广东汕头市潮阳某校2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试卷

2025~2026学年度第二学期第一次月考考试 高二数学试卷 一单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。 1.若集合A=-1sx<3,B-(0,12,3),则AnB=() A.{-L0123)B.{-10l,2 c.[0,1,2 D.{1,2 2.复数:满足(z+1)i=1-方(i为虚数单位),则:的共轭复数的虚部是() A-3 B.-3i C.1 D.i 3.已知双曲线C的一条渐近线的斜率为乏,且焦点在x轴上,则C的离心率为() A月 8. c.6 2 4.已知向量 =(2,1),b=(2,2),c=(-4,),2, 均为实数,且a16, ∥c,则3a-6+2=() A25 B.16 C.5 D.4 5.f(x)是定义在(0,∞)上的非负可导函数,且满足可'(x)-∫(x)<0,对任意正数a,b,若a<b, 则必有() A.af(b)<bf(a) B.f(a)<吋(b) c.a时(a)<bf(b) D.bf(b)<af(a) 6.四名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队和排球队,每人限报其中的一支,那么不同的报名方 法有()种, A.12 B.16 C.81 D.256 7.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意实数x满足f(x)=f(2-x),且f()=1,则f(2019)= () A.-1 B.0 C.1 D.2 8.已知正实数a,b满足a-2na=2nb-4b+4,则a+b为() B.2 c 7 0.2 二、多选题:本题共3小题,共18分。选错不给分,选少的平均给分。 9.如图,点P在正方体ABCD-ABCD的面对角线BC,上运动(P点异于B,C点),则下列结论正 确的是() A、异面直线BD与AB所成角为60 B.BD⊥平面ACD C.三棱锥P-ACD的体积不变 D.直线AP与平面ADCB所成角正弦值的取值范围为 10.已知抛物线x2=4y的焦点为F,过F的直线与抛物线交于A、B两点,下列说法正确的有() A.抛物线准线方程为x=-1 B.若AB=8,则线段AB中点到x轴距离为3 C.AF的最小值为2 D.以线段AB为直径的圆与准线相切 11.在 ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,asin A+bsin B=c,cosAcos B= , ABC 的面积为2√3,则下列结论正确的是() A.s咖Asi如B= 4 B.sin A+sinB=3+1 C.a=2 D.c=4 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.从0,1,2,3中任取3个数字,可以组成没有重复数字的三位数的个数是人5、(用数字作答 13.已知等比数列{an}满足a=1,44=16(a,-4),则a2=l 14.已知函数f(x)=x2-ax+21nx有两个不同的极值点x,和x2,f(x)+f(:2)<t(x+x2)恒成立 ,则实数t的取值范围是 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 15,(本小题13分)在 ABC中、内角A、B,C所对的边长分别是a,b,c,2c-2 acos B=V5%, (1)求角A: (2)若a=1,b0=25,c>b,求AB边上的高、 16.(本小题15分)已知数列{a.}满足4=1,a=8 a。+2 (1)证明: 数列 +1 是等比数列,并求a.: a设6-o++ 求数列{b,}的前n项和S,: 17、(本小题15分)把一副三角板按如图所示的方式拼接,其中B=AC=3,∠BAC=∠BCD: ∠CBD=30,将 ABC沿BC翻折至 PBC,使得二面角P-BC-D为直二面角. (1)证明:PB⊥平面PCD; (2)若P,D,C,D在同一个球面上,求该球的半径: ()求平面PBD与平面BCD所成角的余弦值. a:(本小愿17分)设椭圆C:二+i@>>0的右焦点为P,上顶点为A,已知o4oF(0为型 标原点)的面积为 : ()求C的离心率: (2)设B为椭圆C上一动点,已知|AB|的最大值为2. ()求C的方程: (I)若B在第一象限内,连接BF,过A作BF的平行线交C于另一点D,记 ABD与 ABF的面积分 别为SS,求的最大值, 19.(本小题17分)已知函数∫(x)=ax2-3 axInx,a>0. (1)当a=1时,求曲线y=∫(x)在(1,∫()处的切线方程: (2)讨论(x)的零点个数: 日当a>时,证明:f>2. 高二下学期数学第一次月考参考答案 1-5:CC D C A 6.C【详解】由题意知,每名学生都有3种报名情况, 由分步乘法计数原理可得,不同的报名方法有3 3 3 3=81种故选:C 7.A【详解】函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f()=f(2-x),所以f(x)=f(2-x)=-∫(:-2), 所以f(x)的周期为T=4,所以f(2019)=f(-1+505 4)=f(-1),因为f(x)是定义在R上的奇函数, 所以∫(-1)=-f(1)=-1故选:A. 8.C【详解】等式左边:设f=x-2hxt>0),求导得f冈=1-2-2 0<x<2时(x)<0,,f(x)在(0,2)单调递减,x>2时f"(x)>0,f(x)在(2,+∞)单调递增, 因此f(x)的最小值为f(2)=2-2h2,所以f(x)22-2h2, 等式右边:设g(x)=2血x-4x+4(x>0),求导得g0)=2-4=20-2四 0<x<时,8(>0,8冈在(0号单调递增,x>号时,g()k0,8(y在行单调递减。 因此g钊的最大值为月=-2h2-2+4=2-2h2,所以(≤2-2h2。 又@=g,因此仅当/o)=g=2-2h2时等式成立,即a=2,6=, 15 故a+b=2+22 9.ABC 【详解】 D 对于A,因为正方体中BD∥BD,且 AB,D为等边三角形,故异面直线BD与AB夹角为∠ABD,=60 , 故A正确: 对于B,由正方体的性质可知AC⊥BD,AC⊥BB,BD,BB,C平面DBB,BDCBB=B, AC⊥平面DBB,又因为B,Dc平面DBB,AC⊥BD, 同理可得DC⊥平面DCI,又因为B,Dc平面DCA,D,C⊥B,D 又因为AC,D,Cc平面ACD,ACnDC=C, B,D⊥平面ACD,故B正确: 对于C,因为BC IIAD,BC工平面ACD,,AD,C平面ACD,所以BCII平面ACD,. 所以'acm=P-och=Pa c为定值,故C正确: 对于D,建立如图所示直角坐标系,设正方体的棱长为1,BP=ABC,(0<无<1): 则A(10,0),B1,1,1).G(0,1,0)、B(l,0),C(0,11). 从而B距=BC,=(-2,0,-1),4P=AB+B丽=(人入,L,1-). 由正方体的性质知:BA⊥CB,BC⊥CB,BCBA=B,BC,BAc平面ADC,B, 即CB⊥'平面AD,C,B,故平面AD,C,B的法向量可取为B,C=(-L,0,1) 直线AP与平面0C 所成角正弦值为s如0-m(丽万-2+22- |2+1- 1 因为0<1,-+1-(-+[2别小 所以sin0= 15 2-+1(23 故D错误故选:ABC 10.BD 【详解】如图, y y-l 对于A:抛物线x2=4y的准线方程为y=-1,焦点为(0,1),故A错误: 对于B:设A(x,),B(32,2),由抛物线定义可得|A=h+1,BF=+1, AB=4P+B=y+2+2=8,解得片+为=6,中点纵坐标为3,所以中点到x轴距离为3,故B正 确:对于C:A=y+1,因为y>0,所以AF>I,所以AF不存在最小值,故C错误; 对于D:设B中点为M(,,则%=丛,圆的半径为r=4码++2=y+1, 2 2 2 中点M到准线y==1的距离为y。-(-1)=+1,恰好等于半径,故D正确故选:BD. 11.ABD【详解】因为asin A-+bsinB=c,所以,根据正弦定理边角互化得sin2A+sin2B=sinC, 因为Ce(0,元),sinCe(0,1],所以sinC≥sin2C,即sin2A+sin2B=sinC≥sin2C 所以+a≥e,由余弦定理可知,oasc20,放ce0引 若CeQ宁,则4+B>行,注意到cos4cs8= 40, 所以c@s小>0casB>0(两者同负会有两个纯角,不成立),即么Be0,号 ,因为A+B>6>2B, 2 4经-B都是锐角,以血4>m(行-B0sB>0, 于是sinC=sin2A+sinB>cos2B+sin2B=1,这和sinC≤1相矛盾,故Ce(0孕不成立,所以C= 所以4+B=受smA=c0 B.co=snB,所以s如46in8=co4co=5,A选项正确: 4 ?9拒=8怕‘立=8z在克=az泊地‘头=8Zs馆 大=92ms2=gs00gs=qs00ys0n. 2 3 当B=时,A=, 血4+油.5:当9-。4-骨血血,故B选项正确: 2 2 因为61c的面积为25,所以.当8-号4-管时,b=a,Q=2a,c助-9d-25. 1 6 2 解得a=2,b=25,c=4:当8=后4=号时,0=,c=2b,9c-b=562=25, 1 2 2 解得b=2,a=2√3,c=4;所以C选项错误,D选项正确.故选:ABD 12.18【详解】根据题意,该三位数的百位数字不能为0,所以只能从1,2,3中任取1个数字,有C=3 种选择;而十位数字和个位数字可从剩余的3个数字中任选2个即可,有A子=6种选择, 所以从0,1,2,3中任取3个数字,可以组成没有重复数字的三位数的个数为3 6=18种选择. 故答案为:18 13.2【详解】由aa=16(a-4)可得a=16(a4-4)=(a。-8)2=0 a=8, 又a=1,所以a。=a9,故g=2,故a2=a9=2,其中g为公比. 14.【-3,+o)【详解】由题意知∫(x)=x2-m+2Ir的定义域为(0,+o). 且=2x-r+2,令∫)=0,得2x2-x+2=0,此方程有两个不相等的正根,5 x 1 [ =a3-16>0 则5+名=号>0,即a>4, x为,=1>0 f+%)-+2+-s+2=6+-246-ag+)+2)-月-2受+2l-号-2 又*号30,则-号子非+)恒度立 为+x2 因为函数y=x+8在[4,+四)上单调递增, 放a+24+2=6,即-a+-3,所以1e-3o. 15.(山后包5【详解】(1)因为2c-2a0sB=6,根据正弦定理得25nC-2s血4cos=56如B 因为C=元-(A+B),所以sinC=sin(A+B),所以2sin(A+B)-2 sin AcosB=V3sinB,一-4分 所以2 cos AsinB=5sinB,因为Be0,),所以sinB≠0,所以cosA=5,因为AE(0,,所以 2 4=至-6分 61 (2)根据余弦定理得,a2=b2+c2-2 becos红,将a=1,bc=25代入上式整理得,b+c2=7, 6 又因为bc=2√5且b<c,解得b=√5,c=2,-9分,所以a2+b2=c2,所以 ABC为以AB为 解边的直角三角形,所以斜边8上的高为h=中-X5-5一一-13分 c22 16。国证明见解折,。,=2 (2)Sn=(2n-1) 2+2 【详解1由a=82可得=2+1,所以+1=2仁+1, a+2 anil an antl a. -3分 又4=1+1=2,所以仁+1是以2为首项,2为公比的等比数列, 一5分 a 则1日+=2a2 -7分 (2)由1)可知6=(2a+2++)2-+13]2-32,所以 Sn=(2 2-3) 22-(2 1-3) 2+(2 3-3) 23-(2 2-3) 22 ++「2(n+1)-3-24-(2n-3)-2”=「2(n+1)-3]2"+2=(2n-1) 21+2. 一15分(用错位相减法求和也可行) 17.【详解】(1)二面角P-BC-D为直二面角,即平面PBC⊥平面BCD, 又因为CD⊥BC,CDc平面BCD,平面PBC∩平面BCD=BC, 所以CD⊥平面PBC. 一一3分 又因为PBc平面PBC,所以PB⊥CD. 由题意PB⊥PC,CDnPC=C,CD,PCc平面PCD, 所以PB⊥平面PCD. 5分 M (2)取BC中点O,BD中点M,连接OP,OM, 则OM⊥BC,OM/ICD, 因为CD⊥平面PBC,OPc平面PBC,所以CD⊥OP,所以OM⊥OP, 在 ABC中,PB=PC,O为BC中点,所以OP IBC 以OB,OMOp}为正交基底建立如图所示空间直角坐标系O-z, 则aa9小qa0小A5小 设该球的球心坐标为(x,y,z),则 (96-矿 解得x=0,y= ,2=0 2 -10分 (3)取BC中点O,在 BCD中,过O作OH⊥BD,垂足为H,连接PH, 平面PBC⊥平面BCD,OP⊥BC,OPc平面PBC,平面PBC∩平面BCD=BC,所以OP⊥平面BCD. 而BDC平面BCD,故OP⊥BD,又因为OH⊥BD,OP∩OH=O,OP,OHC平面OPH,故BD⊥平面 OPH,而PHc平面,OPH,所以PH⊥BD,则PHO为平面PBD与平面BCD的所成角. 直角三角形ABC中,OP=3 2 OH=OB sin30 = 32135 224 3W2 cos∠PHO= OH 4 5 PH 32 5 2 所以平面PBD与平面BCD所成角的余弦值为5 -15分 189 2))号+y=1:04 【详解】(1)易知OA=b,OF=c, 所以 AOF的面积为S=c_b ,可得b=c, 22 又因为a2=b2+c2,可知a2=2b2=2c2: 故c的离心率为e=9-2 -4分 a 2 (2)()由(1)可知C的方程可设为三+ 26+6京=1: 设8,w小.则系+答1,可得-28-2,又408. 故1AB=V8+(y-b2=√32-2好+%-20+b2=坊-2y+3为2=寸。-b+62 因为%∈[-b,b],所以y。=b时,IAB|取得最大值为2b, -7分 即2b=2,解得b=1. 故C的方程为+y=1-产 -9分 (m)设B(,%),则专+乃=16>0,%>0),所以F(山,0): 当=1时。此时直钱即的解率不在,可得}, D0,-1, &-402=25 故S,BF2 -11分 当名1时,此时直线F的斜率为如名,可得直线0的方程为y=兰x+1, xo-1