精品解析：江苏省苏州市张家港市梁丰初级中学2025-2026学年九年级下学期数学第二周模拟测试试卷

梁丰初级中学初三数学第二周模拟测试试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分) 1. 下面运动标识图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形的识别．根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，符合题意， 选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，不符合题意， 故选：B． 2. 下面的计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由同底数幂的乘除法法则、幂的乘方法则、合并同类项等逐一解答． 【详解】解：A. ，故A错误； B. ，故B错误； C. ，故C错误； D. ，故D正确， 故选：D． 【点睛】本题考查同底数幂的乘除法法则、幂的乘方法则、合并同类项等，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 3. 如图，∠ABC＝∠DCB，添加下列条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（ ） A. AB＝CD B. AC＝DB C. ∠A＝∠D D. ∠ABE＝∠DCE 【答案】B 【解析】 【分析】全等三角形的判定方法有SAS，AAS，根据定理逐个判断即可． 【详解】已知在和中，，， A．∵，由，可证得，故本选项不符合题意； B．∵， 由，无法证得，故本选项符合题意； C．∵， 由，可证得，故本选项不符合题意． D．∵，， ∴， 由，可证得，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，能正确根据全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键． 4. 如果一个角的补角是，那么这个角的余角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了补角和余角； 根据补角的定义先求出这个角的度数，再根据余角的定义计算即可． 【详解】解：∵一个角的补角是， ∴这个角的度数为， ∴这个角的余角是， 故选：B． 5. 反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质、一次函数的性质即可判断反比例函数的图象和一次函数的图象所处的象限． 【详解】解：由反比例函数y=与一次函数y=kx-3可知， 当k＞0时，反比例函数的图象在二、四象限，一次函数的图象通过一、三、四象限， 当k＜0时，反比例函数的图象在一、三象限，一次函数的图象通过二、三、四象限， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象，熟练掌握一次函数的性质和反比例函数的性质是解题的关键． 6. 随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳“出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管，为后下叉．已 知 ，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，理解平行线的性质是解答关键． 根据两直线平行内错角相等求出，进而求出的度数，再利用两直线平行内错角相等求出的度数，最后利用两直线平行同旁内角互补求解． 【详解】解：，， ． ， ． ， ． ， ． 故选：C． 7. 如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，动点P从点C出发，沿DC方向匀速运动到终点C．已知P，Q两点同时出发，并同时到达终点，连接OP，OQ．设运动时间为t，四边形OPCQ的面积为S，那么下列图象能大致刻画S与t之间的关系的是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：如图，作OE⊥BC于E点，OF⊥CD于F点， 设BC=a，AB=b，点P的速度为x，点F的速度为y， 则CP=xt，DQ=yt，所以CQ=b﹣yt， ∵O是对角线AC的中点，∴OE=b，OF=a． ∵P，Q两点同时出发，并同时到达终点， ∴ ，即ay=bx， ∴ ． ∴S与t的函数图象为常函数，且自变量的范围为0＜t＜ ）． 故选A． 8. 如图，在半径为的中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且，下列四个结论：①；②cm；③弦与直径的比为；④四边形是菱形．其中正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①②③④ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】分别根据垂径定理、菱形的判定定理、锐角三角函数的定义对各选项逐一判断即可． 【详解】解：令交于，如图所示： ∵点A是劣弧的中点，OA过圆心， ∴OA⊥BC，故①正确； ∵∠D＝30°， ∴∠ABC＝∠D＝30°， ∴∠AOB＝60°， ∵点A是劣弧的中点， ∴BC＝2CE， ∵OA＝OB， ∴OA＝OB＝AB＝6cm， ∴BE＝AB•cos30°＝＝cm， ∴BC＝2BE＝cm，故②正确； ∵∠AOB＝60°， ∴sin∠AOB＝sin60°＝，即弦与直径的比为，故③正确； ∵∠AOB＝60°， ∴AB＝OB， ∵点A是劣弧的中点， ∴AC＝AB， ∴AB＝BO＝OC＝CA， ∴四边形ABOC是菱形，故④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理、菱形的判定、圆周角定理、解直角三角形，综合性较强，掌握圆的相关性质是解决问题的关键． 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分) 9. 为了节约用水，某市改进居民用水设施，在2018年帮助居民累计节约用水305000吨，将数字305000用科学记数法表示为_______. 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数． 【详解】305000= 故答案为 【点睛】此题考查科学记数法，解题关键在于掌握表示形式 10. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练运用平方差公式． 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是________． 【答案】a≤5 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案． 【详解】由题意得：≥0， ∴a≤5． 故答案为：a≤5． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 12. 已知，，则________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，完全平方公式与平方差公式的灵活应用，熟记运算法则是解本题的关键．先计算出，，再将变形为，代入数据计算即可． 【详解】解：，， ，， ， 故答案为：8． 13. 已知一次函数的图像经过点，且平行于则该一次函数的解析式为：____________． 【答案】 【解析】 【分析】设该一次函数的解析式为，根据一次函数图像平行的性质，两平行一次函数的一次项系数相等，由此得到的值，再将已知点的坐标代入解析式求解，即可得到该一次函数的解析式． 【详解】解：设该一次函数的解析式为， ∵该一次函数的图像平行于， ∴， 即， 将点代入得： ， 解得， 故该一次函数的解析式为． 14. 如图，，，都是锐角，若，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角函数，三角形的外角，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值，求出，，；延长交于点，根据三角形的外角，即可求出． 【详解】解：∵，，都是锐角，，， ∴，，， 延长交于点， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，正方形的边，点E，F为正方形边的中点，以为半径的扇形交正方形的边于点G，H，则长为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长公式，解直角三角形，正方形的性质，先根据正方形性质，和解直角三角形求出，，从而得到，再运用弧长公式进行计算即可得解． 【详解】解： 点E，F为正方形边的中点， ，， 在中，， ， ， 同理可求出 ， ， 长为， 故答案为：． 16. 如图，矩形中，，，点是线段上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到，过F作于点G，连接，取的中点H，连接，．点在运动过程中，下列结论：①；②当点H和点G互相重合时，；③平分；④．正确的是______． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查了矩形中的旋转问题，涉及全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识．由四边形是矩形，线段绕点逆时针旋转得到，可证，从而判断①；当点H和点G互相重合时，由是等腰直角三角形，是的中点，，可得，从而得到，故可判断②；由，可得共圆，有，即可得出，从而判断③；分别求出的最大值以及最小值，从而判断④． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； 当点H和点G互相重合时，如图： ∵线段绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵是中点，， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； 如图： ∵是等腰直角三角形，是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴平分，故③正确； 当点和重合时，最短，如图： 此时与都在上， ∵是等腰直角三角形，是的中点， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值为； 当点和点重合时，最大，过点作交于点，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， ∴， ∴的最大值为， ∴，故④正确． 综上分析可知：正确的有①②③④． 故答案为：①②③④． 三、解答题 17. 计算与解不等式组 （1） （2） 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）先算负整数指数幂、零指数幂和二次根式，再计算加减； （2）分别解两个不等式，再取公共部分即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解： 解①，得， 解②，得， ∴原不等式组的解集为． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分括号内的式子，再将除法转化为乘法，然后约分，最后将的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： = ， 当时， 原式． 19. 如图，在中，，平分，于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质可得，根据全等三角形的判定即可证明； （2）根据勾股定理求得的值，根据全等三角形的性质可得，求得的值，设，根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴． 【小问2详解】 解：在中，， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， 即， 解得：， 故． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线性质，勾股定理，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 20. 如图，为的直径，为上一点，连接，，为延长线上一点，连接，且． （1）求证：是的切线． （2）过点作的垂线，交于点，交于点，连接．若，，求和直径的长． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得，利用直角三角形的性质得到，根据等腰三角形等边对等角得到，结合等量代换得到，即，即可证明结论； （2）根据证明，结合，推出，求出，，即可得到，半径为，由是的垂线，证明，求出，连接，根据圆周角定理得，证明，求出，即可解答． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 为半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的垂线，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴，直径． 21. 我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有一棵唐代古槐，称为“宋塔唐槐”（如图①）．数学兴趣小组利用无人机测量古槐的高度，如图②所示，当无人机从位于塔基B点与古槐底D点之间的地面H点，竖直起飞到正上方45米E点处时，测得塔AB的顶端A和古槐CD的顶端C的俯角分别为26.6°和76°（点B，H，D三点在同一直线上）．已知塔高为39米，塔基B与树底D的水平距离为20米，求古槐的高度（结果精确到1米）．（参考数据：，，，，，） 【答案】古槐的高度约为13米 【解析】 【分析】过点A作AM⊥EH于M，过点C作CN⊥EH于N，在Rt△AME中，根据锐角三角函数求出AM=12米，进而求出CN=8米，再在Rt△ENC中，根据锐角三角函数求出EN=32.08米，即可求出答案． 【详解】解：过点A作AM⊥EH于M，过点C作CN⊥EH于N， 由题意知，AM=BH，CN=DH，AB=MH， 在中，∠EAM=26.6°， ∴， ∴米， ∴BH=AM=12米， ∵BD=20， ∴DH=BDBH=8米， ∴CN=8米， 在中，∠ECN=76°， ∴， ∴米， ∴（米）， 即古槐的高度约为13米． 【点睛】此题主要考查解直角三角形的应用——仰角俯角问题，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键． 22. 小西和小傅在跑步机上慢跑锻炼．小西先跑，10分钟后小傅才开始跑，小傅跑步时中间休息了两次．跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分．小西与小傅的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程s（米）与小西跑步时间t（分）的函数关系如图所示． 时间 里程分段 速度档 跑步里程 小西 不分段 A档 4000米 小傅 第一段 B档 1800米 第一次休息 第二段 B档 1200米 第二次休息 第三段 C档 1600米 （1）求A，B，C各档速度（单位：米/分）； （2）小傅第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，求a的值； （3）若小傅第一次休息时间是第二次时间的4倍，那么t多少时，小西和小傅跑步累计里程相差520米． 【答案】（1），，各档速度米/分、米/分、米/分 （2） （3）小西和小傅跑步累计里程相差520米时，t为，，或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用，读懂图中的数据是解题的关键． （1）由小西的跑步里程及时间可得档速度，再根据档比档快米/分、档比档快米/分，即可得出答案； （2）结合图象求出小傅每段跑步所用时间，再根据总时间求出小傅休息的时间，此时小丽在跑第三段，所跑时间为分， 列方程求出的值即可； （3）先求出小傅第一次休息时间为4分钟，第二次休息时间为1分钟，然后分为种情况，根据里程差列一元一次方程解答即可． 【小问1详解】 解：由题意可知， 档速度为(米/分) ， 则档速度为(米/分) ， 档速度为(米/分) ， 答：，，各档速度米/分、米/分、米/分； 【小问2详解】 小傅第一段跑步时间为(分)， 小傅第二段跑步时间为(分)， 小傅第三段跑步时间为(分)， 则小傅两次休息时间的总和为(分)， ∵小傅第二次休息后，在分钟时两人跑步累计里程相等， ∴此时小傅在跑第三段，所跑时间为(分)， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵小傅第一次休息时间是第二次时间的4倍， ∴第一次休息时间为4分钟，第二次休息时间为1分钟， 当时，，解得； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：（舍去）； 当时，，解得：（舍去）； 当时，|，解得：（舍去）或； 综上所述，小西和小傅跑步累计里程相差520米时，t为，，或． 23. 某医药研究所研制了一种具有缓释功能的新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第小时起开始起效，第2小时达到最高微克/毫升，并维持这一最高值直至第4小时结束，接着开始衰退，每毫升血液中含药量（微克）与时间（小时）的函数关系如图，并发现衰退时y与x成反比例函数关系． （1）当时，与之间的函数表达式为 ；当时，与之间的函数表达式为 ． （2）如果每毫升血液中含药量不低于4微克时有效，求一次服药后的有效时间有多少小时． 【答案】（1）； （2）11小时 【解析】 【分析】本题实际问题与反比例函数，正确地求出函数解析式是解题的关键： （1）待定系数法求函数解析式即可； （2）求出时的两个自变量的值，作差即可． 【小问1详解】 解：当时，设与之间的函数关系式为， 由图象可知，直线经过点 ∴， 解得： ∴解析式为； 当时，设与之间的函数关系式为， 由图象可知，反比例函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴函数的解析式为； 【小问2详解】 解：令，解得：， 令，解得：， ∴（小时）， ∴一次服药后的有效时间有11小时． 24. （1）【操作发现】如图1，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则的度数为 ； （2）【类比探究】如图2，在等边三角形内任取一点，连接，，，求证：以，，的长为三边必能组成三角形； （3）【解决问题】如图3，在边长为的等边三角形内有一点，，，求的面积； （4）【拓展应用】如图4是，，三个村子位置的平面图，经测量，，，为内的一个动点，连接，，，求的最小值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）；（4） 【解析】 【分析】（1）证明是等边三角形即可； （2）以为边长作等边，使P、D分别在的两侧，连接．利用全等三角形的性质以及三角形的三边关系即可解决问题； （3）将绕点A按逆时针方向旋转，得到，只要证明，利用勾股定理即可解决问题； （4）将绕点C顺时针旋转得到，连接，，证明为等边三角形，得出，根据勾股定理求出，根据，得出当最小时，最小，根据两点之间线段最短，得出当P，D在上时，最小，求出最小值即可． 【详解】解：（1）∵将绕点顺时针旋转，得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴； （2）证明：如图，以为边长作等边，使P、D分别在的两侧，连接， ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， 又∵， ∴， ∴以，，的长为三边必能组成三角形． （3）如图，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，连接， ∴， ，， ∴是等边三角形， ∴， ， ∴，， ∴，即， ∵，， ∴， 即， ∴，负值舍去， ∴， ∴． （4）如图，将绕点C顺时针旋转得到，连接，， ∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴，， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∵， ∴当最小时，最小， ∵两点之间线段最短， ∴当P，D在上时，最小，且最小值为的长， ∴的最小值为. 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，解直角三角形，三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 25. 【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于、B两点，交y轴于点C，抛物线对称轴交x轴于点D，抛物线与双曲线交于点，把点P绕点D顺时针旋转得到的对应点为Q． 【构建联系】 （1）分别求出抛物线和双曲线的解析式，并说明点Q是否在双曲线上． （2）如图2，双曲线与抛物线对称轴交于点E，连接，，求证：． 【深入探究】 （3）如图3，连接、，将绕着点旋转得到，其中点、分别是、两点的对应点，在旋转的过程中，当与重叠部分恰好是一个点时，求出此时点的坐标． 【答案】（1）双曲线的解析式为；抛物线的解析式为；点在双曲线上； （2）证明：∵双曲线与抛物线对称轴交于点， ∴， ∴ ∵，抛物线对称轴为直线，、关于对称轴对称， ∴， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）待定系数法先求出k的值，即可得到反比例的函数解析式，再将，代入中，解方程组即可得到抛物线的解析式；进而得到点D的坐标，分别作轴，轴，分别交轴于、两点，证明，得到点Q的坐标，即可判断； （2）证明，即可得到结论； （3）分与重叠部分是点，与重叠部分是点，两种情况讨论即可． 【详解】解：（1）把代入中， ∴ ∴双曲线的解析式为 把，代入中，可得方程组 ， 解得 ∴抛物线的解析式为 ∴抛物线的对称轴为直线 ∴ 点在双曲线上，理由如下： 分别作轴，轴，分别交轴于、两点，如图 ∴ ∵把点绕点顺时针旋转得到的对应点 ∴， ∴，， ∴ ∵，， ∴ ∴，， ∴ ∴点在双曲线上． （2）略 （3）①当与重叠部分是点时，如图 分别作轴，轴，分别交轴于、两点 ∵ ∴， ∴ ∵， ∴， 点的坐标为． ②当与重叠部分是点时，如图 ∴点在线段上 ∵抛物线解析式为， ∴ ∵， 设的解析式为， 把和代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， ∴设的坐标为 ∵， ∴ 解得，（舍去） ∴点的坐标为． 综上：点的坐标为或． 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握并综合应用有关性质进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 梁丰初级中学初三数学第二周模拟测试试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分) 1. 下面运动标识图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面的计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，∠ABC＝∠DCB，添加下列条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（ ） A. AB＝CD B. AC＝DB C. ∠A＝∠D D. ∠ABE＝∠DCE 4. 如果一个角的补角是，那么这个角的余角是（ ） A. B. C. D. 5. 反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳“出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管，为后下叉．已 知 ，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，动点P从点C出发，沿DC方向匀速运动到终点C．已知P，Q两点同时出发，并同时到达终点，连接OP，OQ．设运动时间为t，四边形OPCQ的面积为S，那么下列图象能大致刻画S与t之间的关系的是 A. B. C. D. 8. 如图，在半径为的中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且，下列四个结论：①；②cm；③弦与直径的比为；④四边形是菱形．其中正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①②③④ C. ②③④ D. ①③④ 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分) 9. 为了节约用水，某市改进居民用水设施，在2018年帮助居民累计节约用水305000吨，将数字305000用科学记数法表示为_______. 10. 因式分解：______． 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是________． 12. 已知，，则________． 13. 已知一次函数的图像经过点，且平行于则该一次函数的解析式为：____________． 14. 如图，，，都是锐角，若，，则__________． 15. 如图，正方形的边，点E，F为正方形边的中点，以为半径的扇形交正方形的边于点G，H，则长为__________． 16. 如图，矩形中，，，点是线段上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到，过F作于点G，连接，取的中点H，连接，．点在运动过程中，下列结论：①；②当点H和点G互相重合时，；③平分；④．正确的是______． 三、解答题 17. 计算与解不等式组 （1） （2） 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在中，，平分，于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 如图，为的直径，为上一点，连接，，为延长线上一点，连接，且． （1）求证：是的切线． （2）过点作的垂线，交于点，交于点，连接．若，，求和直径的长． 21. 我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有一棵唐代古槐，称为“宋塔唐槐”（如图①）．数学兴趣小组利用无人机测量古槐的高度，如图②所示，当无人机从位于塔基B点与古槐底D点之间的地面H点，竖直起飞到正上方45米E点处时，测得塔AB的顶端A和古槐CD的顶端C的俯角分别为26.6°和76°（点B，H，D三点在同一直线上）．已知塔高为39米，塔基B与树底D的水平距离为20米，求古槐的高度（结果精确到1米）．（参考数据：，，，，，） 22. 小西和小傅在跑步机上慢跑锻炼．小西先跑，10分钟后小傅才开始跑，小傅跑步时中间休息了两次．跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分．小西与小傅的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程s（米）与小西跑步时间t（分）的函数关系如图所示． 时间 里程分段 速度档 跑步里程 小西 不分段 A档 4000米 小傅 第一段 B档 1800米 第一次休息 第二段 B档 1200米 第二次休息 第三段 C档 1600米 （1）求A，B，C各档速度（单位：米/分）； （2）小傅第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，求a的值； （3）若小傅第一次休息时间是第二次时间的4倍，那么t多少时，小西和小傅跑步累计里程相差520米． 23. 某医药研究所研制了一种具有缓释功能的新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第小时起开始起效，第2小时达到最高微克/毫升，并维持这一最高值直至第4小时结束，接着开始衰退，每毫升血液中含药量（微克）与时间（小时）的函数关系如图，并发现衰退时y与x成反比例函数关系． （1）当时，与之间的函数表达式为 ；当时，与之间的函数表达式为 ． （2）如果每毫升血液中含药量不低于4微克时有效，求一次服药后的有效时间有多少小时． 24. （1）【操作发现】如图1，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则的度数为 ； （2）【类比探究】如图2，在等边三角形内任取一点，连接，，，求证：以，，的长为三边必能组成三角形； （3）【解决问题】如图3，在边长为的等边三角形内有一点，，，求的面积； （4）【拓展应用】如图4是，，三个村子位置的平面图，经测量，，，为内的一个动点，连接，，，求的最小值． 25. 【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于、B两点，交y轴于点C，抛物线对称轴交x轴于点D，抛物线与双曲线交于点，把点P绕点D顺时针旋转得到的对应点为Q． 【构建联系】 （1）分别求出抛物线和双曲线的解析式，并说明点Q是否在双曲线上． （2）如图2，双曲线与抛物线对称轴交于点E，连接，，求证：． 【深入探究】 （3）如图3，连接、，将绕着点旋转得到，其中点、分别是、两点的对应点，在旋转的过程中，当与重叠部分恰好是一个点时，求出此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $