精品解析：广东佛山市南海区桂城街道灯湖初级中学2025-2026学年第二学期八年级第一次学情调查数学卷

2025-2026学年度第二学期八年级第一次学情调查数学科调研卷 本试卷共4页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是一款儿童小推车的示意图，若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．若的周长是，，则的周长是（ ） A. B. C. D. 4. 小贤在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了二项式中“□”的部分，若该二项式能分解因式，则“□”不可能是（ ） A. B. C. 49 D. 5. 在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（ ） A. B. C. D. 平分 6. 下列真命题中，逆命题也是真命题的是（） A. 如果两个有理数相等，那么它们的平方相等 B. 等边三角形是锐角三角形 C. 四边形是多边形 D. 全等三角形的对应边都相等 7. 如图，中，，，为边上的中点，，连接，已知，则图中与互余的角共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 8. 利用乘法公式判断，下列哪个算式的值与其他选项不同？（） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（ ） A. B. 6 C. D. 3 10. 定义：若一个正整数能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”．例如，，所以13是“智慧数”，则下列说法不正确的是（ ） A. 12是智慧数 B. 代数式（是正整数）是智慧数的条件是 C. 所有大于1的奇数都是智慧数 D. 将智慧数从小到大进行排列，第10个智慧数是16 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若，则____．（填，，或） 12. 用反证法证明命题：“已知是同一平面内三条不同的直线，如果与相交，那么与相交”是真命题时，第一步应假设______． 13. 若，则_____． 14. 如图，，平分，于，，已知，则______． 15. 如图是一幅边长为的正方形书法作品，计划在其四周镶一圈宽度均为的花边．现有一张镶边用的长方形花纸，恰好可以完成镶边任务且没有剩余，则这张长方形花纸相邻两边的长可能是___． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 在对“”进行因式分解时，小华和小明产生了分歧．下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务． 小华 原式 第一步 第二步 ． 第三步 小明 原式 第一步 第二步 ． 第三步 任务： （1）通过讨论，他们发现小华的解答正确，小明的解答错误．小华第一步依据的乘法公式为________（用含a，b的等式表示）；小明的解答从第________步开始出现错误． （2）按照小明的思路，写出正确的解答过程． 17. 下面是琪琪同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在中，，．求证：． 方法一 证明：如图，延长至点，使，连接． 方法二 证明：如图，在线段上取一点，使得，连接． 18. 当时，比较与的大小，并说明理由．请将下面的解题过程补充完整，括号内填写该步骤用到的不等式性质． （1）∵，， ∴_____（__________） ∴_____（_________）． （2）若，则a的取值范围为_______．（直接写出答案） 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如果三角形三边长a、b、c满足，那么我们就把这样的三角形叫做“均匀三角形”，如三边长分别为1、1、1或3、5、7……的三角形都是“均匀三角形”．如图，两条线段长分别为a、． （1）用含有a和c的代数式表示b，______． （2）求作均匀三角形，使得最短边、最长边（不写作法，保留作图痕迹）； （3）在（2）中的三角形内部求作一点P，使P点到此三角形三边距离相等． 20. 甲、乙两位同学将一个多项式分解因式，甲同学因看错了二次项系数而分解成，乙同学因看错了一次项系数而分解成． （1）求原来正确的多项式； （2）将原来的多项式分解因式． 21. 如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． （1）求的大小； （2）求证：是等边三角形． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 如图，平面直角坐标系中，已知点在轴正半轴上，点（其中）点在轴正半轴上，且． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，连接，在内取一点，使，若，求的度数． （3）如图3，点在轴上，直线交于点，当点在轴负半轴上运动时，度数是否为定值？如果是，请求出的度数；如果不是，请说明理由． 23. 爱动脑筋的小李同学在学习完角平分线的性质后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论： （1）【问题发现】如图1所示，若是的角平分线，可得到结论：． 小李的解法如下：过点作于点于点，过点作于点， 是的角平分线，且， _________． ， ． （2）【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点．求证：； （3）【直接应用】如图3所示，在中，平分交于点，若，，请利用小李的方法在不添加辅助线的情况下求出． （4）【拓展应用】如图4所示，在中，，设，记的面积为，将先沿的平分线折叠，点刚好落在边上的点，剪掉重叠部分（即四边形），再将余下部分沿的平分线折叠，再剪掉重叠部分，记剩余部分的面积为，请猜测的值，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期八年级第一次学情调查数学科调研卷 本试卷共4页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．根据不等式的性质，在两边同时加上相同的正数，不等式方向不变，即可求解． 【详解】解：∵初始时，两杯水的质量分别为克和克， ∴加入克水后，两杯水的质量变为克和克， ∵， ∴， 故选：A 2. 如图是一款儿童小推车的示意图，若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．首先根据平行线的性质得出，再根据三角形的外角性质即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ， ∴； 故选：A． 3. 如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．若的周长是，，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到两端的距离相等． 先根据垂直平分线的性质得出，再根据的周长是，即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴的周长=． 故选：A． 4. 小贤在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了二项式中“□”的部分，若该二项式能分解因式，则“□”不可能是（ ） A. B. C. 49 D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用提公因式法和平方差公式，逐个代入选项判断二项式能否分解因式，即可得到答案． 【详解】解：A. 当时，，可以分解，本选项不符合题意； B .当时，，该多项式不能分解因式，本选项符合题意； C .当时，，可以分解，本选项不符合题意； D .当时，，可以分解，本选项不符合题意． 5. 在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（ ） A. B. C. D. 平分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三线合一，根据三线合一，进行判断即可． 【详解】解：当时， ∵点在上， ∴， ∴， ∴；故选项A不符合题意； ∵， ∴，不能得到；故选项B符合题意； ∵， ∴当或平分时，；故选项C，D均不符合题意； 故选B 6. 下列真命题中，逆命题也是真命题的是（） A. 如果两个有理数相等，那么它们的平方相等 B. 等边三角形是锐角三角形 C. 四边形是多边形 D. 全等三角形的对应边都相等 【答案】D 【解析】 【分析】先求出每个选项原命题的逆命题，再判断逆命题的真假，选出原命题和逆命题都为真命题的选项即可． 【详解】解：将原命题的条件和结论互换即可得到逆命题，逐个分析如下： A．逆命题为：如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等． 例如：但，逆命题是假命题不符合要求； B．逆命题为：锐角三角形是等边三角形． 例如：三个内角为的锐角三角形它不是等边三角形，逆命题是假命题不符合要求； C．逆命题为：多边形是四边形． 例如：五边形是多边形，但不是四边形，逆命题是假命题，不符合要求； D．逆命题为：三边对应相等的两个三角形是全等三角形． 根据三角形全等的SSS判定定理三边对应相等的两个三角形全等，逆命题是真命题，符合要求． 7. 如图，中，，，为边上的中点，，连接，已知，则图中与互余的角共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余和等腰三角形的性质，可求，，，均为，即与互余． 【详解】解：，， ， 为边上的中点，， ， ，， ， ，， 综上所述：，，，与互余，即共4个． 8. 利用乘法公式判断，下列哪个算式的值与其他选项不同？（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题利用平方差公式分解每个选项，再根据乘法交换律比较各选项的因数，即可得到结果不同的选项． 【详解】解：A、， 因数为； B、， 因数为； C、， 因数为； D、， 因数为． 根据乘法交换律，因数相同的乘积相等，B，C，D的因数完全相同，乘积相等，A的因数不同，乘积不同，所以值与其他选项不同的是A． 9. 如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（ ） A. B. 6 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形性质、含角的直角三角形性质及勾股定理，熟练掌握这些性质定理，通过设未知数，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．先根据等腰三角形性质求出的度数，再利用中点得到线段关系，最后在中，结合含角的直角三角形性质及勾股定理求出的长 ． 【详解】解：∵在中，，， ． 是中点， ∴设，则． ∵， 是直角三角形，且， ， ∵，则．在中，根据勾股定理， ∴， ， ， 解得（）． ， ． 故选：． 10. 定义：若一个正整数能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”．例如，，所以13是“智慧数”，则下列说法不正确的是（ ） A. 12是智慧数 B. 代数式（是正整数）是智慧数的条件是 C. 所有大于1的奇数都是智慧数 D. 将智慧数从小到大进行排列，第10个智慧数是16 【答案】B 【解析】 【分析】根据“智慧数”定义，将其变形为（，为正整数，），再逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A：，满足定义，是智慧数； 选项B：对变形得，若它是智慧数，需和为正整数，且，可得，即，因此选项B说法不正确； 选项C：设大于1的奇数为（为正整数），，且当为正整数时，和都是正整数，所有大于1的奇数都是智慧数； 选项D：从小到大判断可得前10个智慧数依次为：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，因此第10个智慧数是16． 综上，说法不正确的是B． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若，则____．（填，，或） 【答案】 【解析】 【分析】不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．将不等式两边同时乘3，即可得到结果． 【详解】解： ． 12. 用反证法证明命题：“已知是同一平面内三条不同的直线，如果与相交，那么与相交”是真命题时，第一步应假设______． 【答案】 【解析】 【分析】反证法证明命题时，需先假设命题的结论不成立，据此求解即可． 【详解】解：∵用反证法证明：已知a，b，c是同一平面内的三条不同的直线，如果，a与c相交，那么b与c相交． ∴应先假设． 13. 若，则_____． 【答案】4 【解析】 【分析】利用平方差公式对原式进行因式分解，再代入已知条件化简计算，即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴ ． 14. 如图，，平分，于，，已知，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】此题主要考查角平分线、平行线的性质和直角三角形中锐角所对直角边等于斜边的一半，作辅助线是关键． 由得，由角平分线的定义和平行线的性质易得，，作于，根据角平分线的性质可得，，在中，易得，即可求解． 【详解】解：作于， 平分， ， ∵ ， ， ， ， ， ， ∴在中， ， ∴， 故答案为：2． 15. 如图是一幅边长为的正方形书法作品，计划在其四周镶一圈宽度均为的花边．现有一张镶边用的长方形花纸，恰好可以完成镶边任务且没有剩余，则这张长方形花纸相邻两边的长可能是___． 【答案】 与 【解析】 【详解】解：如图所示， ∴，， ∴长方形的一条边长为：， 另一条边长为：， 故答案为：与 ． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 在对“”进行因式分解时，小华和小明产生了分歧．下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务． 小华 原式 第一步 第二步 ． 第三步 小明 原式 第一步 第二步 ． 第三步 任务： （1）通过讨论，他们发现小华的解答正确，小明的解答错误．小华第一步依据的乘法公式为________（用含a，b的等式表示）；小明的解答从第________步开始出现错误． （2）按照小明的思路，写出正确的解答过程． 【答案】（1）；一 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键． （1）根据解答过程可知小华运用了完全平方公式，小明第一步出现了错误； （2）运用平方差公式分解因式即可． 【小问1详解】 解：由解答过程可知小华运用了完全平方公式，即；小明第一步运用平方差公式时减法未变号． 故答案为：；一． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 下面是琪琪同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在中，，．求证：． 方法一 证明：如图，延长至点，使，连接． 方法二 证明：如图，在线段上取一点，使得，连接． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质； （1）根据条件证明是等边三角形，根据三线合一的性质即可证明； （2）根据条件证明是等边三角形，从而再证明即可． 【详解】解：方法一：如图：延长到点，使得，连接， ， ， ，， 又， 是等边三角形， ， ， ， ； 方法二：如图，在线段上取一点，使得，连接， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 即． 18. 当时，比较与的大小，并说明理由．请将下面的解题过程补充完整，括号内填写该步骤用到的不等式性质． （1）∵，， ∴_____（__________） ∴_____（_________）． （2）若，则a的取值范围为_______．（直接写出答案） 【答案】（1），不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变；，不等式的两边都加上同一个数，不等号的方向不变 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的性质是解答的关键． （1）根据不等式的性质求解即可． （2）由得到，可得，进一步求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴（不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变） ∴（不等式的两边都加上同一个数，不等号的方向不变）． 【小问2详解】 解：∵且， ∴， 解得：． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如果三角形三边长a、b、c满足，那么我们就把这样的三角形叫做“均匀三角形”，如三边长分别为1、1、1或3、5、7……的三角形都是“均匀三角形”．如图，两条线段长分别为a、． （1）用含有a和c的代数式表示b，______． （2）求作均匀三角形，使得最短边、最长边（不写作法，保留作图痕迹）； （3）在（2）中的三角形内部求作一点P，使P点到此三角形三边距离相等． 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作三角形，作垂线和角平分线，解题的关键是正确分析题意． （1）将变形求解即可； （2）先作线段，使，，作线段的垂直平分线，交于点E，以点B为圆心，线段a的长度为半径画弧，以点C为圆心，线段的长度为半径画弧，两弧交于点C，连接，，本题得以解决； （3）分别作出和的平分线交于点P即为所求． 【小问1详解】 ∵ ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，为所求作的三角形， 【小问3详解】 如图所示，点P即为所求． 20. 甲、乙两位同学将一个多项式分解因式，甲同学因看错了二次项系数而分解成，乙同学因看错了一次项系数而分解成． （1）求原来正确的多项式； （2）将原来的多项式分解因式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解、整式的乘法． (1)根据整式的乘法法则计算可得：甲看到的多项式是，乙看到的多项式是，因为甲看错了二次项系数，但是其他项没有看错，乙看错了一次项系数，其他项没有看错，可知原来的多项式的三次项是，二次项是，一次项是； (2)把(1)得到的正确的多项式分解因式即可． 【小问1详解】 解：， ， 原来的多项式为； 【小问2详解】 解： ． 21. 如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． （1）求的大小； （2）求证：是等边三角形． 【答案】（1） （2） 证明：由平移可知：， ， 又， ， ∴， 又， 垂直平分， ， 由（1）知，， ， ， 是等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的基本性质、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等基础知识，考查空间观念、几何直观与推理能力，考查化归与转化思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）等边三角形的性质推出，垂直，得到，角的和差关系求出的大小即可； （2）平移得到，进而得到，角的和差关系推出，进而得到，根据，推出垂直平分，进而得到，推出，进而得到是等边三角形即可． 【小问1详解】 解：是等边三角形， ． D是的中点， ． ， ， ． 【小问2详解】 略 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 如图，平面直角坐标系中，已知点在轴正半轴上，点（其中）点在轴正半轴上，且． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，连接，在内取一点，使，若，求的度数． （3）如图3，点在轴上，直线交于点，当点在轴负半轴上运动时，度数是否为定值？如果是，请求出的度数；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）见详解 （2） （3）的度数为定值， 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式因式分解得出，进而得出，即可得证； （2）过作的垂线交的延长线于，证明，，，证明为等腰直角三角形，得出，即可得解； （3）过作于，取，连接、，由得，证明，得出，，证明出是等腰直角三角形，得出，从而得出，即可得解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，而， ∴为等腰直角三角形， 过作的垂线交的延长线于， ∵，而， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 在中，，， ∴为等腰直角三角形，， ∴； 【小问3详解】 解：的度数为定值，， 过作于，即轴，取，连接、， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 由（1）得， 又∵， ∴， ∵轴，在y轴上， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 23. 爱动脑筋的小李同学在学习完角平分线的性质后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论： （1）【问题发现】如图1所示，若是的角平分线，可得到结论：． 小李的解法如下：过点作于点于点，过点作于点， 是的角平分线，且， _________． ， ． （2）【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点．求证：； （3）【直接应用】如图3所示，在中，平分交于点，若，，请利用小李的方法在不添加辅助线的情况下求出． （4）【拓展应用】如图4所示，在中，，设，记的面积为，将先沿的平分线折叠，点刚好落在边上的点，剪掉重叠部分（即四边形），再将余下部分沿的平分线折叠，再剪掉重叠部分，记剩余部分的面积为，请猜测的值，并说明理由． 【答案】（1），， （2）见详解 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据三角形面积公式分别得到，，再根据角平分线的性质得到，由此列式即可求解； （2）过点A作于点P，过点D作于点M，作延长线于点N ，，，由此列式求解即可； （3）根据题意得到，结合题意得到，，设，在中，根据勾股定理列式求解即可； （4）根据题意，运用勾股定理得到，且，结合（1）的计算得到，，，，则，分别算出，，，得到，代入计算即可． 【小问1详解】 解：过点作于点于点，过点作于点， 是的角平分线，且， ∴，， ， ． 【小问2详解】 证明：如图所示，过点A作于点P，过点D作于点M，作延长线于点N ， ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：在中，平分交于点， ∴， ∵，，则， ∴， 设， 在中，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴； 【小问4详解】 解：在中，，平分，， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∵折叠，点刚好落在边上的点， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $