精品解析：湖南株洲市第四中学等校2025-2026学年高二下学期四月测试数学试题

湖南株洲市第四中学等校2025-2026学年高二下学期四月测试数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦于净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据并集的定义计算即可. 【详解】. 2. 若，则复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由得. 3. 已知向量满足，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算求和，结合投影向量的定义运算求解. 【详解】由题意，， 所以在上的投影向量为. 4. 设等比数列的前项和为．若，，则（ ） A. 18 B. 21 C. 63 D. 64 【答案】B 【解析】 【详解】当，， 又，. 5. 某块农田上播种的一等小麦种子中含有的二等种子.已知一等小麦种子结出的麦穗每穗含有50颗以上麦粒的概率为0.5，若在该块农田种出的小麦中，有的麦穗含有50颗以上麦粒，则二等小麦种子结出的麦穗每穗含有50颗以上的麦粒的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设“二等小麦种子结出的麦穗每穗含有颗以上的麦粒”的概率为，麦穗含有颗以上麦粒为事件，种子为一等种子为事件，种子为二等种子为事件 根据题目条件可知，，，， 根据全概率公式，可得，解得. 6. 已知圆锥的底面半径为，且此圆锥的内切球体积为，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出轴截面，利用等面积结合勾股定理求出母线长即可得解. 【详解】作出圆锥的轴截面，如图，作出符合题意的图形， 记内切球的半径为，圆锥的母线长为，高为， 由题知，解得， 由三角形面积公式可得，即①， 又②，联立①②解得， 故圆锥的侧面积. 7. 已知，，则（ ） A. B. 2 C. D. -2 【答案】D 【解析】 【详解】由 ，，得 . . . 8. 是函数的极值点，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】求导得：， 因为是极值点，所以， 即， 代入 ​得， 在左右导数符号改变，确实是极值点，符合条件， 因此的值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】对于AC，利用赋值法求二项式系数即可；对于B，根据二项展开式求特定项系数；对于D，先求导，再赋值计算． 【详解】解：令， ，故A正确； 根据二项展开式可知 ，故B正确； ， ，故C错误； ，故D错误． 10. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，是上异于，的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线和的斜率之积为定值 B. 的最小值为-1 C. 若的面积为5，则 D. 若的角平分线与轴交于点，则内切圆的半径为 【答案】ACD 【解析】 【详解】由题可得，，，. 设，则，，A正确； ，，，B不正确； 若的面积为5，则， 根据对称性，不妨令位于第一象限，可得， 则，，， 由，得，C正确； 由点可得，，因为平分，所以； 又，所以，， 在中，以为底，点到的距离为， 所以的面积为， 设内切圆的半径为，则，解得，D正确. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线在处的切线与直线垂直 B. 若点P是曲线上的动点，则点P到直线距离的最小值为 C. 曲线的切线的倾斜角取值范围是 D. 若过点可以作曲线的三条切线，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A，先求处的导数值即切线斜率，再根据两直线垂直斜率乘积为的性质进行判断；对于选项B，先令等于直线的斜率，求出切点，再计算切点到直线的距离；对于选项C，先分析的取值范围，再根据斜率与倾斜角的关系，结合正切函数的性质确定倾斜角的范围；对于选项D，设切点坐标，写出切线方程，将点代入得到关于切点横坐标的方程，转化为该方程有三个不同实根的问题，通过研究对应函数的单调性与极值来确定的范围 【详解】对A，处切线斜率，直线的斜率为，两斜率乘积 ，故两直线垂直，A正确 对B，点到直线的最小距离，出现在曲线切线与平行时，即切线斜率等于， 令，得，整理为，函数在上单调递增，仅有解，对应切点为 切点到的距离为：​，即最小距离为​，B正确 对C，设切线倾斜角为，则 令​，求导得​，时，单调递减； 时，单调递增， 所以在处取最小值，故 而​，因此倾斜角范围不是，C错误 对于D：设过点的切线切点为，则，整理得， 若过点可以作曲线的三条切线，则函数与函数有三个交点， 对函数， 当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增； 当时，函数单调递减. 又当时，；当时，；时，；时，， 所以函数的图象大致如下： 则当时，函数与函数有三个交点， 此时过点可以作曲线的三条切线，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为______. 【答案】 【解析】 【详解】由余弦定理可得，， 因为，所以， 故的面积为. 13. 的展开式中的常数项为________． 【答案】70 【解析】 【详解】.要求原式的常数项，等价于求展开式中项的系数. 的通项公式，令，得， 因此项的系数，即原展开式的常数项为. 14. 在棱长为10的正方体 中，是中点，点在正方体的内切球的球面上运动，且，则点的轨迹长度为_______. 【答案】 【解析】 【详解】以为原点建立空间直角坐标系，正方体棱长为， 则，，， ，设，， 由，得，即，化简得. 正方体内切球球心为正方体中心，半径， 点满足. 设球心在平面的投影为， 则在平面上到直线的距离. 即球心到轨迹所在平面距离为,则轨迹圆半径. 轨迹长度为. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，所对的边分别为，已知，． （1）求的值； （2）若，求边上的高． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求解即可. （2）利用三角形面积公式，利用等面积法求解即可． 【小问1详解】 在中，，， 由余弦定理得， 得到，故. 【小问2详解】 由（1）可知，因为，所以，， 设边上的高为h，则，可得， 故边上的高为． 16. 已知数列满足，，． （1）求证：是等比数列． （2）记，求数列及的通项公式； （3）设，求． 【答案】（1） 因为，所以， 因为，，所以， 由以上递推关系可知，，则， 故是以为首项，为公比的等比数列； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义求证； （2）结合（1）求出的通项公式，再利用求出为等比数列，利用等比数列的通项公式即可； （3）利用错位相减法求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，， 因为，所以，则， 即， 因为，所以由以上递推关系可知，，则， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，； 【小问3详解】 由（2）可知，，则，则， 设，则， 则， 则 ， 则. 17. 如图，已知四棱锥的底面为正方形，底面，设平面与平面的交线为直线. （1）证明：； （2），点在直线上. （i）若，且点均在球的球面上，证明：点在球的球面上； （ii）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长. 【答案】（1）证明：在正方形中，， 因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以； （2）（i）证明： 因为点在直线上， 设，因为，则，即， 设点所在球的球心， 则， 即， 解得，即球心，半径为， 又， 所以点在球的球面上； （ii）或 【解析】 【分析】（1）先应用线面平行判定定理再结合性质定理证明； （2）（i）建立空间直角坐标系，根据，得，设球的球心，根据得球心，半径为，验证即可； （ii）设，平面的法向量为，利用线面角的向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以点为原点，为轴， 如图建立空间直角坐标系， 则，，，，， （i）略 （ii）设，且， 设平面的法向量为，则， 可取，记直线与平面所成的角为， 则， 解得或， 所以的长为或. 18. 已知椭圆的离心率为，右焦点为，点，点T是椭圆C上位于第四象限内的任意一点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点P作椭圆C的两条切线，，过点T作椭圆C的切线l，l与，的交点分别为M，N， （ⅰ）求切线，的方程： （ⅱ）问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由. 【答案】（1） （2）（ⅰ），；（ⅱ）为定值，定值为90°. 【解析】 【分析】（1）根据离心率、焦点坐标确定椭圆的参数，即可得； （2）（i）设过点P的直线方程为，联立椭圆并结合相切关系得求直线的斜率，即可得；（ii）利用相切关系求得，结合（2）所得，求交点坐标，再应用向量数量积的坐标运算求得，即可得. 【小问1详解】 由题意得，，解得，，所以椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）由题意，设过点P的直线方程为，联立， 消去y并整理得， 由，即，解得，. 所以切线方程分别为，. （ⅱ）设且，则且，联立， 所以，则， 由相切关系知，则， 所以，则， 由，则， 所以，则，得， 所以，即， 由，联立直线得，则， 由，联立直线得，，则， 因为，，， 所以，即， 故为定值，且定值为90°. 19. 已知函数，其中a为常数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若对任意的，都有恒成立，求实数a的取值范围； （3）设，求证：当时，. 【答案】（1）函数的单调递增区间为，，单调递减区间为 （2） （3）证明：令， 则， 因为，，则，， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则， 因为，则，可得， 即，所以当时，. 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的符号判断函数的单调区间； （2）根据题意分析可知，利用导数分析可知在内单调递减，结合恒成立问题运算求解即可； （3）令，利用导数分析的单调性可得，结合，可得，即可得结果. 【小问1详解】 当时，则的定义域为，且， 令，解得或；令，解得； 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. 【小问2详解】 因为， 若，当趋近于时，趋近于，不合题意，所以， 因为， 且，则，，则， 可知在内单调递减，则， 可得，解得， 所以实数a的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南株洲市第四中学等校2025-2026学年高二下学期四月测试数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦于净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则复数（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量满足，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 设等比数列的前项和为．若，，则（ ） A. 18 B. 21 C. 63 D. 64 5. 某块农田上播种的一等小麦种子中含有的二等种子.已知一等小麦种子结出的麦穗每穗含有50颗以上麦粒的概率为0.5，若在该块农田种出的小麦中，有的麦穗含有50颗以上麦粒，则二等小麦种子结出的麦穗每穗含有50颗以上的麦粒的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆锥的底面半径为，且此圆锥的内切球体积为，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则（ ） A. B. 2 C. D. -2 8. 是函数的极值点，则a的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，是上异于，的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线和的斜率之积为定值 B. 的最小值为-1 C. 若的面积为5，则 D. 若的角平分线与轴交于点，则内切圆的半径为 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线在处的切线与直线垂直 B. 若点P是曲线上的动点，则点P到直线距离的最小值为 C. 曲线的切线的倾斜角取值范围是 D. 若过点可以作曲线的三条切线，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为______. 13. 的展开式中的常数项为________． 14. 在棱长为10的正方体 中，是中点，点在正方体的内切球的球面上运动，且，则点的轨迹长度为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，所对的边分别为，已知，． （1）求的值； （2）若，求边上的高． 16. 已知数列满足，，． （1）求证：是等比数列． （2）记，求数列及的通项公式； （3）设，求． 17. 如图，已知四棱锥的底面为正方形，底面，设平面与平面的交线为直线. （1）证明：； （2），点在直线上. （i）若，且点均在球的球面上，证明：点在球的球面上； （ii）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长. 18. 已知椭圆的离心率为，右焦点为，点，点T是椭圆C上位于第四象限内的任意一点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点P作椭圆C的两条切线，，过点T作椭圆C的切线l，l与，的交点分别为M，N， （ⅰ）求切线，的方程： （ⅱ）问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由. 19. 已知函数，其中a为常数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若对任意的，都有恒成立，求实数a的取值范围； （3）设，求证：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $