解三角形：证明三角形中的不等式或恒等式、几何图形中的计算专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

解三角形：证明三角形中的不等式或恒等式、几何图形中的计算专项训练 解三角形：证明三角形中的不等式或恒等式、几何图形中的计算专项训练 考点目录 证明三角形中的不等式或恒等式 几何图形中的计算 考点一 证明三角形中的不等式或恒等式 例1．（25-26高一下·山东青岛·月考·多选）在锐角中，角，，对应的边分别为，，，若，则（   ） A．的最小值为 B． C．中线的长度为 D． 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式即可判定A，利用余弦定理得，进而利用三角恒等变换和正弦定理和余弦定理即可判定B，利用向量和数量积即可判定C，利用B选项结合基本不等式即可判定D. 【详解】对于A：由，即， 当，即时，等号成立，故A正确； 对于B：由余弦定理有：，解得， 由 ， 由正弦定理得：， 又由余弦定理得， 所以 ，故B正确； 对于C：由，所以 ，所以，故C错误； 对于D：由选项B有①， 又，所以， 又②， 由①②有：，又由选项A有，且为锐角， 所以，所以， 所以，又为锐角三角形，所以， 所以， 所以，当时，等号成立，故D正确. 例2．（24-25高一下·青海海南·期末·多选）已知非等腰三角形的内角分别为，若，则下列结论可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由，可得，，和，四种情况讨论，结合选项，即可求解. 【详解】因为，可得，由，可得以下情况：①若，即，这与是非等腰三角形矛盾，不符合题意； ②若，即，此时，所以A正确； ③若，若，则，所以B正确， 若，则； ④若，即，此时，所以C正确， 由，可得，即，不符合题意， 或，即，此时，所以D不正确. 故选：ABC. 例3．（24-25高一下·安徽·月考·多选）在中，角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的外接圆的面积为 B．若，则满足条件的三角形有两个 C．若为锐角三角形，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】应用正弦定理有，进而求外接圆的面积判断A；应用正弦定理判断三角形个数判断B；由锐角三角形及诱导公式有、判断C；假设为钝角即可判断D. 【详解】因为，所以（为外接圆的半径）， 所以，故的外接圆的面积为，故A正确； 若，则，所以无解，故B错误； 若为锐角三角形，则，所以， 所以，同理， 所以，故C正确； 若为钝角，显然满足，但，不满足，故D错误. 故选：AC 例4．（25-26高一下·河南平顶山·月考）在中，角，，的对边分别是，，，且. (1)证明：. (2)若，，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)14 【详解】（1）解法一：因为， 所以，     即，     所以，即. 解法二：因为， 所以. 因为，所以，     所以，由正弦定理可得， 再利用余弦定理得， 所以，即. （2）由余弦定理可得，则. 由（1）可知，即，则. 因为，     所以. 变式1．（25-26高一下·江苏常州·月考·多选）在中，角所对的边分别为，下列说法正确的有（    ） A． B．若，则为锐角三角形 C．若，则 D．若，则为钝角三角形 【答案】ACD 【分析】作图分析，结合解直角三角形判断A；利用余弦定理判断B；利用正弦定理判断C；利用诱导公式以及余弦函数的单调性可判断D。 【详解】对于A，在中，作于D， 则,即，即，A正确； 对于B，由得， 结合，可知A为锐角，但不能确定B，C角的大小， 故不能确定为锐角三角形，B错误； 对于C，若，由正弦定理可得，则，C正确； 对于D，若，由于，则A为锐角； 若B为锐角，则，可得，则， 故为钝角三角形； 若B为钝角，则，可得，则，适合题意， 此时为钝角三角形； 综合以上可知为钝角三角形，D正确， 故选：ACD 变式2．（24-25高一下·浙江丽水·期中·多选）已知钝角中，若，则下列命题中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】对于A，根据三角形内角的性质，结合正弦函数的单调性，利用分类讨论思想，可得答案；对于B，根据余弦函数的性质，结合钝角三角形的性质，可得答案；对于C，根据余弦函数的单调性，可得答案；对于D，利用特殊反例，可得答案. 【详解】对于A，由题意可知，且，则， 当为锐角时，由在上单调递增，则， 当为钝角时，即，则，所以，故A正确； 对于B，当为钝角时，则，此时，故B错误； 对于C，由题意可知，且函数在上单调递减，则，故C正确； 对于D，当，，时，符合题意， 则，，即，故D错误. 故选：AC. 变式3．（24-25高二上·福建福州·月考·多选）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列与有关的结论，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则是等腰直角三角形 C．若是锐角三角形，则 D．若为非直角三角形，则 【答案】CD 【分析】A由正弦定理有，代入目标式即可判断；B正弦边角关系及三角恒等变换得，结合三角形内角性质即可判断；C由题设且都为锐角即可判断；D利用商数关系、和差角正余弦公式化简判断是否与右侧相等. 【详解】A：由，则，错； B：，而， 所以或，即是等腰三角形或直角三角形，错； C：由锐角三角形知：，故，对； D： ，对. 故选：CD 变式4．（2026·安徽合肥·一模）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)求内角的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）先由题意结合诱导公式得到，再由余弦定理角化边即可求证； （2）由（1）结合余弦定理和基本不等式求出的最小值即可由余弦函数性质得解. 【详解】（1）证明：因为， 所以由题得，即， 由余弦定理可得，所以． （2）由（1）知，所以， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为，， 所以内角的最大值为． 考点二 几何图形中的计算 例1．（25-26高一下·江苏苏州·月考）在中，． (1)若，求的值和的面积； (2)若，求角的大小； (3)若的周长为，求的面积． 【答案】(1)，； (2) (3). 【分析】（1）由余弦定理求的值，利用面积公式求解三角形的面积 （2）求得，，利用，求解即可. （3）由的周长为，可得，结合余弦定理可得，并求得，代入面积公式求解即可. 【详解】（1）由余弦定理可得， 即， 整理得， 解得(负根舍去)； 因为， 所以， 所以； （2）因为，， 所以，， 所以 ， 又因为， 所以； （3）因为的周长为， 所以， 所以， 由余弦定理可得， 即， 所以， 解得， 又因为， 所以； 例2．（25-26高一下·浙江·期中）在中，角所对的边分别是，且. (1)求； (2)若是边上靠近的三等分点，，，求的面积； (3)若是的角平分线，，，求的长. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合三角恒等变换得，再根据三角函数性质即可求得； （2）由题意，进而根据向量模的关系求得，再计算面积即可； （3）根据题意，结合得，再根据余弦定理求解即可. 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理可得， 所以， 所以， 又因为，所以， 所以，又因为，所以， 所以，故； （2）解：因为是边上靠近的三等分点， 所以， 所以， 又因为，，， 所以，化简得， 即，解得或（舍去）， 所以； （3）解：已知平分，且，故， 由 得； 将 ，代入得 ，解得 ∵ ∴ 例3．（25-26高一下·山东青岛·月考）的内角，，的对边分别为，，，. (1)求角； (2)若，边的中线长，求的周长. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正弦定理的变形边化角公式，同角关系式中的商式关系，两角和的正弦公式和诱导公式进行整理化简得到所求； （2）先在中利用余弦定理得到的值，再由的值和角的大小得到是等边三角形，从而得到的值，继而得到的周长. 【详解】（1），， ， ， ①， ，， ①转化为， ， ， ②， ，， ②转化为， ，，； （2）在中， ，，为的中点，， ， ，，， 在中，，，， 为等边三角形，，的周长为. 例4．（25-26高三下·河北沧州·月考）在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的角平分线的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据正弦定理将已知等式的角化为边，再结合余弦定理求出角； （2）先根据三角形面积公式求出 的值，再利用角平分线的性质和三角形面积公式求出角平分线的长度. 【详解】（1）由正弦定理可得：，即 ，化简可得， 由余弦定理 . 因为 ，所以 . （2）根据三角形面积公式 ，可得：， 即 ，化简可得 ，解得 . 因为 是角平分线，所以 . 由 得：. ， 解得 . 变式1．（2026·陕西·二模）在中，内角所对的边分别为，，为的角平分线，且． (1)若，求的大小； (2)设为中点，连接，面积取得最小值时，求线段的长度. 【答案】(1)； (2)2 【分析】（1）由正弦定理得到，根据，结合三角形面积公式建立关于的方程，再结合余弦定理求解； （2）同（1）建立关于的方程，再结合基本不等式求解最值，进而根据等腰三角形性质求解即可. 【详解】（1）因为，由正弦定理得. 因为的角平分线交于点，所以， 由，得， 则， 即，所以. 在中，由余弦定理得， 即； （2）由，得， 得， 化简得，即， 所以，即， 当且仅当时等号成立，取得最小值，面积取得最小值， 此时为等腰三角形，为中点，则既是中线也是角平分线. 即重合，故. 变式2．（25-26高三下·江苏扬州·开学考试）已知中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若边，，边上存在一点，满足，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理和两角和差的正弦公式，同角关系式求解. （2）法一：由得到，两边平方求出；法二：由余弦定理得到，从而得到.利用正弦定理得到， 由利用三角形面积公式求出. 【详解】（1）因为， 所以， 因为，所以，又，所以， 因为，所以，所以，所以，所以. （2）法一： 在边上，且，所以. ， ，， ， 所以， 法二： 由余弦定理得，所以，所以. 因为，所以， 所以，在直角三角形中，. 在和中，分别由正弦定理得： ， 因为，，，所以， 又因为均为三角形的内角，所以， 因为，所以. 由， 得， 即， ，，，， ， . 变式3．（25-26高三下·重庆·月考）在中，A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知，，点D在线段BC上，且． (1)当时，求的长； (2)当时，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据条件求出C，再利用垂直条件得B的正弦值和余弦值，最后用正弦定理求的长. （2）设b和三等分长，先用余弦定理求互补角的余弦值建立未知数等式，再联立C的余弦定理求出b，最后用面积公式求解. 【详解】（1）化简： 因为， . 在中，， 由正弦定理求解：， 即， 所以. （2）由条件可设，由余弦定理可得，， 因为， 所以①. 在中，②， 将①代入②得. 由面积公式得. 变式4．（2026·安徽芜湖·一模）已知的内角的对边分别为，满足. (1)求； (2)若，求的周长. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由正弦边角关系及三角形内角的性质化简条件得，即可求； （2）由余弦定理及已知得，进而即得. 【详解】（1）由及正弦边角关系得， 而，整理得， 因为，所以； （2）由余弦定理，得， 进而得，得， 所以的周长为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $解三角形：证明三角形中的不等式或恒等式、几何图形中的计算专项训练 解三角形：证明三角形中的不等式或恒等式、几何图形中的计算专项训练 考点目录 证明三角形中的不等式或恒等式 几何图形中的计算 考点一 证明三角形中的不等式或恒等式 例1．（25-26高一下·山东青岛·月考·多选）在锐角中，角，，对应的边分别为，，，若，则（   ） A．的最小值为 B． C．中线的长度为 D． 例2．（24-25高一下·青海海南·期末·多选）已知非等腰三角形的内角分别为，若，则下列结论可能正确的是（    ） A． B． C． D． 例3．（24-25高一下·安徽·月考·多选）在中，角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的外接圆的面积为 B．若，则满足条件的三角形有两个 C．若为锐角三角形，则 D．若，则 例4．（25-26高一下·河南平顶山·月考）在中，角，，的对边分别是，，，且. (1)证明：. (2)若，，求的值. 变式1．（25-26高一下·江苏常州·月考·多选）在中，角所对的边分别为，下列说法正确的有（    ） A． B．若，则为锐角三角形 C．若，则 D．若，则为钝角三角形 变式2．（24-25高一下·浙江丽水·期中·多选）已知钝角中，若，则下列命题中正确的是（    ） A． B． C． D． 变式3．（24-25高二上·福建福州·月考·多选）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列与有关的结论，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则是等腰直角三角形 C．若是锐角三角形，则 D．若为非直角三角形，则 变式4．（2026·安徽合肥·一模）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)求内角的最大值． 考点二 几何图形中的计算 例1．（25-26高一下·江苏苏州·月考）在中，． (1)若，求的值和的面积； (2)若，求角的大小； (3)若的周长为，求的面积． 例2．（25-26高一下·浙江·期中）在中，角所对的边分别是，且. (1)求； (2)若是边上靠近的三等分点，，，求的面积； (3)若是的角平分线，，，求的长. 例3．（25-26高一下·山东青岛·月考）的内角，，的对边分别为，，，. (1)求角； (2)若，边的中线长，求的周长. 例4．（25-26高三下·河北沧州·月考）在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的角平分线的长度. 变式1．（2026·陕西·二模）在中，内角所对的边分别为，，为的角平分线，且． (1)若，求的大小； (2)设为中点，连接，面积取得最小值时，求线段的长度. 变式2．（25-26高三下·江苏扬州·开学考试）已知中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若边，，边上存在一点，满足，求的长. 变式3．（25-26高三下·重庆·月考）在中，A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知，，点D在线段BC上，且． (1)当时，求的长； (2)当时，求的面积． 变式4．（2026·安徽芜湖·一模）已知的内角的对边分别为，满足. (1)求； (2)若，求的周长. 2 学科网（北京）股份有限公司 $