精品解析：山东省泰安第一中学新校区2025-2026学年高二下学期4月诊断测试数学试题

泰安一中2025-2026学年下学期4月学情检测 高二数学试题 时间：120分钟 总分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 从件不同的礼物中选出件送给位同学，不同的送法种数是（ ） A. B. C. D. 2. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象如图所示，且是的导函数，记，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数是函数的导函数，，对任意实数x都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 2024年3月，中华人民共和国全国人民代表大会与中国人民政治协商会议在北京召开（以下简称“两会”），两会结束后，5名人大代表A，B，C，D，E站成一排合影留念，则下列说法正确的是（ ） A. 若A与B相邻，则有48种不同站法 B. 若C与D不相邻，则有24种不同站法 C. 若B在E的左边（可以不相邻），则有60种不同站法 D. 若A不在最左边，D不在最中间，则有78种不同站法 6. 设，，.则（ ） A. B. C. D. 7. 函数与函数公切线的斜率为（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 设函数，若关于x的不等式有且只有三个整数解，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某工厂生产的个零件中，有件合格品，件不合格品，从这个零件中任意抽出件，则抽出的个零件中（ ） A. 都是合格品的抽法种数为 B. 恰有件不合格品的抽法种数为 C. 至少有件不合格品的抽法种数为 D. 至多有件不合格品的抽法种数为 10. 定义：设为三次函数，是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为三次函数图象的“拐点”.经过探究发现：任意三次函数图象的“拐点”是其对称中心.已知三次函数的对称中心为，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 方程有三个根 C. 存在，，，使得不等式成立，则实数的取值范围为 D. 若函数在区间上有最大值，则 11. 已知函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 在区间上单调递减 C. D. 若在区间上恰有4个零点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则_______．（用数字作答） 13. 已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围为_______． 14. 已知函数的最小值为0，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处取得极大值6. （1）求实数的值； （2）当时，求函数的最小值. 16. 某学校派出6名同学参加省教育厅主办的理科知识竞赛，分为数学竞赛，物理竞赛和化学竞赛，该校每名同学只能参加其中一个学科的竞赛，且每个学科至少有一名学生参加. （1）若参加三个学科的人数分别为2，2，2，求该校派出的6名学生总共有多少种不同的参赛方案？ （2）求该校派出的6名学生总共有多少种不同的参赛方案？ （3）若甲同学和乙同学必须选择数学竞赛，则这6名学生一共有多少种不同的参赛方案？ 17. 已知函数. （1）求函数的极值； （2）当时，不等式在上能成立，求整数k的最小值. 18. 已知函数. （1）若，求在点处的切线； （2）若有两个极值点，. （i）求a的取值范围； （ii）证明：. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，不等式恒成立，求实数a的值； （3）设不同正数m，n满足，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泰安一中2025-2026学年下学期4月学情检测 高二数学试题 时间：120分钟 总分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 从件不同的礼物中选出件送给位同学，不同的送法种数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用排列计数原理可得结果. 【详解】从件不同的礼物中选出件送给位同学，不同的送法种数是种. 故选：C. 2. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】函数的定义域为， 由， 所以该函数的单调递减区间是. 3. 函数的图象如图所示，且是的导函数，记，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把三个数值看成三个斜率，即可用数形结合比较大小. 【详解】设点 则可以把看成两点的斜率， 把看成曲线在点的切线斜率， 把看成曲线在点的切线斜率， 再作出图形进行数形结合分析： 由图可得， 即. 故选：B. 4. 已知函数是函数的导函数，，对任意实数x都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以由， 设， 所以函数是实数集上的减函数， ， 所以不等式的解集为. 5. 2024年3月，中华人民共和国全国人民代表大会与中国人民政治协商会议在北京召开（以下简称“两会”），两会结束后，5名人大代表A，B，C，D，E站成一排合影留念，则下列说法正确的是（ ） A. 若A与B相邻，则有48种不同站法 B. 若C与D不相邻，则有24种不同站法 C. 若B在E的左边（可以不相邻），则有60种不同站法 D. 若A不在最左边，D不在最中间，则有78种不同站法 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用捆绑法求A与B相邻的排法数，判断选项A；利用插空法求C与D不相邻的排法数，判断选项B；根据倍缩法求B在E的左边的排法数，判断选项C；优先考虑的位置，结合排列知识和两大计数原理求A不在最左边，D不在最中间的排法，判断选项D. 【详解】若A与B相邻，则有种不同站法，A正确； 若C与D不相邻，则有种不同站法，B错误； 若B在E的左边（可以不相邻），则有种不同站法，C正确； 若A不在最左边，D不在最中间， 当A排在最中间时，满足条件的排法有种， 当A不排在最中间时，满足条件的排法有种， 故共有种不同排法，D正确. 故选：ACD. 6. 设，，.则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数在上的单调性，即可得出、、的大小关系. 【详解】构造函数，其中，则， 令，， 所以当时，，所以在上单调递减， 故当时，，所以当时，， 所以在上单调递增，所以， 又，所以. 故选：A. 7. 函数与函数公切线的斜率为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】先设切点分别为，并通过点斜式方程写出两条切线方程，根据公切线方程得，最后计算值即可. 【详解】设切点分别为， 且导数为， 所以切斜方程为既为， 也为， 所以， 且， 所以， 所以或， 所以公切线的斜率为或. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查求公切线问题，解题关键是分别在函数上设不同切点并求切线方程，根据两切线方程一样来求解公切线斜率. 8. 设函数，若关于x的不等式有且只有三个整数解，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把不等式转化为，令，求得，令，在上单调递增，存在唯一的使得，得出函数的单调性，结合，，，，的值和题设条件，得出，求解即可. 【详解】∵，等价于. 令 则， 令，在上单调递增， 又由，， ∴存在唯一的使得， 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增， 又，，，，. 所以当有且仅有三个整数解时， 有，解得， 即实数a的取值范围是. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某工厂生产的个零件中，有件合格品，件不合格品，从这个零件中任意抽出件，则抽出的个零件中（ ） A. 都是合格品的抽法种数为 B. 恰有件不合格品的抽法种数为 C. 至少有件不合格品的抽法种数为 D. 至多有件不合格品的抽法种数为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用组合计算原理逐项判断即可. 【详解】某工厂生产的个零件中，有件合格品，件不合格品，从这个零件中任意抽出件，则抽出的个零件中， 对于A选项，都是合格品的抽法种数为，A错； 对于B选项，恰有件不合格品的抽法种数为，B对； 对于C选项，至少有件不合格品即为：件不合格品件合格品、件不合格品件合格品， 抽法种数为，C对； 对于D选项，至多有件不合格品，其反面是件合格品，抽法种数为，D对. 故选：BCD. 10. 定义：设为三次函数，是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为三次函数图象的“拐点”.经过探究发现：任意三次函数图象的“拐点”是其对称中心.已知三次函数的对称中心为，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 方程有三个根 C. 存在，，，使得不等式成立，则实数的取值范围为 D. 若函数在区间上有最大值，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出令，结合的对称中心、求出可判断A；令，求出可判断B； 设，转化为使得不等式成立，令，根据在为单调递减函数求出可判断C；利用导数求出极值，再结合图象求出可判断D. 【详解】对于A，，，令， 可得，解得，所以， 再由，解得，故A正确； 对于B，由A知，由， 即 可得，或，解得，或，， 所以方程有三个根，故B正确； 对于C， 设，则， 要使得不等式成立，即成立， 令， 可得在为单调递减函数，即， 可得，令， 由在单调递增， 可得，则实数的取值范围为，故C错误； 对于D， 令，解得，或， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 可得在处有极大值，为， 在处有极小值，为， 且由解得，或， 若函数在区间上有最大值，则， 解得，故D正确. 11. 已知函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 在区间上单调递减 C. D. 若在区间上恰有4个零点，则 【答案】AC 【解析】 【分析】 A判断偶函数只需验证 ，利用 直接代入即可； B 时去掉绝对值求导，根据 时导数符号判断单调性，核心是求导后分析 的正负； C先利用偶函数简化为 的情形，构造函数 ，通过求导严格证明 ； D利用偶函数对称性只分析 ，求导找极值点确定单调性与最值，再根据零点个数等价为直线与图像交点个数，确定 的范围. 【详解】选项A：函数定义域为，，所以是偶函数，A正确. 选项B：当时，，求导得. 当时，，即，单调递增，B错误. 选项C：由为偶函数，只需证时不等式成立. 当时，. 原不等式等价于，令， 则. ①当时，， ，故， 因此，当且仅当时取等号. ②当时，， ，故. 综上，对，，且仅时， 故在上单调递增，， 即，原不等式成立，C正确. 选项D：因为是偶函数，图象关于轴对称， 所以只需研究的单调性与取值. 当时，， 求导得. 令，由得， 在内解得唯一极值点. 当时，，，单调递增; 当时，，，单调递减. 因此在处取得极大值同时也为最大值， . 端点处函数值：，. 综上，时，从递增至最大值，再递减至； 由偶函数对称性，时，从递增至最大值，再递减至. 在上恰有个零点， 等价于与的图象在上有个不同交点. 结合图象可知：当时， 直线与在和内各有个交点，总计个零点，而非，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则_______．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【详解】由组合数的性质结合得，解得， 则． 13. 已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【详解】函数在区间上单调递增， 在上恒成立，即对任意成立， 令，则在上， 在区间上单调递减，上确界为， 不在区间内， 需满足不小于的上确界，即． 14. 已知函数的最小值为0，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】令，有，换元可得，利用函数导数判断的单调性，求得.进而有解，分类讨论和结合函数单调性求得的取值范围. 【详解】令，则，由， 换元可得，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，则. 因为函数的最小值为0，所以有解， 当时，不符合题意，当时，则，即有解. 令，则，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 所以或. 综上，的取值范围为. 【点睛】方法点睛：根据函数最小值求参数范围问题，常常构造函数结合函数导数判断函数单调性得到最值，结合参数的分类讨论得到参数范围； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处取得极大值6. （1）求实数的值； （2）当时，求函数的最小值. 【答案】（1）， （2）1 【解析】 【分析】（1）由即可求出，再由极值的定义检验即可. （2）对求导，得出的单调性和极值，结合端点值即可求出函数在的最小值. 【小问1详解】 ， 因为在处取得极大值6. 所以，得 此时， 令可得：；令可得或， 所以在上单调递减，在，上单调递增 所以在处取得极大值，符合题意， 所以. 又，所以 【小问2详解】 ，所以 列表如下： 0 1 2 3 + 0 0 + 1 极大值6 极小值5 10 由于，故时，. 16. 某学校派出6名同学参加省教育厅主办的理科知识竞赛，分为数学竞赛，物理竞赛和化学竞赛，该校每名同学只能参加其中一个学科的竞赛，且每个学科至少有一名学生参加. （1）若参加三个学科的人数分别为2，2，2，求该校派出的6名学生总共有多少种不同的参赛方案？ （2）求该校派出的6名学生总共有多少种不同的参赛方案？ （3）若甲同学和乙同学必须选择数学竞赛，则这6名学生一共有多少种不同的参赛方案？ 【答案】（1）90 （2）540 （3）50 【解析】 【分析】（1）利用组合、排列知识结合分组分配问题可得答案； （2）对参加三个学科的人数分三种情况讨论，先分组、再分配求出各组情况的方案数，最后相加； （3）对选择数学竞赛的人数分三种情况讨论，利用分步乘法计数原理与分类加法计数原理计算可得答案. 【小问1详解】 若参加三个学科的人数分别为2，2，2， 该校派出的6名学生总共有种不同的参赛方案； 【小问2详解】 若参加三个学科的人数分别为1，1，4时，共有种参赛方案； 若参加三个学科的人数分别为1，2，3时，共有种参赛方案； 若参加三个学科的人数分别为2，2，2时，共有种参赛方案； 该校派出的6名学生总共有种不同的参赛方案； 【小问3详解】 若甲同学和乙同学必须选择数学竞赛， 则余下4人参加物理竞赛和化学竞赛的分组情况有2，2和1，3， 若参加2个学科的人数分别为2，2时，共有种参赛方案； 若参加2个学科的人数分别为1，3时，共有种参赛方案； 若有3人选择数学竞赛，包括甲同学和乙同学， 则余下3人参加物理竞赛和化学竞赛的分组情况只有1，2， 则有种不同的参赛方案； 若甲、乙和另外2名同学共4人参加数学竞赛， 则余下的2人中1人参加物理竞赛，1人参加化学竞赛， 共有种参赛方案. 所以这6名学生一共种不同的参赛方案. 17. 已知函数. （1）求函数的极值； （2）当时，不等式在上能成立，求整数k的最小值. 【答案】（1）当时，无极值；当时，极大值为，无极小值. （2）5 【解析】 【分析】（1）将函数 代入 中，并对 求导，讨论导函数的正负即可得到 的单调性，进一步求函数极值； （2）参变分离，可将不等式转化为 在对任意 能成立，令，则 ，求出 即可. 【小问1详解】 依题意可得 ，所以 . ① 若 在 单调递增; ②若 ，令 ，则 ， 当 时， 在 单调递增， 当 时， 在 单调递减， 所以当时，无极值； 当时，存在极大值，无极小值. 【小问2详解】 当 时， . 因为 ，所以原不等式可化为 ， 即 在 能成立. 令 ，要使原不等式能成立，即 ， 则 ，令 . 则 ，所以 在 上单调递增. 因为 ， 所以，使 ，即 ， 当 时， ，即 ； 当 时， ，即 . 所以 在 上单调递减，在 上单调递增. 由 ，得 ， 得到 所以 ，因为 ，所以 . 18. 已知函数. （1）若，求在点处的切线； （2）若有两个极值点，. （i）求a的取值范围； （ii）证明：. 【答案】（1） （2）（i）（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，即可得解； （2）（i）对函数求导，由有两个极值点可得有两个不相等的正根，再结合韦达定理即可求解出a的范围； （ii）先化简得，借助，利用不等式的性质，可得，则可得证. 【小问1详解】 若， 所以， 故切线方程为，即. 【小问2详解】 （i）因为有两个极值点， 所以有两个不等正实数根，即有两不等正实数根， 所以， 解得， 所以的取值范围为. （ii）由（i）知， 因为，所以， 设 令，，当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以，故，当且仅当时取等号， 所以， 所以， 所以. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，不等式恒成立，求实数a的值； （3）设不同正数m，n满足，证明：． 【答案】（1）当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）1 （3）由得，两边取对数整理得， 令.则. ，在递增，递减，则 又，当， 不妨设，则. 记，，则， 在递增，则，即. 又 因为在递减，所以，则. 原命题得证. 【解析】 【分析】（1）先对求导，得到.令为分子部分，求出零点.再根据正负，分析正负，进而确定正负，得出单调性. （2）把值代入，将不等式变形.令为变形后式子，由且，可知是最大值点，所以，求出.再验证值满足条件. （3）对已知等式取对数变形，令为变形后式子.根据单调性设.要证不等式，转化为证，令为对应式子，求导判断单调性证明. 【小问1详解】 先确定定义域为， 对求导，则. 令，即，解得. 当时，在上，，即，所以在上单调递增； 在上，，即，所以在上单调递减. 当时，在上，，即，所以在上单调递减； 在上，，即，所以在上单调递增. 综上所得，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 当时，. 因为恒成立，即恒成立，等价于恒成立. 令，. 对求导得. 因为恒成立且，所以是的最大值点，则. ，解得. 当时，，再令，对求导得，所以在上单调递减. 当时，，即，单调递增； 当时，，即，单调递减.所以，满足条件，故. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $