数学二模模拟卷（福建专用）学易金卷：2026年中考第二次模拟考试

2026年中考第二次模拟考试 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C A D C A B B B D 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．2m（x﹣y）2 12．x≥1 13．乙 14．（﹣1，﹣1） 15．40π 16. 三、解答题（本大题共9个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17（8分）【详解】解：原式 ． 18（8分）【解答】证明：∵∠ABE＝∠BAF， ∴CB＝CA， ∵CE＝CF， ∴CB+CE＝CA+CF， 即BE＝AF， 在△ABE和△BAF中， ， ∴△ABE≌△BAF（SAS）， ∴AE＝BF． 19（8分）【详解】解： ， 解不等式得：， ∵a为正整数， ∴，，， ∵要使分式有意义， ∴， ∵当时，， ∴， ∴把代入得：原式． 20（8分）【解答】解：（1）这次抽取的学生总人数为：40÷20%＝200（人）， ∴扇形统计图中A类软件所占圆心角为360°144°， 故答案为：200，144； （2）B软件的人数为：200﹣80﹣20﹣40＝60（人）， 补全条形统计图如下： （3）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到使用A、B两类软件各1人的结果有6种， ∴恰好抽到使用A、B两类软件各1人的概率为． 21（8分）【解答】解：（1）由题意得，BM⊥OM， ∵∠BOM＝18.17°，BM＝3米， ∴在Rt△BOM中，（米）， 答：直吊臂OB的长为10米； （2）如图，记旋转后的点B，M的对应点为B′，M′，延长B′M′交OM于点F，过点B作BE⊥B′F于点E， 则∠BEF＝90°， 由题意得B′M＝BM＝3米，OB′＝OB＝10 米， ∴∠BEF＝∠EFM＝∠BMF＝90°， ∴四边形EFMB为矩形， ∴BM＝EF＝3米， 在Rt△B′OF中，B′F＝OB′×cos∠OB′M＝10×0.81＝8.1（米）， ∴M′F＝B′F﹣B′M′＝8.1﹣3＝5.1≈5（米）， ∴货物M上升了5米． 22（10分）【解答】解：（1）结论：四边形EFGH是矩形． 理由：通过折叠的性质可知∠AFE＝∠EFK，∠BFG＝∠KFG， ∵∠AFB＝180°， ∴2∠EFK+2∠KFG＝180°， ∴∠EFK+∠KFG＝90°，即∠EFG＝90°， 同法可证∠FGH＝∠EHG＝90°， ∴四边形EFGH是矩形； （2）如图，分别以点D、C为圆心，大于DC为半径作弧，连接两个交点，即为DC的垂直平分线，与DC交于点Q，同理作出AB的垂直平分线交于点N，连接NQ、AC，交于点Q，以点O为中心，OQ长为半径作弧交AD于点M，点M即为所作．连接MQ交于点P，连接MNPQ即为题目所求． 23（10分）【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，． 故答案为：，； （2）解：∵一元二次方程的两根分别为m、n， ∴，， ∴ ； （3）解：∵实数s、t满足， ∴s、t可以看作方程的两个根， ∴，， ∵ ， ∴或， 当时， ， 当时， ， 综上分析可知，的值为或． 24（13分）【解答】解：（1）解：将A（﹣1，0），B（6，0）代入抛物线的解析式y＝ax2+bx+3， 得，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：过点P作PQ∥BC交y轴于点Q，连接CQ，如图a所示， 则S△QBC＝S△PBC＝24， ∴， ∵点C（6，0），则CO＝6， ∴BQ＝8， 又∵B（0，3）， ∴点Q（0，﹣5）， ∵B（0，3），C（6，0）， ∴直线BC的解析式为yx+3， ∵PQ∥BC， ∴直线PQ的表达式为yx﹣5， 联立yx﹣5与，可解得x＝﹣2或8， 故P1（﹣2，﹣4），P2（8，﹣9）． （3）将RT△CBO绕点C逆时针旋转90°得到RT△CRS，则△BCR为等腰直角三角形． 从而∠CBR＝45°，如图b所示： 又∵点G是第四象限内抛物线上的一点，∠CBG＝45°， ∴点G为BR延长线与抛物线的交点． 由旋转可知∠BOC＝∠RSC＝90°，BO＝RS＝3，OC＝SC＝6， 故点R坐标为（3，﹣6）， 由待定系数法可知直线BR的表达式为y＝﹣3x+3， 联立y＝﹣3x+3与，整理可得x2﹣11x＝0， 解得x＝11或0（舍去）， 故点G坐标为（11，﹣30）， 故答案为：（11，﹣30）． （4）由题意知四边形OCED为矩形，OD＝BO＝3，DE＝OC＝6． 连接OE，交MN于点G，如图c所示， 故OE， ∵OM∥EN， ∴△OMG∽△ENG， ∴，． 作GH⊥DE于点H，如图c所示， ∵GH∥OD， ∴△GHE∽△ODE， ∴， ∴GHOD＝2，HEDE＝4，DH＝6﹣4＝2， 故DG． 取DG中点J，连接FJ、CJ， ∵∠DFG＝90°， ∴根据斜边中线定理可得FJDG， 故CF≥CJ﹣FJ，当且仅当J、F、C共线时取等号． 易知点J坐标为（1，﹣2），C（6，0）， 故CJ，则CF≥CJ﹣FJ． 当点N与点D重合时，点F与点D重合，此时CF最大，即CF＝OE， 综上所述，CF的取值范围为， 故答案为：． 25（13分）【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OE， ∴∠ODE＝∠OED， ∵∠AED＝∠ADC， ∴∠ODE＝∠ADC， ∵AE是⊙O的直径，∠ADE＝90°， ∵∠ODC＝∠ADC+∠ODA＝∠ODE+∠ODA＝90°， ∵OD是⊙O的半径； ∴直线BC是⊙O的切线； （2）解：∵∠C＝∠ADE＝90°，∠ADC＝∠AED， ∴∠CAD＝∠DAE， ∵tan∠CAD＝tan∠DAE＝2，， ∴， ∴， ∵AD2+DE2＝AE2AE＝10， ∴， ∴DE＝6， ∵∠BDE＝∠CAD，∠CAD＝∠DAE， ∴∠BDE＝∠DAE， ∵∠B＝∠B， ∴△BDE∽△BAD， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵OD2+BD2＝OB2， ∴， 解得BD＝0（舍去）或； （3）过点E作EG⊥BD于点G，则∠DGE＝90°， 当四边形ADEF面积最大时，△AEF面积最大，点F到AE的距最大，点F是的中点， ∴， ∴AF＝EF， ∵∠AFE＝90°， ∴， ∴∠EDF＝∠EAF＝45°， ∴∠DEG＝90°﹣∠EDF＝45°， ∴DG＝EG，DG2+EG2＝DE2，DE＝6， ∴， ∵AE＝10， ∴， ∴， ∴． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第二次模拟考试 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列实数中的无理数是（    ） A． B．3.14 C． D． 2．