安徽淮北市第十二中学2025-2026学年高二下学期第一次调研数学试卷

淮北市第十二中学2025-2026学年高二下学期第一次调研数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列说法正确的个数是(    ) 随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 在一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生 任意事件发生的概率总满足 若事件发生的概率趋近于，而，则是不可能发生的事件． A. B. C. D. 2.已知随机事件，，若，则    A.                               B.                                C.                                D. 3.播种用的一等小麦种子中混有的二等种子，的三等种子，的四等种子用一、二、三、四等种子长出的穗含颗以上麦粒的概率分别为，，，，则这批种子所结的穗含颗以上麦粒的概率为(    ) A. B. C. D. 4.展开式中的系数为(    ) A. B. C. D. 5.已知数据的三对观测值为，，，用“最小二乘法”判断下列直线的拟合程度，则效果最好的是(    ) A. B. C. D. 6.如图，将正方形纸片沿对角线翻折，若，分别为，的中点，为原正方形的中心，使得折纸后的二面角的大小为，则此时的值为(    ) A. B. C. D. 7.在等差数列中，，若它的前项和有最大值，则当时，的最大值为(    ) A. B. C. D. 8.已知，，，函数若，，成等比数列，则平面上点的轨迹是(    ) A. 直线和圆 B. 直线和椭圆 C. 直线和双曲线 D. 直线和抛物线 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知样本数据的平均数为，方差为，样本数据的平均数为，方差为，则下列结论正确的是(    ) A. 数据的平均数为 B. 数据的方差为 C. 数据的平均数为 D. 数据的方差为 10.某市为了了解一季度居民的用水情况，随机抽取了若干居民用户的水费支出单位：元进行调查，将所得样本数据分为组：，，，，整理得频率分布直方图如图所示，则(    ) A. 样本中水费支出位于区间的频率为 B. 按分层抽样，从水费支出位于区间和的用户中共抽取户，则应从水费支出在的用户中抽户 C. 水费支出的中位数的估计值为 D. 若从该市全体居民用户中随机抽取户，以事件发生的频率作为概率，则水费支出位于区间的用户数的估计值为 11.如图，在直三棱柱中，，且，为所在平面内一动点，则下列说法正确的是(    ) A. 若，则点的轨迹是一条直线 B. 若，则点的轨迹是半径为的圆 C. 若：：，则点的轨迹是椭圆 D. 若点到直线和的距离相等，则点的轨迹是抛物线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.本不同的书分给甲、乙、丙三人允许有人分不到书，则甲分得本书的概率为          ． 13.已知随机变量服从正态分布，若，则__． 14.如图所示的梯形数阵中，第行第个数的值为           四、解答题：本题共5小题，共７７分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，为等边三角形，． 证明：平面平面 求平面与平面夹角的余弦值． 16.本小题分 某中学从甲乙两个教师所教班级的学生中随机抽取人，每人分别对两个教师进行评分，满分均为分，整理评分数据，将分数以为组距分成组：，，，，，得到甲教师的频率分布直方图，和乙教师的频数分布表： 乙教师分数频数分布表 分数区间 频数 (1) 在抽样的人中，求对甲教师的评分低于分的人数； 从对乙教师的评分在范围内的人中随机选出人，求人评分均在 范围内的概率； 如果该校以学生对老师评分的平均数是否大于分作为衡量一个教师是否可评为该年度该校优秀教师的标准，则甲、乙两个教师中哪一个可评为年度该校优秀教师？精确到 17.本小题分 已知各项均为正数的等差数列满足，． 求的通项公式； 记，求数列的前项和． 18.本小题分 小丽在同一城市开的家店铺各有员工，节假日期间的某一天，每名员工休假的概率都是，且是否休假互不影响．若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂人到该店维持营业，否则该店就停业。 (1) 求发生调剂现象的概率； 设营业店铺数为，求的分布列和数学期望． 19.本小题分 已知动点到定点的距离和它到直线的距离的比是常数． 求动点的轨迹方程； 令中方程表示曲线，点，过点的直线与曲线相交于，两点，求的面积的取值范围． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淮北市第十二中学2025-2026学年高二下学期第一次调研数学试卷 一．选择题 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.  8.   9.   10.   11.   1. 解：随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，正确． 基本事件的特点是任意两个基本事件是互斥的， 在一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生，正确． 必然事件的概率为，不可能事件的概率为，随机事件的概率大于，小于， 任意事件发生的概率满足，错误． 若事件的概率趋近于，则事件是小概率事件，错误． 故说法正确的有两个． 故选C． 2. 解：由题意得，，则， 根据全概率公式，， 代入已知数据： 3. 解：设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件分别是，，，， 设“从这批种子中任选一颗，所结的穗含颗以上麦粒”， 则． 4. 解：当选择时，展开式选择的项为；当选择时，展开式选择为， 所以展开式中的系数为． 故选C． 5. 略 6. 解：如图所示，易知，， 所以结合已知有 易知， 设正方形边长为，则，， 所以 ， 故选A． 7. 解：数列是等差数列，它的前项和有最大值， 公差，为严格减数列， ， ，，， 由等差数列的性质知： ， ， ， 时，的最大值为． 故选：． 8.解：由题意得，即， 对其进行整理变形： ， ， ， ， 所以或， 其中为双曲线，为直线． 故选：． 9. 解：对于，因为样本数据的平均数为， 所以由平均数性质得数据的平均数为，故A正确； 对于，因为样本数据的方差为， 所以数据的方差为，故B错误； 对于，因为样本数据的平均数为，样本数据的平均数为， 所以数据的平均数为，故 C正确； 对于，由已知得数据的平均数为， 则新方差为，故 D正确． 故选：． 10. 解：因 ， 所以样本中支出在 的频率为 A错误； 因水费支出位于区间的频率为，水费支出位于区间的频率为，所以， ，B正确； 因 ，中位数的估计值为 ，C错误； 设抽出的户中一季度水费支出位于区间 的用户数为， 根据题意可知，D正确． 故选：． 11. 解：对于选项A，如图，连接，当点与点不重合时， 三棱柱为直三棱柱，， 又，，，平面，平面， 又平面，， 又平面，平面平面， 又平面平面，点的轨迹是过点的一条直线，故A选项正确； 对于选项B，，，点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，故B选项正确； 对于选项C，以为坐标原点，直线，，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，设，：：， ，化简得， 点的轨迹是圆，故C选项错误； 对于选项D，平面，平面，， 点到直线的距离即点到点的距离， 点到直线的距离与点到点的距离相等， 满足抛物线的定义，则点的轨迹是在平面内的一条抛物线，故D选项正确． 故选：． 二．填空题 12.  13.  14.   12. 解：要计算甲分得本书的概率，需通过总情况数与符合条件的情况数的比值求解： 计算总分法数：每本不同的书可独立分给甲、乙、丙三人中的任意一人，根据分步乘法计数原理，总分法数为； 计算甲分得本书的分法数： 从本书中选本给甲，有种选法； 剩余本书每本只能分给乙或丙，有种分法； 故甲得本书的分法数为； 计算概率：甲分得本书的概率为． 13. 解：因为随机变量服从正态分布，对称轴为， 又，而， 所以， 所以和关于对称轴对称， 则， 故答案为． 14. 解：观察、归纳梯形数阵规律， 第一行每一个数提取系数， 第二行每一个数提取系数， ， 第行每一个数提取系数， 提取系数之后，各数的分子均为，分母恰好成二项式系数所构成的杨辉三角分布， 所以可求得第行第个数的值为， 故答案为： 三．解答题 15. 解：证明：因为底面为矩形， 所以， 又因为，，，平面， 所以平面． 因为平面， 所以平面平面． 取中点为，连接， 因为为等边三角形， 所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 如图，分别以，为，轴建立空间直角坐标系， 则，，， 所以， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则． 又平面的法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为．  16. 解：由频率分布直方图可知，分以上的频率为， 所以分以下的频率为， 所以对甲教师的评分低于分的人数：， 即：对甲教师的评分低于分的人数为人； 由频数分布表有人，有人， 记的人为、、，的人为、、， 随机选出人的基本事件为：，，，，，，，，，，，，，，，共种， 评分均在范围内的基本事件为：，，，共种， 所以人评分均在范围内的概率； 由频率分布直方图可得的频率为：， 所以甲教师的平均数为：， 乙教师的平均数为：， 由于乙教师的平均数大于分， 故乙可评为年度该校优秀教师．  17. 解：由条件得，即， 又因为数列的各项均为正数，所以，则有， 所以的公差为，则； 由知 所以 ．  18. 解：记家小店分别为，店有人休假记为事件，店有人休假记为事件，发生调剂现象的概率为．    则， ， ． 所以． 故发生调剂现象的概率为                                依题意，的所有可能取值为． 则， ，  ． 所以的分布列为： 所以．  19. 解：设，由题意得，得， 设直线：， 由，消去得， ，， ， 令， 上式化简为：， 函数在定义域内单调递减，故当，有最大值， 所以．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $