解三角形的实际应用3种高频考法专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

解三角形的实际应用3种高频考法专项训练 解三角形的实际应用3种高频考法专项训练 考点目录 距离测量问题 高度测量问题 角度测量问题 考点一 距离测量问题 例1．（2026·贵州黔东南·模拟预测）一艘轮船从A处出发，沿着正东方向行驶到B处，再从B处向北偏西30°方向行驶千米到达C处，此时，C处在A处的东北方向，则A、C两处之间的距离是（   ） A．30千米 B．千米 C．千米 D．千米 例2．（25-26高二上·湖南衡阳·月考）如图，施工队计划在一座大山中挖通一条隧道，需要确定隧道的长度，工程人员测得隧道两端的A,B两点到C点的距离分别为，，且，则隧道的长度为（   ） A．km B．km C．km D．km 例3．（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）如图所示为起重机装置示意图，支杆，吊杆，吊索，起吊的货物与岸的距离AD为_________m． 例4．（2025·广东梅州·模拟预测）位于灯塔的正西方向且相距50海里的处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔的东北方向的处有一艘乙船在甲船的北偏东方向上，则乙船前往支援处的甲船需要航行的最短距离是______海里. 变式1．（25-26高二上·广东深圳·期中）位于某海域的甲船发现，在其北偏东方向有一座灯塔，甲船沿着北偏东方向行驶海里之后，发现该灯塔在正东方向，那么此时甲船距离灯塔（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 变式2．（24-25高一下·浙江杭州·期中）位于P处的雷达接收到在其正东方向相距海里的B处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于P处雷达北偏东且与P处雷达相距30海里的M处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一下·山东淄博·月考）如图，风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树，记作，湖岸部分地方围有铁丝网不能通过.欲测量两棵树和两棵树之间的距离，现可测得两点间的距离为，.则两棵树和两棵树之间的距离分别为__________､__________. 变式4．（24-25高一下·广东汕头·期末）甲船在岛B的正南A处，，甲船以每小时4 km的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6 km的速度向北偏东的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是___________ h，最近距离是__________ km． 考点二 高度测量问题 例1．（25-26高一下·重庆江津·月考）重庆江津区京师实验学校校内“木铎金声钟”雕塑，该雕塑钟原型为北京师范大学本部“木铎金声一百年”的纪念雕塑，木铎金声，寓意传播知识、启迪心智、匡正风气，承载着“为民族复兴办教育”的担当，更与学校“本德宗道、兼济天下”的校训一脉相承，也寄寓着对京师学子治学修身、以德立身、心怀家国的殷切期许．我校高一年级的刘同学为了测量木铎钟高度，设木铎钟加底座高为，在与点同一水平面旁边小路上且共线的三点处分别测得顶点的仰角为，且，则木铎金声钟的高约为（    ）（参考数据：，，） A．5.20m B．7.35m C．8.20m D．10.39m 例2．（25-26高一下·江苏镇江·月考）为了测量河对岸一古树高度（如图），某同学选取与树底在同一水平面内的两个观测点与,得 ,在点处测得树顶的仰角为,树高 约为米，则（    ）. A．米 B．米 C．米 D．米 例3．（25-26高一下·上海浦东新·月考）10世纪阿拉伯天文学家阿尔·库希设计出一种方案，通过两个观察者异地同时观测同一颗流星来测定流星的高度．如图，设有两个观察者在地球上A、B两地同时观察到一颗流星S，仰角分别是和（，表示当地的地平线）．设，，，地球的半径，则流星的高度约为______________（精确到）． 例4．（2025·广东深圳·模拟预测）某登山队在山脚营地A处，测得山顶Q位于其正东方向，且仰角为，该队继续沿南偏西的方向行进400米至营地B处，测得山顶Q的仰角为，则该山顶高于山脚的高度为______米．（结果保留整数，参考数据） 变式1．（2026·陕西商洛·二模）某数学研究小组为实地测算天汉楼高度，在楼前广场选取两个测量点，两点与天汉楼底部中心在同一水平面上（O为楼顶在底面的投影）．测得以下数据：米，，且从点测得的仰角满足．则天汉楼主体高度约为（     ） A．45米 B．46米 C．69米 D．70米 变式2．（25-26高二上·云南曲靖·月考）如图，公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上．一人在公路上向东行走，在点A处测得楼顶的仰角为45°，行走80米到点B处，测得仰角为30°，再行走80米到点C处，测得仰角为，则（   ）    A． B． C． D． 变式3．（25-26高一下·山东淄博·月考）某校兴趣小组想要测量宁德市海慧塔的高度，在塔附近选取了相距60米的，（与该塔的塔底在同一水平面上）两个测量点，从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为，且，则这座塔的高度______ 变式4．（24-25高一下·贵州黔东南·期末）相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），为了测量该楼的高度，一研究小组选取了与该楼底部B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，，在C点处测得该楼顶端A的仰角为60°，则该楼的高度为______m. 考点三 角度测量问题 例1．（24-25高二上·浙江·开学考试）某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则（    ） A． B． C． D． 例2．（24-25高一下·浙江温州·期中）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（   ） A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 例3．（24-25高一下·福建福州·月考·多选）一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东，距离12海里，灯塔C在A的北偏西，距离为12海里，该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东方向，下面结论正确的有（    ） A． B． C．或 D． 例4．（25-26高一下·湖北襄阳·月考）海军某登陆舰队在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东50°方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东70°方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给．若舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则______． 变式1．（25-26高三上·山东泰安·月考）公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一水平面上.某人在点处测得楼顶的仰角为，他在公路上自西向东行走，行走60米到点处，测得仰角为，沿该方向再行走60米到点处，测得仰角为.则（    ） A． B．3 C． D． 变式2．（24-25高一下·重庆·期中）一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（　　） A．正西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向 变式3．（24-25高一下·广东广州·月考·多选）装货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东，距离为海里；在A处看灯塔C在货轮的北偏西，距离为海里.货轮自A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东，则下列说法正确的是（    ） A．A处与D处之间的距离是24海里 B．灯塔C与D处之间的距离是海里 C．灯塔C在D处的西偏南 D．D在灯塔B的北偏西 变式4．（25-26高二上·河北邢台·开学考试）某斜面上有两根长为3米的垂直于水平面放置的杆子，杆子与斜面的接触点分别为，某时刻它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光，其中一根杆子的影子在水平面上，长度为1.5米，另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为米，斜面的底角为，则__________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $解三角形的实际应用3种高频考法专项训练 解三角形的实际应用3种高频考法专项训练 考点目录 距离测量问题 高度测量问题 角度测量问题 考点一 距离测量问题 例1．（2026·贵州黔东南·模拟预测）一艘轮船从A处出发，沿着正东方向行驶到B处，再从B处向北偏西30°方向行驶千米到达C处，此时，C处在A处的东北方向，则A、C两处之间的距离是（   ） A．30千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】B 【详解】如图，由题意可知千米，，， 则由正弦定理知千米. 例2．