球首个太空计算星座在酒泉卫星发射中心成功发射，此次发射的太空计算星座共有12颗卫星，其中10颗为“内江城市卫星星群”成员，若每颗卫星每天处理的数据量为3500000000字节，则“内江城市卫星星群”每天处理的总数据量可达到35000000000字节，将数据35000000000用科学记数法表示为（　　） A．35×109 B．3.5×109 C．3.5×1010 D．0.35×1010 3．为了全面地反映物体的形状，生产实践中往往采用多个视图来反映同一物体不同方面的形状．如图中飞机的俯视图是（　　） A．B． C． D． 4．武术是我国传统的体育项目．下列武术动作图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C．D． 5．下列运算正确的是（　　） A．a4•a3＝a6 B．2a+3b＝6ab C．（﹣2a2b3）3＝﹣8a6b9 D．（﹣a+b）（a+b）＝a2﹣b2 6．我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个上，问甜果苦果各买几个？若设买甜果x个，苦果y个，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 7．阿嘉和小杨都有5张分别标示数字1、2、3、4、5的纸牌，如图表示两人的牌中皆有三张牌被自己盖住的情形．今两人打算从自己盖住的纸牌中翻开一张牌，若阿嘉盖住的牌中每张牌被翻开的机会相等，小杨盖住的牌中每张牌被翻开的机会相等，则比较两人翻开的那张牌上的数字，阿嘉比小杨大的机率为何？（　　） A． B． C． D． 8．如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 9. 如图，学校为举办文艺汇演搭建了舞台及登台的台阶，台阶总高度，台阶部分铺红地毯，地毯长度为140cm，支撑钢梁，且D为的中点，则钢梁的长为（ ） A. 20cm B. 24cm C. 32cm D. 40cm 10. 在平面直角坐标系中，是拋物线上的两点．若对于，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共16分） 11．分解因式：2mx2﹣4mxy+2my2＝　 ． 12．不等式组的解集是 　 ． 13．某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力和态度四个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试．测试成绩如表： 项目 应聘者 甲 乙 丙 学历 9 8 8 经验 8 6 9 能力 7 8 8 态度 5 7 5 公司将学历、经验、能力和态度得分按2：1：3：2的比例确定每人的最终得分，并以此为依据确定录用者，则 　 　 将被择优录用．（请选择填写甲、乙或丙） 14．如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数y＝ax与反比例函数y相交于点A和点B．若A的横坐标为1，则B的坐标为 　 　 ． 15．“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高128m（即最高点离水面平台MN的距离），圆心O到MN的距离为68m，摩天轮匀速旋转一圈用时30min．某轿厢从点A出发，10min后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为 　 　 m．（结果保留π） 16．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，．线段与关于过点O的直线l对称，点B的对应点在线段上，交于点E，则与四边形的面积比为 三、解答题（本大题共9个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）计算： 18．（8分）如图，∠ABE＝∠BAF，CE＝CF．求证：AE＝BF． 19．（8分）先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数． 20．（8分）在科技的浪潮中，人工智能正以不可阻挡之势，深刻改变着我们的世界．某校社团开展以“智能之光，照见未来”为主题的探究活动，推荐了当前热门的4类人工智能软件A、B、C、D，每个学生可选择其中1类学习使用．为了解学生对软件的使用情况，随机抽取部分学生进行调查统计，并根据统计结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图： 请根据图中信息，完成下列问题： （1）这次抽取的学生总人数为 　 　 人；扇形统计图中A类软件所占圆心角为 　 度； （2）补全条形统计图； （3）社团活动中表现最突出的有4人，其中有3人使用A类软件，有1人使用B类软件，现准备从这4名学生中随机选择2人进行学习成果展示，请用画树状图或列表法求出恰好抽到使用A、B两类软件各1人的概率． 21．（8分）某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，货物M与点O的连线MO恰好平行于地面，BM＝3米，∠BOM＝18.17°．（参考数据：sin18.17°≈0.31，cos18.17°≈0.95，tan18.17°≈0.33，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，结果精确到1米） （1）求直吊臂OB的长； （2）直吊臂OB与BM的长度保持不变，OB绕点O逆时针旋转，当∠OBM＝36°时，货物M上升了多少米？ 22．（10分）（1）如图①，将平行四边形纸片ABCD的四个角向内折叠，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH．判断四边形EFGH的形状，并说明理由； （2）如图②，已知▱ABCD能按照图①的方式对折成一个无缝隙、无重叠的四边形MNPQ，其中，点M在AD上，点N在AB上，点P在BC上，点Q在CD上．请用直尺和圆规确定点M的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 23．（10分）阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则___________，___________； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； (3)提升：已知实数s，t满足且，求的值． 24．（13分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0），C（6，0），与y轴交于点B，连接BC． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线BC下方抛物线上的点，连接PB，PC，当S△PBC＝24时，求点P的坐标； （3）点G是第四象限内抛物线上的一点，连接BG，若∠CBG＝45°，则点G的坐标为　 　 ； （4）如图2，作点B关于x轴的对称点D，过点D作x轴的平行线l，过点C作CE⊥l，垂足为点E，动点M，N分别从点O，E同时出发，动点M以每秒1个单位长度的速度沿射线OC方向匀速运动，动点N以每秒2个单位长度的速度沿射线ED方向匀速运动（当点N到达点D时，点M，N都停止运动），连接MN，过点D作MN的垂线，垂足为点F，连接CF，则CF的取值范围是　 ． 25．（13分）如图，已知AE是⊙O的直径，D是⊙O上一点．过D作直线DB与AE的延长线交于B点．过点A作AC⊥BD于C点，连结AD、DE，且∠AED＝∠ADC． （1）求证：直线BC是⊙O的切线； （2）若AE＝10，tan∠CAD，求DE与BD的长度； （3）在（2）的条件下，若F为上的一动点，且F在直线AB上方，连结AF、DF、EF．当四边形ADEF面积最大时，求DF的长度． / 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考第二次模拟考试 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列实数中的无理数是（    ） A． B．3.14 C． D． 2．球首个太空计算星座在酒泉卫星发射中心成功发射，此次发射的太空计算星座共有12颗卫星，其中10颗为“内江城市卫星星群”成员，若每颗卫星每天处理的数据量为3500000000字节，则“内江城市卫星星群”每天处理的总数据量可达到35000000000字节，将数据35000000000用科学记数法表示为（　　） A．35×109 B．3.5×109 C．3.5×1010 D．0.35×1010 3．为了全面地反映物体的形状，生产实践中往往采用多个视图来反映同一物体不同方面的形状．如图中飞机的俯视图是（　　） A．B． C． D． 4．武术是我国传统的体育项目．下列武术动作图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C．D． 5．下列运算正确的是（　　） A．a4•a3＝a6 B．2a+3b＝6ab C．（﹣2a2b3）3＝﹣8a6b9 D．（﹣a+b）（a+b）＝a2﹣b2 6．我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个上，问甜果苦果各买几个？若设买甜果x个，苦果y个，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 7．阿嘉和小杨都有5张分别标示数字1、2、3、4、5的纸牌，如图表示两人的牌中皆有三张牌被自己盖住的情形．今两人打算从自己盖住的纸牌中翻开一张牌，若阿嘉盖住的牌中每张牌被翻开的机会相等，小杨盖住的牌中每张牌被翻开的机会相等，则比较两人翻开的那张牌上的数字，阿嘉比小杨大的机率为何？（　　） A． B． C． D． 8．如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 9. 如图，学校为举办文艺汇演搭建了舞台及登台的台阶，台阶总高度，台阶部分铺红地毯，地毯长度为140cm，支撑钢梁，且D为的中点，则钢梁的长为（ ） A. 20cm B. 24cm C. 32cm D. 40cm 10. 在平面直角坐标系中，是拋物线上的两点．若对于，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共16分） 11．分解因式：2mx2﹣4mxy+2my2＝　 ． 12．不等式组的解集是 　 ． 13．某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力和态度四个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试．测试成绩如表： 项目 应聘者 甲 乙 丙 学历 9 8 8 经验 8 6 9 能力 7 8 8 态度 5 7 5 公司将学历、经验、能力和态度得分按2：1：3：2的比例确定每人的最终得分，并以此为依据确定录用者，则 　 　 将被择优录用．（请选择填写甲、乙或丙） 14．如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数y＝ax与反比例函数y相交于点A和点B．若A的横坐标为1，则B的坐标为 　 　 ． 15．“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高128m（即最高点离水面平台MN的距离），圆心O到MN的距离为68m，摩天轮匀速旋转一圈用时30min．某轿厢从点A出发，10min后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为 　 　 m．（结果保留π） 16．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，．线段与关于过点O的直线l对称，点B的对应点在线段上，交于点E，则与四边形的面积比为 三、解答题（本大题共9个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）计算： 18．（8分）如图，∠ABE＝∠BAF，CE＝CF．求证：AE＝BF． 19．（8分）先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数． 20．（8分）在科技的浪潮中，人工智能正以不可阻挡之势，深刻改变着我们的世界．某校社团开展以“智能之光，照见未来”为主题的探究活动，推荐了当前热门的4类人工智能软件A、B、C、D，每个学生可选择其中1类学习使用．为了解学生对软件的使用情况，随机抽取部分学生进行调查统计，并根据统计结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图： 请根据图中信息，完成下列问题： （1）这次抽取的学生总人数为 　 　 人；扇形统计图中A类软件所占圆心角为 　 度； （2）补全条形统计图； （3）社团活动中表现最突出的有4人，其中有3人使用A类软件，有1人使用B类软件，现准备从这4名学生中随机选择2人进行学习成果展示，请用画树状图或列表法求出恰好抽到使用A、B两类软件各1人的概率． 21．（8分）某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，货物M与点O的连线MO恰好平行于地面，BM＝3米，∠BOM＝18.17°．（参考数据：sin18.17°≈0.31，cos18.17°≈0.95，tan18.17°≈0.33，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，结果精确到1米） （1）求直吊臂OB的长； （2）直吊臂OB与BM的长度保持不变，OB绕点O逆时针旋转，当∠OBM＝36°时，货物M上升了多少米？ 22．（10分）（1）如图①，将平行四边形纸片ABCD的四个角向内折叠，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH．判断四边形EFGH的形状，并说明理由； （2）如图②，已知▱ABCD能按照图①的方式对折成一个无缝隙、无重叠的四边形MNPQ，其中，点M在AD上，点N在AB上，点P在BC上，点Q在CD上．请用直尺和圆规确定点M的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 23．（10分）阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则___________，___________； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； (3)提升：已知实数s，t满足且，求的值． 24．（13分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0），C（6，0），与y轴交于点B，连接BC． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线BC下方抛物线上的点，连接PB，PC，当S△PBC＝24时，求点P的坐标； （3）点G是第四象限内抛物线上的一点，连接BG，若∠CBG＝45°，则点G的坐标为　　 ； （4）如图2，作点B关于x轴的对称点D，过点D作x轴的平行线l，过点C作CE⊥l，垂足为点E，动点M，N分别从点O，E同时出发，动点M以每秒1个单位长度的速度沿射线OC方向匀速运动，动点N以每秒2个单位长度的速度沿射线ED方向匀速运动（当点N到达点D时，点M，N都停止运动），连接MN，过点D作MN的垂线，垂足为点F，连接CF，则CF的取值范围是　 　 ． 25．（13分）如图，已知AE是⊙O的直径，D是⊙O上一点．过D作直线DB与AE的延长线交于B点．过点A作AC⊥BD于C点，连结AD、DE，且∠AED＝∠ADC． （1）求证：直线BC是⊙O的切线； （2）若AE＝10，tan∠CAD，求DE与BD的长度； （3）在（2）的条件下，若F为上的一动点，且F在直线AB上方，连结AF、DF、EF．当四边形ADEF面积最大时，求DF的长度． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第二次模拟考试 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列实数中的无理数是（    ） A． B．3.14 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查无理数，根据无理数的定义：无限不循环小数，叫做无理数，进行判断即可． 【详解】解：A、是有理数，不符合题意； B、3.14是有理数，不符合题意； C、是有理数，不符合题意； D、是无理数，符合题意； 故选D． 2．球首个太空计算星座在酒泉卫星发射中心成功发射，此次发射的太空计算星座共有12颗卫星，其中10颗为“内江城市卫星星群”成员，若每颗卫星每天处理的数据量为3500000000字节，则“内江城市卫星星群”每天处理的总数据量可达到35000000000字节，将数据35000000000用科学记数法表示为（　　） A．35×109 B．3.5×109 C．3.5×1010 D．0.35×1010 【考点】科学记数法—表示较大的数．版权所有 【专题】实数；符号意识． 【答案】C． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：35000000000＝3.5×1010． 故选：C． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．为了全面地反映物体的形状，生产实践中往往采用多个视图来反映同一物体不同方面的形状．如图中飞机的俯视图是（　　） A．B． C． D． 【考点】简单组合体的三视图．版权所有 【专题】投影与视图；几何直观． 【答案】A 【分析】根据从物体上方向下看得到的视图为俯视图，由此得解． 【解答】解：如图中飞机的俯视图为选项A的图形． 故选：A． 【点评】本题考查了三视图，掌握从上面看几何体得到的图形就是几何体俯视图是解题的关键． 4．武术是我国传统的体育项目．下列武术动作图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C．D． 【考点】轴对称图形．版权所有 【专题】平移、旋转与对称；几何直观． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义． 5．下列运算正确的是（　　） A．a4•a3＝a6 B．2a+3b＝6ab C．（﹣2a2b3）3＝﹣8a6b9 D．（﹣a+b）（a+b）＝a2﹣b2 【考点】平方差公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．版权所有 【专题】整式；运算能力． 【答案】C 【分析】利用平方差公式，合并同类项，同底数幂乘法，积的乘方法则逐项判断即可． 【解答】解：a4•a3＝a7，则A不符合题意， 2a与3b不是同类项，无法合并，则B不符合题意， （﹣2a2b3）3＝﹣8a6b9，则C符合题意， （﹣a+b）（a+b）＝b2﹣a2，则D不符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查平方差公式，合并同类项，同底数幂乘法，积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 6．我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个上，问甜果苦果各买几个？若设买甜果x个，苦果y个，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；应用意识． 【答案】A 【分析】根据九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，列出关于x、y的二元一次方程组即可． 【解答】解：由题意得：， 故选：A． 【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 7．阿嘉和小杨都有5张分别标示数字1、2、3、4、5的纸牌，如图表示两人的牌中皆有三张牌被自己盖住的情形．今两人打算从自己盖住的纸牌中翻开一张牌，若阿嘉盖住的牌中每张牌被翻开的机会相等，小杨盖住的牌中每张牌被翻开的机会相等，则比较两人翻开的那张牌上的数字，阿嘉比小杨大的机率为何？（　　） A． B． C． D． 【考点】概率公式．版权所有 【专题】概率及其应用；运算能力． 【答案】B 【分析】直接利用概率公式解答即可． 【解答】解：∵阿嘉比小杨大的情形有： 阿嘉翻开的那张牌上的数字为2，小杨翻开的那张牌上的数字为1， 阿嘉翻开的那张牌上的数字为4，小杨翻开的那张牌上的数字为1或3， 阿嘉翻开的那张牌上的数字为5，小杨翻开的那张牌上的数字为1或3或4， 而所有的情形共有3×3＝9（种）， ∴阿嘉比小杨大的机率为． 故选：B． 【点评】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键． 8．如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理以及三角形的外角性质．先根据垂径定理，求得，利用圆周角定理求得，再利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵半径， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图，学校为举办文艺汇演搭建了舞台及登台的台阶，台阶总高度，台阶部分铺红地毯，地毯长度为140cm，支撑钢梁，且D为的中点，则钢梁的长为（ ） A. 20cm B. 24cm C. 32cm D. 40cm 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意可得：，从而根据垂直定义可得，再根据已知易得：，从而在中，利用勾股定理可求出的长，然后根据线段的中点定义可得，再证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴钢梁的长为24cm， 故选：B． 10. 在平面直角坐标系中，是拋物线上的两点．若对于，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据题意可得抛物线与x轴的交点的横坐标分别为，从而得到抛物线的对称轴，进而得到点关于对称轴的对称点为与点不重合，即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线与x轴的交点的横坐标分别为， ∴抛物线的对称轴为直线为， ∵对于，都有， ∴点关于对称轴的对称点为与点不重合， ∵， ∴， ∵， ∴或， 解得：或． 故选：D 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共16分） 11．分解因式：2mx2﹣4mxy+2my2＝　2m（x﹣y）2　 ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用．版权所有 【专题】因式分解；运算能力． 【答案】2m（x﹣y）2． 【分析】先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：2mx2﹣4mxy+2my2 ＝2m（x2﹣2xy+y2） ＝2m（x﹣y）2， 故答案为：2m（x﹣y）2． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键． 12．不等式组的解集是　x≥1　 ． 【考点】解一元一次不等式组．版权所有 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】x≥1． 【分析】先求出不等式的解，再根据同大取大；同小取小求出解集． 【解答】解：由x+2＞0， 得x＞﹣2； 又∵x≥1， ∴不等式组的解集为：x≥1． 故答案为：x≥1． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是根据计算方法来解答． 13．某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力和态度四个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试．测试成绩如表： 项目 应聘者 甲 乙 丙 学历 9 8 8 经验 8 6 9 能力 7 8 8 态度 5 7 5 公司将学历、经验、能力和态度得分按2：1：3：2的比例确定每人的最终得分，并以此为依据确定录用者，则 　乙　 将被择优录用．（请选择填写甲、乙或丙） 【考点】加权平均数．版权所有 【专题】统计的应用；运算能力． 【答案】乙． 【分析】根据加权平均数的定义列式计算得出三人的平均成绩，再比较大小即可得出答案． 【解答】解：甲最终得分为7.125， 乙最终得分为7.5， 丙最终得分为7.375， ∵7.5＞7.375＞7.125， ∴乙将被择优录用． 故答案为：乙． 【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 14．如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数y＝ax与反比例函数y相交于点A和点B．若A的横坐标为1，则B的坐标为 　（﹣1，﹣1）　 ． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．版权所有 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力；推理能力． 【答案】（﹣1，﹣1）． 【分析】根据A的横坐标为1，求出a的值，进而求出A点坐标，再根据对称性求出点B的坐标即可． 【解答】解：令， ∵同一平面直角坐标系下的正比例函数y＝ax与反比例函数相交于点A和点B，A的横坐标为1，， ∴a＝1， ∴y＝x， ∴当x＝1时，y＝x＝1， ∴A（1，1）， ∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴点A，B关于原点对称， ∴B（﹣1，﹣1）； 故答案为：（﹣1，﹣1）． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 15．“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高128m（即最高点离水面平台MN的距离），圆心O到MN的距离为68m，摩天轮匀速旋转一圈用时30min．某轿厢从点A出发，10min后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为　40π　 m．（结果保留π） 【考点】弧长的计算．版权所有 【专题】与圆有关的计算；运算能力；推理能力． 【答案】40π． 【分析】先根据题意求出∠AOB的度数，再求出圆O的半径，利用弧长公式进行求解即可； 【解答】解：由题意得∠AOB＝360°120°， 圆O的半径为128﹣68＝60（m）， ∴该轿厢所经过的路径（即）长度为40π（m）， 故答案为：40π． 【点评】本题主要考查了弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键． 16．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，．线段与关于过点O的直线l对称，点B的对应点在线段上，交于点E，则与四边形的面积比为 【答案】/ 【分析】此题考查了菱形的性质，轴对称性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 设，，首先根据菱形的性质得到，，连接，，直线l交于点F，交于点G，得到点，D，O三点共线，，，，然后证明出，得到，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】∵四边形是菱形， ∴设， ∴， 如图所示，连接，，直线l交于点F，交于点G， ∵线段与关于过点O的直线l对称，点B的对应点在线段上， ∴，， ∴ ∴点，D，O三点共线 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ 由对称可得， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）计算： 【答案】6 【分析】先计算零指数幂，负整数指数幂和特殊角三角函数值，再根据实数的混合计算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． 18．（8分）如图，∠ABE＝∠BAF，CE＝CF．求证：AE＝BF． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【专题】三角形；图形的全等；几何直观；推理能力． 【答案】证明见解答过程． 【分析】根据∠ABE＝∠BAF得CB＝CA，再根据CE＝CF得BE＝AF，由此可依据“SAS”判定△ABE和△BAF全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论． 【解答】证明：∵∠ABE＝∠BAF， ∴CB＝CA， ∵CE＝CF， ∴CB+CE＝CA+CF， 即BE＝AF， 在△ABE和△BAF中， ， ∴△ABE≌△BAF（SAS）， ∴AE＝BF． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 19．（8分）先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数． 【答案】； 【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数a的值，再代入数据计算即可． 【详解】解： ， 解不等式得：， ∵a为正整数， ∴，，， ∵要使分式有意义， ∴， ∵当时，， ∴， ∴把代入得：原式． 【点睛】本题主要考查了分式化简求作，分式有意义的条件，解不等式，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 20．（8分）在科技的浪潮中，人工智能正以不可阻挡之势，深刻改变着我们的世界．某校社团开展以“智能之光，照见未来”为主题的探究活动，推荐了当前热门的4类人工智能软件A、B、C、D，每个学生可选择其中1类学习使用．为了解学生对软件的使用情况，随机抽取部分学生进行调查统计，并根据统计结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图： 请根据图中信息，完成下列问题： （1）这次抽取的学生总人数为 　200　 人；扇形统计图中A类软件所占圆心角为 　144　 度； （2）补全条形统计图； （3）社团活动中表现最突出的有4人，其中有3人使用A类软件，有1人使用B类软件，现准备从这4名学生中随机选择2人进行学习成果展示，请用画树状图或列表法求出恰好抽到使用A、B两类软件各1人的概率． 【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图；概率公式．版权所有 【专题】统计的应用；概率及其应用；数据分析观念；运算能力． 【答案】（1）200，144； （2）． 【分析】（1）由D软件的人数除以所占百分比得出这次抽取的学生总人数，即可解决问题； （2）求出B软件的人数，补全条形统计图即可； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到使用A、B两类软件各1人的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）这次抽取的学生总人数为：40÷20%＝200（人）， ∴扇形统计图中A类软件所占圆心角为360°144°， 故答案为：200，144； （2）B软件的人数为：200﹣80﹣20﹣40＝60（人）， 补全条形统计图如下： （3）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到使用A、B两类软件各1人的结果有6种， ∴恰好抽到使用A、B两类软件各1人的概率为． 【点评】本题考查的是用列表法与树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 21．（8分）某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，货物M与点O的连线MO恰好平行于地面，BM＝3米，∠BOM＝18.17°．（参考数据：sin18.17°≈0.31，cos18.17°≈0.95，tan18.17°≈0.33，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，结果精确到1米） （1）求直吊臂OB的长； （2）直吊臂OB与BM的长度保持不变，OB绕点O逆时针旋转，当∠OBM＝36°时，货物M上升了多少米？ 【考点】解直角三角形的应用；矩形的判定与性质；旋转的性质．版权所有 【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力；推理能力． 【答案】（1）10米； （2）5米， 【分析】（1）根据，即可解Rt△BOM，即可求解； （2）记旋转后的点B，M的对应点为B′，M′，延长B′M′交OM于点F，过点B作BE⊥B′F于点E，可得四边形EFMB为矩形，则BM＝EF＝3米，在Rt△BOF中，B′F＝OB′×cos∠OB′M，求出B′F，再由M′F＝B′F﹣B′M′，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得，BM⊥OM， ∵∠BOM＝18.17°，BM＝3米， ∴在Rt△BOM中，（米）， 答：直吊臂OB的长为10米； （2）如图，记旋转后的点B，M的对应点为B′，M′，延长B′M′交OM于点F，过点B作BE⊥B′F于点E， 则∠BEF＝90°， 由题意得B′M＝BM＝3米，OB′＝OB＝10 米， ∴∠BEF＝∠EFM＝∠BMF＝90°， ∴四边形EFMB为矩形， ∴BM＝EF＝3米， 在Rt△B′OF中，B′F＝OB′×cos∠OB′M＝10×0.81＝8.1（米）， ∴M′F＝B′F﹣B′M′＝8.1﹣3＝5.1≈5（米）， ∴货物M上升了5米． 【点评】本题考查了解直角三角形的实际应用，旋转的性质，矩形的性质与判定，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． 22．（10分）（1）如图①，将平行四边形纸片ABCD的四个角向内折叠，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH．判断四边形EFGH的形状，并说明理由； （2）如图②，已知▱ABCD能按照图①的方式对折成一个无缝隙、无重叠的四边形MNPQ，其中，点M在AD上，点N在AB上，点P在BC上，点Q在CD上．请用直尺和圆规确定点M的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【考点】作图—复杂作图；翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质．版权所有 【专题】作图题． 【答案】（1）四边形EFGH是矩形，理由见解析； （2）见解析． 【分析】（1）结论：四边形EFGH是矩形，根据四个角是直角的四边形是矩形证明即可； （2）分别以点D、C为圆心，大于DC为半径作弧，连接两个交点，即为DC的垂直平分线，与DC交于点Q，同理作出AB的垂直平分线交于点N，连接NQ、AC，交于点Q，以点O为中心，OQ长为半径作弧交AD于点M，点M即为所作．连接MQ交于点P，连接MNPQ即为题目所求． 【解答】解：（1）结论：四边形EFGH是矩形． 理由：通过折叠的性质可知∠AFE＝∠EFK，∠BFG＝∠KFG， ∵∠AFB＝180°， ∴2∠EFK+2∠KFG＝180°， ∴∠EFK+∠KFG＝90°，即∠EFG＝90°， 同法可证∠FGH＝∠EHG＝90°， ∴四边形EFGH是矩形； （2）如图，分别以点D、C为圆心，大于DC为半径作弧，连接两个交点，即为DC的垂直平分线，与DC交于点Q，同理作出AB的垂直平分线交于点N，连接NQ、AC，交于点Q，以点O为中心，OQ长为半径作弧交AD于点M，点M即为所作．连接MQ交于点P，连接MNPQ即为题目所求． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的性质，翻折变换，解题的关键是掌握平行四边形的性质． 23．（10分）阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则___________，___________； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； (3)提升：已知实数s，t满足且，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)的值为或 【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，，再根据，最后代入求值即可； （3）由题意可将s、t可以看作方程的两个根，即得出，，从而由，求得或，最后分类讨论分别代入求值即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，． 故答案为：，； （2）解：∵一元二次方程的两根分别为m、n， ∴，， ∴ ； （3）解：∵实数s、t满足， ∴s、t可以看作方程的两个根， ∴，， ∵ ， ∴或， 当时， ， 当时， ， 综上分析可知，的值为或． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算．理解题意，掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． 24．（13分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0），C（6，0），与y轴交于点B，连接BC． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线BC下方抛物线上的点，连接PB，PC，当S△PBC＝24时，求点P的坐标； （3）点G是第四象限内抛物线上的一点，连接BG，若∠CBG＝45°，则点G的坐标为　（11，﹣30）　 ； （4）如图2，作点B关于x轴的对称点D，过点D作x轴的平行线l，过点C作CE⊥l，垂足为点E，动点M，N分别从点O，E同时出发，动点M以每秒1个单位长度的速度沿射线OC方向匀速运动，动点N以每秒2个单位长度的速度沿射线ED方向匀速运动（当点N到达点D时，点M，N都停止运动），连接MN，过点D作MN的垂线，垂足为点F，连接CF，则CF的取值范围是　　 ． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【专题】面积法；二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力． 【答案】（1）抛物线的解析式为； （2）P1（﹣2，﹣4），P2（8，﹣9）； （3）（11，﹣30）； （4）． 【分析】（1）代入点A、B的坐标，求得系数，即可得到解析式； （2）过点P作PQ∥BC交y轴于点Q，连接CQ，进行等面积转化，由面积求得线段长度，可得点的坐标，从而可求直线的解析式，再与抛物线解析式联立，即可解得点P的坐标； （3）将RT△CBO绕点C逆时针旋转90°得到RT△CRQ，则△BCR为等腰直角三角形．由旋转性质可得点R的坐标，从而可得直线方程，由等腰三角形的性质，可知G为直线与抛物线的交点，联立此直线方程与抛物线解析式，结合所处象限，即可得到点G的坐标； （4）根据题设条件所描述的运动过程，结合三角形的相似判定与性质，分析CF取最小值和最大值时候点F所处的位置，用勾股定理解直角三角形，结合三角形三边关系可求出CF的最小值，进而可得CF的范围． 【解答】解：（1）解：将A（﹣1，0），B（6，0）代入抛物线的解析式y＝ax2+bx+3， 得，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：过点P作PQ∥BC交y轴于点Q，连接CQ，如图a所示， 则S△QBC＝S△PBC＝24， ∴， ∵点C（6，0），则CO＝6， ∴BQ＝8， 又∵B（0，3）， ∴点Q（0，﹣5）， ∵B（0，3），C（6，0）， ∴直线BC的解析式为yx+3， ∵PQ∥BC， ∴直线PQ的表达式为yx﹣5， 联立yx﹣5与，可解得x＝﹣2或8， 故P1（﹣2，﹣4），P2（8，﹣9）． （3）将RT△CBO绕点C逆时针旋转90°得到RT△CRS，则△BCR为等腰直角三角形． 从而∠CBR＝45°，如图b所示： 又∵点G是第四象限内抛物线上的一点，∠CBG＝45°， ∴点G为BR延长线与抛物线的交点． 由旋转可知∠BOC＝∠RSC＝90°，BO＝RS＝3，OC＝SC＝6， 故点R坐标为（3，﹣6）， 由待定系数法可知直线BR的表达式为y＝﹣3x+3， 联立y＝﹣3x+3与，整理可得x2﹣11x＝0， 解得x＝11或0（舍去）， 故点G坐标为（11，﹣30）， 故答案为：（11，﹣30）． （4）由题意知四边形OCED为矩形，OD＝BO＝3，DE＝OC＝6． 连接OE，交MN于点G，如图c所示， 故OE， ∵OM∥EN， ∴△OMG∽△ENG， ∴，． 作GH⊥DE于点H，如图c所示， ∵GH∥OD， ∴△GHE∽△ODE， ∴， ∴GHOD＝2，HEDE＝4，DH＝6﹣4＝2， 故DG． 取DG中点J，连接FJ、CJ， ∵∠DFG＝90°， ∴根据斜边中线定理可得FJDG， 故CF≥CJ﹣FJ，当且仅当J、F、C共线时取等号． 易知点J坐标为（1，﹣2），C（6，0）， 故CJ，则CF≥CJ﹣FJ． 当点N与点D重合时，点F与点D重合，此时CF最大，即CF＝OE， 综上所述，CF的取值范围为， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求解析式，三角形面积等积变形，45°角的转化策略，函数与方程的联系，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，直角三角形的性质，斜边中线定理，勾股定理，三角形的三边关系等，熟练掌握以上知识点并作出恰当的辅助线是解题关键． 25．（13分）如图，已知AE是⊙O的直径，D是⊙O上一点．过D作直线DB与AE的延长线交于B点．过点A作AC⊥BD于C点，连结AD、DE，且∠AED＝∠ADC． （1）求证：直线BC是⊙O的切线； （2）若AE＝10，tan∠CAD，求DE与BD的长度； （3）在（2）的条件下，若F为上的一动点，且F在直线AB上方，连结AF、DF、EF．当四边形ADEF面积最大时，求DF的长度． 【考点】圆的综合题．版权所有 【专题】几何综合题；运算能力；推理能力． 【答案】（1）见解析；（2）DE＝6，；（3）． 【分析】（1）连接OD，可得∠ODE＝∠OED，∠ODE＝∠ADC，由直径性质，得∠ADE＝90°，可得∠ODC＝90°，即得直线BC是⊙O的切线； （2）证明∠CAD＝∠DAE，得，得，可得DE＝6，证明△BDE﹣△BAD，得由OD2+BD2＝OB2得； （3）过点E作EG⊥BF于点G，则∠DGE＝90°，当四边形ADEF面积最大时，△AEF面积最大，点F是的中点，可得AF＝EF，得到∠AEF＝∠EAF＝45°，求得∠EDF＝∠EAF＝45°，得到∠DEG＝45°，推出，由得到，于是得到结论． 【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OE， ∴∠ODE＝∠OED， ∵∠AED＝∠ADC， ∴∠ODE＝∠ADC， ∵AE是⊙O的直径，∠ADE＝90°， ∵∠ODC＝∠ADC+∠ODA＝∠ODE+∠ODA＝90°， ∵OD是⊙O的半径； ∴直线BC是⊙O的切线； （2）解：∵∠C＝∠ADE＝90°，∠ADC＝∠AED， ∴∠CAD＝∠DAE， ∵tan∠CAD＝tan∠DAE＝2，， ∴， ∴， ∵AD2+DE2＝AE2AE＝10， ∴， ∴DE＝6， ∵∠BDE＝∠CAD，∠CAD＝∠DAE， ∴∠BDE＝∠DAE， ∵∠B＝∠B， ∴△BDE∽△BAD， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵OD2+BD2＝OB2， ∴， 解得BD＝0（舍去）或； （3）过点E作EG⊥BD于点G，则∠DGE＝90°， 当四边形ADEF面积最大时，△AEF面积最大，点F到AE的距最大，点F是的中点， ∴， ∴AF＝EF， ∵∠AFE＝90°， ∴， ∴∠EDF＝∠EAF＝45°， ∴∠DEG＝90°﹣∠EDF＝45°， ∴DG＝EG，DG2+EG2＝DE2，DE＝6， ∴， ∵AE＝10， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题是圆的综合题，考查了熟练掌握圆周角定理及推论，圆切线的判定和性质，正切定义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考第二次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 口 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题4分，共24分） 1. 12. 13 14 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共9个小题，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(8分) 18.(8分) E、 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(8分) 20.(8分) +人数（人） 80 --------。 60 A B 40 20 D 20% 0 A B C D软件类别 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) B B B M -水平 水平线。817 M 0 (1)题目 (2)题目 22.(10分) D D H G 图0 图② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(13分) B 0 图1 图2 25(13分) F A o E B C D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2026年中考第二次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共40分）》 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D1 9.[A1[B][CI1[D1 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.A][B1[CI[D1 4.A][B1[CI[D] 8.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题4分，共24分） 12. 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共9个小题，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(8分) 18.(8分) E B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(8分) 20.(8分) 人数（人） 80 60 4 A 20 D 20% A B C D 软件类别 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) B B M 36 B M ·水平 水平线。J7. M 0 (1)题目 (2)题目 22.(10分) A D ! B 图① 图② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(13分) R B A 6 图1 图2 25(13分) R A o E C D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！