专题01 第四章 等差数列与等比数列（11考点清单，知识导图+12个题型解读&提升训练）-2024-2025学年高二数学下学期期中考点大串讲（人教A版2019）

清单01 第四章 等差数列与等比数列 （11个考点梳理+12题型解读+提升训练） 清单01 等差数列的有关概念 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示． 清单02 等差数列的通项公式 首项为,公差为的等差数列的通项公式为 . 清单03 等差数列判断（证明）方法 (1)定义法（或者）(是常数)是等差数列． (2)等差中项法： ()是等差数列． (3)通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数） (4)前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项） 提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法 清单04 等差数列性质 ① ②若，则（特别的，当，有） 清单05 等差数列前N项和 1、首项为，末项为的等差数列的前项和公式 2、首项为，公差为的等差数列的前项和公式 清单06 等差数列前n项和性质 (1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为 (2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列 (3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则 (4)若等差数列的项数为,则 ，。 (5)若等差数列的项数为,则，，， 清单07 等比数列概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示() 符号语言（或者）(为常数，，) 清单08 等比数列判断与证明 1、定义：（或者）（可判断，可证明） 2、等比中项法：验证（特别注意）（可判断，可证明） 3、通项公式法：验证通项是关于的指数型函数（只可判断） 清单09 等比数列常用性质 设数列是等比数列，是其前项和． （1） (2)若，则，其中.特别地，若，则，其中. 清单10 等比数列前n项和 若等比数列的首项为,公比为,则它的前项和 清单11 等比数列前n项和性质 公比为的等比数列的前项和为,关于的性质常考的有以下四类: (1)数列，，，,…组成公比为（）的等比数列 (2)当是偶数时, ;当是奇数时, (3) 【考点题型一】判断数列是否为等差（等比）数列（） 【例1-1】（24-25高三上·福建福州·期末）设是无穷数列，，则“是等差数列”是“是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例1-2】（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期末）设数列，都是等比数列，则在4个数列，，，中，一定是等比数列的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】.（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知是无穷数列，，则“对任意的，都有”是“是等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-2】.（24-25高二·全国·课后作业）已知数列是公比为的等比数列，则以下数列：①；②；③；④中等比数列的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点题型二】证明数列是等差（等比）数列（） 【例2-1】（24-25高二下·全国·随堂练习）已知数列满足.求证：是等差数列，并求的通项公式； 【例2-2】（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，． (1)证明：为等比数列； 【变式2-1】.（24-25高三下·湖南永州·开学考试）已知函数，点在曲线 上，且 ． (1)求证：数列为等差数列； 【变式2-2】.（23-24高三上·安徽）已知数列的前n项和． （1）证明：是等比数列． 【考点题型三】等差（等比）数列的单调性（） 【例3】（24-25高二上·浙江温州·期末）若正项数列是等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-1】.（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-2】.（多选）（24-25高二上·陕西西安·期末）已知等比数列是递减数列，是其公比，则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】.（2024高二·全国·专题练习）已知，是等差数列的图象上的两点． (1)求数列的通项公式； (2)画出数列的图象； (3)判断数列的单调性． 【考点题型四】求等差（等比）数列中的最大项（） 【例4】（24-25高三上·广西贵港·阶段练习）已知等差数列的前项和是，则数列中最小的项为第 项. 【变式4-1】.（多选）（23-24高一下·湖南岳阳·期末）等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，．给出下列结论其中正确的结论是（    ） A． B． C．的值是中最大的 D．T99的值是Tn中最大的 【变式4-2】.（2024·福建·模拟预测）设正项等比数列的前n项和为，，若，则数列中最大的项为 . 【变式4-3】.（23-24高二上·河南郑州·开学考试）等差数列中，，，给出下列命题：①，②，③是各项中最大的项，④是中最大的值，⑤为递增数列.其中正确命题的序号是 . 【考点题型五】等差数列角标和性质（） 【例5】（24-25高二上·江苏扬州·期末）设等差数列的前项和为，已知，，则（   ） A．50 B．60 C．70 D．80 【变式5-1】.（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知是等差数列的前项和，且，则（   ） A．55 B．50 C．100 D．58 【变式5-2】.（24-25高二上·广西玉林·期末）记等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】.（24-25高二下·北京·阶段练习）已知数列为等差数列，，则 ． 【变式5-4】.（2025·河北·一模）在等差数列中，，则 . 【考点题型六】等比数列角标和性质（） 【例6】（24-25高二上·湖北咸宁·期末）设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A． B． C．14 D．15 【变式6-1】.（2025高三·全国·专题练习）在等比数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】.（2025高三·全国·专题练习）在等比数列中，，是方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D．或 【变式6-3】.（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）在等比数列中，，则 ． 【变式6-4】.（2025高三·全国·专题练习）已知在等比数列 中， ， ，则 【考点题型七】等差（等比）数列前项和的基本量计算（） 【例7】（24-25高二·全国·课堂例题）在等比数列中： (1)若，且，求； (2)若，求和公比q． 【变式7-1】.（安徽省蚌埠市2025届高三第二次教学质量检查考试数学试卷）已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，则正整数的值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【变式7-2】.（24-25高三下·河北邢台·阶段练习）已知等差数列的前项和为，则公差（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式7-3】.（24-25高三下·河南新乡·阶段练习）已知各项均为正数的等比数列的前项和为，，则的值为（    ） A．5 B．10 C．9 D．6 【变式7-4】.（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知各项均为正数的等比数列的前n项和，，， . 【考点题型八】等差数列前项和性质（片段和性质）（） 【例8】（2025高三·全国·专题练习）设等差数列的前项和为，若，则 . 【变式8-1】.（24-25高二下·四川巴中·阶段练习）已知是等差数列的前n项和，若，，则（   ） A．75 B．65 C．50 D．55 【变式8-2】.（2025·吉林长春·二模）已知等差数列的前n项和为，若，则的值为（   ） A．0 B．3 C．6 D．12 【变式8-3】.（24-25高二上·湖北咸宁·期末）在前n项和为的等差数列中，，，则 . 【变式8-4】.（24-25高二上·福建福州·阶段练习）等差数列的前项和记为，若，，则 . 【考点题型九】等差数列前项和性质（两个等差数列的比值）（） 【例9】（重庆市部分区县2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题）等差数列的前项和分别是，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】.（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】.（2025届高三筑梦杯第四次线上联考数学试题）数列，均为等差数列，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【变式9-3】.（24-25高二上·安徽宣城·期末）已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则 . 【变式9-4】（24-25高三上·河南漯河·期末）已知、分别为等差数列、的前项和，，则 ． 【考点题型十】等比数列前项和性质（片段和性质）（） 【例10】（24-25高二下·广西南宁·开学考试）设是等比数列的前项和，若，，则（    ） A．24 B．36 C．42 D．108 【变式10-1】.（24-25高二·全国·课堂例题）记等比数列的前n项和为，若，，则（   ） A．24 B．28 C．48 D．84 【变式10-2】.（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知等比数列的前项和为，若，则 ． 【变式10-3】.（24-25高二上·陕西咸阳·期末）设各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则 ． 【变式10-4】（24-25高二上·山东烟台·期末）已知为等比数列的前项和，且，则的值为 ． 【考点题型十一】等差（比）数列前项和性质（奇偶项和性质）（） 【例11】（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）设为等差数列的前项和.若公差，且，则的值为（    ） A．60 B．70 C．75 D．85 【变式11-1】.（24-25高二·全国·课堂例题）若等差数列的项数为，则 ． 【变式11-2】.（24-25高二上·全国·随堂练习）若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ． 【变式11-3】.（24-25高二上·全国·课堂例题）若等比数列共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为 ，项数为 ． 【变式11-4】（2024高二上·全国·专题练习）已知等差数列的项数为奇数，且奇数项和为，偶数项和为，则数列的中间项为 ；项数为 ． 【考点题型十二】已知与（）的关系，求（） 【例12】（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）数列中的前n项和，则的通项公式为 ． 【变式12-1】.（23-24高二上·陕西西安·期末）设为数列的前n项和，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】.（24-25高二上·福建漳州·阶段练习）已知数列的前项和为满足.则 ；设，求数列的前项和 . 【变式12-3】.（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足，则 . 【变式12-4】（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期末）设为数列的前项和，. (1)求； (2)证明是等差数列. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高二下·广西桂林·阶段练习）在数列中，则“”是“数列为等差数列”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 2．（2025·山东潍坊·三模）已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．12 B．14 C．42 D．84 3．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知为等差数列，则（    ） A．126 B．144 C．162 D．180 4．（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）设是等比数列，成等差数列，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 5．（重庆市拔尖强基联盟（西南大学附属中学校等）2024-2025学年高二下学期3月联合考试数学试卷及答案）已知数列是等比数列，若，则（    ） A． B．3 C． D． 6．（2025·河北唐山·一模）若等比数列的前项和，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 7．（24-25高二下·河北张家口·开学考试）已知数列的前项和为，且，，则的值为（   ） A．360 B．480 C．960 D．1280 8．（2025·安徽安庆·二模）已知等比数列的前项和为，若，且与的等差中项为，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（云南省2025届高中毕业生第一次复习统一模拟检测数学试题卷（七））定义数列的 “差分数列”：.若数列的 “差分数列”是公差为的等差数列，且，，则（ ） A． B． C． D．数列的前项和 10．（2025·河南信阳·一模）对于给定数列，如果存在常数p，q使得对于任意都成立，我们称数列是“数列”.下列说法正确的有（   ） A．若，，则数列是“数列” B．共，，则数列是“数列” C．若数列是“数列”，则数列不是“H数列” D．若数列满足，，t为常数，则数列前2024项的和为 三、填空题 11．（24-25高二下·安徽·阶段练习）已知各项均不为零的数列，其前项和是，且．若为递增数列，，则的取值范围是 ． 12．（24-25高二下·陕西西安·阶段练习）在单调递增数列中，已知，且成等比数列，成等差数列，那么 ． 四、解答题 13．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知数列为等差数列，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列前项和的最大值． 14．（2025高三下·全国·专题练习）若数列的前n项和为，且满足． (1)求证：是等差数列； (2)求数列的通项公式． 15．（24-25高二下·河南商丘·开学考试）已知等比数列的公比，，． (1)求； (2)设，若，求． 16．（23-24高二上·云南昭通·开学考试）（1）已知数列是等差数列，若，，求； （2）在等比数列中，，，求和公比. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 第四章 等差数列与等比数列 （11个考点梳理+12题型解读+提升训练） 清单01 等差数列的有关概念 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示． 清单02 等差数列的通项公式 首项为,公差为的等差数列的通项公式为 . 清单03 等差数列判断（证明）方法 (1)定义法（或者）(是常数)是等差数列． (2)等差中项法： ()是等差数列． (3)通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数） (4)前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项） 提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法 清单04 等差数列性质 ① ②若，则（特别的，当，有） 清单05 等差数列前N项和 1、首项为，末项为的等差数列的前项和公式 2、首项为，公差为的等差数列的前项和公式 清单06 等差数列前n项和性质 (1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为 (2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列 (3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则 (4)若等差数列的项数为,则 ，。 (5)若等差数列的项数为,则，，， 清单07 等比数列概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示() 符号语言（或者）(为常数，，) 清单08 等比数列判断与证明 1、定义：（或者）（可判断，可证明） 2、等比中项法：验证（特别注意）（可判断，可证明） 3、通项公式法：验证通项是关于的指数型函数（只可判断） 清单09 等比数列常用性质 设数列是等比数列，是其前项和． （1） (2)若，则，其中.特别地，若，则，其中. 清单10 等比数列前n项和 若等比数列的首项为,公比为,则它的前项和 清单11 等比数列前n项和性质 公比为的等比数列的前项和为,关于的性质常考的有以下四类: (1)数列，，，,…组成公比为（）的等比数列 (2)当是偶数时, ;当是奇数时, (3) 【考点题型一】判断数列是否为等差（等比）数列（） 【例1-1】（24-25高三上·福建福州·期末）设是无穷数列，，则“是等差数列”是“是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断等差数列 【分析】利用等差数列的定义，判断出是等差数列则也是等差数列，而也是等差数列不一定是等差数列，可得答案. 【详解】若是等差数列，设公差为, 则， 则， 所以是等差数列； 若是等差数列，设公差为, 则， 即的奇数项是等差数列，偶数项是等差数列， 则不一定是等差数列， 所以“是等差数列”是“是等差数列”的充分不必要条件. 故选：A. 【例1-2】（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期末）设数列，都是等比数列，则在4个数列，，，中，一定是等比数列的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】由定义判定等比数列 【分析】取，可判断；取 ，可判断；利用等比数列的定义可判断，. 【详解】对于，不妨取，则数列、都是等比数列， 但对任意的，，故数列不是等比数列； 对于，不妨取，则数列、都是等比数列， 但当时，，故数列不是等比数列； 设等比数列、的公比分别为，其中， 对任意的，， 对于，，即数列为等比数列； 对于，，故为等比数列， 故，一定是等比数列. 故选：B. 【变式1-1】.（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知是无穷数列，，则“对任意的，都有”是“是等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断等差数列、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据充分性和必要性的判断，直接论证即可. 【详解】对任意的，都有， 令，可以得到，因此是公差为的等差数列； 若，则，，，可得， 故“对任意的，都有”是“是等差数列”的充分不必要条件. 故选：A 【变式1-2】.（24-25高二·全国·课后作业）已知数列是公比为的等比数列，则以下数列：①；②；③；④中等比数列的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】由定义判定等比数列、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等比数列的定义逐个判断即可得解. 【详解】数列是公比为的等比数列， ①不是定值，故不是等比数列； ②为定值，故是公比为的等比数列； ③为定值，故是公比为的等比数列； ④为定值，故是公比为的等比数列；故等比数列的个数是3个. 