（25-26高二上·湖南衡阳·月考）如图，施工队计划在一座大山中挖通一条隧道，需要确定隧道的长度，工程人员测得隧道两端的A,B两点到C点的距离分别为，，且，则隧道的长度为（   ） A．km B．km C．km D．km 【答案】D 【分析】由余弦定理计算可得结果. 【详解】由余弦定理可知，，则隧道的长度为km. 故选：D. 例3．（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）如图所示为起重机装置示意图，支杆，吊杆，吊索，起吊的货物与岸的距离AD为_________m． 【答案】 【分析】利用余弦定理求出的值，即可求出的值，进而可得的值，再解直角三角形，即得答案. 【详解】在中，，，， 故， 故， ， 在中，， 故答案为： 例4．（2025·广东梅州·模拟预测）位于灯塔的正西方向且相距50海里的处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔的东北方向的处有一艘乙船在甲船的北偏东方向上，则乙船前往支援处的甲船需要航行的最短距离是______海里. 【答案】 【分析】根据题设画出示意图，利用正弦定理可得. 【详解】依题意，画出示意图如下，，， 在中，，由正弦定理得， 因此（海里）， 故答案为：. 变式1．（25-26高二上·广东深圳·期中）位于某海域的甲船发现，在其北偏东方向有一座灯塔，甲船沿着北偏东方向行驶海里之后，发现该灯塔在正东方向，那么此时甲船距离灯塔（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】B 【分析】根据题意得如图，，，利用正弦定理即可求解. 【详解】如图，，， 由正弦定理得，， 所以. 故此时甲船距离灯塔海里. 故选：B. 变式2．（24-25高一下·浙江杭州·期中）位于P处的雷达接收到在其正东方向相距海里的B处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于P处雷达北偏东且与P处雷达相距30海里的M处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意利用余弦定理可解. 【详解】题意如图，    当甲船沿航行时，航行的里数最少. 由题意，，在中，根据余弦定理可得： ， 所以. 即甲船至少需要航行的海里数为. 故选：B. 变式3．（25-26高一下·山东淄博·月考）如图，风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树，记作，湖岸部分地方围有铁丝网不能通过.欲测量两棵树和两棵树之间的距离，现可测得两点间的距离为，.则两棵树和两棵树之间的距离分别为__________､__________. 【答案】 【分析】利用正弦定理、余弦定理求解即可. 【详解】在中， ， 根据正弦定理，代入，，， 得，解得. 在中，，，， 所以，且， 根据余弦定理，在中，， 代入得， 因此. 故答案为：. 变式4．（24-25高一下·广东汕头·期末）甲船在岛B的正南A处，，甲船以每小时4 km的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6 km的速度向北偏东的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是___________ h，最近距离是__________ km． 【答案】 【分析】假设t小时后甲船行驶到D处，乙船行驶到C处，得到，然后在中，利用余弦定理求解即可. 【详解】如图，假设t小时后甲船行驶到D处，乙船行驶到C处，此时两船相距最近， 则， 在中，由余弦定理得， 所以当，即航行时间为小时时，最小，即甲、乙两船相距最近， 最近距离是． 故答案为：；. 考点二 高度测量问题 例1．（25-26高一下·重庆江津·月考）重庆江津区京师实验学校校内“木铎金声钟”雕塑，该雕塑钟原型为北京师范大学本部“木铎金声一百年”的纪念雕塑，木铎金声，寓意传播知识、启迪心智、匡正风气，承载着“为民族复兴办教育”的担当，更与学校“本德宗道、兼济天下”的校训一脉相承，也寄寓着对京师学子治学修身、以德立身、心怀家国的殷切期许．我校高一年级的刘同学为了测量木铎钟高度，设木铎钟加底座高为，在与点同一水平面旁边小路上且共线的三点处分别测得顶点的仰角为，且，则木铎金声钟的高约为（    ）（参考数据：，，） A．5.20m B．7.35m C．8.20m D．10.39m 【答案】B 【分析】设，通过仰角分别得到，再通过，结合余弦定理代入数据求解即可. 【详解】设木铎钟总高 ，因为 水平面， 在 点仰角 ：， 在 点仰角 ：， 在 点仰角 ：，​ 又，即 ， 是 中点， 在中，， 在中，， 因为，所以， 则， 即，又， 得， 化简可得： ， 代入各表达式： ，​ 化简计算： ， 因此木铎金声钟的高约为 . 例2．（25-26高一下·江苏镇江·月考）为了测量河对岸一古树高度（如图），某同学选取与树底在同一水平面内的两个观测点与,得 ,在点处测得树顶的仰角为,树高 约为米，则（    ）. A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】先通过直角三角形的三角函数求出的长度，再在中用正弦定理即可求出. 【详解】在中，， 因为，所以米， 又因为，所以， 根据正弦定理：，即， 又因为，所以. 例3．（25-26高一下·上海浦东新·月考）10世纪阿拉伯天文学家阿尔·库希设计出一种方案，通过两个观察者异地同时观测同一颗流星来测定流星的高度．如图，设有两个观察者在地球上A、B两地同时观察到一颗流星S，仰角分别是和（，表示当地的地平线）．设，，，地球的半径，则流星的高度约为______________（精确到）． 【答案】 【分析】利用正弦定理，结合三角函数恒等变换求解即可. 【详解】已知弧长，地球的半径，设圆心角为， 则， 仰角，是视线与地平线的夹角，而地平线垂直于地球半径， 视线与半径的夹角分别为， ， 设为流星的高度，则地心到流星的距离， 在中，①， 在中，②， 且③， 设，由①可得， 由②可得， 由③可得， ，， ， ，化简得，解得， ，解得． 例4．（2025·广东深圳·模拟预测）某登山队在山脚营地A处，测得山顶Q位于其正东方向，且仰角为，该队继续沿南偏西的方向行进400米至营地B处，测得山顶Q的仰角为，则该山顶高于山脚的高度为______米．（结果保留整数，参考数据） 【答案】693 【分析】画出图形，作出辅助线，设米，表达出各边长，由余弦定理得到方程，求出，得到答案. 【详解】如图，过点作⊥平面于点，则即为山顶高于山脚的高度， 由题意得米，， 设米，则，， 其中， 在中，由余弦定理得， 即，即， 解得， 则该山顶高于山脚的高度为693米. 故答案为：693 变式1．（2026·陕西商洛·二模）某数学研究小组为实地测算天汉楼高度，在楼前广场选取两个测量点，两点与天汉楼底部中心在同一水平面上（O为楼顶在底面的投影）．测得以下数据：米，，且从点测得的仰角满足．则天汉楼主体高度约为（     ） A．45米 B．46米 C．69米 D．70米 【答案】C 【详解】在中，由正弦定理得， 所以米， 由，得米. 所以天汉楼主体高度约为69米. 变式2．（25-26高二上·云南曲靖·月考）如图，公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上．一人在公路上向东行走，在点A处测得楼顶的仰角为45°，行走80米到点B处，测得仰角为30°，再行走80米到点C处，测得仰角为，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题图，应用余弦定理及得到，进而求出，最后由即可得. 【详解】由为楼脚，长为楼高，则，易得． 由，， 又，两式相加得， 所以30800，则，故. 故选：C 变式3．（25-26高一下·山东淄博·月考）某校兴趣小组想要测量宁德市海慧塔的高度，在塔附近选取了相距60米的，（与该塔的塔底在同一水平面上）两个测量点，从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为，且，则这座塔的高度______ 【答案】米 【分析】设塔高，利用仰角关系将用表示，再在中应用余弦定理列方程求解正根得到塔高. 【详解】设塔高米，由题意平面，因此： 在中，点仰角为，，得； 在中，点仰角为，，得； 在 中，已知，， 由余弦定理得， 得， 化简得一元二次方程：， 解得 或（舍去），即塔高为30米. 变式4．（24-25高一下·贵州黔东南·期末）相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），为了测量该楼的高度，一研究小组选取了与该楼底部B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，，在C点处测得该楼顶端A的仰角为60°，则该楼的高度为______m. 【答案】 【分析】先由正弦定理求出，然后在直角中即可求解. 【详解】中，由正弦定理得， 所以， 直角中，. 故答案为：. 考点三 角度测量问题 例1．（24-25高二上·浙江·开学考试）某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件得到为等腰三角形，得出，根据正弦定理得出，因为，所以为直角三角形，所以. 【详解】已知，则. 所以，即为等腰三角形. 所以. 根据正弦定理：. 因为，所以，为直角三角形. 所以. 故选：D. 例2．（24-25高一下·浙江温州·期中）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（   ） A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 【答案】D 【分析】由正弦定理可得，由余弦定理得，由正弦定理得，即可求. 【详解】如图， 由题意，在中，，，， 则为正三角形，则， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以，故， 此时灯塔C位于渔船的北偏东方向. 故选：D. 例3．（24-25高一下·福建福州·月考·多选）一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东，距离12海里，灯塔C在A的北偏西，距离为12海里，该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东方向，下面结论正确的有（    ） A． B． C．或 D． 【答案】ABD 【分析】先根据题意画出平面图，再根据正、余弦定理解三角形即可得答案. 【详解】解：如图：在中，， 由正弦定理有， ，故A正确. 在中，由余弦定理得， 因为， 所以，故B正确 由正弦定理得， 所以，故或者， 因为，故为锐角，所以，故C不正确，D正确. 故选：ABD. 例4．（25-26高一下·湖北襄阳·月考）海军某登陆舰队在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东50°方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东70°方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给．若舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则______． 【答案】 【详解】 如图，设舰艇经过小时后在处与舰艇汇合，则. 根据余弦定理得， 解得或（舍去）， 故.由正弦定理得， 解得 变式1．（25-26高三上·山东泰安·月考）公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一水平面上.某人在点处测得楼顶的仰角为，他在公路上自西向东行走，行走60米到点处，测得仰角为，沿该方向再行走60米到点处，测得仰角为.则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】画出相应图形后计算出点到该楼的距离，结合勾股定理与正弦定义计算即可得. 【详解】如图所示，由题意有，， 则有，故， 则， 故， 则. 故选：A. 变式2．（24-25高一下·重庆·期中）一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（　　） A．正西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向 【答案】C 【分析】利用正弦定理、余弦定理求得正确答案. 【详解】如图，在中，，由正弦定理得， 在中，由余弦定理得， 因为，所以解得， 由正弦定理得，故或， 因为，故为锐角，所以， 此时灯塔位于游轮的南偏西方向. 故选：C 变式3．（24-25高一下·广东广州·月考·多选）装货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东，距离为海里；在A处看灯塔C在货轮的北偏西，距离为海里.货轮自A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东，则下列说法正确的是（    ） A．A处与D处之间的距离是24海里 B．灯塔C与D处之间的距离是海里 C．灯塔C在D处的西偏南 D．D在灯塔B的北偏西 【答案】ABC 【分析】根据题意作出图形，然后在中，结合正弦定理得求出，在中，由余弦定理得，然后求出相关角度，进而逐项分析即可. 【详解】根据题意作出图形：    由货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东，距离为海里，得，， 又在A处看灯塔C在货轮的北偏西，距离为海里，得，， 又货轮自A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东，得， 所以在中，. 对于A：在中，由正弦定理得， 所以（海里)，故A正确； 对于B：在中，由余弦定理得， 即（海里)，故B正确； 对于C：因为，所以， 所以灯塔在处的南偏西方向，即灯塔C在D处的西偏南，故C正确； 对于D：由，在灯塔的南偏东处，在灯塔的北偏西处，故D错误. 故选：ABC. 变式4．（25-26高二上·河北邢台·开学考试）某斜面上有两根长为3米的垂直于水平面放置的杆子，杆子与斜面的接触点分别为，某时刻它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光，其中一根杆子的影子在水平面上，长度为1.5米，另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为米，斜面的底角为，则__________． 【答案】 【分析】先根据在A处的杆算出阳光和水平面的夹角，然后结合B处的杆，以及正弦定理算出斜面角. 【详解】如图，、分别为杆，、为平行的阳光，、分别为杆的影子， 设阳光与水平面所成角为，则， ，， 在中，由正弦定理可得 即， 由可得，， 代入可得，，， 则， 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $