平面向量的运算部分题型讲义- 2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

平面向量的运算部分题型介绍与素养能力提升课原题 展示·基础素养能力 1.(1)如图,已知三角形ABC是等边三角形，D为AB的中点，点E满足2＋＝，则＝(　　) A．－　　 B．＋ C．－　　 D．＋ (2)如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝，＝，则＝(　　) A．－ B．－ C．＋ D．＋ 2.设两个非零向量与不共线．(1)若＝＋，＝2＋8，＝3(－)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使k＋和＋k共线． 3.设平面向量，满足||＝1，||＝2，|－2|＝.(1)求向量，的夹角的余弦值；(2)求|2＋|的值；(3)求向量在＋方向上的投影数量；(4)求向量＋在方向上的投影向量. 实践·素养能力提升 考法1向量中加减法的线性运算 1.如图所示，已知∠B＝30°，∠AOB＝90°，点C在AB上，OC⊥AB，若用向量和来表示向量，则＝ ．　. 2.若＝，＝(λ＋1)，则λ＝ ． 考法2共线向量中的运算 3.已知向量,不共线，且＝λ＋，＝＋(2λ－1)，若与共线且同向，则实数λ的值为(　　) A．－　　 B．1 C．1或－　　 D．－1或－ 4.已知平面向量＝(2m＋1,3)，＝(2，m)，且与反向，则||等于(　　) A．　　 B．2 C．　　 D．或2 5.设和是两个不共线的向量，若＝2＋k，＝＋，＝2－，且A，B，D三点共线，则实数k的值等于 ． 考法3巧用三角形中线向量定理运算 6.设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　　) A． 　B．　 C．　 D． 7.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则＋＋＋等于(　　) A． 　B．2　　 C．3　　 D．4 考法4在向量数量积中的运算 8.在平面四边形ABCD中，若＋＝，(－)·＝0，则四边形ABCD是(　　) A．矩形 　B．正方形　　 C．菱形　　 D．梯形 9.若向量满足,且,则向量在方向上的投影数量为 ． 10.在△ABC中，＝，且||＝2，||＝8,∠ACB＝,则·＝(　 　) A．24　 B．12　 C．24　 D．12 拓展·素养能力深化 1.在中,若,,,,则( ) A. B. C.或 D. 2.已知向量满足,且.求的值. 3.已知向量与的夹角为,且,.求使与的夹角为锐角时,实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 平面向量的运算部分题型介绍与素养能力提升课原题 展示·基础素养能力 1.(1)如图,已知三角形ABC是等边三角形，D为AB的中点，点E满足2＋＝，则＝(　　) A．－　　 B．＋ C．－　　 D．＋ (2)如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝，＝，则＝(　　) A．－ B．－ C．＋ D．＋ 2.设两个非零向量与不共线．(1)若＝＋，＝2＋8，＝3(－)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使k＋和＋k共线． 3.设平面向量，满足||＝1，||＝2，|－2|＝.(1)求向量，的夹角的余弦值；(2)求|2＋|的值；(3)求向量在＋方向上的投影数量；(4)求向量＋在方向上的投影向量. 实践·素养能力提升 考法1向量中加减法的线性运算 1.如图所示，已知∠B＝30°，∠AOB＝90°，点C在AB上，OC⊥AB，若用向量和来表示向量，则＝ ．　. 2.若＝，＝(λ＋1)，则λ＝ ． 考法2共线向量中的运算 3.已知向量,不共线，且＝λ＋，＝＋(2λ－1)，若与共线且同向，则实数λ的值为(　　) A．－　　 B．1 C．1或－　　 D．－1或－ 4.已知平面向量＝(2m＋1,3)，＝(2，m)，且与反向，则||等于(　　) A．　　 B．2 C．　　 D．或2 5.设和是两个不共线的向量，若＝2＋k，＝＋，＝2－，且A，B，D三点共线，则实数k的值等于 ． 考法3巧用三角形中线向量定理运算 6.设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　　) A． 　B．　 C．　 D． 7.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则＋＋＋等于(　　) A． 　B．2　　 C．3　　 D．4 考法4在向量数量积中的运算 8.在平面四边形ABCD中，若＋＝，(－)·＝0，则四边形ABCD是(　　) A．矩形 　B．正方形　　 C．菱形　　 D．梯形 9.若向量满足,且,则向量在方向上的投影数量为 ． 10.在△ABC中，＝，且||＝2，||＝8,∠ACB＝,则·＝(　 　) A．24　 B．12　 C．24　 D．12 拓展·素养能力深化 1.在中,若,,,,则( ) A. B. C.或 D. 2.已知向量满足,且.求的值. 3.已知向量与的夹角为,且,.求使与的夹角为锐角时,实数的取值范围. 平面向量的运算部分题型介绍与素养能力提升课原题答案与解析 展示·基础素养能力 提炼重点，整合方法 1.(1)如图,已知三角形ABC是等边三角形，D为AB的中点，点E满足2＋＝，则＝(　　) A．－　　 B．＋ C．－　　 D．＋ (2)如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝，＝，则＝(　　) A．－ B．－ C．＋ D．＋ 解析 (1)由2＋＝，知＝，＝，又D为AB的中点，所以＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(－－)＝－.故选A. (2)依题意,连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，易知点A,C,D,B是圆O的某内接正六边形的四顶点,则有CD∥AB，且＝＝，得＝＋＝＋.故选D. 答案(1)A；(2)D. 【总结提升】平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略主要有四点：①考查向量加法或减法的几何意义．②求已知向量的和或差，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则；求首尾相连的向量的和用三角形法则．③与三角形综合，求参数的值；求出向量的和或差，与已知条件中的式子比较，求得参数．④与平行四边形综合，研究向量的关系；画出图形，找出图中的相等向量、共线向量，将所求向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解． 2.设两个非零向量与不共线．(1)若＝＋，＝2＋8，＝3(－)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使k＋和＋k共线． 解析 (1)证明：因为＝＋，＝2＋8，＝3(－)，所以＝＋＝2＋8＋3(－)＝2＋8＋3－3＝5(＋)＝5,所以，共线；又因为向量与有公共点B，故A，B，D三点共线． (2)依题意，由于k＋与＋k共线，所以存在实数λ，使k＋＝λ(＋k)， 即k＋＝λ＋λk，所以(k－λ)＝(λk－1)；又因，是不共线的两个非零向量，于是得k－λ＝0，且λk－1＝0，两式消去λ,解得k＝±1. 答案 (1)证明见解析；(2)k＝±1. 【总结提升】平面向量共线中的运算与判定方法：(1)向量与非零向量共线的充要条件是存在唯一实数λ，使＝λ．要注意通常只有非零向量才能做基底,用它表示与之共线的其它向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系；当利用向量证明三点共线时，首先要通过共线向量定理的运算证明两个非零向量共线，然后再说明两向量有公共点，这时才能得出三点共线． 3.设平面向量，满足||＝1，||＝2，|－2|＝.(1)求向量，的夹角的余弦值；(2)求|2＋|的值；(3)求向量在＋方向上的投影数量；(4)求向量＋在方向上的投影向量. 解析 (1)依题意，由|－2|2＝，得||2－4·＋4||2＝(－2)2＝|－2|2＝15， 又||＝1，||＝2，代入上式解得·＝；记,的夹角为θ，则有cos θ＝＝，故向量，的夹角的余弦值为． (2)由条件及(1)知|2＋|． (3)由条件，易得,所以向量在＋方向上的投影数量为,即向量在＋方向上的投影数量为． (4)由(3)知,向量＋在方向上的投影数量为 ；故向量＋在方向上的投影向量为. 答案 (1)；(2)；(3)；(4). 【总结提升】要熟练掌握两向量数量积的运算律与运算性质，能灵活运用数量积的定义和几何意义求解.在解题中,主要有如下四种类型问题：①利用公式直接求两向量的数量积；②求两向量的夹角，一般是用公式来操作；③求向量的模,如本例第(2)问,常用运算律及模性质求解；④向量在方向上的投影数量为，投影向量为 ，投影向量的模为；向量在方向上的投影数量为. 实践·素养能力提升 依据考点，罗列考法 考法1向量中加减法的线性运算 1.如图所示，已知∠B＝30°，∠AOB＝90°，点C在AB上，OC⊥AB，若用向量和来表示向量，则＝ ．　. 1.＋ 由题意,因为∠B＝30°，∠AOB＝90°，所以AB＝2OA；又OC⊥AB，知Rt△ABO与Rt△AOC相似，则∠AOC＝∠B＝30°，所以OA＝2AC，易知AB＝2OA＝4AC，从而得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋. 2.若＝，＝(λ＋1)，则λ＝ ． 2.－　由条件＝，可知点P是线段AB上靠近点A的三等分点，则＝－，又因＝(λ＋1)，所以λ＋1＝－，解得λ＝－． 考法2共线向量中的运算 3.已知向量,不共线，且＝λ＋，＝＋(2λ－1)，若与共线且同向，则实数λ的值为(　　) A．－　　 B．1 C．1或－　　 D．－1或－ 3.B 依题意，由于与共线且同向，则存在实数k使＝k(k>0)，于是λ＋＝k[＋(2λ－1)]，整理得(λ－k)＝(2λk－k－1).由于,不共线，即,均不为零向量，于是有 λ－k＝0且2λk－k－1＝0，上述两式消去k，化简得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－； 又因为k>0，所以λ>0，即得λ＝1．故选B． 4.已知平面向量＝(2m＋1,3)，＝(2，m)，且与反向，则||等于(　　) A．　　 B．2 C．　　 D．或2 4.B　依题意,因∥,知m(2m＋1)－3×2＝0，解得m＝－2或m＝．当m＝时，＝(4,3)，＝(2，)，则＝2，此时,两向量同向，与已知不符,舍去；当m＝－2时，易知＝(2，－2),＝(－3,3),则＝－，此时向量,反向，符合题意,则||＝2.故选B． 5.设和是两个不共线的向量，若＝2＋k，＝＋，＝2－，且A，B，D三点共线，则实数k的值等于 ． 5.－4 由于A，B，D三点共线，所以∥,又因＝2＋k，＝－＝2－－(＋)＝－2；可设2＋k＝λ(－2)，即(λ－2)＝(k＋2λ)，又因为,均是非零向量,于是有λ－2＝0且k＋2λ＝0；则得λ＝2，k＝－2λ＝－4.故填－4. 考法3巧用三角形中线向量定理运算 6.设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　　) A． 　B．　 C．　 D． 6.A　依题意，由于BE是△ABC的边CA上的中线，所以＝(＋),同理＝(＋),则＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＝，故选A． 7.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则＋＋＋等于(　　) A． 　B．2　　 C．3　　 D．4 7.D 如图，在△OAC中，M为AC中点，所以＋＝2，在△OBD中，＋＝2，则＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝2＋2＝4.故选D． 考法4在向量数量积中的运算 8.在平面四边形ABCD中，若＋＝，(－)·＝0，则四边形ABCD是(　　) A．矩形 　B．正方形　　 C．菱形　　 D．梯形 8.C　因为＋＝，所以＝－＝，所以四边形ABCD是平行四边形．又(－)·＝·＝0,即平行四边形的对角线互相垂直,则四边形ABCD是菱形.故选C. 9.若向量满足,且,则向量在方向上的投影数量为 ． 9. 依题意,向量在方向上的投影数量是.故填. 10.在△ABC中，＝，且||＝2，||＝8,∠ACB＝,则·＝(　 　) A．24　 B．12　 C．24　 D．12 10.A　依题意,设||＝x,又＝，知P是AB的中点,于是得2＝＋，两边平方得42＝2＋2＋2·,即48＝64＋x2－8x，解得x＝4，所以·＝(＋)·＝(2＋·)＝×(64－16)＝24.故选A． 拓展·素养能力深化 诠释疑难，深化思维 1.在中,若,,,,则( ) A. B. C.或 D. 1.B 如图,由于,即,则与的夹角是为钝角.因,得,所以.故选B. 2.已知向量满足,且.求的值. 2.解:由题意及,得.而,同理,故. 3.已知向量与的夹角为,且,.求使与的夹角为锐角时,实数的取值范围. 3.解：依题意，得,要使与的夹角为锐角,则有且,化简得,且,解之得或且为所求. 学科网（北京）股份有限公司 $