2025年陕西省西安市西安交大附中少年班入学数学真卷(一)

136．2025  JDFZ少年班入学数学真卷（一）

时间：60分钟   满分：100分

一、填空题（每小题3分，共30分）

[小数点移动引起数的变化]

1. 把一个小数的小数点向左移动一位，所得的数比原来减少了，这个小数原来是______．

[分数的基本性质]

2. 把的分母加上，要使得原数不变，那么分子应该乘______．

[转化单位“1”]

3. 如果甲数是乙数的，乙数是丙数的，那么丙数比甲数大______．

[工程问题]

4. 有一批零件，甲独立完成需要天，比乙单独做多用天．现在两人合作天后，剩下的个零件由甲单独去做，甲总共做了______个零件．

[位值原理]

5. 一个两位数，十位上的数字和个位上的数字交换位置后得到的新数是原数的，那么这个两位数是______．

[乘法原理]

6. 用0、2、4、6、8可以组成______个没有重复数字的四位数．

[错排问题]

7. 小美、小花、小林、小西四个人，每人写了一张新年贺卡，分别放在了四个信封里，她们每人随机拿一个信封，那么刚好没有人拿到自己贺卡的情况有______种．

[抽屉原理]

8. 从2、4、6、8、…、28这14个数中，至少取出______个数，才能保证其中一定有两个数的和是30．

[鸡兔同笼问题]

9. 暑假训练营开始了，同学们晴天每天走35千米，雨天每天走28千米，按照这样的速度，11天共走了350千米，这期间雨天共有______天．

[余数定理]

10. 算式的余数是______．

二、计算题（每小题5分，共20分）

11. 计算：

12. 计算：

13. 计算：

14. 解方程：

三、解答题（共50分）

[液体浸物]

15. 一个底面积为的圆柱形容器，容器中直立着一个高是、底面积是的长方体铁块，这时容器里的水深是，现在把铁块轻轻竖直向上提起，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少？

[利用容斥求面积]

16. 如图所示，平行四边形的一个角是，的长为，的长为，边上的高约为，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？（取）

[环形行程]

17. 小华、小梅、小露三位好朋友沿着学校的环形跑道匀速慢跑，他们同时从跑道同一位置出发，小梅和小露二人同向而行，小华与小梅和小露反向而行，小华在第一次遇上小梅后，经过1.4分钟第一次遇上小露，再经过3.6分钟第二次遇上小梅，已知小华的速度与小梅的速度的比是，环形跑道的周长是1280米．那么小梅和小露两人的速度各是多少？

[浓度问题]

18. 两个杯子中分别装有浓度为与的糖水，倒在一起混合后糖水的浓度为，若再加入300克浓度为的糖水，则浓度变成，那么原有的糖水多少克？

[高频题：3年58考][牛吃草问题]

19. 草原上有三块一样大的草地，草以固定的速度生长，50只羊18天正好吃完三块草地全部的草；40只羊12天正好吃完两块地全部的草，70只羊需要多少天可以正好吃完一块地全部的草？

20. 材料分析题：对于任意一个四位正整数M，若千位和十位数字和为7，百位与个位数字和也为7，且各数位上的数字均不相同，那么称这个数M为“奇迹”数，例如：，∵，，∴2354是个“奇迹”数：再例如：，∵，但是数位上有相同数字，

∴3443不是一个“奇迹”数．

（1）请判断1364是否为一个“奇迹”数，并说明理由．

（2）证明：任意一个“奇迹”数M都是11的倍数．

（3）若M为“奇迹”数，设．且是14的倍数，请求出所有满足题意的四位正整数M．