专题01 二次根式重难点总结和题型汇编【3大考点14大题型】2025-2026学年人教版数学八年级下册

专题01 二次根式重难点总结和题型汇编 考点清单和题型总结 考点清单和题型归纳 目录 考点一 二次根式的相关概念 1 考点二 二次根式的性质与化简 2 考点三 二次根式的运算 2 👉题型01 求二次根式的值 4 👉题型02 求二次根式的参数 5 👉题型03 二次根式有意义的条件 7 👉题型04 利用二次根式的性质化简 8 👉题型05 二次根式的乘法 10 👉题型06 二次根式的除法 11 👉题型07 二次根式的混合运算 13 👉题型08 最简二次根式的判断 15 👉题型09 已知最简二次根式求参数 17 👉题型10 二次根式的合并计算 19 👉题型11 分母有理化 20 👉题型12 化简求值问题 22 👉题型13 比较二次根式的大小 24 👉题型14 二次根式的应用问题 26 知识点和易错点总结 考点一 二次根式的相关概念 1.二次根式 二次根式的定义：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数． 【易错易混】 1）二次根式的两个要素（判断依据）：含有二次根号“”，且根指数为2；被开方数为非负数； 2）二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：，-都是二次根式； 3)二次根式的被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足𝑎≥0； 4)在具体问题中，如果已知是二次根式，相当于给出了𝑎≥0. 2.二次根式有意义的条件 1）单个二次根式，如有意义的条件是𝑎≥0； 2）二次根式作为分母时，如有意义的条件是𝑎>0； 3）二次根式与分式相加，如有意义的条件是𝑎≥0且b＞0. 考点二 二次根式的性质与化简 二次根式的性质 1）式子（𝑎≥0）既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根（），所以具有双重非负性； 2），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 3），即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 二次根式的化简 二次根式的化简：1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ， 【易错易混】 1.在使用 =• 时一定要注意 2.在使用（a≥0，b＞0）时一定要注意 考点三 二次根式的运算 1.二次根式的乘法 乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 2.二次根式的除法 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 3.最简二次根式 定义：1）被开方数不含分母；2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二次根数，叫做最简二次根式.例：都是最简二次根式. 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 4.二次根式的加减 二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 5.二次根式的混合运算 内容：二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算. 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的. 易错易混 1）结果要化为最简二次根式或整式； 2）如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件. 满分训练 👉题型01 求二次根式的值 1．当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的计算，掌握算理是解决问题的关键．将代入计算即可． 【详解】解：当时， ． 故选：B． 2．二次根式的值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，二次根式表示的是a的算术平方根，算术平方根是指正的平方根，其结果为非负数，据此判断即可． 【详解】解： 故选：B． 3．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查求二次根式的值，将代入二次根式 中，计算被开方数的值，再求其算术平方根． 【详解】当时， ， 故选：C． 4．计算：（   ） A．25 B．35 C．45 D．55 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的化简，直接计算的值即可． 【详解】解：， 故选：C． 👉题型02 求二次根式的参数 1．若二次根式的值为0，则的值为________． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的值为时，被开方数必须为的条件是解题的关键． 根据二次根式的性质，当二次根式的值为时，被开方数必须为． 【详解】解：∵二次根式 的值为， ∴被开方数 ， 解得 故答案为：． 2．当__________时，二次根式的值为0． 【答案】2 【分析】本题主要考查的求二次根式中的参数，属于基础题型．理解二次根式的概念是解题的关键．当二次根式的被开方数为零时，则二次根式的值为零． 【详解】解：根据题意可得：，解得：． 故答案为：2． 3．已知是正整数，则整数的最大值为（   ） A．2025 B．2024 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义进行求解是解决本题的关键． 由题意可得，要使是正整数，即可得出当n最大取2024时，是正整数． 【详解】解： 要使是正整数， 即当时，． 故整数的最大值为2024． 故选：B． 4．若是一个整数，则正整数m的最小值是_______． 【答案】3 【分析】本题考查二次根式的化简，化简二次根式后判断是个平方数是求解本题的关键．得出是一个平方数，进而求解即可． 【详解】解：∵是一个整数， ∴是一个平方数， ∴的最小值是3． 故答案为：3． 👉题型03 二次根式有意义的条件 1．若在实数范围内有意义，则的值可以是（    ） A．－2 B．3 C．－1 D．0 【答案】B 【详解】解：由二次根式有意义的条件得， 解得 ． B选项符合题意． 2．若二次根式有意义，则可以取___________．（写出一个即可） 【答案】0（答案不唯一） 【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围，在取值范围内任写一个符合条件的值即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， ∴可以取0． 3．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴二次根式的被开方数需满足非负条件，即， 解得． 4．若x，y都是实数，且，则y的算术平方根是_______． 【答案】2 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x的值，再代入原式求出y的值，最后计算y的算术平方根即可得到结果． 【详解】解：根据二次根式的定义 可得 ， 将代入，得， 的算术平方根为． 👉题型04 利用二次根式的性质化简 1．计算：___________． 【答案】5 【分析】根据直接计算得到结果． 【详解】解：． 2．计算的结果是_____． 【答案】16 【分析】本题主要考查了二次根式的性质及有理数的加法运算，熟练掌握（）是解题的关键． 先利用二次根式的平方性质计算的值，再进行有理数的加法运算得出最终结果． 【详解】解：， 故答案为：16 3．计算： （1）_____； （2）_____； （3）_____； （4）_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质（）及积的乘方、分式乘方的运算，熟练掌握二次根式的平方运算规则是解题的关键． （1）利用二次根式性质（），先去掉负号的平方，再化简结果． （2）直接应用二次根式性质（）计算． （3）利用积的乘方公式，分别计算系数和根式的平方，再相乘． （4）利用分式的平方公式，分别计算分子和分母的平方，再化简． 【详解】（1） ， 答案为：． （2）， 故答案为：． （3） ， 故答案为：． （4） ， 故答案为：． 4．化简：_____ 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的性质．利用二次根式的性质将原式转化为绝对值形式，再根据与的大小关系去绝对值符号完成化简． 【详解】解：根据二次根式的性质，可得， 因为， 所以， 根据绝对值的性质，当时，， 因此． 故答案为：． 👉题型05 二次根式的乘法 1．计算：______． 【答案】 【分析】利用二次根式乘法法则计算，再将结果化为最简二次根式即可． 【详解】解：． 2．计算：______． 【答案】 【分析】利用平方差公式去括号，然后计算减法即可得到答案． 【详解】解：． 3．若，则“”是______． 【答案】2 【分析】利用二次根式的乘法法则推导出，进而可求解． 【详解】解：∵，， ∴，则． 4．计算： 【答案】 【分析】先根据零指数幂、负整数指数幂的意义和平方差公式计算，然后进行有理数的加减运算． 【详解】解：原式． 👉题型06 二次根式的除法 1．（1）先化简，再求值：，其中； （2）解分式方程：． 【答案】（1）化简为，值为； （2） 【分析】（1）先计算括号内的分式减法(通分后利用完全平方公式因式分解)，再对括号外的分式进行因式分解，将除法转化为乘法后约分得到最简式，最后代入的值并分母有理化； （2）先确定最简公分母，方程两边同乘最简公分母化为整式方程，解整式方程后，检验所得解是否使原方程分母不为零． 【详解】（1）解：原式 ， 当时，原式． （2）解：方程两边同时乘以最简公分母，得：， 去括号得：， 合并同类项得：， 移项得：，即， 系数化为1得：， 检验：当时，， 是原分式方程的解． 2．若成立，则的值可以是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式除法法则的成立条件，二次根式有意义的条件，需根据被开方数的非负性及分母不为0确定x的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：∵等式成立 ∴根据二次根式除法法则的成立条件，需满足， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴x的取值范围是， 结合选项，只有1在此范围内， 故选：C． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，则，A错误； B、表示4的算术平方根，结果为非负数，则，B错误； C、，则，C正确； D、，D错误． 4．化简的结果是__________． 【答案】 【分析】利用二次根式的除法运算，乘法运算，性质化简即可． 本题考查了二次根式的性质，二次根式乘法运算，除法运算，熟练掌握性质和运算是解题的关键． 【详解】解： 由，根据题意，得， 故答案为：． 👉题型07 二次根式的混合运算 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法运算，熟知相关运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的乘法运算法则求解即可； （2）根据二次根式的乘除法运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．对于任意不相等的两个非负实数a，b，新定义一种运算“※”如下：（），则_______________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算、二次根式的混合运算，理解新定义是解题的关键． 根据新定义运算的规则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．计算：． 【答案】 【分析】先根据二次根式的性质化简二次根式，计算二次根式的乘法，运用完全平方公式计算，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的运算及二次根式的平方差公式应用，根据合并同类项、积的乘方、平方差公式、完全平方公式逐一判断选项的正误即可． 【详解】解：∵合并同类项法则：同类项系数相加，字母及指数不变 ∴，故A选项错误； ∵积的乘方法则：，且负号在括号外， ∴，故B选项错误； ∵平方差公式：，这里，， ∴，故C选项正确； ，故D选项错误． 故选：C． 👉题型08 最简二次根式的判断 1．下列根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据最简二次根式的定义判断各选项即可，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：∵最简二次根式需满足：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 对选项A：∵ = = ，被开方数含分母，∴不是最简二次根式． 对选项B：∵ = ，被开方数含分母，∴不是最简二次根式． 对选项C：∵的被开方数是3，不含分母，也不含能开得尽方的因数，∴是最简二次根式． 对选项D：∵ = = ，被开方数含能开得尽方的因数4，∴不是最简二次根式． 综上，答案选C． 2．下列二次根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的两个判定条件，被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各选项即可． 【详解】解 ：A 、是最简二次根式； B、 的被开方数含分母，不是最简二次根式； C、 的被开方数9是能开得尽方的因数，化简后为3，不是最简二次根式； D 、，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式． 故选A． 3．下列二次根式是最简二次根式的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式，根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：对于选项A：的被开方数含分母，不是最简二次根式； 对于选项B：，被开方数含分母，不是最简二次根式； 对于选项C：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 对于选项D：满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式． ∴选D． 4．下列式子中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐个验证选项即可。 【详解】∵最简二次根式的定义为：满足被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式， 对选项A，=，被开方数含有分母，不是最简二次根式， 对选项C，分母含有根式，可化简为，不是最简二次根式， 对选项D，==，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式， 对选项B，的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式定义， ∴选B. 👉题型09 已知最简二次根式求参数 1．若是最简二次根式，则的值可以是（   ） A．6 B． C．2 D．0.5 【答案】C 【分析】二次根式的被开方式中不含分母，且不含一个数或式的平方因式，就叫作最简二次根式． 【详解】解：A、当时，原式，原式不是最简二次根式，该选项不符合题意； B、当时，原式，原式不是最简二次根式，该选项不符合题意； C、当时，原式，原式是最简二次根式，该选项符合题意； D、当时，原式，原式不是最简二次根式，该选项不符合题意． 2．若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数为________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了最简二次根式定义，二次根式性质，根据最简二次根式的定义，被开方数不能含有能开得尽方的因数或因式，即 不能是平方数或含有平方因子，尝试最小的正整数，从开始验证． 【详解】解：当时，，16是4的平方，因此不是最简二次根式； 当时，，23是质数，没有平方因子，因此是最简二次根式． 故最小的正整数为2． 故答案为：2． 3．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟知相关计算法则是解题的关键．根据二次根式的性质以及二次根式有意义的条件逐一判断即可求解． 【详解】解：因为二次根式的被开方数必须为非负数，选项A中与的被开方数为负数，无意义，所以A错误不符合题意； 因为，所以B错误不符合题意； 因为，所以C错误不符合题意； 因为有意义时，即，所以，所以D正确符合题意； 故选：D． 4．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简、含字母的根式化简，掌握相关知识是解题的关键．根据二次根式的性质化简，将被开方数分解为平方数与非平方数的乘积，再结合已知条件转化即可求解． 【详解】解：由题意可得：， 故选：B． 👉题型10 二次根式的合并计算 1．最简二次根式与可以合并，则________． 【答案】 【分析】先将化为最简二次根式，再根据二次根式的定义得到被开方数相等，即可求解． 【详解】解：将化为最简二次根式，得， 最简二次根式与可以合并， 与是同类二次根式， ∴． 2．若与可以合并，则整数m的最小值为（    ） A．48 B．12 C．3 D．6 【答案】C 【分析】与可以合并，说明二者是同类二次根式，将化简为最简二次根式，即可求解． 【详解】解：， ∵与可以合并， ∴整数m的最小值为3． 3．若最简二次根式能与合并为一项，则的取值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查同类二次根式，化简后被开方式相同的二次根式称为同类二次根式． 【详解】因为最简二次根式能与合并为一项，所以与是同类二次根式，可得 解得 故答案为： 4．若与是同类二次根式，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同类二次根式的判断，将各选项中的二次根式化为最简形式，判断被开方数是否与的被开方数相同即可．解题的关键是掌握同类二次根式的定义：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． 【详解】解：A．已是最简二次根式，被开方数为，与不是同类二次根式，故的值不可以是； B．已是最简二次根式，被开方数为，与不是同类二次根式，故的值不可以是； C．，化简后被开方数为，与是同类二次根式，故的值可以是； D．已是最简二次根式，被开方数为，与不是同类二次根式，故的值不可以是． 故选：C． 👉题型11 分母有理化 1．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 2．若两个含有二次根式的代数式M，N满足，其中t是有理数，则称M与N是互为“t相关代数式”． (1)若M与是互为“6相关代数式”，则 ； (2)若其中（a是有理数），，且M与N是互为“t相关代数式”，求a和t的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的乘法，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）由题意知，计算求解即可； （2）由题意知，计算求解即可． 【详解】（1）解：与是互为“6相关代数式”， ， ； （2）解：与是互为“相关代数式”， ， 整理得，， 是有理数， ，， 解得． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键． 先化为最简二次根式，利用乘法分配律计算，再合并即可． 【详解】解：原式 ． 4．已知，，则a与b的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分母有理化，先对a进行分母有理化化简，再结合b的表达式分析a与b的数量关系，进而选择正确选项即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴，即． 故选：A． 👉题型12 化简求值问题 1．已知，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】先利用完全平方公式对所求代数式因式分解，再代入x的值计算． 【详解】解：∵， ∴． 2．已知，，则的值为______． 【答案】 1 【分析】本题考查了运用平方差公式进行运算，已知字母的值，化简求值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 利用平方差公式计算乘积． 【详解】解：， 故答案为：． 3．已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，以及分母有理化. 根据题意可得，然后根据二次根式的性质化简，再代入计算即可。 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ． 4．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)4 (2)13 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先进行分母有理化，得，，故，，然后代入进行计算，即可作答． （2）把，代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，，， 则，． ∴． （2）解：由（1）得，， ∴． 👉题型13 比较二次根式的大小 1．比较实数、、的大小，并将其用“”连接：____________． 【答案】 【分析】将三个数转化为算术平方根的形式，通过比较被开方数的大小得到原数的大小关系即可． 【详解】解：，，， ∵， ∴，即． 2．比较大小：7____．（选填“＞”或“＜”） 【答案】 【分析】本题主要考查了比较二次根式的大小，通过平方将无理数比较转化为有理数比较是解题的关键． 根据平方后的结果判断原数大小即可． 【详解】解：∵， ∴比较它们的平方：， ∵， ∴． 故答案为：． 3．比较大小：______6． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，通过比较平方的方法判断两个正数的大小即可． 【详解】解：∵，，且， ∴． 故答案为：． 4．比较大小： (1)与 (2)与 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的大小比较，核心方法是：对于正数，通过平方转化为有理数比较；对于负数，先比较绝对值(平方后比较)，再根据“绝对值大的负数更小”判断． 【详解】（1）解：先计算两数的平方： ， ， 又，且，， ； （2）解：先计算两数的绝对值并平方： ，， ，， 又， ， 根据负数比较大小的规则，绝对值大的负数更小， ． 👉题型14 二次根式的应用问题 1．若一个直角三角形的两条直角边的长分别为和，则这个直角三角形的面积是_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则．根据三角形的面积公式列式计算即可． 【详解】解：直角三角形的面积公式为，其中和为两条直角边的长， 已知，， 则， 化简， 所以， 故答案为：． 2．电流通过导线时会产生热量，电流（单位：）、导线的电阻（单位：）、通电时间（单位：）与产生的热量（单位：）满足关系式，已知导线的电阻为，通电时间为时，导线产生的热量为，求电流．（结果用根式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简及应用，熟练掌握根据实际意义对平方根进行取舍是解题的关键．已知焦耳定律公式，将已知的、、代入公式，先解出，再根据电流为正数的实际意义，对开平方求出电流． 【详解】解：由，得． 答：电流为． 3．如图所示方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则3个空格中的实数之积为______． 【答案】18 【分析】本题主要考查了二次根式的应用．根据“横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，”求出a，b，c的值，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：，，， ∴，，， ∴3个空格中的实数之积为． 故答案为：18 4．如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长． (2)已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查的是二次根式的应用，最简二次根式，熟练掌握上述知识点是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式列式计算即可； （2）先计算出种草莓的面积，再计算销售收入即可． 【详解】（1）解：长方形空地的周长为 ． 答：长方形空地的周长为． （2）解：由题意，得种草莓的面积为 ， ∴销售收入为（元）． 答：销售收入为元． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式重难点总结和题型汇编 考点清单和题型总结 考点清单和题型归纳 目录 考点一 二次根式的相关概念 1 考点二 二次根式的性质与化简 2 考点三 二次根式的运算 2 👉题型01 求二次根式的值 4 👉题型02 求二次根式的参数 4 👉题型03 二次根式有意义的条件 5 👉题型04 利用二次根式的性质化简 5 👉题型05 二次根式的乘法 5 👉题型06 二次根式的除法 6 👉题型07 二次根式的混合运算 6 👉题型08 最简二次根式的判断 7 👉题型09 已知最简二次根式求参数 7 👉题型10 二次根式的合并计算 7 👉题型11 分母有理化 8 👉题型12 化简求值问题 8 👉题型13 比较二次根式的大小 9 👉题型14 二次根式的应用问题 9 知识点和易错点总结 考点一 二次根式的相关概念 1.二次根式 二次根式的定义：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数． 【易错易混】 1）二次根式的两个要素（判断依据）：含有二次根号“”，且根指数为2；被开方数为非负数； 2）二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：，-都是二次根式； 3)二次根式的被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足𝑎≥0； 4)在具体问题中，如果已知是二次根式，相当于给出了𝑎≥0. 2.二次根式有意义的条件 1）单个二次根式，如有意义的条件是𝑎≥0； 2）二次根式作为分母时，如有意义的条件是𝑎>0； 3）二次根式与分式相加，如有意义的条件是𝑎≥0且b＞0. 考点二 二次根式的性质与化简 二次根式的性质 1）式子（𝑎≥0）既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根（），所以具有双重非负性； 2），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 3），即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 二次根式的化简 二次根式的化简：1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ， 【易错易混】 1.在使用 =• 时一定要注意 2.在使用（a≥0，b＞0）时一定要注意 考点三 二次根式的运算 1.二次根式的乘法 乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 2.二次根式的除法 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 3.最简二次根式 定义：1）被开方数不含分母；2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二次根数，叫做最简二次根式.例：都是最简二次根式. 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 4.二次根式的加减 一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 5.二次根式的混合运算 内容：二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算. 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的. 易错易混 1）结果要化为最简二次根式或整式； 2）如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件. 满分训练 👉题型01 求二次根式的值 1．当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．二次根式的值是（    ） A． B．2 C． D． 3．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．计算：（   ） A．25 B．35 C．45 D．55 👉题型02 求二次根式的参数 1．若二次根式的值为0，则的值为________． 2．当__________时，二次根式的值为0． 3．已知是正整数，则整数的最大值为（   ） A．2025 B．2024 C．2 D．1 4．若是一个整数，则正整数m的最小值是_______． 👉题型03 二次根式有意义的条件 1．若在实数范围内有意义，则的值可以是（    ） A．－2 B．3 C．－1 D．0 2．若二次根式有意义，则可以取___________．（写出一个即可） 3．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若x，y都是实数，且，则y的算术平方根是_______． 👉题型04 利用二次根式的性质化简 1．计算：___________． 2．计算的结果是_____． 3．计算： （1）_____； （2）_____； （3）_____； （4）_____． 4．化简：_____ 👉题型05 二次根式的乘法 1．计算：______． 2．计算：______． 3．若，则“”是______． 4．计算： 👉题型06 二次根式的除法 1．（1）先化简，再求值：，其中； （2）解分式方程：． 2．若成立，则的值可以是（   ） A． B． C．1 D．2 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．化简的结果是__________． 👉题型07 二次根式的混合运算 1．计算： (1)； (2)． 2．对于任意不相等的两个非负实数a，b，新定义一种运算“※”如下：（），则_______________． 3．计算：． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 👉题型08 最简二次根式的判断 1．下列根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．下列二次根式是最简二次根式的是（   ）． A． B． C． D． 4．下列式子中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 👉题型09 已知最简二次根式求参数 1．若是最简二次根式，则的值可以是（   ） A．6 B． C．2 D．0.5 2．若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数为________． 3．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若，则（    ） A． B． C． D． 👉题型10 同类二次根式 1．最简二次根式与可以合并，则________． 2．若与可以合并，则整数m的最小值为（    ） A．48 B．12 C．3 D．6 3．若最简二次根式能与合并为一项，则的取值为________． 4．若与是同类二次根式，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 👉题型11 分母有理化 1．计算：． 2．若两个含有二次根式的代数式M，N满足，其中t是有理数，则称M与N是互为“t相关代数式”． (1)若M与是互为“6相关代数式”，则 ； (2)若其中（a是有理数），，且M与N是互为“t相关代数式”，求a和t的值． 3．计算：． 4．已知，，则a与b的关系是（   ） A． B． C． D． 👉题型12 化简求值问题 1．已知，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 2．已知，，则的值为______． 3．已知，，求的值． 4．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 👉题型13 比较二次根式的大小 1．比较实数、、的大小，并将其用“”连接：____________． 2．比较大小：7____．（选填“＞”或“＜”） 3．比较大小：______6． 4．比较大小： (1)与 (2)与 👉题型14 二次根式的应用问题 1．若一个直角三角形的两条直角边的长分别为和，则这个直角三角形的面积是_____． 2．电流通过导线时会产生热量，电流（单位：）、导线的电阻（单位：）、通电时间（单位：）与产生的热量（单位：）满足关系式，已知导线的电阻为，通电时间为时，导线产生的热量为，求电流．（结果用根式表示） 3．如图所示方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则3个空格中的实数之积为______． 4．如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长． (2)已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $