精品解析：吉林长春外国语学校2025-2026学年高一第二学期第一学程调研数学试题

长春外国语学校2025-2026学年第二学期第一学程调研 高一年级数学学科 本试卷分第I卷（选择题）和第I卷（非选择题）两部分，共2页．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项； 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知为平行四边形内一点，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 单位向量都相等 B. 相等向量一定是共线向量 C. 若，则 D. 任意向量的模都是正数 4. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世.如图，若某人在点A测得滕王阁顶端仰角为，此人往膝王阁方向走了42米到达点B，测得滕王阁顶端的仰角为，则滕王阁的高度最接近于（ ）（忽略人的身高）（参考数据：） A. 49米 B. 51米 C. 54米 D. 57米 6. 如图，是正弦函数图象上四个点，且在两点处函数值最大，在两点处函数值最小，则（ ） A. B. C. D. 7. 为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点 A. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 B. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 D. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 8. 根据下列情况，判断三角形情况，其中正确的是 A. ，，，有一解 B. ，，，有两解 C. ，，，无解 D. ，，，有一解 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分．若只有2个正确选顶，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分． 9. 设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 10. 关于函数有如下四个结论，其中正确的结论有（　　） A. 的最大值为1 B. 将的图象向左平移个单位长度，向上平移1个单位长度，得到 C. 在单调递增 D. 图象的对称中心为 11. 已知O为坐标原点，点，，，，，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则， C. 点绕点O逆时针旋转90°后得到的点与点关于y轴对称 D. 若点E、F分别是线段OA、OB上（含端点）的动点，点P在以O为圆心的劣弧上（含端点）运动，且，则的范围为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则______． 13. 已知是边长为2的等边三角形，则___________． 14. 已知点G为△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且＝x，＝y，求的值为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知，，． （1）求与的夹角； （2）求． 16. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值； （3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角B； （2）若，，求，． 18. 已知分别是内角的对边，. （1）若，求的面积； （2）若，求的正切值. 19. 我们把由平面内夹角成的两条数轴构成的坐标系称为“广义坐标系”．如图1，分别为正方向上的单位向量．若向量，则把实数对叫作向量的“广义坐标”，记．已知向量的“广义坐标”分别为． （1）求的“广义坐标”； （2）求向量与的夹角的余弦值； （3）以O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若向量在平面直角坐标系中的坐标为，求向量的“广义坐标”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春外国语学校2025-2026学年第二学期第一学程调研 高一年级数学学科 本试卷分第I卷（选择题）和第I卷（非选择题）两部分，共2页．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项； 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数值的定义求，再结合诱导公式运算求解. 【详解】因为角的终边经过点，则， 所以. 故选：B. 2. 如图，已知为平行四边形内一点，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算可得结果. 【详解】∵ ， ∴. 故选：A. 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 单位向量都相等 B. 相等向量一定是共线向量 C. 若，则 D. 任意向量的模都是正数 【答案】B 【解析】 【分析】根据单位向量，共线向量及向量的基本概念逐项分析即得. 【详解】对于A，单位向量的模长相等，方向不一定相同，故A错误； 对于B，相等向量一定是共线向量，故B正确； 对于C，若，，而与不一定平行，故C错误； 对于D，零向量的模长是，故D错误． 故选：B. 4. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，且，由投影向量的定义，向量在上的投影向量为：. 故选：A. 5. 滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世.如图，若某人在点A测得滕王阁顶端仰角为，此人往膝王阁方向走了42米到达点B，测得滕王阁顶端的仰角为，则滕王阁的高度最接近于（ ）（忽略人的身高）（参考数据：） A. 49米 B. 51米 C. 54米 D. 57米 【答案】D 【解析】 【分析】设滕王阁的高度为，由题设可得，即可求滕王阁的高度. 【详解】设滕王阁的高度为，由题设知：， 所以，则， 又，可得米. 故选：D 6. 如图，是正弦函数图象上四个点，且在两点处函数值最大，在两点处函数值最小，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意分别写出的坐标，即可写出、、、向量，再利用平面向量的坐标运算解出答案. 【详解】由题意知：，，，， 所以，，，， 所以，， 所以. 7. 为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点 A. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 B. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 D. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由图象知，A=1,T=π，所以=2，y=sin（2x+），将（，0）代入得：sin()=0，所以=kπ，，取=，得y=sin（2x+），故只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变,故选A. 考点：本题主要考查三角函数图象变换，三角函数解析式. 点评：基础题，根据图象求函数解析式及三角函数图象的变换均是高考常见题目，本题将二者结合在一起，解得思路明确，应先观察图象，确定“振幅”“周期”，再通过计算求. 8. 根据下列情况，判断三角形情况，其中正确的是 A. ，，，有一解 B. ，，，有两解 C. ，，，无解 D. ，，，有一解 【答案】ABD 【解析】 【分析】 利用正弦定理依次求解A,B,C,D即可求得结果. 【详解】A中，，所以，∴，即只有一解； B中，，且，∴，故有两解； C中，∵,,，∴，有解； D中，因，所以，又，所以角B也只有一解. 故选: ABD. 【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用,主要考查解三角形个数,难度一般. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分．若只有2个正确选顶，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分． 9. 设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量是否共线，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，假设，则使得， 因为不共线得且，则无解， 故，不共线可作为一组基底； 对于B，因为，所以，不能作为基底； 对于C，因为，所以，不能作为基底； 对于D，假设，则使得，则因为不共线得且，则无解，故和不共线可作为一组基底. 故选:BC. 10. 关于函数有如下四个结论，其中正确的结论有（　　） A. 的最大值为1 B. 将的图象向左平移个单位长度，向上平移1个单位长度，得到 C. 在单调递增 D. 图象的对称中心为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用三角恒等变换得到，根据正弦函数的性质可判断ACD，根据图象的变换可判断B. 【详解】 ， 所以当，即时，取得最大值，最大值为，故A正确； 将的图象向左平移个单位长度，向上平移1个单位长度，得到 ，故B错误； 当时，，函数在上单调递增， 所以在单调递增，故C正确； 令，解得， 所以图象的对称中心为，故D错误. 11. 已知O为坐标原点，点，，，，，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则， C. 点绕点O逆时针旋转90°后得到的点与点关于y轴对称 D. 若点E、F分别是线段OA、OB上（含端点）的动点，点P在以O为圆心的劣弧上（含端点）运动，且，则的范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：分别计算两个向量模的平方，代入坐标结合同角三角函数平方关系，验证判断；对B，展开数量积化简得，求解判断；对选项C：根据逆时针旋转变换规则得到坐标，求出关于轴对称点的坐标，对比判断；对D，设出各点坐标，将化简数量积结合位置及，可得取值范围. 【详解】对于选项A：，， ，， 故，A正确； 对于选项B：，， 由得 或 ， 若，可为任意值；若，则，B错误； 对于选项C：点绕原点逆时针转后变为，故旋转后得到点， 点关于轴对称的点为，与旋转结果一致，C正确； 对于选项D：设，，由得； 设，则， ， 其中，因为分别是线段上（含端点）的动点， 所以，又，所以，， 又，且 ，所以，  即的范围是，D正确. 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算、模长、数量积，结合三角恒等变换、坐标变换，核心方法是坐标法结合三角函数性质求解问题 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据求出，再根据两角和的正切公式即可得解. 【详解】由得，解得， 所以. 13. 已知是边长为2的等边三角形，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由等边三角形的性质，可得向量的模长以及夹角，根据数量积的定义式，可得答案. 【详解】依题意可知和的夹角为， 所以. 14. 已知点G为△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且＝x，＝y，求的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】以为基底，由G是的重心和M，G，N三点共线，可得，即求. 【详解】根据条件：， 如图设D为BC的中点，则 因为G是的重心，， ， 又M，G，N三点共线， ，即. 故答案为：3. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知，，． （1）求与的夹角； （2）求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意先求出，进而根据平面向量的夹角公式求出答案； （2）将变形为，然后展开，进而结合（1）求出答案. 【小问1详解】 因为，， 所以， 即，所以， 设的夹角为，则， 因为，所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以 . 16. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值； （3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）且 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标运算列式求解的值，从而得模长； （2）根据向量的坐标的线性运算得的坐标，再根据向量垂直的坐标运算求解实数的值； （3）根据向量夹角与数量积的关系求解即可. 【小问1详解】 因为向量，且， 所以，解得， 所以. 【小问2详解】 因为，且， 所以，解得. 【小问3详解】 因为与的夹角是钝角， 则且与不共线， 即且， 所以且. 17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角B； （2）若，，求，． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，然后求解B的大小． （2）利用正弦定理余弦定理，转化求解即可． 【详解】（1）在中， 由正弦定理，得． 又因为在中． 所以． 法一：因为，所以，因而． 所以， 所以． 法二：即， 所以，因为， 所以． （2）由正弦定理得， 而， 所以　，① 由余弦定理，得， 即， ② 把①代入②得. 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 18. 已知分别是内角的对边，. （1）若，求的面积； （2）若，求的正切值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由及余弦定理求出，再由正弦定理求出，由内角和求出，由面积公式求解； （2）在中，有，在中，有，两式相比化简求值. 【小问1详解】 因为， 所以. 因为，所以， 因为，所以. 所以，又，所以，所以， ， 所以. 【小问2详解】 因为，所以为中点. 由题设及余弦定理可得，因为，所以. . 设，在中，有①， 在中，有②， ①②相除，得： ，所以， 所以，即， 所以的正切值为. 19. 我们把由平面内夹角成的两条数轴构成的坐标系称为“广义坐标系”．如图1，分别为正方向上的单位向量．若向量，则把实数对叫作向量的“广义坐标”，记．已知向量的“广义坐标”分别为． （1）求的“广义坐标”； （2）求向量与的夹角的余弦值； （3）以O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若向量在平面直角坐标系中的坐标为，求向量的“广义坐标”． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1），故，得到“广义坐标”为； （2）计算出，，，故； （3）平面直角坐标系中，，设，得到方程组，求出，故向量的“广义坐标”为. 【小问1详解】 由题意得， 故， 故的“广义坐标”为； 【小问2详解】 由题意得，， 故 ， ，故， ，故， 所以向量与的夹角的余弦值为； 【小问3详解】 在平面直角坐标系中，， 设，向量在平面直角坐标系中的坐标为， 所以， 所以，解得， 故向量的“广义坐标”为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $