精品解析：2025年陕西省西安市西安交大附中少年班入学数学真卷(一)

136．2025 JDFZ少年班入学数学真卷（一） 时间：60分钟 满分：100分 一、填空题（每小题3分，共30分） [小数点移动引起数的变化] 1. 把一个小数的小数点向左移动一位，所得的数比原来减少了，这个小数原来是______． [分数的基本性质] 2. 把的分母加上，要使得原数不变，那么分子应该乘______． [转化单位“1”] 3. 如果甲数是乙数的，乙数是丙数的，那么丙数比甲数大______． [工程问题] 4. 有一批零件，甲独立完成需要天，比乙单独做多用天．现在两人合作天后，剩下的个零件由甲单独去做，甲总共做了______个零件． [位值原理] 5. 一个两位数，十位上的数字和个位上的数字交换位置后得到的新数是原数的，那么这个两位数是______． [乘法原理] 6. 用0、2、4、6、8可以组成______个没有重复数字的四位数． [错排问题] 7. 小美、小花、小林、小西四个人，每人写了一张新年贺卡，分别放在了四个信封里，她们每人随机拿一个信封，那么刚好没有人拿到自己贺卡的情况有______种． [抽屉原理] 8. 从2、4、6、8、…、28这14个数中，至少取出______个数，才能保证其中一定有两个数的和是30． [鸡兔同笼问题] 9. 暑假训练营开始了，同学们晴天每天走35千米，雨天每天走28千米，按照这样的速度，11天共走了350千米，这期间雨天共有______天． [余数定理] 10. 算式的余数是______． 二、计算题（每小题5分，共20分） 11. 计算： 12. 计算： 13. 计算： 14. 解方程： 三、解答题（共50分） [液体浸物] 15. 一个底面积为的圆柱形容器，容器中直立着一个高是、底面积是的长方体铁块，这时容器里的水深是，现在把铁块轻轻竖直向上提起，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少？ [利用容斥求面积] 16. 如图所示，平行四边形的一个角是，的长为，的长为，边上的高约为，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？（取） [环形行程] 17. 小华、小梅、小露三位好朋友沿着学校的环形跑道匀速慢跑，他们同时从跑道同一位置出发，小梅和小露二人同向而行，小华与小梅和小露反向而行，小华在第一次遇上小梅后，经过1.4分钟第一次遇上小露，再经过3.6分钟第二次遇上小梅，已知小华的速度与小梅的速度的比是，环形跑道的周长是1280米．那么小梅和小露两人的速度各是多少？ [浓度问题] 18. 两个杯子中分别装有浓度为与的糖水，倒在一起混合后糖水的浓度为，若再加入300克浓度为的糖水，则浓度变成，那么原有的糖水多少克？ [高频题：3年58考][牛吃草问题] 19. 草原上有三块一样大的草地，草以固定的速度生长，50只羊18天正好吃完三块草地全部的草；40只羊12天正好吃完两块地全部的草，70只羊需要多少天可以正好吃完一块地全部的草？ 20. 材料分析题：对于任意一个四位正整数M，若千位和十位数字和为7，百位与个位数字和也为7，且各数位上的数字均不相同，那么称这个数M为“奇迹”数，例如：，∵，，∴2354是个“奇迹”数：再例如：，∵，但是数位上有相同数字，∴3443不是一个“奇迹”数． （1）请判断1364是否为一个“奇迹”数，并说明理由． （2）证明：任意一个“奇迹”数M都是11的倍数． （3）若M为“奇迹”数，设．且是14的倍数，请求出所有满足题意的四位正整数M． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 136．2025 JDFZ少年班入学数学真卷（一） 时间：60分钟 满分：100分 一、填空题（每小题3分，共30分） [小数点移动引起数的变化] 1. 把一个小数的小数点向左移动一位，所得的数比原来减少了，这个小数原来是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查小数点位置的移动与小数大小的变化规律，把一个小数的小数点向左移动一位，则这个小数将缩小10倍，差值是新数的9倍，运用差倍问题的解法即可解答． 【详解】解： ． [分数的基本性质] 2. 把的分母加上，要使得原数不变，那么分子应该乘______． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据题意求出变化后的分母，再结合分数的基本性质，计算分母扩大的倍数，即可得到分子需要乘的数． 【详解】解：原分数分母为，分母加上后，新分母为， 则分母扩大的倍数为， 根据分数的基本性质，要使分数大小不变，分子应与分母扩大相同的倍数，因此分子应该乘． [转化单位“1”] 3. 如果甲数是乙数的，乙数是丙数的，那么丙数比甲数大______． 【答案】150 【解析】 【分析】先设丙数为单位1，根据题目中的分数关系依次表示出乙数和甲数，再利用求一个数比另一个数多百分之几的公式：（大数小数）小数，计算丙数比甲数大的百分比． 【详解】解：设丙数为．则乙数，甲数， ， 故丙数比甲数大． [工程问题] 4. 有一批零件，甲独立完成需要天，比乙单独做多用天．现在两人合作天后，剩下的个零件由甲单独去做，甲总共做了______个零件． 【答案】3570 【解析】 【分析】本题为工程问题，将总工作量看作单位，先求出乙单独完成工作的时间，再得到甲乙的工作效率，计算两人合作天完成的工作量，根据剩余工作量对应的零件数求出总零件数，最后计算甲总共完成的零件个数． 【详解】解：把工作总量看作“”， 乙单独完成需要的时间：（天）， 则甲的工作效率为：，乙的工作效率为：， 所以两人合作天完成的工作量为：， 所以剩余工作量为：， 因为剩余工作量对应个零件， 因此总零件数为：（个）， 甲合作天完成的零件数为：（个）， 所以甲总共完成的零件数为：（个）． [位值原理] 5. 一个两位数，十位上的数字和个位上的数字交换位置后得到的新数是原数的，那么这个两位数是______． 【答案】72 【解析】 【分析】设原数的十位数字为x，个位数字为y，然后根据“新数是原数的”列出关系式，求解即可． 【详解】解：设原数的十位数字为x，个位数字为y，则新数的十位数字为y，个位数字为x， 根据题意，得， 整理得， 因为x、y且均为10以内的整数， 所以 故这个两位数为72． [乘法原理] 6. 用0、2、4、6、8可以组成______个没有重复数字的四位数． 【答案】96 【解析】 【分析】利用乘法原理求解即可． 【详解】解：首位上不能为0，有4种排法，其余三个位置上任意排不重复数字，可以组成 (个)没有重复数字的四位数． [错排问题] 7. 小美、小花、小林、小西四个人，每人写了一张新年贺卡，分别放在了四个信封里，她们每人随机拿一个信封，那么刚好没有人拿到自己贺卡的情况有______种． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用，可通过分步分类讨论计算所有符合条件的情况数． 【详解】解：设小美、小花、小林、小西对应的贺卡分别为a，b，c，d，要求四人都不拿自己对应的贺卡，即小美不拿a，小花不拿b，小林不拿c，小西不拿d， 第一步，排小美，小美不拿a，因此小美有3种选择情况， 不妨设小美选择了b，由对称性可知，小美选择其余非a贺卡时情况数相同， 第二步，分类讨论小花的选择： 情况1：小花选择a，此时剩余小林和小西，贺卡剩余c，d，小林不能拿c，小西不能拿d，仅1种情况：小林拿d，小西拿c， 情况2：小花不选择a，则小花可以选择c或d，共2种选择. 若小花选c，剩余贺卡为a，d，小林不能拿c，小西不能拿d，仅1种情况：小林拿d，小西拿a. 若小花选d，剩余贺卡为a，c，小林不能拿c，小西不能拿d，仅1种情况：小林拿a，小西拿c. 因此情况2共2种符合条件的情况， 因此小美选b时，共有种符合条件的情况， 由分步乘法计数原理，总情况数为． [抽屉原理] 8. 从2、4、6、8、…、28这14个数中，至少取出______个数，才能保证其中一定有两个数的和是30． 【答案】 8 【解析】 【分析】本题利用抽屉原理和最不利原则求解，先将题目中的数按和为分组构造抽屉，再考虑最不利的取数情况，即可计算出满足条件的最少取数个数 【详解】解：将题目中个数按和为分组，可得：,,,,,,，共分成组， 根据最不利原则，最不利情况为从每组中各取出个数，此时共取出个数，没有两个数之和为， 此时再取出个数，必有一个数与新取出的数在同一组，和为，因此至少取出的个数为： ． [鸡兔同笼问题] 9. 暑假训练营开始了，同学们晴天每天走35千米，雨天每天走28千米，按照这样的速度，11天共走了350千米，这期间雨天共有______天． 【答案】5 【解析】 【分析】设雨天的天数为未知数，根据“总路程等于晴天行走路程与雨天行走路程的和”列一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：设这期间雨天共有天，则晴天共有天， 根据题意列方程得： 去括号得： 合并同类项得： 移项得： 整理得： 系数化为得：． 答：这期间雨天共有天． [余数定理] 10. 算式的余数是______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据整数除法的性质：多个整数相乘后除以某数的余数，等于每个因数分别除以该数的余数相乘后，再除以该数的余数，计算即可． 【详解】解：分别计算每个因数除以8的余数： ，余数为1； ，余数为2； ，余数为3； ，余数为5． 将余数相乘，再求除以8的余数： ，． 故原式的余数是6． 二、计算题（每小题5分，共20分） 11. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】将原式变形为，再进行分数与整数混合运算即可． 【详解】解： ． 12. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先把原式变形为，再根据异分母分数加减法运算，可得，进而求解即可． 【详解】解： ． 13. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先把原式变形为，再变形为，再通过裂项相消的方法解答即可． 【详解】解： 14. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】根据解方程的方法步骤求解即可 【详解】解 将化为分数得 ， 原方程化简为  ， 整理得   方程两边同时加，得   得   方程两边同时除以，得   得  移项得   解得： 三、解答题（共50分） [液体浸物] 15. 一个底面积为的圆柱形容器，容器中直立着一个高是、底面积是的长方体铁块，这时容器里的水深是，现在把铁块轻轻竖直向上提起，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少？ 【答案】 【解析】 【分析】将铁块向上提起后，容器内水面会下降，露出水面的铁块被水浸湿部分的长度等于铁块向上提起的高度加上水面下降的高度，先计算提起铁块后空出的体积，再计算水面下降的高度，最后求出总长度即可． 【详解】解：提起铁块后，水中部分减少 ， 容器中水的有效底面积为容器底面积减去铁块底面积  水面下降的高度为  露出水面的铁块上被水浸湿部分的长度为  答：露出水面的铁块上被水浸湿的部分长． [利用容斥求面积] 16. 如图所示，平行四边形的一个角是，的长为，的长为，边上的高约为，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？（取） 【答案】 【解析】 【分析】根据阴影部分的面积个大扇形的面积个小扇形的面积个平行四边形的面积求解即可． 【详解】解：阴影部分的面积． [环形行程] 17. 小华、小梅、小露三位好朋友沿着学校的环形跑道匀速慢跑，他们同时从跑道同一位置出发，小梅和小露二人同向而行，小华与小梅和小露反向而行，小华在第一次遇上小梅后，经过1.4分钟第一次遇上小露，再经过3.6分钟第二次遇上小梅，已知小华的速度与小梅的速度的比是，环形跑道的周长是1280米．那么小梅和小露两人的速度各是多少？ 【答案】小梅的速度是112米/分钟.小露的速度是56米/分钟． 【解析】 【分析】本题利用环形跑道反向相遇的性质，反向而行的两人相邻两次相遇合走的总路程等于跑道周长.先根据小华和小梅两次相遇的时间间隔求出速度和，再结合速度比求出小梅的速度，再求出小华和小露合走一圈的时间，进而求出小露的速度． 【详解】解：由题意得，小华从第一次遇上小梅到第二次遇上小梅，经过的时间为 （分钟） 两人反向而行，这段时间一共合走1个跑道周长，即1280米. ∴小华和小梅的速度和为 （米/分钟） ∵小华与小梅的速度比为， ∴ （米/分钟） （米/分钟） ∵小华从出发到第一次遇上小梅，两人刚好一起走1个周长， ∴用时为5分钟. ∴小华第一次遇上小露的总用时为 （分钟）， 小华和小露反向而行，出发到第一次相遇一起走1个周长， ∴小华和小露的速度和为 （米/分钟） ∴小露的速度为 （米/分钟） 答：小梅的速度是112米/分钟，小露的速度是56米/分钟． [浓度问题] 18. 两个杯子中分别装有浓度为与的糖水，倒在一起混合后糖水的浓度为，若再加入300克浓度为的糖水，则浓度变成，那么原有的糖水多少克？ 【答案】200克 【解析】 【分析】本题根据浓度的定义，先通过加入糖水后的浓度关系求出初始混合糖水的总质量，再列方程求解原有糖水的质量． 【详解】解：设混合后得到的浓度为的糖水总质量为x克， 根据题意列方程得 整理得  解得， 即原有和的糖水总质量为300克， 设原有的糖水克，则原有的糖水为克， 根据题意列方程得，  整理得， 即 解得  答：原有的糖水200克． [高频题：3年58考][牛吃草问题] 19. 草原上有三块一样大的草地，草以固定的速度生长，50只羊18天正好吃完三块草地全部的草；40只羊12天正好吃完两块地全部的草，70只羊需要多少天可以正好吃完一块地全部的草？ 【答案】2天 【解析】 【分析】本题考查了典型的“羊吃草”问题，求出草的生长速度和草地原有草的份数是解题的关键． 理解原有草量、草的生长速度和羊吃草的速度之间的关系即可解答． 【详解】解：假设每只羊每天的吃草量为1份， 所以只羊18天的吃草量为（份）， 1块草地18 天的量为（份）； 40只羊12天的吃草量为（份）， 1块草地12 天的量为（份）； 因为草每天匀速生长， 所以18天的总草量比12天的总草量多的部分就是多生长的6天的草量，草的生长速度为（份/天）； 故一块草地原有草量为（份）； 因为每天新长10份，70只羊每天吃70份， 所以每天实际消耗原有草量（份）， （天）， 答：70只羊需要2天可以正好吃完一块地全部的草． 20. 材料分析题：对于任意一个四位正整数M，若千位和十位数字和为7，百位与个位数字和也为7，且各数位上的数字均不相同，那么称这个数M为“奇迹”数，例如：，∵，，∴2354是个“奇迹”数：再例如：，∵，但是数位上有相同数字，∴3443不是一个“奇迹”数． （1）请判断1364是否为一个“奇迹”数，并说明理由． （2）证明：任意一个“奇迹”数M都是11的倍数． （3）若M为“奇迹”数，设．且是14的倍数，请求出所有满足题意的四位正整数M． 【答案】（1）1364是一个“奇迹”数 （2）见解析 （3）3245或4631或7403或6017 【解析】 【分析】（1）根据“奇迹”数的定义进行判断求解即可； （2）设“奇迹”数的千位数字为a,百位数字为b,列式表示进行验证； （3）设“奇迹”数的千位数字为a,百位数字为b,进而求出，验证求解． 【小问1详解】 解：∵且， ∴1364是一个“奇迹”数； 【小问2详解】 解：设“奇迹”数的千位数字为a,百位数字为b,且,则这个四位数可表示为： ， ∴任意一个“奇迹”数M都是11的倍数； 【小问3详解】 解：设“奇迹”数M的千位数字为a,百位数字为b且,则 是14的倍数， ∴， ∵， ∴， ∴，或， ∴当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用、列代数式等知识点，根据题意正确列式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $