精品解析：辽宁铁岭市高级中学等六校2026届高三下学期学业评估数学试题

高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命題范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由已知得，则． 2. 已知复数，则（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得，所以．所以D正确． 3. 某传媒评选出某省独角兽企业百强榜，其中前10个企业的估值（单位：亿元）依次为9.9，9.8，9.8，9.8，9.8，9.8，9.0，7.5，7.5，7.5，则这10个数据的30%分位数是（ ） A. 7.5 B. 8.25 C. 9.0 D. 9.8 【答案】B 【解析】 【详解】将所给数据从小到大排列，依次为. ，所以这10个数据的30%分位数是第3个数7.5与第4个数9.0的平均数． 4. 函数的图象在处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】将 代入函数 ，得， 因此切点为 ， 又因为， 将 代入，，即， 所以， 即． 5. 已知函数则的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数及二次函数的单调性得出值域. 【详解】当时，单调递增，， 当时，． 综上所述，的值域是． 6. 已知的内角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】在中，由及正弦定理，得， 则，又，因此，又， 所以． 7. 过抛物线的焦点的直线与交于两点，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】联立直线的方程与抛物线方程，得到坐标满足的关系式，利用基本不等式求最值即可. 【详解】由题意知，设直线的方程为，与联立， 得，， 设，，则，， ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 8. 在正四棱柱中，，以为球心，表面积为的球与平面只有1个公共点，若为棱的中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得球与平面相切，结合三角形面积公式求得，进而建立空间直角坐标系利用点到面的距离公式求解. 【详解】设，则三棱锥的体积为， 由球的表面积为，得球的半径， 又球与平面只有1个公共点，则球与平面相切， 所以点到平面的距离为1. 在中，，， 所以的面积为， 所以，解得，即． 以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为，则，即， 取，则， 所以到平面的距离为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆与椭圆，则（ ） A. 的短轴长相等 B. 有公共点 C. 的焦距相等 D. 的离心率相等 【答案】BD 【解析】 【详解】由椭圆方程知，中，中， 的短轴长为，的短轴长为2，A错误； 都经过点，B正确； 的焦距为，的焦距为2，C错误； 的离心率都为，D正确． 10. 某公司使用AGV（自动导引运输车）从仓库驶往质检区，途中必须经过工位1或工位2（若同时经过工位1与工位2，需先经过工位1，后经过工位2），其中从直接到工位1，从直接到工位2，从工位1不经过工位2到，从工位1到工位2，从工位2到，各有2条不同路线可行驶（每条路线都是单向的），则（ ） A. 从到工位2有6种不同路线 B. 从工位1到有8种不同路线 C. 从经过工位2到有8种不同路线 D. 从到共有16种不同路线 【答案】AD 【解析】 【分析】应用分类加法计数判断A、B、D，由分类分步计数原理判断C. 【详解】A：从直接到工位2，有2种不同路线，从先到工位1，再到工位2，有种不同路线， 所以共有种不同路线，A正确； B：从工位1直接到，有2种不同路线，从工位1到工位2，再到，有种不同路线， 所以共有种不同路线，B错误； C：从直接到工位2，有2种不同路线，从到工位1，再到工位2，有种不同路线， 从工位2到，有2种不同路线，所以总的不同路线数为，C错误； D：从只经过工位1到，有种不同路线， 从只经过工位2到，有种不同路线， 从同时经过工位1，2到，有种不同路线，所以共有种不同路线，D正确． 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，的最小值为－3，没有最大值 B. 当时，在上单调递增 C. 当时，的单调递增区间是 D. 当时，若在上恰有4个零点，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A，结合绝对值的定义和正弦函数性质化简函数解析式，求函数值的取值范围即可判断；对于选项B，结合（1）及正弦函数的单调性结论求函数的单调递增区间即可判断；对于选项C，函数，结合二次函数性质和正弦函数性质和复合函数单调性判断方法求函数的单调递增区间即可判断；对于选项D，利用导数判断函数的单调性，作函数的图象，由条件结合图象求的范围即可判断. 【详解】对于选项A，当时，， 当时，， 当时，，故A正确； 对于选项B，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增， 所以在上单调递增，故B正确； 对于选项C，当时，， 当单调递减时，单调递增， 所以的单调递增区间为，故C错误； 对于选项D，当时，， 所以， 令，其中， 当时，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 又时，时，， 其图象如图所示， 当在上恰有4个零点时， 的取值范围是，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，若，则_____． 【答案】2 【解析】 【详解】由题意得，，解得． 13. 若，则_____． 【答案】## 【解析】 【详解】由，得，所以， 解得（舍去），或， 所以,． 14. 已知函数对任意恒有，且，给出下列结论：①；②是偶函数；③的图象关于点对称；④．其中正确结论的序号为_____． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】令可判断①；令可判断②；中取，得， ，即可判断③；用代换中的可得，即可判断④. 【详解】取，得， 即，解得或（舍去）， 所以，①正确； 令，得， 整理得，故是偶函数，②正确； 的定义域为， 若的图象关于点对称，则, 中取，得， 又，所以， 所以的图象不关于点对称，故③错误； 用代换中的,并结合函数为偶函数，可得，得， 所以，④正确. 综上所述，正确结论的序号为①②④. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足，且为常数列． （1）求的值； （2）若，记的前项和为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由为常数列可得，结合关系可求； （2）由（1）结合可得，证明为等差数列，结合等差数列求和公式求结论. 【小问1详解】 因为为常数列，所以，即， 又，所以． 【小问2详解】 由（1）知时，数列是常数列， 又，所以，即． 因为， 所以数列是首项为0，公差为2的等差数列， 所以． 16. 某无线通讯系统传输数据包时，受高斯白噪声影响，每个比特（二进制位，是信息领域最小的信息单位）在传输过程中发生误码的概率均为0.08，单个数据包有10个比特，每个比特的传输过程相互独立．若接收端采用纠错技术，当单个数据包中误码数不超过2个时，可正确解码，否则需要重传．（规定：） （1）记单个数据包中发生误码的个数为，求的期望与方差； （2）求单个数据包可正确解码的概率． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意知数据包中误码个数服从二项分布，直接代入二项分布的期望公式和方差公式计算即可； （2）正确解码的条件是误码数不超过2，即，利用二项分布概率公式分别计算即可. 【小问1详解】 由题意知， 所以，； 【小问2详解】 由（1）知，所以单个数据包可正确解码的概率为 ． 17. 如图，在几何体中，，四边形是边长为1的正方形，，点是棱上与不重合的点． （1）证明：平面平面； （2）若，且，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 由， 得，所以． 又，所以． 在正方形中，， 因为，所以． 又平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）可由线面垂直推出面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，转化成求直线方向向量与平面的法向量所成角来求解. 【小问1详解】 （1）略 【小问2详解】 （2）解：由（1）得，，两两垂直， 以点为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系 如图所示， 则， 所以， 设，则， 所以，解得，即． 设平面的一个法向量为，则即 取，得． 设直线与平面所成角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 18. 已知双曲线的右焦点为为的两条渐近线，且的斜率为． （1）求的方程； （2）若点为上的动点，过点的直线与只有1个公共点，且与，分别交于点，． （i）求证：点为线段的中点； （ii）已知为坐标原点，的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由． 【答案】（1） （2）（i）设，由（1）知，即， 设，显然直线不垂直于轴，设其方程为， 由消去得， 由直线与只有1个公共点，得， 整理得，直线的方程为，即， 直线的方程分别为，由，得点， 同理，而， ，所以点为的中点. （ii）是定值，定值为 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即可. （2）（i）设出点的坐标及直线的方程，与双曲线的方程联立，利用根的判别式及韦达定理推理得证；（ii）由（i）求出及原点到直线的距离，进而求出三角形面积. 【小问1详解】 由双曲线的右焦点为，得， 直线的方程为，由的斜率为，得，解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）由（i）知，原点到直线的距离， 因此的面积， 所以的面积为定值. 【点睛】 19. 已知函数． （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）若有3个零点． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 【答案】（1） （2）（i）； （ii）证明：，， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 且，， ，，， ，， 在上单调递增，, ，， 证明可以转化成证明，即证， ，化简可得， ， 设，可得， 证明可以转换为证明当时，即证， 设，则， 当时，， 在上单调递增，，， ，． 【解析】 【分析】（1）由题意得在上恒成立，则在上恒成立，然后构造函数，利用导数求出其最大值即可； （2）（i）根据题意将问题转化为有个不同的实数根，构造函数，利用导数求出其单调区间和极值即可得答案；（ii）将问题转化成证明，即证，再转换为证明当时，构造函数利用求得其最小值大于零即可. 【小问1详解】 ，求导可得， 因为在上单调递增，所以当时，，即， 设，求导可得， 令，即，可得， 当时，单调递增，当时，单调递减， 因此的极大值为，即， 所以的取值范围是． 【小问2详解】 （i）令，可得， 因为有三个零点，所以，因此可得有个不同的实数根， 设，求导可得， 令，即，可得， 当时，，单调递增，的值域为， 当时，，单调递减，的值域为， 所以当且仅当时，有3个不同的实数根， 的取值范围是． （ii）略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命題范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. 4 B. C. D. 3. 某传媒评选出某省独角兽企业百强榜，其中前10个企业的估值（单位：亿元）依次为9.9，9.8，9.8，9.8，9.8，9.8，9.0，7.5，7.5，7.5，则这10个数据的30%分位数是（ ） A. 7.5 B. 8.25 C. 9.0 D. 9.8 4. 函数的图象在处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数则的值域是（ ） A. B. C. D. 6. 已知的内角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 过抛物线的焦点的直线与交于两点，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 8. 在正四棱柱中，，以为球心，表面积为的球与平面只有1个公共点，若为棱的中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆与椭圆，则（ ） A. 的短轴长相等 B. 有公共点 C. 的焦距相等 D. 的离心率相等 10. 某公司使用AGV（自动导引运输车）从仓库驶往质检区，途中必须经过工位1或工位2（若同时经过工位1与工位2，需先经过工位1，后经过工位2），其中从直接到工位1，从直接到工位2，从工位1不经过工位2到，从工位1到工位2，从工位2到，各有2条不同路线可行驶（每条路线都是单向的），则（ ） A. 从到工位2有6种不同路线 B. 从工位1到有8种不同路线 C. 从经过工位2到有8种不同路线 D. 从到共有16种不同路线 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，的最小值为－3，没有最大值 B. 当时，在上单调递增 C. 当时，的单调递增区间是 D. 当时，若在上恰有4个零点，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，若，则_____． 13. 若，则_____． 14. 已知函数对任意恒有，且，给出下列结论：①；②是偶函数；③的图象关于点对称；④．其中正确结论的序号为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足，且为常数列． （1）求的值； （2）若，记的前项和为，求． 16. 某无线通讯系统传输数据包时，受高斯白噪声影响，每个比特（二进制位，是信息领域最小的信息单位）在传输过程中发生误码的概率均为0.08，单个数据包有10个比特，每个比特的传输过程相互独立．若接收端采用纠错技术，当单个数据包中误码数不超过2个时，可正确解码，否则需要重传．（规定：） （1）记单个数据包中发生误码的个数为，求的期望与方差； （2）求单个数据包可正确解码的概率． 17. 如图，在几何体中，，四边形是边长为1的正方形，，点是棱上与不重合的点． （1）证明：平面平面； （2）若，且，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知双曲线的右焦点为为的两条渐近线，且的斜率为． （1）求的方程； （2）若点为上的动点，过点的直线与只有1个公共点，且与，分别交于点，． （i）求证：点为线段的中点； （ii）已知为坐标原点，的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由． 19. 已知函数． （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）若有3个零点． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $