精品解析：广东省中山市纪雅学校2025-2026学年上学期期末考前适应性训练——数学学科

初二上学期期末考前适应性训练——数学学科 （测试时间，120分钟，满分：120分） 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图案中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果分式的值为0，那么，应满足的条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 分式中的x、y同时扩大2倍，则分式值（ ） A. 不变 B. 是原来的2倍 C. 是原来的4倍 D. 是原来的 6. 将下列多项式分解因式，得到的结果不含因式x-1的是（　　　） A. B. C. D. 7. 如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F为（　　） A. B. C. D. 8. 如果，，且、是长方形的长和宽，则这个长方形的面积是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 如图，的面积为，平分，于，连接，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，在中，内角与外角的平分线相交于点P，，与交于点H，交于F，交于G，连接CP．下列结论：①；②；③垂直平分；④．其中，正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：=_______________. 12. 在中，，平分交于，，，则___． 13. 如图，在中，，剪去成四边形，则的度数为_______． 14. 若3n=2，3m=5，则32n+m−1= _______. 15. a、b、c是等腰△ABC的三边长，其中a、b满足a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0，则△ABC的周长为 _____． 三．解答题（共3小题，每题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 如图，点B、E、C、F在一条直线上，与交于点G，，，．求证：． 18. 解分式方程：； 四．解答题（共3小题，每题9分，共27分） 19. 综合与实践 图1是某社区生态景观区的平面示意图．景观区建有一个四叶草形的生态水池及一座雕塑，水池内建有观景台，在观景台上安装了一盏广角灯（点D），，是两条通往观景台的步行道．嘉嘉从该社区了解到，为了凸显景观的层次感和立体感，达到理想的光影效果，要求．于是他利用身边仅有的一个卷尺根据现场条件进行测量，所得数据如表所示： 所测量的数据 长度/m 嘉嘉将示意图抽象成如图2所示的几何图形，连接． （1）判断该广角灯的位置是否符合要求，并说明理由． （2）若，，，求该广角灯的照射角（）的度数． 20. 某中学为配合开展“垃圾分类进校园”活动，新购买了一批不同型号的垃圾分类垃圾桶，学校先用2700元购买了一批给班级使用的小号垃圾桶，再用3600元购买了一批放在户久使用的大号垃圾桶，已知每个大号垃圾桶的价格是小号垃圾桶的4倍，且购买的数量比小号垃圾桶少40个，求每个小号垃圾桶的价格是多少元？ 21. 如图，是等边三角形，点D在线段上且不与点A、点C重合，延长至点使得，连接． （1）如图①，若D为中点，求； （2）如图②，连接，求证：． 五、解答题（共2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 在现在的信息化时代，密码为保护我们的个人隐私起到了不可或缺的作用．诸如“1234”或生日等简单密码非常容易被破解，因此利用数学产生一组容易记忆又不好破解的密码十分有必要．有一种“因式分解”法可以获得便于记忆的密码，其原理就是：将多项式分解因式，如多项式就可以分解成，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，比如某人的年龄为16，取，那么，，14和18就是因式码，将因式码进行排列就形成密码1418或密码1814，如果分解因式的结果有单项式，如，我们取和的值作为两个因式码． （1）根据上述方法，若多项式为，当时，请直接写出密码为_____． （2）若王老师想用年龄生成锁屏密码，选取的多项式为，已知王老师手机的锁屏密码是6位数字313032，请尝试分析王老师当前年龄是多少岁，并说明理由． （3）已知多项式，当取正整数时，用上述方法生成密码，若密码中最小的因式码为15，你能求出其他两个因式码吗？并说明理由． 23. 在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，若． （1）请直接写出点A，B的坐标； （2）如图1，点D在线段上，连接，交于点，轴交于点，设点的纵坐标为，线段的长为，用含的式子表示；（不要求写出的取值范围） （3）如图2，在（2）的条件下，点在第四象限内，连接交线段于点，若，，连接，，求点的纵坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二上学期期末考前适应性训练——数学学科 （测试时间，120分钟，满分：120分） 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图案中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合轴对称图形的概念求解即可． 【详解】A、不是轴对称图形，本选项不合题意； B、不是轴对称图形，本选项不合题意； C、是轴对称图形，本选项不合题意； D、不是轴对称图形，本选项正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 如果分式的值为0，那么，应满足的条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用分式的值为零的条件得出答案． 【详解】∵分式的值为0， ∴x-1=0，2x-y≠0， 解得：x=1，则y≠2． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确得出x的值是解题关键． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的除法运算法则、积的乘方和幂的乘方运算法则和完全平方公式分别化简得出答案. 【详解】A. ，故原选项计算错误； B. ，原选项计算正确； C. ，故原选项计算错误； D. ，故原选项计算错误. 故选B. 【点睛】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方和完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题的关键. 4. 下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据因式分解的定义：把整式变形成整式乘积的形式，即可作出判断． 【详解】A、符合因式分解的定义，故本选项正确； B、结果不是整式的积的形式，因而不是因式分解，故本选项错误． C、是整式的乘法运算，因而不是因式分解，故本选项错误； D、不是对多项式进行的变形，故本选项错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，正确理解定义是关键． 5. 分式中的x、y同时扩大2倍，则分式值（ ） A. 不变 B. 是原来的2倍 C. 是原来的4倍 D. 是原来的 【答案】B 【解析】 【详解】∵分式中的x，y同时扩大2倍， ∴分子扩大4倍，分母扩大2倍， ∴分式的值是原来的2倍． 故选B． 6. 将下列多项式分解因式，得到的结果不含因式x-1的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方差公式、完全平方公式、提公因式法，进行因式分解，据此即可一一判定． 【详解】解：A.，故该选项不符合题意； B.，故该选项不符合题意； C.，故该选项不符合题意； D.，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了利用平方差公式、完全平方公式、提公因式法分解因式，熟练掌握和运用因式分解的方法是解决本题的关键． 7. 如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据四边形内外角和三角形内外角关系，将各角转化为四边形的内角和求解 【详解】解：因为∠D+∠E=∠EGC，∠EGC+∠C=∠BIG， 所以∠D+∠E+∠C=∠BIG． 故∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F =（∠A+∠B+∠F）+（∠D+∠E+∠C） =∠A+∠B+∠F+∠BIG=360°． 故选B． 【点睛】此题考查四边形的内角和定理和三角形内外角关系．解题关键在于将问题转化为熟知的问题 8. 如果，，且、是长方形的长和宽，则这个长方形的面积是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】将所给两式括号展开，相减得4ab=12，求出ab的值即可. 【详解】∵，， ∴⋯⋯①，⋯⋯②， ①-②得，4ab=12， ∴ab=3， ∵、是长方形的长和宽， ∴长方形的面积=ab=3. 故选：A. 【点睛】此题主要考查了完全平方公式以及长方形面积的计算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键. 9. 如图，的面积为，平分，于，连接，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题考查了三角形全等的判定和性质，等底同高的三角形的面积相等是解题的关键．延长交于点E，由题意证得，证得，即可证得，设，利用即可求得结果． 【详解】解：延长交于点E， ∵平分，且于点D， ∴，． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设， ∵的面积为S， ∴， ∴． 故选：C． 10. 如图所示，在中，内角与外角的平分线相交于点P，，与交于点H，交于F，交于G，连接CP．下列结论：①；②；③垂直平分；④．其中，正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线的定义和三角形外角的性质可得，，然后可得①正确；过P作于M，于N，于S，根据角平分线的性质可得，然后利用三角形面积公式列式，继而得出②正确；根据三线合一可知③正确；证明平分，然后根据平行线的性质和角平分线定义可得④正确． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，①正确； 过P作于M，于N，于S， ∵平分，平分， ∴， ∵，②正确； ∵，平分， ∴垂直平分（三线合一），③正确； ∵， ∴， ∵，，， ∴平分， ∴， ∴，④正确． 综上，正确的有4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的判定和性质，平行线的性质，线段垂直平分线的判定，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握角平分线上的点到角两边距离相等是解答本题的关键． 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：=_______________. 【答案】a(a+b)(a-b). 【解析】 【详解】分析：本题考查的是提公因式法和利用平方差公式分解因式. 解析：原式= a(a+b)(a-b). 故答案为a(a+b)(a-b). 12. 在中，，平分交于，，，则___． 【答案】6 【解析】 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得AD为BC边上的高，然后根据三角形的面积公式即可求解. 【详解】∵AB=AC， ∴是等腰三角形， ∵AD平分∠BAC， ∴AD为BC边上的高， ∵S△ABC=12， ∴ ∵AD=4， ∴ 故答案为：6. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，以及三角形面积的计算，关键是掌握等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质． 13. 如图，在中，，剪去成四边形，则的度数为_______． 【答案】##230度 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和以及多边形内角和，根据在中，，得出，结合四边形内角和是，则，即可作答． 【详解】解：∵在中，， ∴， 由四边形内角和是，则， 故答案为：． 14. 若3n=2，3m=5，则32n+m−1= _______. 【答案】 【解析】 【分析】逆用幂的乘方和同底数幂的乘除法法则将原式进行变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵3n=2，3m=5， ∴32n+m−1=32n×3m÷3 =(3n)2×3m÷3 =22×5÷3 =． 故答案为． 【点睛】本题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法和除法，熟记公式并能将其灵活应用是解题关键． 15. a、b、c是等腰△ABC的三边长，其中a、b满足a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0，则△ABC的周长为 _____． 【答案】12 【解析】 【分析】先利用完全平方公式把a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0化为再利用非负数的性质求解 再分两种情况讨论：当为腰时，当为底时，结合三角形的三边关系，从而可得答案. 【详解】解： a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0， a、b、c是等腰△ABC的三边长， 当为腰时，则另一腰 此时 三角形不存在，舍去， 当为底时，则腰 此时 三角形存在， △ABC的周长为 故答案为：12 【点睛】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，非负数的性质，三角形三边的关系，等腰三角形的定义，掌握以上基础知识是解题的关键. 三．解答题（共3小题，每题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】先根据同底数幂的乘法法则，积的乘方与幂的乘方法则计算，最后合并同类项得到结果． 【详解】解： ． 17. 如图，点B、E、C、F在一条直线上，与交于点G，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】利用证明即可． 【详解】证明：∵ ∴ ∴ ∵， ∴． 18. 解分式方程：； 【答案】原方程无解 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，首先，找最简公分母；其次，去分母化为整式方程；再次，解整式方程；最后，验根，把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否是零；使最简公分母为零的根是原方程的增根，舍去；使最简公分母不为零的根是原方程的根． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； 检验，当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 四．解答题（共3小题，每题9分，共27分） 19. 综合与实践 图1是某社区生态景观区的平面示意图．景观区建有一个四叶草形的生态水池及一座雕塑，水池内建有观景台，在观景台上安装了一盏广角灯（点D），，是两条通往观景台的步行道．嘉嘉从该社区了解到，为了凸显景观的层次感和立体感，达到理想的光影效果，要求．于是他利用身边仅有的一个卷尺根据现场条件进行测量，所得数据如表所示： 所测量的数据 长度/m 嘉嘉将示意图抽象成如图2所示的几何图形，连接． （1）判断该广角灯的位置是否符合要求，并说明理由． （2）若，，，求该广角灯的照射角（）的度数． 【答案】（1）该广角灯的位置符合要求，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，利用证明是解题的关键． （1）利用证明，再根据全等三角形的性质即可解答； （2）由全等三角形的性质可得、，易得，进而得到，再结合即可解答． 【小问1详解】 解：该广角灯的位置符合要求．理由如下： ，， ． ，， ． 又， ， ， ∴该广角灯的位置符合要求． 【小问2详解】 （2）由（1）可知，， ，． ， ， ∴，即． ， ， ∴该广角灯的照射角（）的度数为． 20. 某中学为配合开展“垃圾分类进校园”活动，新购买了一批不同型号的垃圾分类垃圾桶，学校先用2700元购买了一批给班级使用的小号垃圾桶，再用3600元购买了一批放在户久使用的大号垃圾桶，已知每个大号垃圾桶的价格是小号垃圾桶的4倍，且购买的数量比小号垃圾桶少40个，求每个小号垃圾桶的价格是多少元？ 【答案】45 【解析】 【分析】设每个小号垃圾桶的价格是元，则每个大号垃圾桶的价格是元，由购买大号垃圾桶的数量比小号垃圾桶少40个列出方程解答即可； 【详解】设每个小号垃圾桶的价格是元，则每个大号垃圾桶的价格是元 依题意得： 解得： 经检验，是原方程的解 答：每个小号垃圾桶的价格是45元. 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的相等关系，列方程求解． 21. 如图，是等边三角形，点D在线段上且不与点A、点C重合，延长至点使得，连接． （1）如图①，若D为中点，求； （2）如图②，连接，求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质等等； （1）由是等边三角形，得到，D是边上的中点，得，则，由三角形外角的性质即可求出； （2）过点作交于点，证明是等边三角形，再运用证明得，进而可得结论． 【小问1详解】 解；∵是等边三角形， ∴， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图所示，过点作交于点， ∵ ∴， ∵是等边三角形 ∴，， ∴，， ∴是等边三角形 ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 同理可得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 五、解答题（共2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 在现在的信息化时代，密码为保护我们的个人隐私起到了不可或缺的作用．诸如“1234”或生日等简单密码非常容易被破解，因此利用数学产生一组容易记忆又不好破解的密码十分有必要．有一种“因式分解”法可以获得便于记忆的密码，其原理就是：将多项式分解因式，如多项式就可以分解成，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，比如某人的年龄为16，取，那么，，14和18就是因式码，将因式码进行排列就形成密码1418或密码1814，如果分解因式的结果有单项式，如，我们取和的值作为两个因式码． （1）根据上述方法，若多项式为，当时，请直接写出密码为_____． （2）若王老师想用年龄生成锁屏密码，选取的多项式为，已知王老师手机的锁屏密码是6位数字313032，请尝试分析王老师当前年龄是多少岁，并说明理由． （3）已知多项式，当取正整数时，用上述方法生成密码，若密码中最小的因式码为15，你能求出其他两个因式码吗？并说明理由． 【答案】（1）1911或1119 （2）岁，理由见解析 （3）17和64，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用以及新定义运算，读懂题意是解题的关键． （1）模仿题干的解题过程，根据因式分解的结果为或，再结合个人具体年龄作进一步分析，即可作答． （2）先把，结合，即可作答． （3）先把，结合，得到为最小的因式，即，解得，即可解答． 【小问1详解】 解：∵因式分解的结果为或， ∴当时，，， ∴锁屏密码为1119或1911． 【小问2详解】 解：， ∵王老师手机的锁屏密码是6位数字313032，且结合 ∴， ∴． 答：王老师的年龄是31岁． 【小问3详解】 解： ， ∵取正整数， ∴， 即， ∴为最小的因式， 即， 解得， ∴ 答：其他两个因式码为17和64． 23. 在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，若． （1）请直接写出点A，B的坐标； （2）如图1，点D在线段上，连接，交于点，轴交于点，设点的纵坐标为，线段的长为，用含的式子表示；（不要求写出的取值范围） （3）如图2，在（2）的条件下，点在第四象限内，连接交线段于点，若，，连接，，求点的纵坐标． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查非负数的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形的面积计算； （1）由，可得，可求出、的值，即可得点A，B的坐标； （2）易证，从而得到，然后即可求出； （3）在轴负半轴上截取，连接，作于点，轴于点，易证，得到，再由（2）得，设，得到，从而得到，再由三角形面积计算得出，，最后根据点在第四象限内得出点的纵坐标. 【小问1详解】 解：∵， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， 又∵， 在与中 ∴， ∴， ∵， ∴. 【小问3详解】 解：在轴负半轴上截取，连接，作于点，轴于点，如图所示： 在与中 ∴， ∴， 由（2）得 设， ∴，， ∴在中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∵点在第四象限内， ∴点的纵坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $