专题01二次根式专项训练 (14大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题01二次根式专项训练 题型1 二次根式的识别与有意义的条件 题型2 利用二次根式的性质化简 题型3 求二次根式的值与参数 题型4 二次根式的乘法运算 题型5 二次根式的除法运算 题型6 二次根式的乘除混合运算 题型7 最简二次根式的判断与化简 题型8 已知最简二次根式求参数 题型9 同类二次根式与加减运算 题型10 分母有理化与混合运算 题型11 化简求值 题型12 二次根式的大小比较 题型13 实际应用与复合根式化简 题型14 新定义运算题 解答题8题 知识点01:二次根式的概念 1. 定义 一般地，形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“​” 是二次根号，a 是被开方数。 2. 判定条件 必须含有二次根号 ； 被开方数 a 必须是非负数（a≥0）。 3. 有意义 / 无意义条件 有意义：被开方数 a≥0； 无意义：被开方数 a<0。 4. 双重非负性 ≥0 且 a≥0（a≥0），即二次根式本身与被开方数均为非负数。 知识点02:二次根式的性质 5.易混点直击：()2 vs 对比表 对比维度 ()2 ​ 成立条件 a≥0（被开方数非负，根式才有意义） a为任意实数（任何数平方后均非负） 运算顺序 先开二次方，再进行平方运算 先进行平方运算，再开二次方运算 计算结果 直接等于a 先得∣a∣，再根据a的正负去绝对值 本质特征 非负数的开方与平方互逆，结果唯一 任意数平方后开方，结果为非负数 （去绝对值后确定） 知识点03:最简二次根式 3. 分母有理化 将分母中的根号化去， 方法：分子分母同乘分母的有理化因式 常见类型及方法 知识点04:同类二次根式 1. 定义 几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式叫做同类二次根式。 2. 判定步骤 (1)化简各二次根式为最简形式； (2)比较被开方数是否相同。 知识点05:二次根式的运算 1. 乘法运算 法则：=（a≥0，b≥0） 推广：mn=mn（a≥0,b≥0）； 结果：化为最简二次根式。 2. 除法运算 法则：（a≥0,b>0）； 推广：m÷n=（a≥0,b>0）； 关键：分母有理化。 3. 加减运算（核心：合并同类二次根式） 步骤：一化→二找→三合 (1)化：将所有二次根式化为最简二次根式； (2)找：找出被开方数相同的同类二次根式； (3)合：合并同类二次根式（系数相加减，被开方数与根指数不变）。 公式：m±n=(m±n)（a≥0）。 4. 混合运算 顺序：先乘除，后加减；有括号先算括号内； 技巧：灵活运用乘法公式（平方差、完全平方）简化计算： (+)(−)=a−b； (±)2=a+b±2​。 1.忽略二次根式有意义的条件（a≥0），求字母取值范围时遗漏限制； 2.混淆 ()2 与 ，后者结果必须加绝对值； 3.运算时未先化简就直接合并，导致错误； 4.分母有理化时漏乘、符号出错； 5.忽略运算结果需化为最简二次根式。 题型1 二次根式的识别与有意义的条件 1．下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．被开方数，无意义，不是二次根式； B．根指数为2，且被开方数，满足二次根式定义，是二次根式； C．式子的根指数为3，是三次根式，不是二次根式； D．的符号不确定，当时，无意义，不一定是二次根式． 2．若有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二次根式有意义的条件即二次根式的被开方数必须为非负数，据此列出不等式求解即可得到的取值范围. 【详解】解：∵二次根式有意义, ∴被开方数需满足非负条件，即 解不等式得 3．已知：，为实数，且，则的化简结果为______． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件确定x的值，进而得到y的取值范围，再利用二次根式性质和绝对值性质化简原式． 【详解】解：根据题意得： ， 解得， 将代入不等式，可得， 由，可得，， 则 ． 4．下列式子中，不一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的定义，准确把握“被开方数非负”是解题的关键．根据二次根式的定义，需判断被开方数是否恒大于等于：通过分析各选项被开方数的取值范围，得出只有选项的被开方数不恒非负，进而确定其不一定是二次根式． 【详解】解：二次根式定义要求被开方数， ：，被开方数，总是二次根式； ：中，故总是二次根式； ：，当时，，无意义，不一定是二次根式； ：中，故总是二次根式． 故选：． 5．若的值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，二次根式的有意义的条件，正确对根号下面部分式子进行因式分解是解题的关键． 【详解】解：原式根号下面部分为， ， ， ， ， ∴， ， ， ，，， ，当且仅当或时，取到等号， 根据二次根式的性质只能等于0， ， 当时，； 当时，； 原式， 故选：D． 题型2 利用二次根式的性质化简 6．下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次根式的基本性质逐一计算判断即可，用到的性质为，． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项符合题意． 7．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用商的算术平方根的性质，将各选项化简后判断即可． 【详解】解：A、，故选项错误； B、，故选项错误； C、，故选项错误； D、，故选项正确． 8．化简二次根式的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定a的取值范围，再利用二次根式的性质化简即可得到结果． 【详解】解：∵二次根式中被开方数为非负数，且分母不为0， ∴且， ∵， ∴， 解得， ∴． 9．如果，，则的值是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知条件判断b的符号，再利用二次根式性质化简，去绝对值后合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴原式 ． 题型3 求二次根式的值与参数 10．下列式子是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．的根指数是3，故不是二次根式；     B．的根指数是3，故不是二次根式；     C．的被开方数是负数，故不是二次根式；     D．是二次根式． 故选D． 11．若是一个整数，则正整数m的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】结合正整数与最简二次根式的性质即可求出m的值． 【详解】∵是一个整数,且m是正整数，, ∴m的最小值为3，此时的值是整数3. 故选C． 【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型． 12．当时，则二次根式_____． 【答案】1 【分析】将代入二次根式，计算后即可得到结果． 【详解】解：依题意，把代入，得． 13．已知是正整数，则满足条件的最小整数n为_____． 【答案】5 【分析】先根据二次根式的性质化简，再结合是正整数的条件，判断出为完全平方数，结合二次根式有意义的条件即可求出满足条件的最小整数． 【详解】解：∵，且是正整数， ∴是正整数，即是完全平方数， 又二次根式有意义时被开方数非负，可得，即， 是正整数，故， 满足条件的最小整数为， 14．已知是整数，则自然数的所有可能的值为_____． 【答案】 ，，，， 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．由为整数，设（ 为非负整数），则，且 ，求出所有可能的值，再计算对应的值． 【详解】解：设 （ 为整数，且 ），则 ， ． 是自然数， ， 即，解得 ． 是非负整数， 可能取值为 ，，，，． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 故自然数的所有可能值为 ，，，，． 故答案为：，，，，． 15．将按如图所示方式排列，若规定表示第排从左往右第个数，则表示的数是______________ 【答案】 【分析】根据数的排列方法可知，第一排：个数，第二排个数．第三排个数，第四排个数，…第排有个数，从第一排到排共有：…个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第排第个数到底是哪个数后再计算． 【详解】解：表示第排从左向右第个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是， ， ， 则所表示的数是， 故答案为． 【点睛】此题主要考查了数字的变化规律，这类题型在中考中经常出现．判断出所求的数是第几个数是解决本题的难点；得到相应的变化规律是解决本题的关键． 题型4 二次根式的乘法运算 16．计算：______． 【答案】4 【详解】解：． 17．已知三角形底边的长是，面积是，则此边上的高为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除； 利用三角形面积公式，代入底边和面积，求出高即可． 【详解】解：设此边上的高为， 由题意得：， 所以， 故答案为：． 18．估计的值应在（    ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算． 先利用乘法分配律化简原式，再通过估算结果的取值范围，推导得出原式的取值范围． 【详解】解： ， 又∵， ∴， 即， ∴， 即， ∴原式的值在5和6之间． 故选：A． 19．如果，那么等式成立的条件是_______________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握相关性质是解题关键. 根据二次根式的性质，被开方数必须非负，且等式化简后需满足条件 ，结合的范围求解. 【详解】解：由二次根式的性质，被开方数 ，即 原等式右边 ∴ 当 时，左边 ，右边 =，等式成立 当 时，，两边除以 得 解： 若 ，则 ，有 ，解得 若 ，则 ，有 ，恒成立 ∴ 的解为 ， 结合 得 综上，； 故答案为：. 题型5 二次根式的除法运算 20．计算:____ 【答案】 【分析】根据二次根式的除法法则进行计算即可． 【详解】解：． 21．下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．，故A错误． B．，故B错误． C．，故C正确． D．，故D错误． 22．估计的值应在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的除法运算、无理数的估算等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先利用多项式除以单项式法则计算，然后估算其取值范围即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，即， ∴的值应在4和5之间． 故选：C． 23．若与互为相反数，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的非负性，掌握几个非负数的和为，则每个非负数都为是解题的关键． 先根据互为相反数的两个数和为列出等式，再结合二次根式的非负性，得到关于的方程，求解出的值，最后代入式子计算结果． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴ ∵二次根式具有非负性， ∴只有当且时，和为， 解得： 将代入： ​． 故答案为：． 题型6 二次根式的乘除混合运算 24．计算：________． 【答案】 【详解】解：． 25．计算：的值为（    ） A．2024 B．1012 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先变除法为乘法，再根据二次根式乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选C． 26．计算的结果为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，根据运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 27．已知实数，满足，则的值为___________． 【答案】4036 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先分别求出和 ．然后再求出和．两式子相加，即可得出，然后利用二次根式的非负性质可得出，，即可得出和，然后代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴① 同理可得出②， ∴① ②， 由①②得：， ∴ ， ∵ ，， ∴，， ∴，， 故， 故答案为：4036． 题型7 最简二次根式的判断与化简 28．下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】最简二次根式需满足两个条件，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； B、的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； C、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； D、的被开方数含分母，不是最简二次根式． 29．二次根式①，②，③，④，化为最简二次根式后，被开方数相同的是（   ） A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④ 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式的化简，解题思路是将四个二次根式分别化为最简二次根式，再比较化简后的被开方数，即可得到答案． 【详解】解：∵ ① ，化简后被开方数为； ② ，化简后被开方数为； ③ ，化简后被开方数为； ④ ，化简后被开方数为； ∴ 化为最简二次根式后，①和②的被开方数相同，故选A． 30．下列二次根式：①；②；③；④．其中化简后的被开方数是3的是___________（填序号）． 【答案】④ 【分析】本题考查了二次根式的化简，先将各二次根式化为最简二次根式，然后再找出被开方数是3的即可． 【详解】解：①； ②； ③是最简二次根式； ④． 故化简后被开方数是3的是④， 故答案为：④． 31．以下二次根式中是最简二次根式的是（    ） A． B．（为质数） C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式需满足被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式，据此判断即可． 【详解】解：A、被开方数含有分数，不是最简二次根式，不合题意； B、（为质数）是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不合题意； D、被开方数含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不合题意； 故选：B． 题型8 已知最简二次根式求参数 32．若是最简二次根式，则正整数n的值可以是_____（写出一个符合条件的即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据最简二次根式的定义，得到被开方数不含能开得尽方的因数，由此确定正整数的取值，写出一个符合条件的结果即可． 【详解】解：已知是最简二次根式，为正整数， 分解得， 因此不能含有能开得尽方的因数，即不含因数和，且本身不含平方因数． 取符合条件的正整数， 此时，是最简二次根式，符合要求． 33．已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为______． 【答案】68 【分析】根据题意得出，求出，进而得出，求出，再代入求值即可． 【详解】∵A，B为最简二次根式，且， ∴， 解得， ∴，，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：68． 【点睛】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义得出是解题的关键． 34．若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 【答案】D 【分析】由二次根式的定义可知，由最简二次根式和能合并，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式和能合并， ∴， ∴， 解得， 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义，熟知定义是解题的关键． 题型9 同类二次根式与加减运算 35．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同类二次根式的定义解题，先将每个选项化为最简二次根式，再比较最简二次根式的被开方数，被开方数与相同的即为同类二次根式． 【详解】解：对各选项逐一化简判断： A选项：，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故A错误； B选项：，与的被开方数相同，是同类二次根式，故B正确； C选项：，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故C错误； D选项：，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故D错误． 36．计算结果正确的是（   ） A． B．1 C． D．不能计算 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的减法运算，先化简二次根式，再根据二次根式的减法运算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 37．已知是最简二次根式且能和合并，则x的值是______． 【答案】3 【分析】先将化为最简二次根式，根据能合并的二次根式是同类二次根式，结合已知是最简二次根式，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：化简得：， 是最简二次根式，且能与合并， 与是同类二次根式， 根据同类二次根式的定义，可得：， 解此一元一次方程得：． 38．计算：______． 【答案】 【分析】先将原式中各项化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解： ． 39．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的加减运算法则进行运算即可作出判断． 【详解】解：A．，原计算错误，故此选项不符合题意； B．和不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意； C．，计算正确，故此选项符合题意； D．和不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意． 40．已知，，则化简的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，分式的加法，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 将表达式 利用二次根式的性质化简并通分，可化为 ，再代入已知条件求值． 【详解】解：由，，可知， 则， 又∵， ∴． 故选：C． 题型10 分母有理化与混合运算 41．估计的值应在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式，原式，根据，可得． 【详解】原式． 因为， 所以． 所以． 所以原式的值在和之间． 故选：B 42．已知，，则a与b的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分母有理化，先对a进行分母有理化化简，再结合b的表达式分析a与b的数量关系，进而选择正确选项即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴，即． 故选：A． 43．已知，，则与的关系为________． 【答案】 【分析】将进行化简得，可判断． 【详解】解：， 又， ∴． 44．已知，则的值为__________． 【答案】10 【分析】本题考查二次根式的运算、完全平方公式的应用．解题关键是将转化为，再分别计算和的值． 【详解】解： ． 故答案为：10． 45．若，则________． 【答案】 【分析】本题考查与二次根式有关的代入求值，先有理化分母化简得到，整理得，最后代入已知条件计算得出结果。 【详解】解：， ∴， ∴， 整理得， ∴ ， 故答案为：． 46．已知：，则的值为_______． 【答案】 2026 【分析】本题考查分母有理化、二次根式的混合运算、代数式求值，理解题中求解方法并灵活运用是解答的关键． 首先将 分母有理化，得到 ，然后计算 ，展开得到的值，再代入表达式 ，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 故答案为 ：2026． 题型11 化简求值 47．已知，，则的值为______． 【答案】 1 【分析】本题考查了运用平方差公式进行运算，已知字母的值，化简求值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 利用平方差公式计算乘积． 【详解】解：， 故答案为：． 48．若则a的值为（    ） A．5 B． C．5或1 D．或1 【答案】C 【分析】根据二次根式的运算法则可得出，再分情况计算a的值即可． 【详解】解：， 当时，；当时，； 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的运算法则，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 49．已知，，则的值为______． 【答案】 3 【详解】解：根据题意，， ∴，整理得，， ∴，化简得， ∴． 50．已知，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】本题考查的是代数式求值，灵活运用完全平方公式进行变形是解题的关键。根据已知条件，先将其变形得到，再将所求代数式配方为 ，最后代入计算即可求出代数式的值． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 51．已知，，则_____． 【答案】10 【分析】根据二次根式的运算，先求的值，再由进行计算即可． 【详解】解：∵，， ， ， ． 52．当时，多项式的值为（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据可得，然后将多项式转化为，然后代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 多项式 ， 故选：D． 【点睛】本题难度较大，需要对要求的式子进行变形，同学们要学会转化的思想，这是数学中一种很重要的思想． 题型12 二次根式的大小比较 53．比较大小：_________（填“＞”或“＜”或“＝”） 【答案】＜ 【分析】根据二次根式的比较大小的方法可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为＜． 【点睛】本题主要考查二次根式的比较大小，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 54．比较实数、、的大小，并将其用“”连接：____________． 【答案】 【分析】将三个数转化为算术平方根的形式，通过比较被开方数的大小得到原数的大小关系即可． 【详解】解：，，， ∵， ∴，即． 55．比较大小：__________（填“>”或“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查比较实数的大小，二次根式值的大小比较，根据作差法和平方法进行比较即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 56．比较大小：（1）________    （2）________ 【答案】 > > 【分析】本题考查实数的大小比较，掌握乘方法，差值法比较大小是解题的关键．对于（1），通过将两个数分别取6次方来比较大小；对于（2），通过计算两个数的差来判断大小． 【详解】解：（1）∵，， 且， ∴． 故答案为：>． （2）设 , 则． ∵, , 且, , , ∴, ∴, ∴, ∴． ∴． 故答案为：>． 题型13 实际应用与复合根式化简 57．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）．物体从的高空落到地面的时间是（　　） A． B． C． D．12s 【答案】C 【分析】直接将代入公式，化简二次根式即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 58．的平方根是________ 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，二次根式的化简，先根据算术平方根的定义得到，然后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：， 的平方根是 故答案为：，． 59．化简的结果为____． 【答案】 【分析】先把化为平方的形式，再根据化简即可求解． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了双重二次根式的化简，把化为平方的形式是解题关键． 60．将一个大长方形分成两个正方形和一个小长方形，两个正方形的面积如图所示，则小长方形的面积是________． 【答案】 6 【分析】先分别求出两个正方形的边长，即可得到小长方形的长和宽，即可求解． 【详解】解：两个正方形的边长分别为， 则小长方形的长为，宽为， ∴小长方形的面积是． 61．现将一个面积为的正方形的一组对边缩短，就成为一个长方形，这个长方形的面积为_________． 【答案】60 【分析】本题考查了正方形及长方形的面积公式、二次根式的混合运算，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 先求出正方形的边长，再根据缩短后的对边长度计算长方形的面积． 【详解】解：正方形的面积为，故边长为 = cm． 将一组对边缩短 cm， 则缩短后的对边长度为 = cm． 另一组对边长度不变，仍为 cm． 因此长方形的面积为 = = = cm²． 故答案为：60． 题型14.新定义运算题 62．对于任意不相等的两个实数，，定义运算如下：，如，那么的运算结果为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，化简二次根式，根据新定义得到，据此计算求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 63．对于实数，，规定一种新运算：，例如，则______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，二次根式的运算，二次根式的性质，根据新定义把转化为二次根式的运算计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： ， 故答案为：． 64．对于任意两个不相等的正实数，，定义一种新运算“”，即，如，则______． 【答案】 【分析】根据定义的新运算列式为，将其计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 65．请按要求解答： (1)定义新运算：对于任意实数，，都有．例如：．求的值． (2)请你模仿（1）定义一种新运算，使得实数和的运算结果为2026．写出你定义的新运算，并写出计算过程． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据新运算的定义，将代入的公式中计算； （2）观察和，乘积为整数，定义新运算时结合其乘积，再通过添加常数项使运算结果为2026． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：示例：对于任意实数，，都有． ． 【点睛】本题考查了新定义运算，二次根式混合运算，掌握根据新运算的规则代入数值计算，以及结合已知数的特征设计新运算是解题的关键． 66．规定：若，则称与是关于1的“平衡数”． (1)若3与是关于1的“平衡数”，与也是关于1的“平衡数”，求，的值． (2)若，，至少有一个是有理数，判断与是否是关于1的“平衡数”，并说明理由． 【答案】(1)， (2)不是，理由见解析 【分析】（1）根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此可得出答案； （2）分两种情况，①当和均为有理数时，然后对所给的进行处理，求出，，进行验证即可；②当和中一个是有理数，另一个是无理数时，有，而此时为无理数，与“平衡数”的概念矛盾，由此可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意，知，， ，． （2）解：和不是关于的“平衡数”． 理由如下：①当和均为有理数时， ，即 ，， 解得，． 当，时，， 与不是关于的“平衡数”． ②假设与是关于1的“平衡数”，则有，即， 将代入中，得：， 再根据“，至少有一个是有理数”的条件分类讨论： ①若为有理数，则也为有理数， 此时必有且，分别解得和，产生矛盾， ②若为无理数，则必为有理数， 但从来看，一个有理数等于一个无理数，产生矛盾． 综上，假设不成立． 故与不是关于1的“平衡数”． 【点睛】本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． 解答题 67．如图，在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】先根据数轴上的位置关系，判断出，再利用二次根式的性质将原式转化为绝对值形式，最后根据绝对值的性质去掉绝对值符号并合并同类项，得到化简结果． 【详解】解：根据数轴可得，且， 因此： ∴ ． 68．若 是整数，求自然数 n 所有可能的值． 【答案】2， 13， 22， 29， 34， 37， 38 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据二次根式的性质进行计算即可解答． 【详解】解：∵n是自然数， 是整数， ∴，，且是平方数， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴自然数 n 所有可能的值为2， 13， 22， 29， 34， 37， 38． 69．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用二次根式乘法法则，将被开方数相乘，再化简结果为最简二次根式． （2）类比单项式乘单项式法则，系数相乘、被开方数相乘，再化简结果． （3）运用二次根式除法法则，被开方数相除，再进行分母有理化化简． （4）遵循二次根式乘除混合运算顺序，从左至右计算，被开方数依次乘除后化简． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 70．已知最简二次根式与最简二次根式可以合并． (1)求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1)1或 (2)2或 【分析】本题考查最简二次根式合并的性质与二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． （1）根据最简二次根式可合并的性质，得到两个二次根式的被开方数相等，列方程求解后验证被开方数非负得到的值； （2）根据二次根式被开方数必须非负，求出y的值，再代入计算得到的值． 【详解】（1）解：根据题意得，最简二次根式与最简二次根式可以合并， 则， 整理得：， 解得：或， 当时，，，符合题意， 当时，，，符合题意， 因此，的值为1或； （2）解：根据题意得： 解得：， 由（1）知：或， 当、时，， 当、时， 因此，的值为2或． 71．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据二次根式性质化简，再由二次根式混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 72．李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）． (1)电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为20元，大理石造价为150元，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【答案】(1)电视背景墙的周长为 (2)整个电视背景墙需要花费元 【分析】（1）直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案； （2）直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：电视背景墙长方形的周长． 答：电视背景墙的周长为． （2）解：长方形的面积：， 大理石的面积， ∴壁纸的面积， 整个电视背景墙需要花费：（元）． 答：整个电视背景墙需要花费元． 73．像、（）、（）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． (1)请写出的有理化因式：__________； (2)化简：； (3)当时，直接写出代数式的最大值：_______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据有理化因式的定义和平方差公式解答即可； （2）将每一项的分母有理化后即可计算； （3）先将原式化为，由，可知当时，有最小值，进而求得原式的最大值． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式为； （2）解：原式； （3）解：， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为， 此时的值最大，最大值为， 即代数式的最大值为． 74．形如的化简，只要我们找到两个数a，b（），使，，则，，那么就会有． 例如的化简就可以将5看作是m，6看作n． ，， ． 根据上述解决问题的方法，解答下列各题． (1)化简． (2)若，且a，m，n均为正整数，求a的值． (3)计算：． 【答案】(1) (2)28或12 (3) 【分析】（1）根据材料里提供的方法化简即可得解； （2）根据题意可得，从而得到，则，再由m，n均为正整数，可求出m，n的值，即可； （3）根据材料里提供的方法化简，，再计算，即可得解． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵m，n均为正整数， ∴，或，， 当，时，； 当，时，； 综上所述，a的值为28或12； （3）解：∵，，且， ∴，， ∴ ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01二次根式专项训练 题型1 二次根式的识别与有意义的条件 题型2 利用二次根式的性质化简 题型3 求二次根式的值与参数 题型4 二次根式的乘法运算 题型5 二次根式的除法运算 题型6 二次根式的乘除混合运算 题型7 最简二次根式的判断与化简 题型8 已知最简二次根式求参数 题型9 同类二次根式与加减运算 题型10 分母有理化与混合运算 题型11 化简求值 题型12 二次根式的大小比较 题型13 实际应用与复合根式化简 题型14 新定义运算题 解答题8题 知识点01:二次根式的概念 1. 定义 一般地，形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“​” 是二次根号，a 是被开方数。 2. 判定条件 必须含有二次根号 ； 被开方数 a 必须是非负数（a≥0）。 3. 有意义 / 无意义条件 有意义：被开方数 a≥0； 无意义：被开方数 a<0。 4. 双重非负性 ≥0 且 a≥0（a≥0），即二次根式本身与被开方数均为非负数。 知识点02:二次根式的性质 5.易混点直击：()2 vs 对比表 对比维度 ()2 ​ 成立条件 a≥0（被开方数非负，根式才有意义） a为任意实数（任何数平方后均非负） 运算顺序 先开二次方，再进行平方运算 先进行平方运算，再开二次方运算 计算结果 直接等于a 先得∣a∣，再根据a的正负去绝对值 本质特征 非负数的开方与平方互逆，结果唯一 任意数平方后开方，结果为非负数 （去绝对值后确定） 知识点03:最简二次根式 3. 分母有理化 将分母中的根号化去， 方法：分子分母同乘分母的有理化因式 常见类型及方法 知识点04:同类二次根式 1. 定义 几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式叫做同类二次根式。 2. 判定步骤 (1)化简各二次根式为最简形式； (2)比较被开方数是否相同。 知识点05:二次根式的运算 1. 乘法运算 法则：=（a≥0，b≥0） 推广：mn=mn（a≥0,b≥0）； 结果：化为最简二次根式。 2. 除法运算 法则：（a≥0,b>0）； 推广：m÷n=（a≥0,b>0）； 关键：分母有理化。 3. 加减运算（核心：合并同类二次根式） 步骤：一化→二找→三合 (1)化：将所有二次根式化为最简二次根式； (2)找：找出被开方数相同的同类二次根式； (3)合：合并同类二次根式（系数相加减，被开方数与根指数不变）。 公式：m±n=(m±n)（a≥0）。 4. 混合运算 顺序：先乘除，后加减；有括号先算括号内； 技巧：灵活运用乘法公式（平方差、完全平方）简化计算： (+)(−)=a−b； (±)2=a+b±2​。 1.忽略二次根式有意义的条件（a≥0），求字母取值范围时遗漏限制； 2.混淆 ()2 与 ，后者结果必须加绝对值； 3.运算时未先化简就直接合并，导致错误； 4.分母有理化时漏乘、符号出错； 5.忽略运算结果需化为最简二次根式。 题型1 二次根式的识别与有意义的条件 1．下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．若有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知：，为实数，且，则的化简结果为______． 4．下列式子中，不一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 5．若的值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 题型2 利用二次根式的性质化简 6．下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 7．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 8．化简二次根式的结果是（   ） A． B． C． D． 9．如果，，则的值是（   ） A． B．3 C． D． 题型3 求二次根式的值与参数 10．下列式子是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 11．若是一个整数，则正整数m的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．当时，则二次根式_____． 13．已知是正整数，则满足条件的最小整数n为_____． 14．已知是整数，则自然数的所有可能的值为_____． 15．将按如图所示方式排列，若规定表示第排从左往右第个数，则表示的数是______________ 题型4 二次根式的乘法运算 16．计算：______． 17．已知三角形底边的长是，面积是，则此边上的高为__________． 18．估计的值应在（    ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．无法确定 19．如果，那么等式成立的条件是_______________． 题型5 二次根式的除法运算 20．计算:____ 21．下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 22．估计的值应在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 23．若与互为相反数，则的值为__________． 题型6 二次根式的乘除混合运算 24．计算：________． 25．计算：的值为（    ） A．2024 B．1012 C．1 D． 26．计算的结果为________． 27．已知实数，满足，则的值为___________． 题型7 最简二次根式的判断与化简 28．下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 29．二次根式①，②，③，④，化为最简二次根式后，被开方数相同的是（   ） A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④ 30．下列二次根式：①；②；③；④．其中化简后的被开方数是3的是___________（填序号）． 31．以下二次根式中是最简二次根式的是（    ） A． B．（为质数） C． D． 题型8 已知最简二次根式求参数 32．若是最简二次根式，则正整数n的值可以是_____（写出一个符合条件的即可）． 33．已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为______． 34．若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 题型9 同类二次根式与加减运算 35．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 36．计算结果正确的是（   ） A． B．1 C． D．不能计算 37．已知是最简二次根式且能和合并，则x的值是______． 38．计算：______． 39．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 40．已知，，则化简的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 题型10 分母有理化与混合运算 41．估计的值应在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 42．已知，，则a与b的关系是（   ） A． B． C． D． 43．已知，，则与的关系为________． 44．已知，则的值为__________． 45．若，则________． 46．已知：，则的值为_______． 题型11 化简求值 47．已知，，则的值为______． 48．若则a的值为（    ） A．5 B． C．5或1 D．或1 49．已知，，则的值为______． 50．已知，则代数式的值为________． 51．已知，，则_____． 52．当时，多项式的值为（    ） A．3 B． C．1 D． 题型12 二次根式的大小比较 53．比较大小：_________（填“＞”或“＜”或“＝”） 54．比较实数、、的大小，并将其用“”连接：____________． 55．比较大小：__________（填“>”或“<”或“=”）． 56．比较大小：（1）________    （2）________ 题型13 实际应用与复合根式化简 57．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）．物体从的高空落到地面的时间是（　　） A． B． C． D．12s 58．的平方根是________ 59．化简的结果为____． 60．将一个大长方形分成两个正方形和一个小长方形，两个正方形的面积如图所示，则小长方形的面积是________． 61．现将一个面积为的正方形的一组对边缩短，就成为一个长方形，这个长方形的面积为_________． 题型14.新定义运算题 62．对于任意不相等的两个实数，，定义运算如下：，如，那么的运算结果为______． 63．对于实数，，规定一种新运算：，例如，则______． 64．对于任意两个不相等的正实数，，定义一种新运算“”，即，如，则______． 65．请按要求解答： (1)定义新运算：对于任意实数，，都有．例如：．求的值． (2)请你模仿（1）定义一种新运算，使得实数和的运算结果为2026．写出你定义的新运算，并写出计算过程． 66．规定：若，则称与是关于1的“平衡数”． (1)若3与是关于1的“平衡数”，与也是关于1的“平衡数”，求，的值． (2)若，，至少有一个是有理数，判断与是否是关于1的“平衡数”，并说明理由． 解答题 67．如图，在数轴上的位置如图所示，化简：． 68．若 是整数，求自然数 n 所有可能的值． 69．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 70．已知最简二次根式与最简二次根式可以合并． (1)求的值． (2)若，求的值． 71．计算： (1)； (2)． 72．李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）． (1)电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为20元，大理石造价为150元，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 73．像、（）、（）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． (1)请写出的有理化因式：__________； (2)化简：； (3)当时，直接写出代数式的最大值：_______． 74．形如的化简，只要我们找到两个数a，b（），使，，则，，那么就会有． 例如的化简就可以将5看作是m，6看作n． ，， ． 根据上述解决问题的方法，解答下列各题． (1)化简． (2)若，且a，m，n均为正整数，求a的值． (3)计算：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $