专题2-1 平面向量及其应用13大题型（期末复习讲义）高一数学下学期北师大版

专题2-1 平面向量及其应用（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 平面向量的概念和基本关系 题型二 平面向量的加、减、数乘运算（平行关系） 题型三 平面向量的基本定理（线性运算） 题型四 平面向量的坐标表示（平行和垂直） 题型五 投影向量 题型六 平面向量的数量积 题型七 数量积的应用 题型八 三点共线及最值 题型九 等和线 题型十 极化恒等式 题型十一 建系求最值 题型十二 平面向量的新定义 题型十三 三角形四心和奔驰定理 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平面向量的概念 能准确判断向量，单位向量等概念及意义 基础必考点，常出现在小题，考查向量的概念，零向量，单位向量，及其表示 平面向量的基本定理 能用向量的基本定理表示平面中的向量 高频易错点，常出现在小题中，容易忽视向量表示的正负号及相关的表示形式. 平面向量的坐标表示 能利用坐标的形式表示平面中的向量，并利用坐标求解向量的平行，垂直和夹角关系 高频必考点，常出现在小题中，考查平行和垂直，夹角时，容易记混淆对应的公式. 平面向量的数量积 能利用公式求解向量的数量积，夹角，投影向量及相关的运算 高频易错点，常出现在小题中，考查数量积，夹角，投影向量的相关运算，以及难点中的极化恒等式 三点共线和等和线 能利用向量的基本定理，判断三点共线和等和线的和值 高频易错点，常出现在小题中，考查三点共线和对应的点的位置，及和的大小 三角形四心和奔驰定理 利用向量表示三角形的外心，内心，重心，垂心，奔驰定理的表达. 高频易错点，常出现在小题中，考查利用向量表示三角形的四心，及对应的三角形面积的关系. 知识点01 平面向量的概念 1、向量：有大小，有方向的矢量；：大小为0，方向任意，即与任意向量平行； 2、单位向量：大小为1的向量，如，；平行向量：方向相同或相反向量，即； 3、向量基底：不共线的两个向量，可作为一组向量基底. 4、向量模长：向量的大小，即；向量加减的模长计算（平方）： ·易错点：零向量方向任意 知识点02 平面向量的基本定理 1、向量的线性运算（三角形法则或平行四边形法则）： 2、三角形法则：，平行四边形法则：在平行四边形中，. 3、平面向量的基本定理：不共线的两个向量可以表示空间中的所有向量，即. ·易错点：平面向量的线性表示中倍数关系错误. 知识点03 平面向量的坐标运算 1、向量的坐标运算： 点，则 向量，则 2、向量平行：若，则. 3、向量垂直：若，则. ·易错点：平行和垂直的坐标表示的公式记错 知识点04 平面向量的数量积 1、向量投影：在上的投影为；投影向量为 2、向量夹角： 3、向量数量积：①；②若，则. 4、向量三角不等式： 通过建立平面向量的坐标系，设点坐标，然后进行最值的求解. ·易错点：数量积的坐标表示出现错误 知识点05 三角形四心和奔驰定理 1、三角形四心 外心：；内心：； 重心：；垂心： 2、奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则. ·易错点：四心的向量表示和奔驰定理推导四心的应用上存在计算问题 题型一 平面向量的概念和基本关系 解｜题｜技｜巧 区分向量、模、数量，利用相等 / 相反向量平移转化，共线向量用坐标或向量定理列式，判断位置关系优先建系运算。 易｜错｜点｜拨 混淆向量与数量，零向量方向任意，易忽略其共线性质；向量模相等≠向量相等；两向量夹角需取起点共点，勿直接用线段夹角；判定共线时，漏看非零向量前提，导致解题出错。 【典例1】．下列说法错误的是（ ） A．任一非零向量都可以平行移动 B．是单位向量，则 C． D．若，则 【典例2】．（多选）下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1】．下列说法正确的是（ ） A．零向量没有大小，没有方向 B．零向量是唯一没有方向的向量 C．零向量的长度为0 D．任意两个单位向量方向相同 【变式2】．（多选）关于向量，，下列命题中正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【变式3】．（多选）下列说法中，正确的是（ ） A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的方向不确定 D．两个相等向量的起点相同，则终点也相同 题型二 平面向量的加、减、数乘运算（平行关系） 解｜题｜技｜巧 解题可灵活用几何法则或坐标运算：几何上遵循三角形、平行四边形法则，梳理向量首尾关系；坐标运算直接对应分量计算，数乘需整体乘各坐标。运算可结合运算律变形化简 易｜错｜点｜拨 向量加减易搞错方向；数乘漏乘坐标分量；混淆向量与实数运算；忽略零向量特性，判定共线时缺少非零向量前提，造成结论错误。 【典例1】．（多选）下列向量运算正确的有（ ） A． B． C． D． 【典例2】．设是两个不共线的向量，若向量与共线，则（ ） A．2 B． C． D． 【变式1】．现有以下向量运算式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．其中化简结果为的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】．对于两个不共线向量，，已知，，若与共线，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式3】．已知是不共线向量，且，则（ ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 题型三 平面向量的基本定理（线性运算） 解｜题｜技｜巧 选定一组不共线基底，将目标向量统一用基底表示；利用系数对应相等列方程求解参数，遇线段分点、几何图形优先分解转化。 易｜错｜点｜拨 误用共线向量充当基底；忽略基底不唯一但系数唯一的性质；向量分解时分式、系数计算出错；混淆基底表示与向量共线条件，参数取值判断失误。 【典例1】．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A． B． C． D． 【典例2】．在梯形中，，点在对角线上，且，则（ ） A． B． C． D． 【变式1】．已知中，，则（ ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，已知，，，，则（ ） A． B． C． D． 题型四 平面向量的坐标表示（平行和垂直） 解｜题｜技｜巧 解题优先用坐标公式判定：两向量平行，对应坐标交叉相乘相等；垂直则横纵坐标乘积和为 0。已知平行 / 垂直求参数，直接列方程求解。 易｜错｜点｜拨 平行公式易记反顺序；忽略零向量与任意向量平行；垂直误用平行公式；含参数时未检验分母不为零，漏解、增解；混淆向量平行与直线平行的区别。 【典例1】．已知平面向量，若，则（ ） A． B．3 C． D． 【典例2】．已知向量，，若，则（ ） A． B．7 C． D． 【变式1】．（多选）已知点，则（ ） A． B． C． D． 【变式2】．（多选）点，向量，，点是线段的三等分点，则点坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式3】．（多选）已知向量，，则（ ） A． B． C． D． 题型五 投影向量 解｜题｜技｜巧 先求向量夹角，套用投影数量公式在上投影：；投影向量需在此基础上乘以方向的单位向量。坐标形式可直接代入运算，简化求解。 易｜错｜点｜拨 混淆投影数量与投影向量；忽略夹角范围导致符号出错；计算单位向量时分母漏算模长；颠倒两个向量的投影对象，公式混用。 【典例1】．已知平面向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【典例2】．已知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【变式1】．已知向量，满足，，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【变式2】．已知非零向量的夹角为，若在上的投影向量为，且，则（ ） A． B．2 C．3 D． 【变式3】．已知的外接圆的圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 题型六 平面向量的数量积 解｜题｜技｜巧 解题可选用定义式或坐标式计算：定义式结合模长与夹角求解，坐标式直接对应分量相乘再求和。求模长可利用转化计算。 易｜错｜点｜拨 混淆数量积与数乘、实数乘法；夹角判断失误导致符号错误；误用运算律，数量积不满足结合律；忽略夹角范围；误将数量积结果当作向量。 【典例1】．已知正方形ABCD的边长为6，点满足，则（ ） A． B． C． D． 【典例2】．已知，，则（ ） A． B． C． D． 【变式1】．已知向量，满足，，，则向量，的夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【变式2】．已知向量，满足，，则向量与的夹角的余弦值（ ） A． B． C． D． 【变式3】．已知菱形的边长为分别是的中点，，则（ ） A． B． C． D． 题型七 数量积的应用 解｜题｜技｜巧 先明确向量坐标或模长、夹角，套用公式或坐标式计算；可用来求向量夹角、模长、判断垂直（数量积为0）、解决投影与几何最值问题。 易｜错｜点｜拨 混淆夹角范围，夹角需取两向量共起点的角；误将模长平方等同于数量积；坐标运算符号出错；忽略向量垂直、平行的判定条件混用，计算投影时分不清公式形式。 【典例1】．如图，在平行四边形中，，，E为的中点，若，则（ ） A．1 B． C． D．2 【典例2】．如图，已知菱形的边长为，，点是对角线上靠近点的一个四等分点，点为边的中点，则（ ） A． B． C． D． 【变式1】．在平行四边形中，，，，为的中点，则（ ） A．2 B． C．1 D． 【变式2】．已知平面上的非零向量、，定义运算：，对于平面上任意非零向量、、，则（ ） A． B．若与不垂直，则 C． D．若，则 【变式3】．已知是内的一点，且，，三点共线，则___________，若，且向量在向量上的投影向量为，则___________. 题型八 三点共线及最值 解｜题｜技｜巧 证三点共线，可证两向量共线且有公共点，或利用向量系数和为 1 的结论；求最值常结合坐标、数量积、几何图形，用函数、数形结合求解。 易｜错｜点｜拨 判定共线时，只证向量平行，忽略公共点；混淆向量共线与直线重合；求最值时忽视变量取值范围、端点情况；几何转化出错，误判动点轨迹，导致最值计算偏差。 【典例1】．在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的值是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【典例2】．已知中，是边上靠近B的三等分点，Q为的中点，过点O的直线分别交直线，于不同的两点M，N，设，，其中，，则下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D．的最小值为 【变式1】．如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 【变式2】．已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最小值是（ ） A．4 B． C． D． 题型九 等和线 解｜题｜技｜巧 先确定基底，设，以为定值作等和线；利用等和线平行、距离比例求范围、最值或参数值，结合几何位置快速解题。 易｜错｜点｜拨 混淆基底起点，错判等和线位置；记错与直线位置的对应关系；忽略动点边界限制；不会结合线段、区域范围分析取值，比例换算出现计算失误。 【典例1】．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若，则+的最大值为（ ） A．3 B． C． D．2 【典例2】．如图所示，在正六边形中，点是内（包括边界）的一个动点，设，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式1】．在正方形中，动点从点出发，经过，，到达，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式2】．在矩形ABCD中，，，P为矩形内一点，且若，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 题型十 极化恒等式 解｜题｜技｜巧 核心公式，遇向量数量积、模长最值优先使用。将向量转化为三角形、平行四边形中线与边长关系，借助几何图形简化计算。 易｜错｜点｜拨 记错公式符号与系数；不会构造共起点向量强行套用；混淆中线对应的向量形式；忽略动点范围，求最值时漏判临界位置；和数量积基本公式混用导致计算错误。 【典例1】．如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，，，则的值是_______. 【典例2】．如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________． 【变式1】．如图所示，已知中，点依次是边上的三个四等分点，若，则（ ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆E（正方形ABCD内部，含边界），则的取值范围为________. 题型十一 建系求最值 解｜题｜技｜巧 选取合适原点与坐标轴建立平面直角坐标系，把向量转为坐标形式，将最值问题转化为函数最值，再用二次函数、不等式或几何性质求解. 易｜错｜点｜拨 坐标系选取不当增加计算量；坐标书写、运算出现符号错误；忽略动点、角度等取值范围；几何约束条件遗漏，求最值忘记检验端点；向量转化坐标时对应关系出错。 【典例1】．如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD边上的一个动点，则的取值范围是__________． 【典例2】．如图是六角螺母的横截面，其内圈是半径为1的圆，外框是以为中心，边长为2的正六边形，则到线段的距离为__________；若是圆上的动点，则的取值范围是__________. 【变式1】．已知A、、是单位圆上的三个点，若，则的最大值为______． 【变式2】．如图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点E为边CD上的动点，则的最小值为________． 题型十二 平面向量的新定义 解｜题｜技｜巧 先读懂题目给出的新规则、新运算，紧扣定义列式，将新运算转化为熟悉的向量常规运算，结合公式、坐标、几何性质逐步推导，按要求求解参数、最值或判断结论。 易｜错｜点｜拨 曲解新定义规则，照搬旧公式套用；运算步骤遗漏条件；坐标代换、符号计算失误；忽略题干限制范围，主观默认向量固有性质；复杂情境下不会拆解问题，逻辑推导出错。 【典例1】．（多选）定义：，两个向量的叉乘的模，则下列命题正确的是（ ） A．若平行四边形ABCD的面积为4，则 B．在正中，若，则 C．若，，则的最小值为 D．若，，且为单位向量，则的值可能为 【典例2】．（多选）设Ox，Oy是平面内相交的两条数轴，其中（且），，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量.若平面向量满足，则有序数对称为向量在“仿射”坐标系xOy下的“仿射”坐标，记作，下列命题中是真命题的是（ ） A．已知，则 B．已知，，则 C．已知，，则 D．已知，，若，则 【变式1】．（多选）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标.若在坐标系中，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D．与的夹角为 【变式2】．（多选）定义平面向量的一种新运算“”如下：对任意的向量，，规定，则对于任意的向量，下列说法中正确的是（ ）． A． B． C． D． 题型十三 三角形四心和奔驰定理 解｜题｜技｜巧 熟记重心、垂心、外心、内心的向量特征，掌握奔驰定理核心形式，结合向量线性运算、数量积转化条件。遇面积、比例、向量等式问题，直接套用定理或四心性质分析求解。 易｜错｜点｜拨 混淆四心向量结论；记错奔驰定理面积比例关系；忽略向量共起点要求；几何图形中误判对应区域与面积；混用不同心的判定条件，符号、比例计算出错。 【典例1】．（多选）下列说法中，正确的是（ ） A．若，则与夹角为锐角 B．若是内心，且满足，则这个三角形一定是锐角三角形 C．在中，若，则为的重心 D．在中，若，则为的垂心 【典例2】．（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足.则（ ） A．为的外心 B． C． D． 【变式1】．（多选）已知是△所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A．若，则是△的重心 B．若向量，且，则△是正三角形 C．若是△的外心，，，则的值为-8 D．若，则 【变式2】．（多选）在△ABC中，下列正确的是（ ） A．若，则△ABC为钝角三角形 B．若，则△ABC为直角三角形 C．若，则△ABC为等腰三角形 D．已知，且，则△ABC为等边三角形 【变式3】．（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（ ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若M为的垂心，，则 D．若，，M为的外心，则 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．已知平面向量，，则“或”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知，是不共线向量，则下列各组向量中是共线向量的有（ ） ①，；②，；③， A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．已知向量满足，且，则（ ） A． B． C． D． 4．已知平面向量，设在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 5．在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ） A． B． C． D． 6．已知非零向量和满足，且，则（ ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．三边均不相等的三角形 二、多选题 7．已知向量，，则（ ）． A． B． C． D． 8．设向量，下列说法正确的是（ ） A．若时，则 B．与垂直 C．若时，则 D．若时，在上的投影向量为 三、填空题 9．已知向量，，在网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则______． 10．如图，在中，，，为上一点，且满足，则实数的值为___________；若，则的最小值为____________. 四、解答题 11．已知. (1)求； (2)求向量与的夹角的余弦值. 12．如图，在中，为线段上一点，且. (1)若，求的值； (2)若，且与的夹角为，求的值. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A． B． C． D． 2．已知向量，，，若，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知平面向量，，且，则（ ） A． B．4 C． D．24 4．如图，在中，，，若，则（ ） A． B． C． D． 5．在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（ ） A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 6．如图所示，在矩形中，，点在边上运动（包含端点），则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知向量，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则在上的投影向量为 8．已知向量，则（ ） A． B．当时， C．当时， D．的最大值为7 三、填空题 9．如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为______. 10．设点在内部，且，则与的面积之比是______． 四、解答题 11．如图，在梯形中，，，点是线段的中点.点是线段上的点，且. (1)用，表示，； (2)求证：，，三点共线. 12．如图，已知与的夹角为，，，，，与相交于点. （1）求； （2）求与的夹角的余弦值. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．如图，在梯形中，，，，若是线段上的动点，且，则的最小值为（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 2．在菱形中，，，E为边上的动点（包括端点），F为的中点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最小值是（ ） A．4 B． C． D． 4．（多选）定义：两个向量的叉乘的模，则下列命题正确的是（ ） A．若平行四边形的面积为4，则 B．在正中，若，则 C．若，，则的最小值为12 D．若，，且为单位向量，则的值可能为 5．已知平面向量，且与的夹角为，若，则的最小值为_______. 6．已知为平面内不共线的三点，表示的面积 （1）若求； （2）若，，，证明:； （3）若，，，其中，且坐标原点恰好为的重心，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 25 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2-1 平面向量及其应用（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 平面向量的概念和基本关系 题型二 平面向量的加、减、数乘运算（平行关系） 题型三 平面向量的基本定理（线性运算） 题型四 平面向量的坐标表示（平行和垂直） 题型五 投影向量 题型六 平面向量的数量积 题型七 数量积的应用 题型八 三点共线及最值 题型九 等和线 题型十 极化恒等式 题型十一 建系求最值 题型十二 平面向量的新定义 题型十三 三角形四心和奔驰定理 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平面向量的概念 能准确判断向量，单位向量等概念及意义 基础必考点，常出现在小题，考查向量的概念，零向量，单位向量，及其表示 平面向量的基本定理 能用向量的基本定理表示平面中的向量 高频易错点，常出现在小题中，容易忽视向量表示的正负号及相关的表示形式. 平面向量的坐标表示 能利用坐标的形式表示平面中的向量，并利用坐标求解向量的平行，垂直和夹角关系 高频必考点，常出现在小题中，考查平行和垂直，夹角时，容易记混淆对应的公式. 平面向量的数量积 能利用公式求解向量的数量积，夹角，投影向量及相关的运算 高频易错点，常出现在小题中，考查数量积，夹角，投影向量的相关运算，以及难点中的极化恒等式 三点共线和等和线 能利用向量的基本定理，判断三点共线和等和线的和值 高频易错点，常出现在小题中，考查三点共线和对应的点的位置，及和的大小 三角形四心和奔驰定理 利用向量表示三角形的外心，内心，重心，垂心，奔驰定理的表达. 高频易错点，常出现在小题中，考查利用向量表示三角形的四心，及对应的三角形面积的关系. 知识点01 平面向量的概念 1、向量：有大小，有方向的矢量；：大小为0，方向任意，即与任意向量平行； 2、单位向量：大小为1的向量，如，；平行向量：方向相同或相反向量，即； 3、向量基底：不共线的两个向量，可作为一组向量基底. 4、向量模长：向量的大小，即；向量加减的模长计算（平方）： ·易错点：零向量方向任意 知识点02 平面向量的基本定理 1、向量的线性运算（三角形法则或平行四边形法则）： 2、三角形法则：，平行四边形法则：在平行四边形中，. 3、平面向量的基本定理：不共线的两个向量可以表示空间中的所有向量，即. ·易错点：平面向量的线性表示中倍数关系错误. 知识点03 平面向量的坐标运算 1、向量的坐标运算： 点，则 向量，则 2、向量平行：若，则. 3、向量垂直：若，则. ·易错点：平行和垂直的坐标表示的公式记错 知识点04 平面向量的数量积 1、向量投影：在上的投影为；投影向量为 2、向量夹角： 3、向量数量积：①；②若，则. 4、向量三角不等式： 通过建立平面向量的坐标系，设点坐标，然后进行最值的求解. ·易错点：数量积的坐标表示出现错误 知识点05 三角形四心和奔驰定理 1、三角形四心 外心：；内心：； 重心：；垂心： 2、奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则. ·易错点：四心的向量表示和奔驰定理推导四心的应用上存在计算问题 题型一 平面向量的概念和基本关系 解｜题｜技｜巧 区分向量、模、数量，利用相等 / 相反向量平移转化，共线向量用坐标或向量定理列式，判断位置关系优先建系运算。 易｜错｜点｜拨 混淆向量与数量，零向量方向任意，易忽略其共线性质；向量模相等≠向量相等；两向量夹角需取起点共点，勿直接用线段夹角；判定共线时，漏看非零向量前提，导致解题出错。 【典例1】．下列说法错误的是（ ） A．任一非零向量都可以平行移动 B．是单位向量，则 C． D．若，则 【答案】D 【分析】根据题意，由向量的定义以及相关概念对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为非零向量是自由向量，可以自由平移移动，故A正确； 由单位向量对于可知，，故B正确； 因为，所以，故C正确； 因为两个向量不能比较大小，故D错误； 故选：D 【典例2】．（多选）下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】由向量既有大小又有方向判断选项A；由相等向量的定义判断选项B；分析当为零向量时的情况判断选项C；根据相等向量的传递性判断选项D. 【详解】向量不能比较大小，A错误； 表示向量大小相等，方向相同，所以，B正确； 若是零向量，零向量平行于任意向量，此时即使满足、，但和也可以不平行，C错误； 由得、与同向；由得、与同向，因此、与同向，即，D正确. 【变式1】．下列说法正确的是（ ） A．零向量没有大小，没有方向 B．零向量是唯一没有方向的向量 C．零向量的长度为0 D．任意两个单位向量方向相同 【答案】C 【分析】根据零向量和单位向量的概念求解. 【详解】零向量有大小，有方向，其长度为0，方向不确定，任意两个单位向量长度相同，方向无法判断. 故选：C. 【变式2】．（多选）关于向量，，下列命题中正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BD 【分析】利用向量的定义判断C，利用相等向量的定义判断AD，利用共线向量的定义判断B． 【详解】对于A：向量的长度相等，方向不一定相同， 从而得不出，即该选项错误； 对于B：若，则，故该选项正确； 对于C：向量有方向不能比较大小，故该选项错误； 对于D：因为，，所以，则该选项正确． 【变式3】．（多选）下列说法中，正确的是（ ） A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的方向不确定 D．两个相等向量的起点相同，则终点也相同 【答案】ACD 【分析】利用平面向量的定义判断A，B；利用零向量、相等向量的意义判断C，D作答. 【详解】向量的起点、终点分别为向量的终点、起点，它们的长度相等，A正确； 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，B不正确； 零向量的方向是任意的，“零向量的方向不确定”是正确的，C正确； 由相等向量的定义知D正确. 故选：ACD 题型二 平面向量的加、减、数乘运算（平行关系） 解｜题｜技｜巧 解题可灵活用几何法则或坐标运算：几何上遵循三角形、平行四边形法则，梳理向量首尾关系；坐标运算直接对应分量计算，数乘需整体乘各坐标。运算可结合运算律变形化简 易｜错｜点｜拨 向量加减易搞错方向；数乘漏乘坐标分量；混淆向量与实数运算；忽略零向量特性，判定共线时缺少非零向量前提，造成结论错误。 【典例1】．（多选）下列向量运算正确的有（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据平面向量的加减法法则，结合具体选项，逐一分析即可. 【详解】对A：，故A正确； 对B：，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：，故D正确. 故选：ABD. 【典例2】．设是两个不共线的向量，若向量与共线，则（ ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量共线定理计算即可. 【详解】由共线向量定理可知存在实数，使得， 即，又与是不共线向量， 所以解得. 故选：B． 【变式1】．现有以下向量运算式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．其中化简结果为的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用向量加法、减法法则逐个计算即可. 【详解】，（1）是； ，（2）不是； ，（3）是； ，（4）不是； ，（5）是， 所以化简结果为的个数为3. 故选：C 【变式2】．对于两个不共线向量，，已知，，若与共线，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用共线定理即可求解. 【详解】由题意知. 若与共线，则存在实数使得， 因为向量，不共线， 所以解得，故的值为. 故选：C 【变式3】．已知是不共线向量，且，则（ ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】C 【分析】求出即可得解. 【详解】由题可得， 又线段BD与线段AB有公共点B，所以三点共线. 故选：C 题型三 平面向量的基本定理（线性运算） 解｜题｜技｜巧 选定一组不共线基底，将目标向量统一用基底表示；利用系数对应相等列方程求解参数，遇线段分点、几何图形优先分解转化。 易｜错｜点｜拨 误用共线向量充当基底；忽略基底不唯一但系数唯一的性质；向量分解时分式、系数计算出错；混淆基底表示与向量共线条件，参数取值判断失误。 【典例1】．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A:,,,共线,不能作为基底. 选项B:,,,共线,不能作为基底. 选项C:是零向量,零向量与任意向量共线,不能作为基底. 选项D:,,,不共线,可以作为基底. 【典例2】．在梯形中，，点在对角线上，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量线性运算在几何图形中的应用，结合题意，直接表示即可. 【详解】根据题意，作图如下所示： 由题意得，. 故选：A. 【变式1】．已知中，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】因为， 所以， 故选：D 【变式2】．如图，已知，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 所以, 又，， 所以. 故选：A. 题型四 平面向量的坐标表示（平行和垂直） 解｜题｜技｜巧 解题优先用坐标公式判定：两向量平行，对应坐标交叉相乘相等；垂直则横纵坐标乘积和为 0。已知平行 / 垂直求参数，直接列方程求解。 易｜错｜点｜拨 平行公式易记反顺序；忽略零向量与任意向量平行；垂直误用平行公式；含参数时未检验分母不为零，漏解、增解；混淆向量平行与直线平行的区别。 【典例1】．已知平面向量，若，则（ ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】由，可得，解得. 【典例2】．已知向量，，若，则（ ） A． B．7 C． D． 【答案】B 【分析】由向量垂直的坐标运算即可求解. 【详解】因为，所以，且有， 则，解得. 【变式1】．（多选）已知点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示进行运算求解即可. 【详解】因为， 所以，则，故A不正确； 因为，故B正确； 因为，故C正确； 因为，故D不正确． 故选：BC. 【变式2】．（多选）点，向量，，点是线段的三等分点，则点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】结合向量的坐标运算，并分类讨论，即可求解. 【详解】设点坐标为，因为向量，，则，， 当点为靠近点的三等分点时，则，故，解得：，，故点坐标为， 当点为靠近点的三等分点时，则，故，解得：，，故点坐标为， 故选：AD 【变式3】．（多选）已知向量，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】A选项，，不可能有，A错误 B选项，因为，所以，B正确； C选项，因为，所以，故C错误. D选项，由C选项分析可得，D正确． 题型五 投影向量 解｜题｜技｜巧 先求向量夹角，套用投影数量公式在上投影：；投影向量需在此基础上乘以方向的单位向量。坐标形式可直接代入运算，简化求解。 易｜错｜点｜拨 混淆投影数量与投影向量；忽略夹角范围导致符号出错；计算单位向量时分母漏算模长；颠倒两个向量的投影对象，公式混用。 【典例1】．已知平面向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量模，求出，然后利用向量数量积和运算律计算，最后根据投影向量求解的方法求解即可. 【详解】因为，， 所以，即， 也即， 解得：， 所以， 由向量在向量上的投影向量为： ， 故选：A. 【典例2】．已知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据可判断四边形的形状，由外接圆可进一步判断其形状及角度，从而根据投影向量的概念求解. 【详解】由知，即， 又三点构成，所以，所以四边形是平行四边形，如图： 又的外接圆圆心为，所以， 所以平行四边形是菱形，且，即与的夹角为， 设菱形的边长为. 则在上的投影向量为. 故选：D. 【变式1】．已知向量，满足，，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合向量的投影向量公式，即可求解. 【详解】设与夹角为，求在上的投影向量公式为：， 所以根据题意，即， 将代入可得：，而，所以. 故选：. 【变式2】．已知非零向量的夹角为，若在上的投影向量为，且，则（ ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】根据非零向量的夹角为，在上的投影向量为，得出，然后利用化简计算即可得出. 【详解】因为非零向量的夹角为， 所以， 又在上的投影向量为， 所以， 由，得 即， 所以， 故选：A. 【变式3】．已知的外接圆的圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的几何意义，确定的形状，再根据投影向量的几何意义确定问题的答案. 【详解】如图： 因为，所以点为中点，所以. 又，，所以为等边三角形. 取中点，连接，则. 则即为向量在向量上的投影向量. 又. 故选：B 题型六 平面向量的数量积 解｜题｜技｜巧 解题可选用定义式或坐标式计算：定义式结合模长与夹角求解，坐标式直接对应分量相乘再求和。求模长可利用转化计算。 易｜错｜点｜拨 混淆数量积与数乘、实数乘法；夹角判断失误导致符号错误；误用运算律，数量积不满足结合律；忽略夹角范围；误将数量积结果当作向量。 【典例1】．已知正方形ABCD的边长为6，点满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知为BC的中点，结合向量的线性运算转化可得，进而求解. 【详解】因为，可知为BC的中点， 因为正方形ABCD的边长为6，则，， 可得，， 所以. 故选：B. 【典例2】．已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的数量积运算，即可求出模长，从而可求向量的夹角余弦值. 【详解】因为， 所以，两式相减得：，所以； 因为，所以； 代入，得到； ， 故选：D 【变式1】．已知向量，满足，，，则向量，的夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量夹角的余弦公式求解即可. 【详解】，，，，所以， 故选：A． 【变式2】．已知向量，满足，，则向量与的夹角的余弦值（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知及向量数量积的运算律得、、，再应用向量夹角公式求余弦值. 【详解】因为，两边平方得， 所以，则， ， 则向量与的夹角的余弦值为. 故选：D 【变式3】．已知菱形的边长为分别是的中点，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为基底，分别表示出，，利用数量积的运算律求即可. 【详解】如图： 以为基底，则，. 又，， 所以. 故选：B 题型七 数量积的应用 解｜题｜技｜巧 先明确向量坐标或模长、夹角，套用公式或坐标式计算；可用来求向量夹角、模长、判断垂直（数量积为0）、解决投影与几何最值问题。 易｜错｜点｜拨 混淆夹角范围，夹角需取两向量共起点的角；误将模长平方等同于数量积；坐标运算符号出错；忽略向量垂直、平行的判定条件混用，计算投影时分不清公式形式。 【典例1】．如图，在平行四边形中，，，E为的中点，若，则（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】设的长为，又，，根据数量积的运算律及定义得到方程，解得即可. 【详解】设的长为，因为，， 所以 ，解得或（舍去）． 故选：A 【典例2】．如图，已知菱形的边长为，，点是对角线上靠近点的一个四等分点，点为边的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据平面向量的线性运算，将和用、表示，再结合向量数量积的计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，点是对角线上靠近点的一个四等分点，所以， 所以， 又点为边的中点，所以， 所以， 又四边形为菱形，所以，， 所以， 又菱形的边长为，， 所以 . 故选：D 【变式1】．在平行四边形中，，，，为的中点，则（ ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性关系结合平面向量数量积的运算律计算求解. 【详解】平行四边形中，，，， 为的中点，则. 故选：B. 【变式2】．已知平面上的非零向量、，定义运算：，对于平面上任意非零向量、、，则（ ） A． B．若与不垂直，则 C． D．若，则 【答案】C 【分析】利用题中新定义运算可判断A选项；利用特例法可判断B选项；利用题中定义结合平面向量数量积的运算性质可判断CD选项. 【详解】对于A选项，由题中定义得与共线，与共线， 所以，A错； 对于B选项，不妨取，，， 则， 所以， ， 所以， 故，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，若，则， 即， 因为为非零向量，所以，所以或当时，，D错. 故选：C. 【变式3】．已知是内的一点，且，，三点共线，则___________，若，且向量在向量上的投影向量为，则___________. 【答案】；3 【分析】根据平面向量的线性运算结合共线定理即可得的值；由投影向量的定义可得的值，由，结合平面向量数量积的运算性质即可得的值. 【详解】 因为， 整理得，则不在边上， 又，则，所以， 因为三点共线，所以，解得； 向量在向量上的投影向量为， 所以，则， 则 . 故答案为：；3. 题型八 三点共线及最值 解｜题｜技｜巧 证三点共线，可证两向量共线且有公共点，或利用向量系数和为 1 的结论；求最值常结合坐标、数量积、几何图形，用函数、数形结合求解。 易｜错｜点｜拨 判定共线时，只证向量平行，忽略公共点；混淆向量共线与直线重合；求最值时忽视变量取值范围、端点情况；几何转化出错，误判动点轨迹，导致最值计算偏差。 【典例1】．在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的值是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】利用共线定理即可求出. 【详解】由题意得三点共线，则， 又，，则， ，. 故选：D. 【典例2】．已知中，是边上靠近B的三等分点，Q为的中点，过点O的直线分别交直线，于不同的两点M，N，设，，其中，，则下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D．的最小值为 【答案】D 【分析】根据平面向量基本定理结合图像和已知条件以及基本不等式的性质逐项计算判断即可. 【详解】对于A：根据题意画出图像，则根据已知条件可得 ，A正确； 对于B：，由A知. 所以，B正确； 对于C：因为，，， 所以. 因为点共线，所以设. 所以，化简得. 即，又， 所以，两式相加得，即，C正确； 对于D：由C知，所以 . 所以D错误. 故选：D 【变式1】．如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用线段比例转化向量，再统一向量基底，最后根据“三点共线时，向量分解的系数和为1”的性质求解即可. 【详解】， ， ， ， ， 是线段上一点， 三点共线， ， 解得. 故选A. 【变式2】．已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最小值是（ ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算，再结合三点共线的性质，即可得，然后利用代换，结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】 由是边上靠近的三等分点， 可得：， 又因为，所以， 又因为三点共线，所以 又因为， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以的最小值为， 故选：C 题型九 等和线 解｜题｜技｜巧 先确定基底，设，以为定值作等和线；利用等和线平行、距离比例求范围、最值或参数值，结合几何位置快速解题。 易｜错｜点｜拨 混淆基底起点，错判等和线位置；记错与直线位置的对应关系；忽略动点边界限制；不会结合线段、区域范围分析取值，比例换算出现计算失误。 【典例1】．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若，则+的最大值为（ ） A．3 B． C． D．2 【答案】A 【详解】如图所示，建立平面直角坐标系. 设, 易得圆的半径，即圆C的方程是， ，若满足， 则，，所以， 设，即，点在圆上， 所以圆心到直线的距离，即，解得， 所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A. 【点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算. （2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决. 【典例2】．如图所示，在正六边形中，点是内（包括边界）的一个动点，设，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以直线FB为x轴，线段FB的中垂线为y建立平面直角坐标系，结合已知求出点P的坐标，再由点P所在区域求解作答. 【详解】在正六边形中，以直线FB为x轴，线段FB中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图， 令，则点， 因此，因，则， 于是得点，又点是内（包括边界）的一个动点， 显然点P在直线及上方，点P纵坐标最大不超过3，即有，解得， 所以的取值范围是. 故选：B 【变式1】．在正方形中，动点从点出发，经过，，到达，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，写成点的坐标，分点在，，三种情况，求出的取值范围. 【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，建立平面直角坐标系， 设，则， 当点在上时，设， 则，即，故， 当点在上时，设， 则，即，解得， 故， 当点在上时，设， 则，即，故 综上，的取值范围是. 故选：B 【变式2】．在矩形ABCD中，，，P为矩形内一点，且若，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可根据条件画出图形，根据图形设，且，则又可用表示为：所以根据平面向量基本定理得到：，所以，最大值为1，所以的最大值为． 【详解】如图，设，， 则：； 又； ； ； 的最大值为． 故选B． 【点睛】考查共线向量基本定理，两角和的正弦公式，正弦函数的最大值，以及平面向量基本定理． 题型十 极化恒等式 解｜题｜技｜巧 核心公式，遇向量数量积、模长最值优先使用。将向量转化为三角形、平行四边形中线与边长关系，借助几何图形简化计算。 易｜错｜点｜拨 记错公式符号与系数；不会构造共起点向量强行套用；混淆中线对应的向量形式；忽略动点范围，求最值时漏判临界位置；和数量积基本公式混用导致计算错误。 【典例1】．如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，，，则的值是_______. 【答案】 【详解】因为 ， ， 因此， 【考点】向量数量积 【名师点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简.对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解． 【典例2】．如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________． 【答案】； 【分析】可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点（其中），得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值. 【详解】，，， ， 解得， 以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， , ∵，∴的坐标为, 又∵,则，设，则（其中）， ，， ， 所以，当时，取得最小值. 故答案为：；. 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题. 【变式1】．如图所示，已知中，点依次是边上的三个四等分点，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以的中点为核心，通过将所求向量均用及相关的有向线段表示，并利用向量乘积的分配律与平方差公式进行化简，已知结合的长度得到的值，再对向量分解，借助中点性质最终将所求化为的数值计算. 【详解】 ，又为中点，， . 故选：B 【变式2】．如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆E（正方形ABCD内部，含边界），则的取值范围为________. 【答案】 【分析】先求得的取值范围，再利用向量数量积的运算法则将所求转化为，从而得解. 【详解】因为正方形的边长为2，取的中点，连接， 当在点或点时，， 当在弧中点时，， 所以的取值范围为， 因为，， 所以 ， 因为，所以，故， 所以，即的取值范围为. 故答案为：. 题型十一 建系求最值 解｜题｜技｜巧 选取合适原点与坐标轴建立平面直角坐标系，把向量转为坐标形式，将最值问题转化为函数最值，再用二次函数、不等式或几何性质求解. 易｜错｜点｜拨 坐标系选取不当增加计算量；坐标书写、运算出现符号错误；忽略动点、角度等取值范围；几何约束条件遗漏，求最值忘记检验端点；向量转化坐标时对应关系出错。 【典例1】．如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD边上的一个动点，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】以为原点，建立合适的直角坐标系，设，，计算出，根据二次函数的性质则得到其范围. 【详解】以为原点，,所在直线分别为,轴,建立如图所示的平面直角坐标系， 则，设，其中， 则， ， 当时,有最小值3， 当或2时，有最大值为4， 的取值范围为. 故答案为：. 【典例2】．如图是六角螺母的横截面，其内圈是半径为1的圆，外框是以为中心，边长为2的正六边形，则到线段的距离为__________；若是圆上的动点，则的取值范围是__________. 【答案】1； 【分析】根据正六边形的性质即可求解空1，利用向量的坐标运算即可由三角函数的性质求解. 【详解】取中点为， 由于正六边形的边长为2，所以, 因此到线段的距离为, 建立如图所示的直角坐标系，则, ， ， 由于, 故， 故答案为：1； 【变式1】．已知A、、是单位圆上的三个点，若，则的最大值为______． 【答案】 【分析】由题可知，表示点的坐标，然后将向量坐标化使用辅助角公式计算判断即可. 【详解】由题可知：A、、是单位圆上的三个点，且，不妨设， 所以，则， 当，即时，有最大值为1，所以. 故答案为： 【变式2】．如图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点E为边CD上的动点，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】以D为原点，的方向分别为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，利用向量坐标运算，结合二次函数性质可得. 【详解】连接AC，因为，，， 所以， 又，所以， 所以. 过点B作AD的垂线BF，垂足为F， 易知，在中，， 所以， 以D为原点，的方向分别为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系， 则 设， 则， ， 当时，有最小值. 故答案为： 题型十二 平面向量的新定义 解｜题｜技｜巧 先读懂题目给出的新规则、新运算，紧扣定义列式，将新运算转化为熟悉的向量常规运算，结合公式、坐标、几何性质逐步推导，按要求求解参数、最值或判断结论。 易｜错｜点｜拨 曲解新定义规则，照搬旧公式套用；运算步骤遗漏条件；坐标代换、符号计算失误；忽略题干限制范围，主观默认向量固有性质；复杂情境下不会拆解问题，逻辑推导出错。 【典例1】．（多选）定义：，两个向量的叉乘的模，则下列命题正确的是（ ） A．若平行四边形ABCD的面积为4，则 B．在正中，若，则 C．若，，则的最小值为 D．若，，且为单位向量，则的值可能为 【答案】ACD 【分析】根据两个向量叉乘的模的定义及向量数量积的运算逐个分析判断. 【详解】对于A，因为平行四边形ABCD的面积为4，所以，所以，故A正确； 对于B，设正的边边上的中点为，则， 因为，所以， 所以，所以B错误； 对于C，因为，所以， 所以，因为，所以，所以， 所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，所以C正确； 对于D，若，，且为单位向量， 则当时，， 此时，所以D正确. 故选：ACD. 【典例2】．（多选）设Ox，Oy是平面内相交的两条数轴，其中（且），，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量.若平面向量满足，则有序数对称为向量在“仿射”坐标系xOy下的“仿射”坐标，记作，下列命题中是真命题的是（ ） A．已知，则 B．已知，，则 C．已知，，则 D．已知，，若，则 【答案】BD 【分析】根据新定义，结合已学的向量的模长，向量运算，向量数量积，向量平行的定理可以逐一计算判断. 【详解】对于A，，则， 所以 ，故A错误； 对于B，已知，， 则，，， 则，故B正确； 对于C，，，则，， 所以 ，故C错误； 对于D，，，则，， 若，则当或时，或，满足； 当，则存在唯一，使得，则， 则，消元变形得到，故D正确. 故选：BD. 【变式1】．（多选）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标.若在坐标系中，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D．与的夹角为 【答案】BCD 【分析】根据对应的坐标是的坐标，进而可得，根据平面向量数量积的公式，模长公式及夹角公式可得结果. 【详解】选项A： ，故A错误，C正确； 选项B： ，故B正确； 选项D：因为 ， ， 所以， 因为，所以，故D正确； 故选：BCD. 【变式2】．（多选）定义平面向量的一种新运算“”如下：对任意的向量，，规定，则对于任意的向量，下列说法中正确的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据坐标运算计算出每个等式等号两侧的值可判断A、B和C，将不等号两边同时平方结合坐标形式下向量的模长公式，采用作差法可判断D. 【详解】设，，． 对于A，，故A正确． 对于B，，故B正确． 对于C，，，故C错误． 对于D，，， 因为，故D正确． 故选：ABD． 题型十三 三角形四心和奔驰定理 解｜题｜技｜巧 熟记重心、垂心、外心、内心的向量特征，掌握奔驰定理核心形式，结合向量线性运算、数量积转化条件。遇面积、比例、向量等式问题，直接套用定理或四心性质分析求解。 易｜错｜点｜拨 混淆四心向量结论；记错奔驰定理面积比例关系；忽略向量共起点要求；几何图形中误判对应区域与面积；混用不同心的判定条件，符号、比例计算出错。 【典例1】．（多选）下列说法中，正确的是（ ） A．若，则与夹角为锐角 B．若是内心，且满足，则这个三角形一定是锐角三角形 C．在中，若，则为的重心 D．在中，若，则为的垂心 【答案】CD 【分析】由数量积的定义判断A，是内心时，证明即得，由此结合余弦定理判断B，由向量的线性运算证明是三角形重心判断C，利用向量数量积的运算法则，证明向量垂直，从而得是垂心判断D． 【详解】当同向时也的，A错误； 如下图是内心，延长线交于，设，，， 是外心，是三角形内角平分线，， ， 又， 所以． 所以， 所以， 设内切圆半径为，， 则，所以， 若，则， 设，则，为钝角，B错； 如下图，是中点，则， 又，所以， 所以共线，且，所以是重心，C正确； 中，若， 则，所以， 同理，所以是的垂线，D正确． 故选：CD． 【典例2】．（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足.则（ ） A．为的外心 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由根据数量积的运算律可得,可得为的垂心；结合与三角形内角和等于可证明B选项；结合B选项结论证明即可证明C选项，利用奔驰定理证明可证明D选项． 【详解】解：因为， 同理，，故为的垂心，故A错误； ，所以， 又，所以， 又，所以，故B正确； 故，同理， 延长交与点，则 ， 同理可得，所以，故C正确； ， 同理可得，所以， 又，所以，故D正确． 故选：BCD． 【变式1】．（多选）已知是△所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A．若，则是△的重心 B．若向量，且，则△是正三角形 C．若是△的外心，，，则的值为-8 D．若，则 【答案】BCD 【分析】由平面向量数量积的性质及运算，逐一检验可得解． 【详解】对于选项，因为，所以，即，，同理，，则是△的垂心，故错误； 对于选项，设的中点为，，即，，，为△的重心， 又，为的外心．故△的形状是等边三角形，故正确； 对于选项，如图，过作，垂足分别为，， 则，分别是，的中点， 则；故正确； 对于选项，延长至，使；延长至，使，则，为△的重心， ， ，， ， ，故正确． 故选：． 【变式2】．（多选）在△ABC中，下列正确的是（ ） A．若，则△ABC为钝角三角形 B．若，则△ABC为直角三角形 C．若，则△ABC为等腰三角形 D．已知，且，则△ABC为等边三角形 【答案】BCD 【分析】对A，根据向量的数量积运算分析即可； 对B，对两边平方判断即可； 对C，根据平面向量数量积的运算求解即可； 对D，根据，结合数量积的运算可得，进而得到判断即可 【详解】对A，即，即，可得，不能证明△ABC为钝角三角形，故A错误； 对B，即，解得，故，故B正确； 对C，若，则，故，故△ABC为等腰三角形，故C正确； 对D，因为，故，即，又，所以，故，故，同理，结合可得，故△ABC为等边三角形，故D正确； 故选：BCD 【变式3】．（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（ ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若M为的垂心，，则 D．若，，M为的外心，则 【答案】ABC 【分析】对于A，取中点，连接，由题意可得，即有，同理可得，，即可判断；对于B，设内切圆的半径为，由三角形的面积公式可得，整理即可判断；对于C，由题意可得，再由三角形的面积公式可得，，设，可得，进而可得，，，即可判断；对于D，设的外接圆半径为，根据题意及三角形的面积公式可得，，，即可判断. 【详解】A选项，因为，所以， 取的中点，则，所以， 故三点共线，且， 同理，取中点，中点，可得三点共线，三点共线， 所以M为的重心，A正确； B选项，若M为的内心，可设内切圆半径为， 则，，， 所以， 即，B正确； C选项，若M为的垂心，， 则， 如图，⊥，⊥，⊥，相交于点， 又， ，即， ，即， ，即， 设，，，则，，， 因为，， 所以，即， 同理可得，即，故， ，则， 故， ，则， 故， ， 故， 同理可得， 故，C正确； D选项，若，，M为的外心， 则， 设的外接圆半径为，故， ， 故，，， 所以，D错误. 故选：ABC 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．已知平面向量，，则“或”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据向量的基本概念，结合充分，必要条件，即可判断选项. 【详解】若或，则，反过来，若，两个向量的方向不确定，不能推出或， 所以“或”是“”的充分不必要条件. 故选：A 2．已知，是不共线向量，则下列各组向量中是共线向量的有（ ） ①，；②，；③， A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【解析】根据向量共线的条件对①②③逐一分析，由此确定共线的向量. 【详解】①中，与显然共线；②中，因为，故与共线； ③中，设，得，无解，故与不共线. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查向量共线的条件，属于基础题. 3．已知向量满足，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的模长与数量积运算即可求解. 【详解】因为，所以， 展开得，又，所以. 因为，则，所以， 解得（负值舍去）. 故选： 4．已知平面向量，设在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量公式可得，再根据向量夹角公式求解即可. 【详解】在上的投影向量为，即， 所以，则， 因为，所以. 故选：A. 5．在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案. 【详解】依题意， . 故选：B 6．已知非零向量和满足，且，则（ ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．三边均不相等的三角形 【答案】A 【分析】根据向量加法和线性运算可知向量与的平分线共线，根据可知的平分线与对边垂直，由此可知△ABC是等腰三角形；再由和向量数量积的定义可求出的大小，从而可判断△ABC的形状． 【详解】即方向上的单位向量，即方向上的单位向量， ∴向量与的平分线共线， 又由可知的平分线与对边垂直， 则△ABC是等腰三角形，即， ，∴， ∵，∴， ∴△ABC为等边三角形． 故选：A． 二、多选题 7．已知向量，，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】A选项，，不可能有，A错误 B选项，因为，所以，B正确； C选项，因为，所以，故C错误. D选项，由C选项分析可得，D正确． 8．设向量，下列说法正确的是（ ） A．若时，则 B．与垂直 C．若时，则 D．若时，在上的投影向量为 【答案】ABD 【分析】根据向量的线性关系判断A，应用数量积公式及模长公式计算判断B，应用向量夹角余弦公式计算判断C，应用投影向量公式计算判断D. 【详解】当时，，则，A选项正确； 因为， 所以与垂直，B选项正确； 因为，所以，C选项错误； 当时， 在上的投影向量为，D选项正确； 故选：ABD. 三、填空题 9．已知向量，，在网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则______． 【答案】3 【分析】利用平面向量数量积的几何意义，结合投影向量进行计算即可. 【详解】可以看出在方向上的投影向量为，在方向上的投影向量为， 故. 故答案为：3 10．如图，在中，，，为上一点，且满足，则实数的值为___________；若，则的最小值为____________. 【答案】/0.52 【分析】设，可得出，可得出关于、的方程组，即可解得实数的值；利用数量积得出，利用平面向量数量积的运算性质结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】设，则 ， 所以，解得， ，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立. 所以，的最小值为. 故答案为：；. 四、解答题 11．已知. (1)求； (2)求向量与的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出，然后再根据模长公式即可求解； （2）根据夹角公式即可求解. 【详解】（1）， 所以. （2）. 12．如图，在中，为线段上一点，且. (1)若，求的值； (2)若，且与的夹角为，求的值. 【答案】(1) (2)-3 【分析】（1）应用平面向量的减法，再结合平面向量基本定理求出参数； （2）应用平面向量的数量积及数量积运算律计算求解. 【详解】（1）若，则， 即， 故. （2）若，则， 即， 所以 . 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A:,,,共线,不能作为基底. 选项B:,,,共线,不能作为基底. 选项C:是零向量,零向量与任意向量共线,不能作为基底. 选项D:,,,不共线,可以作为基底. 2．已知向量，，，若，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】向量垂直等价于向量数量积等于零，利用向量的坐标运算即可. 【详解】由题意可知，， 由，得， 解得. 3．已知平面向量，，且，则（ ） A． B．4 C． D．24 【答案】C 【分析】由，得到，通过即可求解. 【详解】因为， 所以， 又，则， 所以， 所以， 所以， 故选：C 4．如图，在中，，，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解. 【详解】在中，， ， 又，，， ， ，. 故选：D. 5．在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（ ） A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 【答案】A 【分析】根据平行四边形法则，结合合力与分力的关系、余弦函数的单调性逐一判断即可. 【详解】设，，， 由题意可得：四边形为菱形且，， 因为与的夹角为，， 则， 即. 对于，当时，， 则，即正确； 对于，当时，， 则，即错误； 对于，，当取最大值时，有最小值， 又，即当时，取不到最小值，即错误； 对于，越小，越大，越小，越大，越小，越大，即错误． 故选： 6．如图所示，在矩形中，，点在边上运动（包含端点），则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为坐标原点建立直角坐标系，设，得，根据的范围即可求出的范围. 【详解】 以为坐标原点，建立如图所示直角坐标系， 因为在矩形中，， 则， 又点在边上运动（包含端点）， 设，则， ， 则， 因为，所以， 故选：D. 二、多选题 7．已知向量，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则在上的投影向量为 【答案】BCD 【分析】根据向量平行时坐标的关系，代数计算，可判断A的正误；根据向量垂直时坐标的关系，代数计算，可判断B的正误；根据求模公式，结合条件，代数计算，可判断C的正误；根据投影向量的求法，代数计算，可判断D的正误. 【详解】选项A：若，则，即，故A错误； 选项B：若，则，解得，故B正确； 选项C：若，则，解得，即，故C正确； 选项D：若，则， 所以在上的投影向量为，故D正确. 故选：BCD 8．已知向量，则（ ） A． B．当时， C．当时， D．的最大值为7 【答案】ACD 【分析】根据向量的模的公式判断A；根据判断B；根据向量平行的坐标运算判断C；根据三角不等式判断D. 【详解】因为，所以，故A正确； 当时，，即， 因为，得，B错误； 当时，满足，即，C正确； ，故的最大值为7，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 9．如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为______. 【答案】/0.25 【分析】由题意，可根据向量运算法则得到，从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t的值． 【详解】由题意及图，， 又，所以， 所以， 又，所以，解得m，t． 故答案为：． 10．设点在内部，且，则与的面积之比是______． 【答案】3 【分析】根据条件，确定点的位置，再求两三角形的面积之比. 【详解】如图： 由， 得， 从而（为的中点，为的中点）， 即， 所以为中位线的三等分点. 故． 即. 故答案为：3 四、解答题 11．如图，在梯形中，，，点是线段的中点.点是线段上的点，且. (1)用，表示，； (2)求证：，，三点共线. 【答案】(1)； (2)证明过程见解析 【分析】（1）根据向量的加法及数乘运算，结合相反向量求解即可. （2）由向量线性运算可得，，再利用向量共线的判定定理证明即可. 【详解】（1）因为点是线段的中点，所以. 因为，，所以. . . （2）因为，所以. . . 所以，即与共线. 又两向量有公共点，所以，，三点共线. 12．如图，已知与的夹角为，，，，，与相交于点. （1）求； （2）求与的夹角的余弦值. 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据题意，分析可得，由数量积的运算性质计算可得答案； （2）根据题意，设与的夹角为，则与的夹角也是，分析有，求出、的值，由向量夹角公式计算可得答案． 【详解】（1）根据题意，，即是的中点，则， 则，则； （2）设与的夹角为，则与的夹角也是， ， 则， ， 则． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．如图，在梯形中，，，，若是线段上的动点，且，则的最小值为（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，由平面向量数量积的坐标表示求得数量积，再结合二次函数知识得取值范围． 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， ，， 设，则（其中）， ， ， 所以，当时，取得最小值11. 故选：C 2．在菱形中，，，E为边上的动点（包括端点），F为的中点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由，，结合数量积的运算律即可求解. 【详解】设， 则， 由为的中点，得， 在菱形中，，， 所以，， 所以， 故选：D 3．已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最小值是（ ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算，再结合三点共线的性质，即可得，然后利用代换，结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】 由是边上靠近的三等分点， 可得：， 又因为，所以， 又因为三点共线，所以 又因为， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以的最小值为， 故选：C 4．（多选）定义：两个向量的叉乘的模，则下列命题正确的是（ ） A．若平行四边形的面积为4，则 B．在正中，若，则 C．若，，则的最小值为12 D．若，，且为单位向量，则的值可能为 【答案】ABD 【分析】根据两个向量叉乘的模的定义及向量数量积的运算逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为平行四边形的面积为4，所以， 所以，故A正确； 对于B，因为， 所以，所以B正确； 对于C，因为，，所以，， 所以，因为，所以，所以， 所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，所以C错误； 对于D，若，，且为单位向量， 则当，，，时，， ， 此时，所以D正确. 故选：ABD. 5．已知平面向量，且与的夹角为，若，则的最小值为_______. 【答案】 【分析】根据模长公式，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】根据题意， ， 故当时，的取最小值. 故答案为： 6．已知为平面内不共线的三点，表示的面积 （1）若求； （2）若，，，证明:； （3）若，，，其中，且坐标原点恰好为的重心，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）；（2）详见解析；（3）是定值，值为，理由见解析. 【分析】（1）已知三点坐标，则可以求出三边长度及对应向量，由向量数量积公式可以求出夹角余弦值，从而算出正弦值，利用面积公式完成作答； （2）和（1）的方法一样，唯独不同在于（1）是具体值，而（2）中是参数，我们可以把参数当做整体（视为已知）能处理； （3）由恰好为的正心可以获取，而可以借助（2）的公式直接运用，本题也就完成作答. 【详解】（1）因为， 所以，， 所以 因为，所以， 所以 （2）因为，所以 所以 因为 所以 所以 所以； （3）因为为的重心，所以 由(1)可知 又因为为的重心，所以， 平方相加得:，即， 所以 所以， 所以是定值，值为 【点睛】已知三角形三点，去探究三角形面积问题，通过向量数量积为载体，算出相对应边所在向量的模长、夹角余弦值，进一步算出正弦值，从而算出面积，这三问存在层层递进的过程，从特殊到一般慢慢设问，非常好的一个探究性习题. 21 / 66 学科网（北京）股份有限公司 $