精品解析：湖南长沙市明达高级中学2025-2026学年高一下学期4月月考数学试卷

明达中学2026上学期高一4月月考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以， 所以复数的虚部为． 2. 已知复数，，且为纯虚数，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用共轭复数及复数乘法运算求出a值，再求出复数模作答. 【详解】复数，，则， 依题意，，解得，即， 所以. 故选：C 3. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D. 零向量没有方向 【答案】C 【解析】 【分析】结合共线向量、单位向量、零向量的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，当时，任意向量都与共线，则不一定共线，A错误； 对于B，向量不能比较大小，B错误； 对于C，对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量，C正确； 对于D，零向量有方向，其方向是任意的，D错误. 故选：C 4. 如图是指数函数的部分图象，已知取这四个值，则曲线相对应的依次为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，结合图象即可得到. 【详解】当时，越大，越大．的值小于的值小于的值小于的值. 故选：D. 5. 如果向量如果向量共线且方向相反，则(　　) A. B. C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线的条件可得，根据方向相反选择的取值即可. 【详解】因为向量共线， 所以， 解得或， 因为向量方向相反， 所以， 故选：B 【点睛】本题主要考查了向量共线的条件，方向相反的向量，属于中档题. 6. 奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 因为函数式奇函数，在上单调递减， 根据奇函数的性质得到在上函数仍是减函数， 再根据可画出函数在上的图像， 根据对称性画出在上的图像． 根据图像得到的解集是：． 故选A． 7. 在中，已知，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求角，再利用正弦定理可得. 【详解】因为，所以； 因为，所以. 故选：D. 8. 小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（    ） A. 20 m B. 30 m C. 20 m D. 30 m 【答案】D 【解析】 【详解】根据题意，结合在中，求得,再在中，由正弦定理，求得的长，最后在直角中，结合，即可求解. 【分析】由， 由题意知，所以， 在中，可得, 在中，由正弦定理得， 所以， 在直角中， 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量的坐标可判断A；计算向量的模判断B；根据向量垂直以及平行的坐标表示可判断CD. 【详解】由于，则，A错误； 由于，B正确， 因为，故，C正确； 因为，故不平行，D错误； 故选：BC 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 在中，若，则 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 在中，若，则必是等腰直角三角形 D. 在中，若，，则必是等边三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正弦定理可判断A；由正弦函数的单调性可判断B；由正弦定理边化角判断C，利用余弦定理可判断D. 【详解】对于A， 在中，若，则，由正弦定理可得，A正确； 对于B，锐角中，，则， 故，B正确； 对于C，在中，若，则， 即得，故或， 故或，即是等腰三角形或直角三角形，C错误； 对于D，，，则， 故，，结合，可知是等边三角形，D正确， 故选：ABD 11. 若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数定义域为 B. 时， C. 的解集为 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据对数函数得图像性质解决即可. 【详解】由题知，， 对于A，函数定义域为，故A错误； 对于B，在上单调递减， 当时，，故B正确； 对于C，在上单调递减，，即，解得，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数在复平面内对应的点为，则的共轭复数的模为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的几何意义可得，即可根据复数的除法运算化简，进而由模长公式即可求解. 【详解】由题意可得，所以 故共轭复数为，， 故答案为： 13. 已知函数是奇函数，则实数的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由奇函数的性质得出，求出实数的值，然后验证函数为奇函数即可. 【详解】对任意的，，则函数的定义域为， 由是奇函数，得，解得，即， 由于，即函数是奇函数，所以． 故答案为：. 14. 在中，内角的对边分别为，已知，，则的面积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理化边为角，结合两角和的正弦公式，由求得角，由，结合余弦定理求得，从而可得角B，由正弦定理可得，然后利用三角形的面积公式求出结果. 【详解】由，根据正弦定理得：， 因为， 所以， 即， 因为，所以，所以，即， 又，所以， 由，结合余弦定理， 可得， 又，所以， 因为，’所以， 由正弦定理，可得， 因为， 所以， 所以三角形的面积为. 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数满足，． （1）求复数； （2）求复数的实部和虚部． 【答案】（1） （2）复数的实部为，虚部为. 【解析】 【分析】（1）设复数，由，列方程组可求出的值，即可求出复数. （2）由复数的乘法运算即可求出，即可得到的实部和虚部. 【小问1详解】 设复数，则，由，解得：. 再由， ，解得：，故复数. 【小问2详解】 因为，，，复数的实部为，虚部为. 16. 已知，向量． （1）若向量，求向量的坐标； （2）若向量与向量的夹角为120°，求． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由，设，有，再根据，得，最后解方程即可； （2）先求，再求后可求解. 【小问1详解】 由，设，∴， ∵，∴，解得或 所以或． 【小问2详解】 ∵，，， ∴， ∴，∴． 17. 已知在中，角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，点为的中点，求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式得到，即可得解. （2）由余弦定理求出，再由，结合数量积的运算律计算即得. 【小问1详解】 在中，由正弦定理及，得， 而，则， 又，即，于是，又， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，由余弦定理得， 即，而，解得， 由为的中点，得， 所以. 18. 已知幂函数是定义在R上的偶函数． （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的最值，并求对应的自变量的值． 【答案】（1） （2）当时，函数的最小值为；当时，函数的最大值为7 【解析】 【分析】（1）由幂函数的定义和函数的奇偶性，求出的值，得函数解析式； （2）求出函数的解析式，由定义域结合解析式，利用配方法求最值. 【小问1详解】 根据题意可得，即， 所以，解得， 又函数是定义在R上的偶函数， 所以，即函数的解析式为． 【小问2详解】 由（1）可知 因，所以， 所以当，即，函数的最小值为； 当时，，函数的最大值为7． 19. 已知函数的最小正周期为. （1）求图象的对称轴方程； （2）将图象向右平移个单位长度得到函数，求函数在上的值域. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式及诱导公式，可得函数的解析式，进而求出函数的对称轴的方程； （2）由函数的平移可得的解析式，再由自变量的范围，求出函数的值域． 【小问1详解】 ， ，所以函数的最小正周期，可得， 所以， 可得对称轴满足的条件，， 即对称轴方程为，； 【小问2详解】 由（1）可得， 因为,， 所以,， 所以,， 所以的值域为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 明达中学2026上学期高一4月月考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，，且为纯虚数，则（ ） A. B. 2 C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D. 零向量没有方向 4. 如图是指数函数的部分图象，已知取这四个值，则曲线相对应的依次为（　　） A. B. C. D. 5. 如果向量如果向量共线且方向相反，则(　　) A. B. C. 2 D. 0 6. 奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（ ）． A. B. C. D. 7. 在中，已知，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（    ） A. 20 m B. 30 m C. 20 m D. 30 m 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 在中，若，则 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 在中，若，则必是等腰直角三角形 D. 在中，若，，则必是等边三角形 11. 若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数定义域为 B. 时， C. 的解集为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数在复平面内对应的点为，则的共轭复数的模为________ 13. 已知函数是奇函数，则实数的值为_______． 14. 在中，内角的对边分别为，已知，，则的面积为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数满足，． （1）求复数； （2）求复数的实部和虚部． 16. 已知，向量． （1）若向量，求向量的坐标； （2）若向量与向量的夹角为120°，求． 17. 已知在中，角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，点为的中点，求． 18. 已知幂函数是定义在R上的偶函数． （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的最值，并求对应的自变量的值． 19. 已知函数的最小正周期为. （1）求图象的对称轴方程； （2）将图象向右平移个单位长度得到函数，求函数在上的值域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $