”和“妮妮”各100个，其总费用为（　　） A．11000元 B．10200元 C．10000元 D．9900元 【答案】A 【详解】解：设1个“滨滨”的进价为x元，1个个“妮妮”的进价为y元， 由题意可得：，解得：， ∴100x+100y＝6000+5000＝11000． 故选：A． 2．（2025·盐城·真题）我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”大意为：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分．则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺绢的价格是　　分． 【答案】6 【详解】解：设每尺绫的价格是x分，每尺绢的价格是y分， 由题意可得：，解得：， ∴每尺绢的价格是6分． 故答案为：6． 3．（2025·建邺区·校级期末）甲、乙、丙、丁四人到文具店购买同一种笔记本和橡皮，购买的数量及总价分别如表所示，若其中一人的总价算错了，则笔记本的单价为每本　　元． 甲 乙 丙 丁 笔记本（本） 15 16 18 21 橡皮（块） 25 10 30 35 总价（元） 200 158 234 273 【答案】8 【详解】解：设笔记本的单价为x元，橡皮的单价为y元， 由甲、丁的信息，可列出方程组：， 整理得：， 显然甲、丁中必有一人的总价算错了， ∴应选择乙、丙的信息列方程组， 由题意可得：，解得：， ∴笔记本的单价为每本8元． 故答案为：8． 4．（2025·无锡·校级期末）某水果销售店用1200元购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示： 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲种 5 7 乙种 10 15 （1）这两种水果各购进多少千克？ （2）由于乙种水果运输和售卖过程中出现了20%的损耗，若该水果店按售价销售完剩下的所有水果，是赚钱还是赔钱了？赚或赔了多少元？ 【答案】（1）购进甲种水果40千克，乙种水果100千克；（2）赚钱了，赚了280元． 【详解】解：（1）设购进甲种水果x千克，乙种水果y千克， 由题意可得：，解得：， 答：购进甲种水果40千克，乙种水果100千克； （2）甲种水果的销售额为40×7＝280（元）， 乙种水果的销售额为100×（1﹣20%）×15＝1200（元）， ∴总销售额为280+1200＝1480（元）， ∴1480﹣1200＝280（元）， 答：赚钱了，赚了280元． 5．（2025·丹徒区·月考）某社区超市第一次用6000元购进一批甲、乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品件数的2倍少30件，已知甲商品的进价为22元/件，售价为29元/件；乙商品的进价为30元/件，售价为40元/件． （1）求超市购进的这批货中甲、乙两种商品各有多少件？ （2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部售出后一共可获得多少利润？ （3）该超市第二次分别以第一次同样的进价购进第二批甲乙两种商品，其中乙商品的件数是第一批乙商品件数的3倍，甲商品件数不变，甲商品按照原售价销售，乙商品在原价的基础上打折销售，第二批商品全部售出后获得的总利润比第一批获得的总利润多720元，求第二批乙商品在原价基础上打几折销售？ 【答案】（1）超市购进的这批货中甲种商品150件，乙种商品90件；（2）1950元；（3）9折． 【详解】解：（1）设超市购进的这批货中乙种商品x件，甲种商品y件， 由题意可得：，解得：， 答：超市购进的这批货中甲种商品150件，乙种商品90件； （2）（29﹣22）×150+（40﹣30）×90＝1950（元）， 答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部售出后一共可获得1950元利润； （3）设第二次乙种商品是按原价打y折销售， 由题意可得：（29﹣22）×150+（40×0.1y﹣30）×90×3＝1950+720，解得：y＝9， 答：第二次乙种商品是按原价打9折销售． 题型七 二元一次方程的实际应用——过桥问题 1．（2025·海陵区·期中）为了测得隧道长度和火车通过隧道时的速度，小明和小亮在隧道两端进行观察：火车从开始入隧道到完全出隧道共用时24s，整列火车完全在隧道内的时间为16s，整列火车长240m．请你根据小明和小亮获得的数据，求隧道的长度和火车过隧道的速度． 【答案】隧道长1200m，火车过隧道的速度为60m/s． 【详解】解：设隧道的长度为xm，火车过隧道的速度为ym/s， 由题意可得：，解得：， 答：隧道长1200m，火车过隧道的速度为60m/s． 2．（2022·海州区·期末）某隧道长1200m，现有一列火车从隧道通过，测得该火车从开始进隧道到完全出隧道共用了70秒，整列火车完全在隧道里的时间是50秒，求火车的速度和长度． 【答案】火车的车身长为200米，速度是20m/s． 【详解】解：设火车的车身长为x米，速度是ym/s， 由题意可得：，解得：， 答：火车的车身长为200米，速度是20m/s． 题型八 二元一次方程的实际应用——相遇问题 1．（2025·沛县·月考）小红和小丽在400m的环形跑道上跑步，他们于同一个起点同时出发．如果同向跑，那么经过200s两人第一次相遇；如果反向跑，那么经过40s两人第一次相遇．若小红比小丽跑得快，则小红、小丽跑步的平均速度分别是多少？ 【答案】小红的平均速度是6m/s，小丽的平均速度是4m/s． 【详解】解：设小红的平均速度是xm/s，小丽的平均速度是ym/s； 由题意可得：，解得：， 答：小红的平均速度是6m/s，小丽的平均速度是4m/s． 2．（2024·徐州·期末）用二元一次方程组解决问题： A、B两地相距12km，甲骑电动车从A地出发到B地，与此同时，乙骑电动车从B地出发到A地，两人均保持匀速行驶．已知第10分钟两人相遇，又经过4分钟，甲剩余路程是乙剩余路程的8倍．求甲、乙二人的骑行速度． 【答案】甲的骑行速度为24km/h，乙的骑行速度为48km/h． 【详解】解：设甲的骑行速度为xkm/h，乙的骑行速度为ykm/h， 由题意可得：，解得：， 答：甲的骑行速度为24km/h，乙的骑行速度为48km/h． 题型九 三元一次方程组的实际应用 1．（2025·秦淮区·期末）甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需270元；购买甲1件、乙2件、丙3件，共需242元，那么购买甲、乙、丙三种商品各一件共需（　　） A．128元 B．130元 C．150元 D．160元 【答案】A 【详解】解：设甲商品的单价是x元，乙商品的单价是y元，丙商品的单价是z元， 由题意可得：， （①+②）÷4，得x+y+z＝128， ∴购买甲、乙、丙三种商品各一件共需128元． 故本题选：A． 2．（2025·玄武区·校级月考）小明两次购买三种口味奶茶的数量和总价如表．现各买一杯，需要花费的钱数是（　　） 口味 次数 茉莉 桂花 蜜桃 总价 第一次 2杯 3杯 4杯 126元 第二次 4杯 3杯 2杯 120元 A．41元 B．31元 C．40元 D．30元 【答案】A 【详解】解：设小明购买茉莉口味奶茶一杯需要花费x元，购买桂花口味奶茶一杯需要花费y元，购买蜜桃口味奶茶一杯需要花费z元， 由题意得：， ①+②，得6x+6y+6z＝246， ∴x+y+z＝41， ∴现各买一杯，需要花费41元． 故本题选：A． 3．（2023·新吴区·期末）春节来临之际，某花店老板购进大量的康乃馨、百合、玫瑰，打算采用三种不同方式搭配成花束，分别取名为“眷恋”、“永恒”、“守候”．三种花束的每一束成本分别为a元、b元和c元．已知销售每束“眷恋”的利润率为10%，每束“永恒”的利润率为20%，每束“守候”的利润率为30%，当售出的三种花束数量之比为2：3：4时，老板得到的总利润率为25%；当售出的三种花束数量之比为3：2：1时，老板得到的总利润率为20%，则a：b：c为（　　） A．1：2：3 B．1：3：4 C．2：3：5 D．3：4：5 【答案】A 【详解】解：由题意可得：，解得：， ∴a：b：c＝a：2a：3a＝1：2：3． 故本题选：A． 题型一 二元一次方程组的实际应用——几何问题（升级版） 1．（2025·盐城·校级期中）某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） 观察发现： 长方形铁片张数 正方形铁片张数 1个竖式无盖铁容器中 4 1 1个横式无盖铁容器中 3 2 （1）如果加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，则共需要长方形铁片　　张，正方形铁片　　张； （2）现有长方形铁片155张，正方形铁片70张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ （3）把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒．现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，再加工成铁盒，每张铁板的裁法有①裁3个长方形铁片；②裁4个正方形铁片；③裁1个长方形铁片和2个正方形铁片．若充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？ 【答案】（1）（4m+3n），（m+2n）； （2）加工的竖式铁容器有20个，横式铁容器各有25个； （3）最多可加工铁盒19个． 【详解】解：（1）由题意可得：如果加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器， 则共需要长方形铁片（4m+3n）张，正方形铁片（m+2n）张， 故答案为：（4m+3n），（m+2n）； （2）设加工的竖式铁容器有m个，横式铁容器有n个， 由题意可得：，解得：， 答：加工的竖式铁容器有20个，横式铁容器各有25个； （3）设做长方形铁片的铁板x张，做正方形铁片的铁板y张， 由题意可得：，解得：， ∴25×3＝75（片），9×4＝36（片）， ∴在这35张铁板中，25张做长方形铁片可做75片，9张做正方形铁片可做36片， 剩1张可裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片， ∴共可做长方形铁片75+1＝76（片），正方形铁片36+2＝38（片）， ∴可做铁盒76÷4＝19（个）， 答：最多可加工铁盒19个． 题型二 二元一次方程组的实际应用——方案选择问题 1．（2025·江阴市·校级月考）2024年12月4日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”列入联合国教科文组织人类非文化遗产代表作名录．截至目前，我国有44个项目列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录、名册，总数位居世界第一．每逢春节，为了营造喜庆祥和的氛围，家家户户都会挂上红红的灯笼．在春节前夕，某商家购进A，B两种型号的灯笼共100对，共用去3780元，这两种型号的灯笼的进价、售价如下表： 型号 进价（元/对） 售价（元/对） A 54 72 B 27 32 （1）求该商家购进A，B两种型号的灯笼各多少对？ （2）为迎接新春到来，某单位购买A，B两种型号的灯笼（两种型号都购买）共花费336元，请你计算购买A，B两种型号的灯笼各多少对？并计算此时商家获利多少元？ 【答案】（1）购进A种型号的灯笼40对，B种型号的灯笼60对； （2）购进A种型号的灯笼2对，B种型号的灯笼6对，此时商家获利66元． 【详解】解：（1）设商家购进A种型号的灯笼a对，B种型号的灯笼b对， 由题意可得：，解得：， 答：商家购进A种型号的灯笼40对，B种型号的灯笼60对； （2）设商家购进A种型号的灯笼x对，B种型号的灯笼y对， 由题意可得：72x+32y＝336， ∴9x+4y＝42， ∵两种型号都购买， ∴x，y均为正整数， 当x＝1时，，不合题意； 当x＝2时，y＝6，符合题意； 当x＝3时，，不合题意； 当x＝4时，，不合题意； 当x＝5时，，不合题意； ∴购进A种型号的灯笼2对，B种型号的灯笼6对， 此时商家获利2×（72﹣54）+6×（32﹣27）＝36+30＝66（元）， 答：购进A种型号的灯笼2对，B种型号的灯笼6对，此时商家获利66元． 2．（2026·工业园区·校级月考）某学校组织爱心义卖，七（1）班选定一家商店采购钥匙扣和玩偶两种商品，钥匙扣每个4元，玩偶每个2元．为支持爱心事业，该商店推出两种优惠方案： 方案一 购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠 方案二 购买玩偶满50个时，立减10元 （1）若班委购买了钥匙扣和玩偶共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，则班委购买了钥匙扣和玩偶各多少个？ （2）现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案． 【答案】（1）班委购买了钥匙扣50个、玩偶30个； （2）方案1：购买钥匙扣35个、玩偶70个；方案2：购买钥匙扣40个、玩偶62个；方案3：购买钥匙扣45个、玩偶54个． 【详解】解：（1）设班委购买了钥匙扣x个、玩偶y个， 由题意可得：，解得：， 答：班委购买了钥匙扣50个、玩偶30个； （2）设购买钥匙扣a（a＞30）个、玩偶b（b≥50）个， 由题意可得：4×30+3.2（a﹣30）+2b﹣10＝266， ∴， ∵a、b是正整数，且a＞30，b≥50， ∴或或， ∴共有以下3种购买方案： 方案1：购买钥匙扣35个、玩偶70个； 方案2：购买钥匙扣40个、玩偶62个； 方案3：购买钥匙扣45个、玩偶54个． 3．（2025·沛县·月考）某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表所示： 类型 进价/（元/个） 售价/（元/个） A款 m 120 B款 n 90 若该商场购进4个A款足球和11个B款足球需980元；购进2个A款足球和3个B款足球需340元． （1）求m和n的值； （2）某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3000元，那么该商场可获利多少元？ （3）为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售卖出两款足球总计盈利600元，那么该日商场销售A，B两款足球各多少个（每款都有销售）？ 【答案】（1）m的值为80，n的值为60； （2）可获利1000元； （3）销售13个A款足球、9个B款足球或6个A款足球、18个B款足球． 【详解】解：（1）由题意可得：，解得：， ∴m的值为80，n的值为60； （2）由题意可得：120x+90y＝3000， ∴40x+30y＝1000， ∴（120﹣80）x+（90﹣60）y＝40x+30y＝1000， 答：该商场可获利1000元； （3）设该日商场销售a个A款足球，3b个B款足球， 由题意可得：（120﹣80﹣10）a+（90×3﹣60×3﹣10×2）b＝600， ∴， 又∵a，b均为正整数， ∴或， ∴或， 答：该日商场销售13个A款足球、9个B款足球或6个A款足球、18个B款足球． 4．（2024·海州区·校级月考）某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨30%，20%． 购进的台数 购进所需要的费用（元） A型 B型 第一次 10 20 3000 第二次 15 10 4500 （1）求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？ （2）A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元． ①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？ ②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为1000元，求有哪几种购进方案？ 【答案】（1）第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元； （2）①A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元； ②有4种购进方案： 方案1：购进A型台灯2台，B型台灯14台；方案2：购进A型台灯5台，B型台灯10台； 方案3：购进A型台灯8台，B型台灯6台；方案4：购进A型台灯11台，B型台灯2台． 【详解】解：（1）设第一次购进A型台灯每台进价为x元，B型台灯每台进价为y元， 由题意可得：，解得：， 答：第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元； （2）①设A型台灯每台售价为m元，B型台灯每台售价为n元， 由题意可得：，解得：， 答：A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元； ②第二次购进的A型台灯的价格为：200（1+30%）＝260（元）， 第二次购进的B型台灯的价格为：50（1+20%）＝60（元）， 设购进A型台灯a台，B型台灯B台， 由题意可得：（340﹣260）a+（120﹣60）b＝1000，整理得：4a+3b＝50， ∵a、b为自然数， ∴或或或， ∴有4种购进方案： 方案1：购进A型台灯2台，B型台灯14台；方案2：购进A型台灯5台，B型台灯10台； 方案3：购进A型台灯8台，B型台灯6台；方案4：购进A型台灯11台，B型台灯2台． 题型一 三元一次方程组的实际应用（升级版） 1．（2025·常州·模拟）现有3张扑克牌，它们所标数字分别为正整数a、b、c，且1≤a＜b＜c≤9．甲、乙、丙三个同学同时从这3张扑克牌中随机各拿一张，获得与扑克牌所标数字相同数量的糖果后，完成一次游戏．已知甲、乙、丙3次游戏获得糖果之和分别为20颗、10颗、9颗，则正整数a、b、c分别为　　． 【答案】1，4，8 【详解】解：由题意可得：3（a+b+c）＝20+10+9， ∴a+b+c＝13， ∵1≤a＜b＜c≤9， ∴或或或或或或， 又∵甲、乙、丙3次游戏获得糖果之和分别为20颗、10颗、9颗，且8+8+4＝20，8+1+1＝10，4+4+1＝9， ∴， ∴这三张牌的数字分别是1，4，8． 故本题答案为：1，4，8． 2．（2024·沭阳县·校级月考）阅读理解：已知实数x，y满足3x﹣y＝5…①，2x+3y＝7…②，求x﹣4y和7x+5y的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： （1）已知二元一次方程组，则x﹣y＝　　，x+y＝　　； （2）买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需多少元？ （3）对于实数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a，b，c是常数，等式右边是实数运算．已知3*5＝15，4*7＝28，求1*1的值． 【答案】（1）﹣1，5；（2）购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需30元；（3）﹣11 【详解】解：（1）， 由①﹣②，得x﹣y＝﹣1， ①+②，得3x+3y＝15， ∴x+y＝5， 故本题答案为：﹣1，5； （2）设铅笔单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元， 由题意可得：， 由①×2﹣②，得m+n+p＝6， ∴5m+5n+5p＝5×6＝30， 答：购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需30元； （3）由题意可得：， 由①×3﹣②×2，得a+b+c＝﹣11， ∴1*1＝a+b+c＝﹣11． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $