2.4.1 平面向量基本定理-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦平面向量基本定理这一核心知识点，系统阐述定理内容（平面内任一向量可由两不共线向量唯一线性表示）、基的定义及性质（不共线、不唯一），搭建从向量线性运算到坐标表示的学习支架，帮助学生构建向量分解的认知框架。 该资料采用梯度进阶式教学设计，通过“微点助解”明晰概念本质，“题型分类+思维建模”（如判断基的共线分析、用基表示向量的步骤总结）培养数学思维与表达能力。实例如用基表示三角形向量、证明三点共线，课中助力分层教学，课后训练与方法总结帮助学生查漏补缺，深化理解。

§4　平面向量基本定理及坐标表示 4.1　平面向量基本定理 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标]　 1.理解平面向量基本定理及其意义. 2.能推导平面向量基本定理和运用平面向量基本定理解决某些数学问题. 1.平面向量基本定理 如果e1和e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对该平面内任意一个向量a,存在唯一的一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2. 2.基 我们把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面向量的一组基,记为{e1,e2}. 3.正交基及正交分解 若基中的两个向量互相垂直,则称这组基为正交基.在正交基下向量的线性表示称为正交分解.若基中的两个向量是互相垂直的单位向量,则称这组基为标准正交基. |微|点|助|解| 1.平面向量基本定理的作用 平面内任何一个向量都可以沿着两个不共线的方向分解成两个向量的和,并且这种分解是唯一的. 2.基的性质 (1)不共线性 平面内两个不共线的向量才可以作为一组基.由于零向量与任何向量共线,所以零向量不可以作为基. (2)不唯一性 对基的选取不唯一,平面内任一向量a都可被这个平面的一组基{e1,e2}线性表示. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)任意两个向量都可以作为基. (　　) (2)平面向量的基不是唯一的. (　　) (3)零向量不可作为基中的向量. (　　) 答案:(1)×　(2)√　(3)√ 2.设O为平行四边形ABCD的对称中心,=4e1,=6e2,则2e1-3e2等于 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　如图,==(-)=2e1-3e2. 3.如图所示,向量可用向量e1,e2表示为__________. 答案:4e1+3e2 4.向量e1,e2不共线,实数x,y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y的值为__________.  答案:3 题型(一)　对向量基的理解 [例1]　设e1,e2是两个不共线的向量,则下列四组向量中,不能作为平面向量的一组基的是 (　　) A.e1+e2和e1-e2 B.e1+2e2和e2+2e1 C.3e1-2e2和4e2-6e1 D.e2和e2+e1 解析:选C　e1+e2和e1-e2没有倍数关系,二者不共线,可作为平面向量的一组基;e1+2e2和e2+2e1没有倍数关系,二者不共线,可作为平面向量的一组基;4e2-6e1=-2(3e1-2e2),二者是共线向量,不能作为平面向量的一组基;e2和e2+e1不共线,可作为平面向量的一组基.故选C. 　　|思|维|建|模| 判断所给的两个向量能否作为一组基的方法 　　由基的定义可知,要判断两个向量a,b能否作为一组基只需判断两向量是否共线,而判断向量是否共线就要看是否存在λ∈R,使a=λb成立.另外,作为一组基的向量必为非零向量. 　　[针对训练] 1.设e1,e2是平面内一组基,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量e1+e2可以表示为另一组基a,b的线性组合,即e1+e2=__________a+_________b. 解析:由题意,设e1+e2=ma+nb.因为a=e1+2e2,b=-e1+e2,所以e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+n)e2.由平面向量基本定理,得所以 答案:　- 2.已知e1,e2是平面内两个不共线的向量,a=e1+2e2,b=2e1+λe2,若a,b能作为一组基,则实数λ的取值范围为____________________. 解析:若a,b能作为一组基,则向量a,b不共线.由题可知,若向量a,b共线,则有λ=4,故当向量a,b不共线时,λ≠4,即实数λ的取值范围是(-∞,4)∪(4,+∞). 答案:(-∞,4)∪(4,+∞) 题型(二)　用基表示向量 [例2]　设M,N,P是△ABC三边上的点,它们使=,=,=,若=a,=b,试用a,b将,,表示出来. 解:如图,=- =-- =--(-) =-=b-a. =-=-=a-b. =-=-(+)=a+b. 　　|思|维|建|模| 平面内任何一个向量都可以用一组基进行表示,转化时一定要看清转化的目标,要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则,同时结合实数与向量积的定义,牢记转化方向,把未知向量逐步往基底方向进行组合或分解. 　　[针对训练] 3.在△ABC中,=a,=b,=,则= (　　) A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b 解析:选B　∵=a,=b,∴=-=b-a.又=,∴=+=a+=a+(b-a)=a+b.故选B. 4.如图所示,矩形ABCD的对角线相交于点O,E为AO的中点,若=λ+μ,则λ+μ等于 (　　) A.- B. C.1 D.-1 解析:选A　由平面向量基本定理,得=+=+=-+(+)=-,所以λ=,μ=-,即λ+μ=-,故选A. 题型(三)　平面向量基本定理的应用 [例3]　如图,在长方形ABCD中,E为边DC的中点,F为边BC上一点,且=,设=a,=b. (1)试用基a,b表示,,; (2)若G为长方形ABCD内部一点,且=a+b,求证:E,G,F三点共线. 解:(1)=+=+=+=a+b; =+=+=+=a+b; =+=-+=-+a+b=a-b. (2)证明:由(1)知=a+b,=a+b,设=λ+μ, 则a+b=λ+μ=a+b, 即解得故=+,+=1,故E,G,F三点共线. 　　|思|维|建|模| 用向量解决平面几何问题的一般步骤 (1)选取不共线的两个平面向量为基; (2)将相关的向量用基向量表示,将几何问题转化为向量问题; (3)利用向量知识进行向量运算,得向量问题的解; (4)再将向量问题的解转化为平面几何问题的解. 　　[针对训练] 5.平面内有一个△ABC和一点O(如图),线段OA,OB,OC的中点分别为E,F,G,BC,CA,AB的中点分别为L,M,N,设=a,=b,=c. (1)试用a,b,c表示向量,,; (2)求证:线段EL,FM,GN交于一点且互相平分. 解:(1)如题图,∵=a,=(b+c), ∴=-=(b+c-a). 同理,=(a+c-b),=(a+b-c). (2)证明:设线段EL的中点为P1, 则=(+)=(a+b+c). 设FM,GN的中点分别为P2,P3, 同理可求得=(a+b+c),=(a+b+c). ∴==,∴P1,P2,P3三点重合.即线段EL,FM,GN交于一点且互相平分. 学科网（北京）股份有限公司 $