故选：C 【考点题型二】证明数列是等差（等比）数列（） 【例2-1】（24-25高二下·全国·随堂练习）已知数列满足.求证：是等差数列，并求的通项公式； 【答案】证明见解析， 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】将两边取倒数，得到，结合等差数列的定义即可证明，再求出的通项公式，即可得解. 【详解】因为，所以， 所以，又，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，则. 【例2-2】（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，． (1)证明：为等比数列； 【答案】(1)证明见解析 【知识点】等比数列的定义、错位相减法求和 【分析】（1）根据等比数列的定义证明数列为等比数列 【详解】（1）由已知得． 又因为， 所以是首项为2，公比为2的等比数列； 【变式2-1】.（24-25高三下·湖南永州·开学考试）已知函数，点在曲线 上，且 ． (1)求证：数列为等差数列； 【答案】(1)证明见解析 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、裂项相消法求和 【分析】（1）将点代入，化简推出，利用等差数列的定义即可证得； 【详解】（1）因为点在曲线上， 所以，且 ， ， 故数列是首项为1，公差为4的等差数列． 【变式2-2】.（23-24高三上·安徽）已知数列的前n项和． （1）证明：是等比数列． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、前n项和与通项关系、等比数列的定义 【解析】（1）根据，利用数列通项和前n项和的关系求得，再利用等比数列的定义证明. 详解】（1）当时．，， 又， 所以的通项公式为． 因为，所以是首项为9，公比为3的等比数列． 【考点题型三】等差（等比）数列的单调性（） 【例3】（24-25高二上·浙江温州·期末）若正项数列是等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】等比数列的单调性、充要条件的证明 【分析】由等比数列性质，结合充分必要条件的判断，即可求解. 【详解】因为正项数列是等比数列，所以， 当时，，解得， 所以数列为递增数列，满足充分性； 当数列为递增数列时，，满足必要性， 所以“”是“数列为递增数列”的充要条件. 故选：C 【变式3-1】.（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】等差数列的单调性、判断命题的必要不充分条件 【分析】利用特殊值说明充分性不成立，根据单调性得到，即可说明必要性成立，从而得解. 【详解】当，满足，但是，显然是递减数列，故充分性不成立， 当是递增数列，则， 若，则单调递减，显然不恒成立， 所以，所以必要性成立， 所以“”是“是递增数列”的必要不充分条件. 故选：B 【变式3-2】.（多选）（24-25高二上·陕西西安·期末）已知等比数列是递减数列，是其公比，则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】等比数列的通项公式的指数函数特征、等比数列的单调性 【分析】根据等比数列的单调性求解判断. 【详解】，为递减数列， 则或. 故BD正确. 故选：BD. 【变式3-3】.8．（2024高二·全国·专题练习）已知，是等差数列的图象上的两点． (1)求数列的通项公式； (2)画出数列的图象； (3)判断数列的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)递减数列 【知识点】等差数列的简单应用、等差数列通项公式的基本量计算、等差数列的单调性、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）设出公差，列出方程组，求出首项和公差，从而得到通项公式； （2）数列的图象是均匀分布在直线上的一系列孤立的点，画出图象； （3）由公差得到数列的单调性. 【详解】（1）设数列的公差为d． 因为，是等差数列的图象上的两点， 所以，，即，解得 因此． （2）由（1）可知，数列的图象是均匀分布在直线上的一系列孤立的点， 其中且， 如图， （3）由（1）可知公差，所以等差数列为递减数列． 【考点题型四】求等差（等比）数列中的最大项（） 【例4】（24-25高三上·广西贵港·阶段练习）已知等差数列的前项和是，则数列中最小的项为第 项. 【答案】 【知识点】等差数列的单调性、等差数列前n项和的基本量计算、求等差数列中的最大（小）项 【分析】依题意根据等差数列求和公式得到、，，即可得到等差数列为递减数列，即可求出数列中最小的项. 【详解】，， 且，，故等差数列为递减数列，即公差为负数， ，且，，，所以数列中最小的项是第项. 故答案为：． 【变式4-1】.（多选）（23-24高一下·湖南岳阳·期末）等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，．给出下列结论其中正确的结论是（    ） A． B． C．的值是中最大的 D．T99的值是Tn中最大的 【答案】ABD 【知识点】求等比数列中的最大（小）项、等比数列的定义、等比数列的单调性、等比数列下标和性质及应用 【分析】运用等比数列的定义和等比数列的性质根据题目条件逐项分析即得. 【详解】对于A，，，即， ，又，又， ，且， ，故A正确； 对于B，，，即，故B正确； 对于C，由于，而，故有，故C错误； 对于D，由题可知， 所以当时，，即，当时，，即， ∴T99的值是Tn中最大的，故D正确. 故选：. 【变式4-2】.（2024·福建·模拟预测）设正项等比数列的前n项和为，，若，则数列中最大的项为 . 【答案】 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列中的最大（小）项 【分析】设正项等比数列的公比为，其中，求得，得到，进而得出，结合数列的函数特性，即可求解. 【详解】根据题意，设正项等比数列的公比为，其中， 因为，可得，解得或， 因为，所以，所以， 则，故， 当时，则由， 则有， 所以数列中最大的项为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及其应用，以及数列的函数特性，其中解答中熟记等比数列的公式，进而得出数列的通项公式，结合数列的函数特性求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 【变式4-3】.（23-24高二上·河南郑州·开学考试）等差数列中，，，给出下列命题：①，②，③是各项中最大的项，④是中最大的值，⑤为递增数列.其中正确命题的序号是 . 【答案】①②④ 【知识点】等差数列的单调性、求等差数列中的最大（小）项、求等差数列前n项和的最值、利用an与sn关系求通项或项 【分析】直接利用等差数列中，，，进行转换，进一步求出公差为负值，且，，最后求出结果． 【详解】等差数列中，，，所以，则． 所以，则． 所以①正确． ②整理得正确． ③是各项中最大的项，应该是最小的正数项．故错误． ④是中最大的值，正确； ⑤为递增数列．错误，应改为递减数列． 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查等差数列的性质的应用、数列的单调性的应用、数列的前项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题． 【考点题型五】等差数列角标和性质（） 【例5】（24-25高二上·江苏扬州·期末）设等差数列的前项和为，已知，，则（   ） A．50 B．60 C．70 D．80 【答案】B 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【分析】由等差数列性质通过，求得，进而可求解； 【详解】由是等差数列，， 可得：，， ，所以， 所以， 故选：B 【变式5-1】.（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知是等差数列的前项和，且，则（   ） A．55 B．50 C．100 D．58 【答案】A 【知识点】求等差数列前n项和、利用等差数列的性质计算 【分析】根据等差数列的前项和公式结合等差数列的性质即可得解. 【详解】由题意，. 故选：A. 【变式5-2】.（24-25高二上·广西玉林·期末）记等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求等差数列前n项和、利用等差数列的性质计算 【分析】利用等差数列的性质和求和公式可求得的值. 【详解】因为等差数列的前项和为，且， 则. 故选：C. 【变式5-3】.（24-25高二下·北京·阶段练习）已知数列为等差数列，，则 ． 【答案】 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】由等差数列通项公式可得答案. 【详解】设公差为d，由题，. 故答案为：. 【变式5-4】.（2025·河北·一模）在等差数列中，，则 . 【答案】 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【详解】因为， . 故答案为： 【考点题型六】等比数列角标和性质（） 【例6】（24-25高二上·湖北咸宁·期末）设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A． B． C．14 D．15 【答案】D 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质，结合对数运算计算得解. 【详解】正项等比数列中，，解得， 因此， 所以. 故选：D 【变式6-1】.（2025高三·全国·专题练习）在等比数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】根据等比数列的性质结合已知条件可得，再结合可求得结果. 【详解】在等比数列中，， 所以， 所以，又， 设公比为q，则， 所以． 故选：B 【变式6-2】.（2025高三·全国·专题练习）在等比数列中，，是方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】由等比数列的下标和性质结合根与系数的关系即可得出答案. 【详解】设等比数列的公比为，因为，是方程的根， 所以，， 又，同号，所以，，则， 所以． 故选：B. 【变式6-3】.（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）在等比数列中，，则 ． 【答案】 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】根据等比数列的下标和性质整理可得，即可得结果. 【详解】因为数列为等比数列，且， 可得，即， 所以. 故答案为：. 【变式6-4】.（2025高三·全国·专题练习）已知在等比数列 中， ， ，则 【答案】2 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】运用等比数列的项的性质计算即可. 【详解】因数列是等比数列， 由 ， ，可得 ， ， 解得 ， ， 又 且 与 同号，故 . 故答案为：2. 【考点题型七】等差（等比）数列前项和的基本量计算（） 【例7】（24-25高二·全国·课堂例题）在等比数列中： (1)若，且，求； (2)若，求和公比q． 【答案】(1)127 (2)或 【知识点】求等比数列前n项和、等比数列前n项和的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）利用等比数列通项公式列式求出公比，再利用等比数列前n项和公式即可求解； （2）利用给定条件结合等比数列通项公式，列出方程组并求解即得. 【详解】（1）∵为等比数列，且， ∴．∴，又，∴舍去）． ∴． （2）①当时，． 又，∴， 即， 解得（舍去），∴． ②当时，，∴． 综上得或 【变式7-1】.（安徽省蚌埠市2025届高三第二次教学质量检查考试数学试卷）已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，则正整数的值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【知识点】求等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】根据等差数列的前项和公式以及等差数列的性质求出，再结合已知条件列出关于的方程，进而求出的值. 【详解】设等差数列的公差为， 由，得， 所以，又，所以. 故选：B. 【变式7-2】.（24-25高三下·河北邢台·阶段练习）已知等差数列的前项和为，则公差（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】利用给定条件，结合等差数列性质及前项和公式列式求出公差. 【详解】在等差数列中，，解得，而， 所以公差. 故选：A 【变式7-3】.（24-25高三下·河南新乡·阶段练习）已知各项均为正数的等比数列的前项和为，，则的值为（    ） A．5 B．10 C．9 D．6 【答案】A 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】设等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式和求和公式，列方程求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，且， 当时，不符合题意，故， 又因为， 所以，即， 解得，所以， 故选：A 【变式7-4】.（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知各项均为正数的等比数列的前n项和，，， . 【答案】 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】由等比数列性质得到，设出公比，由求出，从而得到，相加得到答案. 【详解】由等比数列性质得，又，所以， 设公比为，由得，， 故， 所以，解得， 故，所以. 故答案为： 【考点题型八】等差数列前项和性质（片段和性质）（） 【例8】（2025高三·全国·专题练习）设等差数列的前项和为，若，则 . 【答案】18 【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列片段和的性质及应用 【分析】利用等差数列前项和的定义及性质先求出，再求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得， 又因为，解得， 所以 . 故答案为：18 【变式8-1】.（24-25高二下·四川巴中·阶段练习）已知是等差数列的前n项和，若，，则（   ） A．75 B．65 C．50 D．55 【答案】A 【知识点】等差数列片段和的性质及应用 【分析】根据等差数列前项和的性质进行求解即可. 【详解】由等差数列前项和的性质得：成等差数列， ，即， 解得. 故选：A. 【变式8-2】.（2025·吉林长春·二模）已知等差数列的前n项和为，若，则的值为（   ） A．0 B．3 C．6 D．12 【答案】A 【知识点】等差数列片段和的性质及应用 【分析】利用等差数列的片段和性质即可得解. 【详解】因为是等差数列，所以成等差数列， 又，所以成等差数列， 则，则. 故选：A. 【变式8-3】.（24-25高二上·湖北咸宁·期末）在前n项和为的等差数列中，，，则 . 【答案】12 【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列片段和的性质及应用 【分析】根据题意可知为等差数列，结合等差中项运算求解即可. 【详解】因为数列为等差数列，可知为等差数列， 则，即，解得. 故答案为：12. 【变式8-4】.（24-25高二上·福建福州·阶段练习）等差数列的前项和记为，若，，则 . 【答案】30 【知识点】求等差数列前n项和、等差数列片段和的性质及应用 【分析】等差数列的性质，， ， 成等差数列.利用这个性质来求解的值. 【详解】等差数列的前项和记为，可知，，成等差数列. 已知， ，. 因为，，成等差数列， 所以. 将，代入方程可得：. 可得. 故答案为：30. 【考点题型九】等差数列前项和性质（两个等差数列的比值）（） 【例9】（重庆市部分区县2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题）等差数列的前项和分别是，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】设，由与的关系计算可得. 【详解】由可设， 则，， 所以 故选：D 【变式9-1】.（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】利用等差数列的性质结合求和公式对合理变形为，再结合代入求解即可. 【详解】因为等差数列，的前项和分别为，， 所以我们对进行变形，得到， 因为，所以，即，故D正确. 故选：D 【变式9-2】.（2025届高三筑梦杯第四次线上联考数学试题）数列，均为等差数列，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】等差数列前n项和的其他性质及应用、两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】根据等差数列前项和的特征设，，可得，,进而可得. 【详解】设数列，的前项和分别为，， 则，，故， 根据等差数列前项和的特征，不妨设，， ，, 故， 故选：D 【变式9-3】.（24-25高二上·安徽宣城·期末）已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则 . 【答案】 【知识点】利用等差数列的性质计算、两个等差数列的前n项和之比问题、求等差数列前n项和 【分析】由等差数列性质得到 【详解】由等差数列性质得 故答案为： 【变式9-4】（24-25高三上·河南漯河·期末）已知、分别为等差数列、的前项和，，则 ． 【答案】/0.5 【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】运用等差数列前n项和的函数特征求解. 【详解】根据等差数列前n项和的函数特征，可设 则. 故答案为：. 【考点题型十】等比数列前项和性质（片段和性质）（） 【例10】（24-25高二下·广西南宁·开学考试）设是等比数列的前项和，若，，则（    ） A．24 B．36 C．42 D．108 【答案】C 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】根据等比数列中片段和的性质即可求解. 【详解】根据，，可知数列的公比不为1， 且成等比数列，即成等比数列，故， 故， 故选：C 【变式10-1】.（24-25高二·全国·课堂例题）记等比数列的前n项和为，若，，则（   ） A．24 B．28 C．48 D．84 【答案】D 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】利用等比数列前n项和的性质即可得解. 【详解】由等比数列的性质，得成等比数列， 所以， 又因为，， 即， 解得． 故选：D. 【变式10-2】.（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知等比数列的前项和为，若，则 ． 【答案】 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】根据等比数列的性质求得正确答案. 【详解】设等比数列的公比为， 由于，所以，否则， 设，， 则， 所以， ， 所以. 故答案为： 【变式10-3】.（24-25高二上·陕西咸阳·期末）设各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则 ． 【答案】21 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】由成等比数列，可得，代入即可得出答案. 【详解】因为是各项均为正数的等比数列， 所以成等比数列，所以， 解得：. 故答案为：. 【变式10-4】（24-25高二上·山东烟台·期末）已知为等比数列的前项和，且，则的值为 ． 【答案】4 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】由已知可得，可求得. 【详解】因为为等比数列的前项和，，若公比为， 所以为等比数列，所以， 所以，所以，解得或， 又，所以. 故答案为：. 【考点题型十一】等差（比）数列前项和性质（奇偶项和性质）（） 【例11】（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）设为等差数列的前项和.若公差，且，则的值为（    ） A．60 B．70 C．75 D．85 【答案】A 【知识点】等差数列奇数项或偶数项的和 【分析】设等差数列的奇数项的和为P，偶数项之和为Q，由等差数列的性质列方程组，可求出P、Q的值，从而可得出结果. 【详解】设， 因为数列是等差数列，且公差，， 所以，解得， 所以. 故选：A. 【变式11-1】.（24-25高二·全国·课堂例题）若等差数列的项数为，则 ． 【答案】 【知识点】等差数列奇数项或偶数项的和 【分析】根据，与联立求出，即可化简得到结果. 【详解】因 联立解得： 故. 故答案为：. 【变式11-2】.（24-25高二上·全国·随堂练习）若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ． 【答案】300 【知识点】等比数列奇、偶项和的性质及应用、等比数列的其他性质 【分析】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为则，，则可求出,值，从而得出答案. 【详解】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为， 则， ， 由题意可得：，即，解得， 故数列的所有项之和是. 故答案为：300. 【变式11-3】.（24-25高二上·全国·课堂例题）若等比数列共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为 ，项数为 ． 【答案】 2 9 【知识点】求等比数列前n项和、等比数列奇、偶项和的性质及应用 【分析】利用等比数列奇数项和与偶数项和的关系，及前n项和公式列式计算即可得解. 【详解】在等比数列中，由，得，解得， 设这个数列共有项，则，解得，所以这个等比数列的项数为9. 故答案为：2；9 【变式11-4】（2024高二上·全国·专题练习）已知等差数列的项数为奇数，且奇数项和为，偶数项和为，则数列的中间项为 ；项数为 ． 【答案】 【知识点】等差数列奇数项或偶数项的和 【分析】根据奇数项的和与偶数项的和，可作比得到，由此可得项数和中间项. 【详解】设等差数列的项数为， 则， ， ，解得：，即等差数列的项数为； 项的数列的中间项为第项，即， 由得：，解得：，即中间项为. 故答案为：；. 【考点题型十二】已知与（）的关系，求（） 【例12】（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）数列中的前n项和，则的通项公式为 ． 【答案】 【知识点】由Sn求通项公式 【分析】根据进行求解. 【详解】因为①， 当时，， 当时，②， ①-②得， 经检验，当时，不成立， 所以. 故答案为：. 【变式12-1】.（23-24高二上·陕西西安·期末）设为数列的前n项和，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由Sn求通项公式 【分析】利用数列的前n项和与通项公式间的关系求解. 【详解】解：当时，； 当时，， 又适合上式， 所以， 故选：A 【变式12-2】.（24-25高二上·福建漳州·阶段练习）已知数列的前项和为满足.则 ；设，求数列的前项和 . 【答案】 【知识点】求等差数列前n项和、由Sn求通项公式 【分析】根据给定条件，利用“当时，”变形构造数列求；求出，利用等差数列前项和求. 【详解】当时，，当时，由有：， 所以， 所以数列是以首项为2，公比为2的等比数列. 即； ，所以数列为等差数列， 故答案为：； 【变式12-3】.（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足，则 . 【答案】2024 【知识点】由Sn求通项公式 【分析】根据的关系，分是否等于1讨论即可. 【详解】由于数列的各项均为正数，即， 当时，，即， 当时，由，可得，两式相减得， 又， 为一个以2为首项，2为公差的等差数列，. 故答案为：2024. 【变式12-4】（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期末）设为数列的前项和，. (1)求； (2)证明是等差数列. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【知识点】判断等差数列、由Sn求通项公式、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据和的关系即可解答. （2）根据等差数列的定义即可判断. 【详解】（1）数列的前n项和， 则当时，； 当时，，满足上式， 所以. （2）由（1）知，当时，， 因此（常数）， 所以数列是等差数列. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高二下·广西桂林·阶段练习）在数列中，则“”是“数列为等差数列”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【答案】D 【知识点】判断等差数列 【分析】根据等差数列的定义进行判断即可. 【详解】当数列为等差数列时，不一定有成立； “”成立也不一定推出“数列为等差数列”； “”是“数列为等差数列”的既不充分也不必要条件； 故选：D 2．（2025·山东潍坊·三模）已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．12 B．14 C．42 D．84 【答案】C 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【分析】根据等差数列的性质先求出，再根据求和公式可求. 【详解】因为数列为等差数列，所以，所以. 所以. 故选：C 3．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知为等差数列，则（    ） A．126 B．144 C．162 D．180 【答案】C 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【分析】利用等差数列的通项公式和等差中项求解即可. 【详解】设等差数列的公差为d， 由，解得， 由，解得， 所以， 所以， 所以 故选： 4．（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）设是等比数列，成等差数列，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】A 【知识点】等差中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据题意，由等差中项列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】设等比数列的公比为，因为成等差数列， 所以，即， 所以，解得， 所以. 故选：A 5．（重庆市拔尖强基联盟（西南大学附属中学校等）2024-2025学年高二下学期3月联合考试数学试卷及答案）已知数列是等比数列，若，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据已知条件，利用等比数列的通项公式表达后计算求解. 【详解】 故选：A. 6．（2025·河北唐山·一模）若等比数列的前项和，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【知识点】求等比数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】由已知条件得，由此即可求出. 【详解】因为等比数列的前项和， 所以当时，， 所以该等比数列的公比, 所以，解得. 故选：A. 7．（24-25高二下·河北张家口·开学考试）已知数列的前项和为，且，，则的值为（   ） A．360 B．480 C．960 D．1280 【答案】D 【知识点】判断等差数列、求等差数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】根据给定的递推公式可得，再求出数列的前40项中的奇数项的和及偶数项的和即可. 【详解】当n为奇数，，， 当n为偶数，，， 因此，的奇数项是以3为首项，3为公差的等差数列； 的偶数项是以为首项，3为公差的等差数列， 所以 . 故选：D 8．（2025·安徽安庆·二模）已知等比数列的前项和为，若，且与的等差中项为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等差中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用、求等比数列前n项和 【分析】由等比数列的性质可得出的值，结合已知条件求出的值，可求出、的值，再结合等比数列的求和公式可求得的值. 【详解】因为等比数列的前项和为，设其公比为， 由已知，故，所以，，则， 故，所以，，故. 故选：D. 二、多选题 9．（云南省2025届高中毕业生第一次复习统一模拟检测数学试题卷（七））定义数列的 “差分数列”：.若数列的 “差分数列”是公差为的等差数列，且，，则（ ） A． B． C． D．数列的前项和 【答案】ABC 【知识点】累加法求数列通项、利用定义求等差数列通项公式、求等差数列前n项和 【分析】根据可得选项A正确；根据等差数列通项公式可得选项B正确；利用累加法求数列通项公式可得选项C正确；举反例可说明选项D错误. 【详解】A.由题意得，，即，故，选项A正确.     B. ∵数列是公差为的等差数列，， ∴，故，选项B正确. C.由得，， ∴当时，， ∴ ， 当时，满足上式，故，选项C正确. D.当时，，选项D错误. 故选：ABC. 10．（2025·河南信阳·一模）对于给定数列，如果存在常数p，q使得对于任意都成立，我们称数列是“数列”.下列说法正确的有（   ） A．若，，则数列是“数列” B．共，，则数列是“数列” C．若数列是“数列”，则数列不是“H数列” D．若数列满足，，t为常数，则数列前2024项的和为 【答案】AB 【知识点】求等比数列前n项和、数列新定义 【分析】对于AB，根据给定的数列，利用“数列”的定义直接计算判断即可；对于C，利用“数列”的定义推理论证可判断；对于D，根据给定的递推关系，利用并项求和法及等比数列的前项和公式求解即可判断. 【详解】对于A，因为，有，则，， 故数列是“数列”，故A正确； 对于B，因为，有，则，， 故数列是“数列”，故B正确； 对于C，若数列是“数列”， 则存在实常数p，q使得对于任意都成立， 显然对于任意都成立， 因此对于任意都成立， 故数列数列也是“H数列”，对应的实常数分别为，故C不正确； 对于D，因为， 则，，，， 所以数列前2024项的和为 ，故D错误. 故选：AB. 三、填空题 11．（24-25高二下·安徽·阶段练习）已知各项均不为零的数列，其前项和是，且．若为递增数列，，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】判断等差数列、利用an与sn关系求通项或项、根据数列的单调性求参数 【分析】当时，求得；当时，由可得，作差推导出数列的奇数项和偶数项分别成以为公差的等差数列，根据数列的单调性得出，即可解得实数的取值范围. 【详解】由题意可知，，且对任意的，， 当时，则有，即，解得， 当且时，由可得， 这两个等式作差可得，可得， 所以，数列的奇数项和偶数项分别成以为公差的等差数列，且， 因为数列为递增数列，只需即可，即，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 12．（24-25高二下·陕西西安·阶段练习）在单调递增数列中，已知，且成等比数列，成等差数列，那么 ． 【答案】10100 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差中项的应用、等比中项的应用 【分析】根据等差、等比中项分析可知数列为等差数列，进而可得，，即可得结果. 【详解】因为数列单调递增，，可知， 由题意可得：，， 即，则， 可得， 在等式左右两边同时除以得， 故数列为等差数列，且， 所以数列的首项为，公差为， 则，即， 且，可得， 所以. 故答案为：10100. 四、解答题 13．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知数列为等差数列，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列前项和的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和的最值 【分析】（1）求得等差数列的首项和公差，从而求得. （2）由以及等差数列的单调性求得数列前项和的最大值． 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，解得， 所以. （2）由，解得， 而，数列是单调递减数列， 所以等差数列的前项为正数，从第项起为负数， 所以时，数列前项和的最大值为. 14．（2025高三下·全国·专题练习）若数列的前n项和为，且满足． (1)求证：是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由的关系以及等差数列的定义证明即可； （2）先得到，再由的关系求解即可. 【详解】（1）当时，且． ， 即． 即．又． 故数列是以首项为，公差为的等差数列． （2）由（1）知， ，当时， ， 当时，不适合上式， 故 15．（24-25高二下·河南商丘·开学考试）已知等比数列的公比，，． (1)求； (2)设，若，求． 【答案】(1)； (2). 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）由题设结合等比数列通项公式列出等比数列首项和公比的方程组即可求解； （2）先求出的通项公式，再由等差数列前项和公式结合题设列出等量关系式计算即可求解. 【详解】（1）由题意得， 所以. （2）由（1）得， 所以， 解得或（舍去）. 16．（23-24高二上·云南昭通·开学考试）（1）已知数列是等差数列，若，，求； （2）在等比数列中，，，求和公比. 【答案】（1）；（2）或 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）利用等差数列的通项公式结合前项和公式求解即可； （2）利用等比数列的通项公式求解即可. 【详解】（1）因为，，所以. 根据公式，可得.   （2）设等比数列的首项为，公比为，因为，， 由等比数列的性质可得，，又， ，， ，解得：， 当时，由，所以； 当时，由，所以， 所以或. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$