专题07 一次函数章末60道压轴题型专训（10大题型）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版2024）

专题07 一次函数章末60道压轴题型专训（10大题型） 题型一 动点问题的函数图象 题型二 一次函数图像的性质综合应用 题型三 含绝对值的函数问题 题型四 一次函数的平移综合 题型五 一次函数与不等式、方程组综合应用 题型六 一次函数翻折问题 题型七 一次函数中最值问题 题型八 一次函数的应用（利润、分配、行程）问题 题型九 一次函数规律探究问题 题型十 一次函数几何综合应用 【经典例题一 动点问题的函数图象】 1．（24-25七年级下·江西吉安·期末）已知动点以每秒的速度沿图甲所示的边框按的路径移动，相应的三角形的面积关于时间的图象如图乙所示，若，试回答下列问题：    (1)如图甲，的长是多少？图形面积是多少？ (2)如图乙，图中是多少？是多少？ 2．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）如图，动点P从O点出发，匀速沿着线段、半圆弧，线段返回到出发点O，动点P与出发点O的距离y（厘米）与时间t（秒）之间的函数图像如图所示，根据图像解决下列问题：(π取3) (1)半圆O的半径是_______厘米；点P的运动速度_______厘米/秒． (2)求a的值； (3)当点P运动到点C处时，遇到障碍停止了2秒，停止后运动速度不变，求： ①b的值； ②求图像中F点的坐标，并解释F点坐标的实际意义． 3．（24-25八年级下·上海杨浦·课后作业）如图①，数轴上点O表示的数是0，点A表示的数是，点B是数轴上一动点，表示的数是x，它与点A之间的距离AB用y表示． (1)填写下表，在如图②所示的平面直角坐标系内画出y关于x的图象； x … 1 2 … y … … (2)下列说法正确的是________（填序号）． ①变量x是变量y的函数；②y随x的增大而减小；③图象经过第一、二、三象限；④当时，y有最小值． 4．（24-25八年级下·重庆巴南·月考）如图1，在矩形中，，，E为的中点，动点P，Q分别从点A，E出发，沿射线运动，动点G从点D出发，沿射线运动，动点P的速度是动点Q的2倍，动点G的速度是动点Q的．已知，运动时间为t，令的面积为，的面积为，请回答下列问题：    (1)请直接写出，与t之间的函数关系式； (2)完成下表，并在如图2所示的平面直角坐标系中画出，的图象，并根据图象写出函数的一条性质：______． t 0 4 8 (3)根据图象直接写出当且时，t的取值范围． 5．（24-25七年级下·重庆·期末）如图1，四边形中，，，动点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度，按的路径匀速运动，到达D点后停止；如图2是点P运动t秒后，的面积S随时间变化的图象，由以上信息回答下列问题： (1)______，______； (2)当t为何值时，的面积为6； (3)在点P的整个运动过程中，请直接写出当t为何值时，是等腰三角形． 6．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图1，四边形是一个长方形，一动点P在长方形边上运动，设点P运动的路程为，的面积为，S与x的关系图象如图2所示．    (1)动点P从点A出发，沿路线运动到点D停止，已知点P在边上运动时的速度为，在边上运动时的速度为，在边上运动时的速度为．根据图2可知，___________； (2)在（1）的条件下，求出点P由点A运动到点D的总时间； (3)如图3，在长方形的对角线上取一点M，使得点M到边的距离，到边的距离，若动点P从点A出发，以的速度沿路线运动．同时，动点Q从点C出发，以的速度沿路线运动（P，Q中一点先到达终点时，另一点停止运动）．连接，，，设运动时间为，的面积为，当点P，Q不在同一边上运动时，求出W与t的关系式． 【经典例题二 一次函数图像的性质综合应用】 7．（25-26八年级下·河北廊坊·月考）小明画一次函数的图象时，在列表时他将其中一个函数值y算错了． x 0 1 2 y 3 2 (1)观察表格，自变量x每增加1个单位长度，函数值y减少______个单位长度，被算错的点的正确函数值是______，求一次函数的解析式； (2)若函数值y不大于8，求满足条件的x的负整数值； (3)已知一次函数图象上任意两个不同的点，，记，，则______． 8．（2026·河北张家口·一模）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点为和，直线：恒过定点． (1)求定点的坐标； (2)当直线和线段有交点时，求的取值范围； (3)若直线和线段所在直线交于点，点的横坐标为，请用含的代数式表示，并求出当是正整数时，整数k的所有值． 9．（25-26八年级上·江苏连云港·月考）在平面直角坐标系中，一次函数的图象是由正比例函数的图象平移得到，且过点． (1)求该一次函数表达式，并在平面直角坐标系中画出该一次函数的图象． (2)根据一次函数的图象当时，自变量的取值范围为___________． (3)已知，是一次函数图象上的两点，且．比较与的大小，并说明理由． 10．（25-26八年级下·江苏南通·月考）小明在学习一次函数后，对形如（其中k，m，n为常数，且）的一次函数图象和性质进行了探究，过程如下： 【特例探究】 (1)如图所示，小明分别画出了函数，，的图象．请你根据列表、描点、连线的步骤在图中画出函数的图象． 【深入探究】 (2)通过对上述几个函数图象的观察、思考，你发现（k为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是 ． 【得到性质】 (3)函数（其中k、m、n为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是 ． 【实践运用】 (4)已知一次函数（k为常数，且）的图象一定过点N，且与y轴相交于点A，若的面积为2，求k的值． 11．（2026·湖北鄂州·模拟预测）小容利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入的值为时，输出的值为；输入的值为3时，输出的值为4，输入的值为4时，输出的值为7． (1)填空：____________，____________，____________； (2)小易在平面直角坐标系中画出了关于的函数图象，如图（2），当随的增大而增大时，求的取值范围； (3)小聪发现直线（为实数）与（2）中的图象最多有三个交点，设这三个交点从左至右依次为，，，如果规定：在线段上有一点到该线段两个端点的距离存在2倍的关系，则称这个点为该线段的“平均点”．若点为线段的“平均点”，试求的取值； (4)若在函数图象上有点，（与不重合），的横坐标为，的横坐标为，小明对，之间（含，两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化，直接写出的取值范围． 12．（25-26七年级上·山东泰安·期末）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： ．．． 0 1 2 3 4 ．．． ．．． 0 0 ．．． 则___________，___________； (2)描点并画出该函数的图象； (3)①根据图象可知当时，的值是___________； ②观察函数图象，试判断函数是否存在最小值？若存在，直接写出最小值： (4)下列关于该函数性质的描述正确的是___________（填序号）． ①该函数图象是轴对称图形； ②当时，随的增大而增大； ③当时随的增大而减小． 【经典例题三 含绝对值的函数问题】 13．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）已知关于的一次函数． (1)若点，是该一次函数图象上的两点，则_____；（填“>”或“＜”） (2)若点在该函数图象上，求的绝对值． 14．（24-25九年级上·广东广州·月考）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义．结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数中，当x＝2时，y＝－4；当x＝0时，y＝－1． （1）求这个函数的表达式； （2）已知函数y＝x－3的图象如图所示，请在图中画出函数的图象，结合图象直接写出不等式的解集． 15．（24-25七年级下·山东济宁·期末）类比学习是知识内化的有效途径，认真读题是正确审题的第一步：对于平面直角坐标系中的不同两点，给出如下定义∶点与点两点横坐标差的绝对值与它们纵坐标差的绝对值的和，叫做A，B两点的折线距离，记作，即．例如，图1中，点与之间的折线距离． (1)已知点，则点O，C两点的折线距离________ (2)已知点，且，求的值； (3)如果点满足，请在图2中画出所有符合条件的点组成的图形． 16．（25-26八年级上·山西太原·月考）根据以下素材，探索完成任务． 探究函数的图象性质 素材1 七年级数学教材绝对值一课中，给出了绝对值的相关知识：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即绝对值的意义 素材2 八年级数学教材中，我们经历了“确定函数的表达式……利用函数图象研究其性质……应用函数解决问题”的学习过程，在画函数图象时，我们可以通过描点的方法画出一个函数的图象． 问题解决 任务1 对于函数，当时化简函数的表达式： 当时，________；当时，________； 任务2 在平面直角坐标系中，画出函数的图象，结合所画图象，总结y随x的增加而呈现的变化情况． （1）    列表 x …… 0 1 2 3 4 …… y …… 2 a 0 1 b …… a=______，b=________ (2)描点、连线； 任务3 结合函数图象，写出关于函数y=|x-2|的一条性质 17．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）根据以下素材，探究函数的图象性质． 【素材内容】 素材1：七年级（上）绝对值一课中，给出了绝对值的相关知识：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即绝对值的意义； 素材2：八年级（上）数学教材第四章中，我们经历了“确定函数的表达式一利用函数图象研究其性质一应用函数解决问题”的学习过程，在画函数图象时，我们可以通过描点的方法画出一个函数的图象． 【问题解决】 任务1：对于函数，当时化简函数的表达式： 当时， ；当时， ； 任务2：在平面直角坐标系中，画出函数的图象； 任务3：函数的图象可由的图象向 平移 个单位得到； 函数的图象可由的图象向 平移 个单位得到； 任务4：结合以上任务，你发现函数有哪些性质？（写出一条即可） 18．（24-25八年级下·山东济南·期中）【问题提出】如何解不等式？ 预备知识1：同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题． 图①中给出了函数和的图象，观察图象，我们可以得到： （1）当时，函数的图象在图象上方，由此可知：不等式的解集为___________． 预备知识2：函数，称为分段函数，其图象如图②所示．实际上对带有绝对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号．比如化简时，可令和，分别求得（称1，3分别是和的零点值），这样可以就，，三种情况进行讨论： （1）当时，； （2）当时，； （3）当时，． 就可以化简为． 预备知识3：函数(为常数)称为常数函数，其图象如图③所示． （2）【知识迁移】如图④，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是___________． 【问题解决】结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式． （3）先化简，再作图，在图⑤所示的平面直角坐标系中作出函数和的图象．并通过观察图象，求出不等式的解集 【经典例题四 一次函数的平移综合】 19．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）如图直线与y轴交于点A，点B为该直线上一点，且点B的纵坐标是6． (1)求点A和点B的坐标； (2)把直线向下平移7个单位长度，若平移后的直线与x轴交于点C，连接，，求的面积． 20．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求m的值； (2)将直线平移，平移之后的直线记作直线，若直线与直线的交点在第二象限内，直接写出b的取值范围． 21．（24-25八年级下·四川绵阳·月考）如图1，将矩形置于平面直角坐标系中，其中边在轴上，，直线：沿轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被矩形的边截得的线段长度为，平移时间为，与的函数图象如图2所示． (1)点的坐标为________，矩形的面积为_________； (2)求，的值； (3)在平移过程中，求直线扫过矩形的面积与的函数关系式（其中）． 22．（25-26八年级下·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中有一点，将点A向左平移5个单位再向上平移5个单位得到点B，直线过点A、B，交x轴于点C，交y轴于点D，通过研究发现直线上所有点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程的解．例如：若点E在直线上，横坐标，则其纵坐标为；若点F在直线上，纵坐标，则其横坐标为． (1)直接写出点B，C，D的坐标：B______，C_______，D______； (2)求． (3)将绕点B顺时针旋转得到，求的面积． 23．（24-25八年级下·河南南阳·期中）[问题情境] 老师在黑板上写了一道题目：在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位长度，求平移后直线的函数表达式， 小雯利用直线上下平移的规律“上加下减”得平移后直线的函数表达式为；小谢认为平移前后直线中的“k”不变，只要求出b的值即可．他的方法是：在原直线上任意找一点，如点，先把点A按要求平移，得到相应的对应点，再用待定系数法求过点的直线的函数表达式． 在课堂交流中，老师肯定了他们的做法，感兴趣的小雯继续进行探究验证： [解决问题] （1）小雯用小谢的方法进行了尝试：将点向上平移3个单位长度后的对应点的坐标为______，利用待定系数法求得过点的直线的函数表达式为 ； （2）小雯又提出了一个新问题请全班同学一起解答和检验这个方法：将直线向左平移3个单位长度，平移后直线的函数表达式为 ，利用上下平移的规律，将直线向 （填“上”或“下”）平移 个单位长度也能得到这条直线； [拓展应用] （3）对于平面直角坐标系内的图形M，将图形M上所有点都向上平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度，我们把这个过程称为图形M的一次“斜平移”．请你求出将直线进行两次“斜平移”后得到直线的函数表达式． 24．（24-25七年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系xOy中，正方形的顶点，，点B在点A的右侧，点C，点D在的下方． (1)直接写出的长度（用含m的式子表示）； (2)若三角形的面积为3． ①求m的值； ②在平面直角坐标系中，二元一次方程的图象都是一条直线，直线上每个点的坐标（x，y）都是这个方程的一个解．记二元一次方程（）的图象为直线l，直线l与正方形的边，分别交于点E，点F，如图所示，且三角形的面积为．现将正方形进行平移，使得直线l与正方形的边分别交于点P，点Q，在平移过程中，是否存在三角形的面积也为的情形？若存在，请探究如何平移；若不存在，请说明理由． 【经典例题五 一次函数与不等式、方程组综合应用】 25．（24-25八年级下·山西朔州·月考）如图，直线与x轴交于点B，，直线经过点C，且与交于点． (1)求直线的解析式； (2)根据图象，直接写出的解集． 26．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与直线交于点，与y轴交于点B． (1)___________；不等式的解集为___________． (2)y轴上是否存在一点P，使得的面积为6，若不存在请说明理由，若存在请求出P的坐标． (3)若点在线段上，点在直线上，求的最小值． 27．（25-26八年级下·山东日照·月考）如图，直线与直线相交于点，直线与与x轴分别交于A、B两点． (1)求b的值，并结合图象直接写出关于x、y的方程组的解； (2)垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C、D，若线段的长为4，求出a的值． 28．（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图，，，，动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位速度向上移动，且过点P的直线也随之移动，设移动时间为t秒． (1)当时，求l的解析式； (2)若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围； (3)直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上． 29．（2026八年级下·天津红桥·学业考试）已知学生宿舍、超市、图书馆依次在同一条直线上，超市离宿舍，图书馆离宿舍．小琪从宿舍出发，先匀速步行了到超市，在超市停留了，之后匀速骑行了到图书馆，在图书馆停留了后，再匀速步行了返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中小琪离宿舍的距离与时间的对应关系．    请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 小琪离开宿舍的时间/ 1 8 16 60 小琪离宿舍的距离/ ②填空：小琪从图书馆返回宿舍的速度为________； ③当时，请直接写出小琪离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； (2)若同宿舍的小华与小琪同时从宿舍出发，小华以的速度步行直接到图书馆．在从宿舍到图书馆的过程中，对于同一个x的值，小琪离宿舍的距离为，小华离宿舍的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 30．（25-26八年级上·河南郑州·期末）定义：对于一个函数，若存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“邂逅点函数”，点为该函数图象上的一个邂逅点．例如：中，当时，，所以称为邂逅点函数，点是该函数图象上的一个邂逅点．某数学兴趣小组围绕该定义展开探究．     (1)一次函数①，②，③，是“邂逅点函数”的是_________（填写序号）； (2)观察图1，判断直线表示的函数是否是“邂逅点函数”_________（填“是”或“否”） 【深入探究】 (3)如图2，求直线的函数表达式，并判断该函数是否是“邂逅点函数”，若是，求出邂逅点坐标；若不是，请说明理由． (4)兴趣小组发现求函数邂逅点坐标的本质就是求该函数图象与直线图象的交点坐标，则直线的表达式为_________． 【迁移应用】 (5)如图3，兴趣小组对“邂逅点函数”函数展开了探究： 计算x与y的几组对应值，列表如下： x … 0 1 2 3 4 … y … 6 4 2 0 0 2 4 6 … 请用描点法在平面直角坐标系中画出该函数的图象，并直接写出该函数邂逅点坐标． 【经典例题六 一次函数翻折问题】 31．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，把沿着过点B的某条直线折叠，使点A落在y轴负半轴上的点D处，折痕与x轴交于点C．    (1)求点A、B、C、D的坐标； (2)求的余弦值． 32．（24-25八年级上·河南驻马店·月考）如图，直线交y轴于C，与x轴交于点D，直线经过点，且直线交于点． (1)当时，直接写出x的取值范围_____；直线的表达式为______； (2)点M是直线上的一点，若将沿折叠，点C恰好落在x轴上，求出点M的坐标． (3)若点Q为x轴上一点，连接，且是等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 33．（2025·江苏苏州·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． （1）求的长和点C的坐标； （2）求直线的解析式． 34．（24-25八年级上·江西抚州·月考）如图，在矩形中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是．矩形沿直线折叠，使得点A落在对角线上的点E处，且直线与、x轴分别交于点D、F． (1)求线段的长； (2)求的面积； (3)在x轴上是否存在点M，使得以A、B、F、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出满足条件的M点的坐标；若不存在，请说明理由． 35．（24-25八年级下·黑龙江鹤岗·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴交于A、B两点，且OA、OB的长度满足，M是OA上一点，若将△ABM沿着直线BM折叠，点A恰好落在y轴上的点P处． (1)求点A、B、P三点坐标； (2)求直线BM的解析式； (3)在坐标平面内是否存在一点N，使以点B、M、A、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 36．（24-25八年级上·江西景德镇·期末）已知一直角三角形纸片，其中，，，将该纸片放置在平面直角坐标系中，如图1所示. (1)求经过A，B两点的直线的函数表达式. (2)折叠该纸片，使点B与点A重合，折痕与边交于点C，与边交于点D（如图2所示），求点C的坐标. (3)①若P为内一点，其坐标为，过点P作x轴的平行线交于点M，作y轴的平行线交于点N（如图3所示），求点M，N的坐标并求的长. ②若P为上一动点，设的中点为点E，的中点为点（如图4所示）求的最小值，并求取得最小值时点P的坐标. 【经典例题七 一次函数中最值问题】 37．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，一次函数y1＝ax+b（a≠0）的图象经过点Q（1，2），过点A（2，3）且长为2个单位长度的线段AB平行于x轴，点B在第一象限． (1)求a与b的关系式； (2)当直线y1＝ax+b（a≠0）与线段AB有公共点时，求a的最大值p与最小值q的差； (3)对于一次函数y2＝mx+3m﹣1（m≠0），无论x取何值，始终有y1＞y2，求a与m的数量关系及m的取值范围． 38．（24-25八年级下·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，已知函数，其中m为常数，该函数的图象记为． (1)当时， ①请你在平面直角坐标系中画出函数的图象； ②若点和点在图象G上，则a的值为 ，b的值为 ； (2)当时，函数的最大值记为p，最小值记为q，当时，求的取值范围． 39．（2025·天津南开·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，四边形是矩形，点A，C的坐标分别是，．点D是边上的动点（与端点B，C不重合），过点D作直线交边于点E． （1）如图①，直接写出D，E两点的坐标（用含b的式子表示）． （2）如图②，若矩形关于直线的对称图形为矩形，试探究矩形与距形的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积：若改变，请说明理由； （3）矩形绕着它的对称中心旋转，如果旋转前后两矩形重叠部分的图形是菱形，请直接写出这个菱形面积的最大值和最小值． 40．（2025·重庆·模拟预测）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题． （1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象； … －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 … … －3 0 3 … （2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在相应的括号内打“√”，错误的在相应的括号内打“×”； ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴；(    ) ②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当时，函数取得最大值3；当时，函数取得最小值－3；(    ) ③当或时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；(    ) （3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集（保留1位小数，误差不超过0.2）． 41．（2025·重庆沙坪坝·二模）重庆八中的学子课外活动丰富多彩，开展了很多社团活动．最近数学社的同学在探究函数y＝的图象与性质，请你根据之前学习函数的经验和方法，画出函数图象，并回答下列问题． （1）选择恰当的值补充表格，在平面直角坐标系中，描出表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出函数图象． x … … y … 　 　 　 　 　 　 … （2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在答题卡上相应的括号内打“√”，错误的在答题卡上相应的括号内打“×”． ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴．（ ） ②当x＝0时，函数取得最大值5；当x＝﹣5或5时，函数取得最小值0（ ） ③当﹣5≤x＜0时，y随x的增大而减小；当0＜x≤5时，y随x的增大而增大（ ） （3）请结合（1）中函数图象，直接写出关于x的不等式＞﹣x+3的解集． 42．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，对于任意三点A、B、C我们给出如下定义：“横长”a：三点中横坐标的最大值与最小值的差，“纵长”b：三点中纵坐标的最大值与最小值的差，若三点的横长与纵长相等，我们称这三点为正方点． 例如：点 (，0) ，点 (1，1) ，点 (， )，则、、三点的 “横长”=||=3，、、三点的“纵长”=||=3．因为=，所以、、三点为正方点． (1)在点 (3，5) ，(3，) ， (，)中，与点、为正方点的是 ； (2)点P (0，t)为轴上一动点，若，，三点为正方点，的值为 ； (3)已知点 (1，0)． ①平面直角坐标系中的点满足以下条件：点，，三点为正方点，在图中画出所有符合条件的点组成的图形； ②若直线：上存在点，使得，，三点为正方点，直接写出m的取值范围． 【经典例题八 一次函数的应用（利润、分配、行程）问题】 43．（2026·山东济南·一模）2026年央视春晚舞台上，多款国产智能机器人惊艳亮相，展现了我国人工智能与机器人技术的飞速发展．某科技公司计划采购A、B两款小机器人，用于科普展览．经过调查，购买2台A型机器人和1台B型机器人需2400元，购买1台A型机器人和3台B型机器人需3950元． (1)求A型机器人和B型机器人的单价分别为多少元？ (2)该公司准备采购这两种机器人共50台，其中要求B型机器人的数量超过A型机器人数量的一半，请你给出最节省费用的购买方案，最低费用是多少？ 44．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）某学校计划组织全校1441名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司62辆A，B两种型号客车作为交通工具．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息： 型号 载客量 租金单价 A 30人/辆 380元/辆 B 20人/辆 280元/辆 注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数． (1)设租用A型号客车x辆，租车总费用为y元，求y与x的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)若要使租车总费用不超过21940元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？ 45．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）某公司研发了一款新型玩具，成本为每个50元，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）（x为整数）符合一次函数关系，如图所示 (1)求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 46．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）“谷雨前后，种瓜种豆”是一句广泛流传的农谚，此时春耕春播进入了关键期．琪琪家计划在某一天（一天以24小时计）租用播种机播种花生．现有两家农机公司可提供播种机租赁，按播种机租赁时间计费，每小时的租赁费标价都是40元，他们的优惠方案如下： 甲公司：按标价的8折租赁； 乙公司：一次性租赁时间不超过4小时的，按标价租赁；若超过4小时，则超过4小时的部分按标价的七折租赁． 根据以上信息，解答下列问题： (1)设租赁时间为小时，租用甲公司的播种机每日所需费用为元，租用乙公司的播种机每日所需费用为元，分别求出，与x之间的关系式； (2)当播种机的租赁时间为多少小时时，这两家公司提供的优惠方案所需租赁费用相同？ (3)琪琪家一次性拿出480元用于租赁播种机，选择哪家公司，能使租赁的时间更长？ 47．（2026·陕西汉中·一模）2026年是中国工农红军长征胜利90周年，为弘扬伟大的长征精神，某校组织学生开展“重走长征路”主题研学活动．研学途中，一支小分队从营地出发，沿指定路线向营地行进，行进过程中保持匀速前进，这支小分队距离营地的路程（千米）与行进时间（小时）之间满足一次函数关系，部分对应值如下表所示： （小时） 1 2 3 4 （千米） 20 16 12 8 根据表中信息，解答下列问题： (1)求与之间的一次函数关系式；（无需写出自变量的取值范围） (2)这支小分队从营地到营地共需要多长时间？ 48．（2026·山东日照·一模）某校九年级组织了一场趣味运动会，其中“背夹球竞走”项目（如图1）的规则是：每班选出男、女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上从起点出发，侧身走到终点，再原路返回至起点，气球不能落地．若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续行进．用时少者胜．甲、乙两班比赛过程中，甲班途中掉了球，乙班顺利走完了全程，两个班级同学到起点的距离与比赛时间的函数关系如图2． (1)求的函数表达式， (2)求甲、乙两班同学在途中到起点的距离相同时，x的值． 【经典例题九 一次函数规律探究问题】 49．（25-26八年级下·上海杨浦·课后作业）如图是用火柴棒按规律拼摆的图形． (1)用y表示摆成第n个图形所需的火柴棒根数，试完成下表： n 1 2 3 4 5 … y … (2)用公式法表示y与n之间的函数关系； (3)画出这个函数的图象． 50．（24-25八年级下·宁夏石嘴山·期中）声音在空气中传播的速度（简称“声速”）和气温有下表中的关系： 0 5 10 15 20 331 334 337 340 343 (1)随着T的增大，v将随之_____________（填“增大”或“不变”或“减小”）． (2)根据表中数据的变化，你发现了什么规律？写出v与T之间的函数解析式（不需要写自变量的取值范围）． (3)根据你发现的规律，回答下列问题： 在气温为的某个夏夜，小明在看到闪电后听到雷声，那么打雷的地方距小明大约多远？ 51．（2025·山西晋城·一模）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文（部分），请仔细阅读并完成相应的任务 用函数研究数轴上动点到定点（两个）距离和的变化规律 数轴是初中数学的一个重要工具，研究数轴我们可以发现许多重要的规律．例如：若数轴上点，点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为．学习函数知识后，我们可以用函数方法研究数轴上动点到定点（两个）距离和的变化规律． 特例研究： 例：如图1，在数轴上点，点表示的数分别为，3，动点表示的数为，求点到点，的距离和为，并直接写出的最小值. 用函数方法，我们可以用含的式子表示 ， 画出函数图象如图2，观察图象，可以直观看出：的最小值为5． 拓广探索： 若数轴上点，点表示的数分别为常数，，且，动点表示的数为，点到点，的距离和为，并直接写出的最小值，.…… 任务： (1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是______（从下面选项中选出两个即可）； A．转化思想  B．数形结合思想   C．统计思想      D．分类讨论思想 (2)请直接写出“拓广探索”中，关于的函数表达式． (3)在“拓广探索”中，的最小值为______；当时，随的增大而______． (4)如果你写“拓广探索”部分的内容，请直接写出一个你发现的结论． 52．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）【问题情境】数学课上老师出示了这样一道题：在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位长度，求平移后直线的函数解析式． 小雯利用直线上下平移的规律“上加下减”得平移后直线的函数表达式为； 小谢认为平移前后直线中的“k”值不变，只要求出b的值即可．他的方法是：在原直线上任意找一点，如点，先把点A按要求平移，得到相应的对应点，再用待定系数法求过点的直线的函数解析式． 在分享交流中，老师肯定了他们的做法．小雯很感兴趣，又继续进行了以下探究： 【解决问题】 （1）小雯用小谢的方法尝试解决老师给出的问题：将点向上平移3个单位长度后的对应点的坐标为 ，利用待定系数法求得过点的直线的函数解析式为 （2）小雯提出了一个新的问题，请同学们用以上方法解答，将直线向左平移3个单位长度，平移后直线的函数解析式为 ，利用上下平移的规律，将直线向 （填“上”或“下”）平移 个单位长度也能得到这条直线； 【拓展应用】 （3）如果直线与直线关于y轴对称，求这条直线的函数解析式． 53．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期末）数学精英小组利用平面直角坐标系在研究直线上点的坐标规律时，发现直线上的任意三点，，（），满足，经小组查阅资料，再经请教老师验证，以上结论是成立的，即直线上任意两点的坐标，，（），都有．例如：，为直线上两点，则． (1)已知直线经过，两点，请直接写出______． (2)如图，直线于点，直线，分别交轴于，两点，，，三点坐标如图所示．请用上述方法求出的值． 54．（24-25八年级下·福建南平·期末）探究活动一： 如图1，某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时，发现在直线上的三点，，，有，，，兴趣小组提出猜想：若直线上任意两点，，则是定值．通过多次验证和查阅资料得知，猜想成立，是定值，并且是直线中的，叫做这条直线的斜率． （1）请你应用以上规律直接写出过，两点的直线的斜率______． 探究活动二： 数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到正确结论：当任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值． （2）如图2，直线与直线垂直于点，且，，．请求出直线与直线的斜率之积．并写出你发现的结论． 综合应用： （3）如图3，，，请结合探究活动二的结论，求出过点且与直线垂直的直线的解析式． 【经典例题十 一次函数几何综合应用】 55．（24-25八年级下·河南信阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线的表达式为，交轴于点．点，分别在直线上，两条直线相交于点. (1)求直线的表达式； (2)直接写出不等式的解集； (3)若直线上存在一点，使得的面积等于的面积的倍，求出点的坐标． 56．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，已知直线与直线交于点，直线在轴上的截距为． (1)求的值； (2)过直线上一点作轴的垂线交直线于点，交直线于点． ①当时，求点的坐标； ②当时，请通过计算比较与的大小． 57．（25-26八年级上·四川雅安·期中）已知一次函数的图象过和两点，且与x轴交于A点，点和点Q在一次函数图象上，且点P的横坐标为1，点Q的纵坐标为1． (1)求此一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)已知点M在x轴上，若使的值最小，求的最小值． 58．（25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与直线平行，且经过点． (1)求点A、B的坐标及直线的解析式； (2)若点P是直线上的一个动点，其横坐标为n，且点P到x轴的距离为9，求n的值； (3)设点Q为直线上的动点，且点Q的纵坐标为3，在x轴上是否存在点D，使的面积为12．如果存在，请直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由． 59．（2026·湖北襄阳·一模）如图1，已知正比例函数与一次函数的图象交于点． (1)求点的坐标； (2)设轴上有一点，过点作轴的垂线（垂线位于点的右侧），分别交函数和的图象于点、，连接，若，求的面积； (3)在（2）的条件下，如图2，若一次函数的图象与轴交于点，试判断四边形的形状，并说明理由． 60．（24-25八年级上·江苏常州·月考）建立模型 如图，等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，可证明得到． 模型应用 (1)如图2，直线：与轴、轴分别交于、两点，经过点和第一象限点的直线，且，，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，求直线的表达式； (3)如图3，在平面直角坐标系中，已知点，连接，在第二象限内是否存在一点，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 一次函数章末60道压轴题型专训（10大题型） 题型一 动点问题的函数图象 题型二 一次函数图像的性质综合应用 题型三 含绝对值的函数问题 题型四 一次函数的平移综合 题型五 一次函数与不等式、方程组综合应用 题型六 一次函数翻折问题 题型七 一次函数中最值问题 题型八 一次函数的应用（利润、分配、行程）问题 题型九 一次函数规律探究问题 题型十 一次函数几何综合应用 【经典例题一 动点问题的函数图象】 1．（24-25七年级下·江西吉安·期末）已知动点以每秒的速度沿图甲所示的边框按的路径移动，相应的三角形的面积关于时间的图象如图乙所示，若，试回答下列问题：    (1)如图甲，的长是多少？图形面积是多少？ (2)如图乙，图中是多少？是多少？ 【答案】(1)的长为，图形面积为； (2)是，是． 【分析】（1）先根据图形中所得的移动时间，计算、、的长，再根据、的长求得相应的时间，最后计算图形的面积； （2）先根据是点移动时的面积，求得的值，再根据为点走完全程的时间，求得的值． 【详解】（1）解∶由图得，点在上移动了，故 点在上移动了，故 点在上移动了，故 由可得，点在上移动了 由，可得点在上移动了 ∴图形面积 故的长为，图形面积为； （2）解：由图得，是点移动时的面积 ， 为点走完全程的时间∶ 故图中的是，是． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，解决问题的关键是深刻理解动点的函数图象所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程，从函数图象中获取相关的信息进行计算． 2．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）如图，动点P从O点出发，匀速沿着线段、半圆弧，线段返回到出发点O，动点P与出发点O的距离y（厘米）与时间t（秒）之间的函数图像如图所示，根据图像解决下列问题：(π取3) (1)半圆O的半径是_______厘米；点P的运动速度_______厘米/秒． (2)求a的值； (3)当点P运动到点C处时，遇到障碍停止了2秒，停止后运动速度不变，求： ①b的值； ②求图像中F点的坐标，并解释F点坐标的实际意义． 【答案】(1)6；2 (2)12 (3)①17；②；点P运动时间16秒时到达C点，此时距离O点 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由函数图象可得动点从点出发，经过秒到达点，与点的距离为， 之后到处发秒，点与点的距离一直为，说明这时点在半圆弧上运动，由此即可得解； （2）先求出半圆弧的长为厘米，再求出点在半圆弧上运动的时间为秒，即可得解； （3）当点运动到点处时，遇到障碍停止了秒，然后继续以原来的速度运动，结合函数图象计算即可得解；②先求出当点运动到点处时，的长，从而可得点的横坐标为，即可得解． 【详解】（1）解：由函数图象可得：动点从点出发，经过秒到达点，与点的距离为， 之后到处发秒，点与点的距离一直为，说明这时点在半圆弧上运动， ∴半圆O的半径是厘米，点P的运动速度（厘米/秒）； （2）解：由（1）可得：半圆O的半径是厘米，点P的运动速度2厘米/秒， ∴半圆弧的长为（厘米）， ∴点在半圆弧上运动的时间为（秒）， ∴； （3）解：当点运动到点处时，遇到障碍停止了秒，然后继续以原来的速度运动， 由题意及函数图象可得：； ②由题意及函数图象可得：当点运动到点处时，（厘米）， ∴点的横坐标为， ∴图象中点的坐标为， 点坐标的实际意义是：点P运动时间16秒时到达C点，此时距离O点． 3．（24-25八年级下·上海杨浦·课后作业）如图①，数轴上点O表示的数是0，点A表示的数是，点B是数轴上一动点，表示的数是x，它与点A之间的距离AB用y表示． (1)填写下表，在如图②所示的平面直角坐标系内画出y关于x的图象； x … 1 2 … y … … (2)下列说法正确的是________（填序号）． ①变量x是变量y的函数；②y随x的增大而减小；③图象经过第一、二、三象限；④当时，y有最小值． 【答案】(1)见解析 (2)④ 【分析】本题考查两点之间距离，函数图象及性质，熟练掌握是解决本题的关键． （1）根据表格中得数据描点画图即可； （2）观察图象即可； 【详解】（1）解：填表如下，画图如下： （2）解：∵变量取一个数值，变量有两个数值与之对应，不符合函数定义，故①不正确； ∵在所画图象中，随的增大而减小和增大均有，故②不正确； ∵距离不为负数，即不经过第三象限，故③不正确； ∵通过观察图象可知，当时，有最小值，故④正确； 故答案为：④． 4．（24-25八年级下·重庆巴南·月考）如图1，在矩形中，，，E为的中点，动点P，Q分别从点A，E出发，沿射线运动，动点G从点D出发，沿射线运动，动点P的速度是动点Q的2倍，动点G的速度是动点Q的．已知，运动时间为t，令的面积为，的面积为，请回答下列问题：    (1)请直接写出，与t之间的函数关系式； (2)完成下表，并在如图2所示的平面直角坐标系中画出，的图象，并根据图象写出函数的一条性质：______． t 0 4 8 (3)根据图象直接写出当且时，t的取值范围． 【答案】(1)， (2)表见解析，图见解析，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大（答案不唯一） (3) 【分析】（1）先根据矩形的性质可得，从而可得点到边的距离为4，再分别求出，当点与点重合时，，然后利用三角形的面积公式求解即可得； （2）先根据（1）的结论完成表格，再利用描点法画出函数图象，然后结合函数图象写出函数的一条性质即可得； （3）结合函数图象即可得． 【详解】（1）解：∵在矩形中，，，为的中点， ， 点到边的距离为4， 由题意得：，， ， ， 当点与点重合时，，即， 解得， 则当时，， 此时， 当时，， 此时， 综上，，． （2）解：当时，，， 当时，，， 当时，，， 则完成表格如下： 0 4 8 0 4 8 8 0 8 在平面直角坐标系中画出，的图象如下：    函数的一条性质：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 故答案为：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．（答案不唯一） （3）解：由函数图象可知，当且时，． 【点睛】本题考查了一次函数的几何应用，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 5．（24-25七年级下·重庆·期末）如图1，四边形中，，，动点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度，按的路径匀速运动，到达D点后停止；如图2是点P运动t秒后，的面积S随时间变化的图象，由以上信息回答下列问题： (1)______，______； (2)当t为何值时，的面积为6； (3)在点P的整个运动过程中，请直接写出当t为何值时，是等腰三角形． 【答案】(1)4，14 (2)当或时，的面积为6 (3)当，6，7，8时，是等腰三角形 【分析】本题考查动点的函数图象，与三角形的高有关的计算，等腰三角形的定义，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键： （1）观察图象可知，2秒钟点运动到点，秒钟，点运动到点，8秒钟，点运动到点，根据路程等于速度乘以时间，结合线段之间的和差关系，以及三角形的面积公式进行求解即可； （2）分点在上和点在上，两种情况进行讨论求解即可； （3）分点在上，上两种情况，再根据等腰三角形的定义，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知：2秒钟点运动到点，秒钟，点运动到点，8秒钟，点运动到点， ∵点移动的速度为每秒2个单位长度， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴当点运动到点时，， ∴， ∴当点运动到点时，， 故答案为：4，14； （2）①当点在上时，， ∴，解得：， ②当点在上时，， ∴， 解得：； （3）当点在上时： ∵， ∴只能是，则：，解得：； 当点在上时： 当时，当时， ∵，， ∴，（平行线间的距离处处相等），满足题意， 同理，，则：，解得：； 当与点重合时，即时，，满足题意； ②当时，作，则：， ∴， ∴，解得：； 综上：，6，7，8． 6．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图1，四边形是一个长方形，一动点P在长方形边上运动，设点P运动的路程为，的面积为，S与x的关系图象如图2所示．    (1)动点P从点A出发，沿路线运动到点D停止，已知点P在边上运动时的速度为，在边上运动时的速度为，在边上运动时的速度为．根据图2可知，___________； (2)在（1）的条件下，求出点P由点A运动到点D的总时间； (3)如图3，在长方形的对角线上取一点M，使得点M到边的距离，到边的距离，若动点P从点A出发，以的速度沿路线运动．同时，动点Q从点C出发，以的速度沿路线运动（P，Q中一点先到达终点时，另一点停止运动）．连接，，，设运动时间为，的面积为，当点P，Q不在同一边上运动时，求出W与t的关系式． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】（1）根据图象可知点从点出发，到终点的路程为，点的路程为，即可求得答案； （2）由题意可知，，利用时间路程速度即可求解； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别进行讨论即可 【详解】（1）解：由图象可知，点从点出发，到终点的路程为，点的路程为， ∴， 故答案为：10； （2）∵四边形是长方形， ∴， ∴， 则点由点运动到点的总时间为； （3）由（2）可知，， 则，， 若走完全程，点运动的总时间为，点运动的总时间为， 点在上运动的时间为，点在上运动的时间为， 当时，此时点在上，点在上，    则，，，， ∴的面积为 当时，此时点在上，点在上，不符合题意， 当时，此时点在上，点在上，    则，，，， ∴的面积为 ， 综上，． 【点睛】本题主要考查了动点问题的图象，在解题时要能根据图象求出，，，并表示出相应线段的长度是解决问题的关键． 【经典例题二 一次函数图像的性质综合应用】 7．（25-26八年级下·河北廊坊·月考）小明画一次函数的图象时，在列表时他将其中一个函数值y算错了． x 0 1 2 y 3 2 (1)观察表格，自变量x每增加1个单位长度，函数值y减少______个单位长度，被算错的点的正确函数值是______，求一次函数的解析式； (2)若函数值y不大于8，求满足条件的x的负整数值； (3)已知一次函数图象上任意两个不同的点，，记，，则______． 【答案】(1)4；6； (2) (3) 【分析】（1）依据题意，从数据可得到x每增加1，函数值减少4，故可得时，y应为6，从而可以得解； （2）根据求出可求出，从而确定满足条件的x的负整数值； （3）求出，从而可求出． 【详解】（1）解：由题意得，，这一函数值算错． 理由：一次函数的函数值变化是均匀的， 从数据可得到x每增加1，函数值减少4， ∴时，y应为6． 设所求函数的表达式为， 结合表格数据可得，图象过，， ∴， 解得． ∴所求函数的表达式为； （2）解：∵函数值y不大于8，即， ∴， 解得：， ∴满足条件的x的负整数为； （3）解：∵，在一次函数的图象上， ∴，， ∴ 又∵， ∴． 8．（2026·河北张家口·一模）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点为和，直线：恒过定点． (1)求定点的坐标； (2)当直线和线段有交点时，求的取值范围； (3)若直线和线段所在直线交于点，点的横坐标为，请用含的代数式表示，并求出当是正整数时，整数k的所有值． 【答案】(1) (2)的取值范围是且 (3)，整数k的值为， 【分析】（1）将函数解析式变形为，可得当时，，不管取任何不为0的值，均成立，即可得到定点的坐标； （2）将，分别代入直线，解得，，即可得到的取值范围是且； （3）先利用待定系数法求出线段所在直线的函数解析式为，再由点是直线和直线的交点，得到，整理得到，进而推出当是正整数时，的值可以是1，5，即可求解整数k的所有值． 【详解】（1）解：∵， 当时，，不管取任何不为0的值，均成立， ∴定点的坐标为； （2）解：当直线经过点时，将代入，得，解得， 当直线经过点时，将代入，得，解得， ∴的取值范围是且； （3）解：设所在直线的函数解析式为， 将，代入，得，解得， ∴线段所在直线的函数解析式为， ∵点是直线和直线的交点， ∴， ∴， 当是正整数时，的值可以是1，5， ∴整数k的值为，． 9．（25-26八年级上·江苏连云港·月考）在平面直角坐标系中，一次函数的图象是由正比例函数的图象平移得到，且过点． (1)求该一次函数表达式，并在平面直角坐标系中画出该一次函数的图象． (2)根据一次函数的图象当时，自变量的取值范围为___________． (3)已知，是一次函数图象上的两点，且．比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，掌握一次函数的性质，平移的性质是解题的关键． （1）根据平移可得两个一次函数的相等，进而待定系数法求解析式，进而描点连线即可； （2）直接根据函数图象作答即可； （3）根据一次函数的增减性即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象是由一次函数的图象平移得到的，且经过点， ∴经过点， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为； 当时，， 即一次函数过点； 画图如下： （2）解：当时，解得， 当时，解得， 由函数图象可知，当时，自变量的取值范围为． 故答案为：； （3）解：∵， ∴y随x的增大而增大， ∵，是一次函数图象上的两点，且 ∴． 10．（25-26八年级下·江苏南通·月考）小明在学习一次函数后，对形如（其中k，m，n为常数，且）的一次函数图象和性质进行了探究，过程如下： 【特例探究】 (1)如图所示，小明分别画出了函数，，的图象．请你根据列表、描点、连线的步骤在图中画出函数的图象． 【深入探究】 (2)通过对上述几个函数图象的观察、思考，你发现（k为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是 ． 【得到性质】 (3)函数（其中k、m、n为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是 ． 【实践运用】 (4)已知一次函数（k为常数，且）的图象一定过点N，且与y轴相交于点A，若的面积为2，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4)或． 【分析】（1）列表，描点、连线画出直线即可； （2）观察图象即可得到结论； （3）根据（2）的规律即可求得一定会经过的点的坐标； （4）求得定点坐标与y轴的交点A，然后利用三角形面积即可得到关于k的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：列表： x 0 1 y 4 2 描点、连线，画出直线，如图： （2）解： 通过对上述几个函数图象的观察、思考，发现（k为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是． （3）解： 将代入函数，得 ， ∴（k为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是； （4）解：将代入一次函数，得 ， ∵一次函数（k为常数，且）的图象一定过点N， ∴， ∵一次函数与y轴相交于点A， ∴将代入，得 ， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴， ∴或． 11．（2026·湖北鄂州·模拟预测）小容利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入的值为时，输出的值为；输入的值为3时，输出的值为4，输入的值为4时，输出的值为7． (1)填空：____________，____________，____________； (2)小易在平面直角坐标系中画出了关于的函数图象，如图（2），当随的增大而增大时，求的取值范围； (3)小聪发现直线（为实数）与（2）中的图象最多有三个交点，设这三个交点从左至右依次为，，，如果规定：在线段上有一点到该线段两个端点的距离存在2倍的关系，则称这个点为该线段的“平均点”．若点为线段的“平均点”，试求的取值； (4)若在函数图象上有点，（与不重合），的横坐标为，的横坐标为，小明对，之间（含，两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化，直接写出的取值范围． 【答案】(1)2，1， (2)或 (3)或 (4)或 【分析】（1）根据程序运算法则，利用待定系数法进行求参数即可； （2）利用一次函数和二次函数的性质进行求自变量的取值范围； （3）根据函数解析式表示出各点的横坐标，然后分两种情况进行讨论求解； （4）根据点的横坐标特征得出点关于直线对称，然后分两种情况进行求的取值范围即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得； 当时，， 当时，， ∴ 解得； （2）解：由（1）得， ∵， ∴当时，随的增大而增大； 由（1）得， 对称轴为直线， ∵， ∴当时，随的增大而增大； 综上，的取值范围为或； （3）解：根据题意得，，，且， ∴点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为， 当时，， 解得或（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得或（不符合题意，舍去）； 综上，或； （4）解：∵， ∴， ∴点到直线的距离相等， 在自变量范围内，当时，， 当时，， ∵当图象对应的函数的最大值与最小值均不随的变化而变化，而当时，，时，； ∴①当，如图， 由题意得，， ∴； ②当，如图， 由题意得，， ∴； 综上，或． 12．（25-26七年级上·山东泰安·期末）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： ．．． 0 1 2 3 4 ．．． ．．． 0 0 ．．． 则___________，___________； (2)描点并画出该函数的图象； (3)①根据图象可知当时，的值是___________； ②观察函数图象，试判断函数是否存在最小值？若存在，直接写出最小值： (4)下列关于该函数性质的描述正确的是___________（填序号）． ①该函数图象是轴对称图形； ②当时，随的增大而增大； ③当时随的增大而减小． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①或5；②存在，最小值为 (4)①③ 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． （1）将自变量的值代入函数，进而求出函数值即可； （2）①描点，连线，画出函数图象即可；②观察图象，从图象中获取信息，进行作答即可 （3）观察图象，从图象中获取信息，进行作答即可． （4）观察图象，从图象中获取信息，进行作答即可． 【详解】（1）解：将代入，得：； 将代入，得：； 故，， 故答案为：，； （2）如图即为所求， （3）①根据图象可知当时，的值是或； 故答案为：或 ②观察函数图象，由图象可知，函数存在最小值，为；： （4）解：①该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线； ②当时，随的增大而增大； ③∵当时随的增大而减小．∴当时随的增大而减小． 故答案为：①③ 【经典例题三 含绝对值的函数问题】 13．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）已知关于的一次函数． (1)若点，是该一次函数图象上的两点，则_____；（填“>”或“＜”） (2)若点在该函数图象上，求的绝对值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求函数解析式． （1）根据一次函数的增减性解答即可； （2）把代入解析式，求出m，进而可求出的绝对值． 【详解】（1）解：∵， ∴y随x的增大而减小． ∵， ∴． 故答案为：； （2）解：将点代入， 得，解得， 则， 的绝对值为． 14．（24-25九年级上·广东广州·月考）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义．结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数中，当x＝2时，y＝－4；当x＝0时，y＝－1． （1）求这个函数的表达式； （2）已知函数y＝x－3的图象如图所示，请在图中画出函数的图象，结合图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）y＝－4；（2）1≤x≤4． 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式； （2）画出函数图像，联立方程组求解，然后根据函数图像确定不等式的解集 【详解】解：（1）由题意得，解得， 故该函数解析式为y＝－4． （2）当x≥2时，该函数为y＝x－7； 当x≤2时，该函数为y＝－x－1， 其图象如下图所示： 根据函数图象，联立方程组和 解得：和 ∴两函数图象的交点分别为和， 所以不等式的解集为1≤x≤4 【点睛】本题考查了一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 15．（24-25七年级下·山东济宁·期末）类比学习是知识内化的有效途径，认真读题是正确审题的第一步：对于平面直角坐标系中的不同两点，给出如下定义∶点与点两点横坐标差的绝对值与它们纵坐标差的绝对值的和，叫做A，B两点的折线距离，记作，即．例如，图1中，点与之间的折线距离． (1)已知点，则点O，C两点的折线距离________ (2)已知点，且，求的值； (3)如果点满足，请在图2中画出所有符合条件的点组成的图形． 【答案】(1) (2) (3)图见解析 【分析】本题考查了作图——复杂作图，坐标与图形性质等知识点，理解题意并灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． （1）根据折线距离的定义求解即可； （2）根据折线距离的定义，构建方程求解即可； （3）根据，画出图形即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：由题意可知：， ， ， 即， ； （3）解：对任一符合条件的点，由题意可知： ， 当点在第一象限时，，， 由式可得，即， 此时，如图所示，所有符合条件的点组成的图形为线段（端点、除外）； 当点在第二象限时，，， 由式可得，即， 此时，如图所示，所有符合条件的点组成的图形为线段（端点、除外）； 当点在第三象限时，，， 由式可得，即， 此时，如图所示，所有符合条件的点组成的图形为线段（端点、除外）； 当点在第四象限时，，， 由式可得，即， 此时，如图所示，所有符合条件的点组成的图形为线段（端点、除外）； 当点在轴上时，， 由式可得，即， 此时，如图所示，符合条件的点为，； 当点在轴上时，， 由式可得，即， 此时，如图所示，符合条件的点为，； 综上所述，所有符合条件的点组成的图形为四边形． 由上可知：， 在中，根据勾股定理，， ； 在中，根据勾股定理，， ； 在中，根据勾股定理，， ； 在中，根据勾股定理，， ； ， ， ， ， 在四边形中，， ， 故四边形是正方形， 因此，如图所示，正方形即为所有符合条件的点组成的图形． 16．（25-26八年级上·山西太原·月考）根据以下素材，探索完成任务． 探究函数的图象性质 素材1 七年级数学教材绝对值一课中，给出了绝对值的相关知识：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即绝对值的意义 素材2 八年级数学教材中，我们经历了“确定函数的表达式……利用函数图象研究其性质……应用函数解决问题”的学习过程，在画函数图象时，我们可以通过描点的方法画出一个函数的图象． 问题解决 任务1 对于函数，当时化简函数的表达式： 当时，________；当时，________； 任务2 在平面直角坐标系中，画出函数的图象，结合所画图象，总结y随x的增加而呈现的变化情况． （1）    列表 x …… 0 1 2 3 4 …… y …… 2 a 0 1 b …… a=______，b=________ (2)描点、连线； 任务3 结合函数图象，写出关于函数y=|x-2|的一条性质 【答案】任务1：，；任务2：（1），；（2）画图见解析；任务3：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大 【分析】本题考查化简绝对值，画一次函数的图象，一次函数的增减性. 任务1：化简绝对值即可； 任务2：（1）分别将、代入计算即可； （2）描点，连线画出函数图象； 任务3：根据图象判断增减性即可． 【详解】解：任务1：当时，， ∴当时，；当时，； 故答案为：，； 任务2：（1）， 故答案为：，； （2）描点，连线，画出函数图象如图： 任务3：由图象可知：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． 17．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）根据以下素材，探究函数的图象性质． 【素材内容】 素材1：七年级（上）绝对值一课中，给出了绝对值的相关知识：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即绝对值的意义； 素材2：八年级（上）数学教材第四章中，我们经历了“确定函数的表达式一利用函数图象研究其性质一应用函数解决问题”的学习过程，在画函数图象时，我们可以通过描点的方法画出一个函数的图象． 【问题解决】 任务1：对于函数，当时化简函数的表达式： 当时， ；当时， ； 任务2：在平面直角坐标系中，画出函数的图象； 任务3：函数的图象可由的图象向 平移 个单位得到； 函数的图象可由的图象向 平移 个单位得到； 任务4：结合以上任务，你发现函数有哪些性质？（写出一条即可） 【答案】 任务1：；；任务2：见解析， 任务3：右；2；右； 任务4：当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小（答案不唯一） 【分析】任务1：化简绝对值即可； 任务2：列表描点，连线画出函数图象，根据图象判断增减性即可． 任务3：根据图象即可得出答案； 任务4：根据函数增减性解答即可． 【详解】解：任务1：对于函数，当时得函数的表达式， 当时，； 当时，； 故答案为：，； 任务2：列表如下： 0 1 2 3 4 2 1 0 1 2 作图如下： 任务3：如图， 由图可得：函数的图象可由的图象向右平移2个单位得到； 函数的图象可由的图象向右平移个单位得到； 任务4：当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小（答案不唯一）． 【点睛】本题考查一次函数图象性质，绝对值函数，画函数图象，一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数图象性质是解题的关键．注意数形结合思想的应用． 18．（24-25八年级下·山东济南·期中）【问题提出】如何解不等式？ 预备知识1：同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题． 图①中给出了函数和的图象，观察图象，我们可以得到： （1）当时，函数的图象在图象上方，由此可知：不等式的解集为___________． 预备知识2：函数，称为分段函数，其图象如图②所示．实际上对带有绝对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号．比如化简时，可令和，分别求得（称1，3分别是和的零点值），这样可以就，，三种情况进行讨论： （1）当时，； （2）当时，； （3）当时，． 就可以化简为． 预备知识3：函数(为常数)称为常数函数，其图象如图③所示． （2）【知识迁移】如图④，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是___________． 【问题解决】结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式． （3）先化简，再作图，在图⑤所示的平面直角坐标系中作出函数和的图象．并通过观察图象，求出不等式的解集 【答案】[问题提出] （1）；[知识迁移] （2）；[问题解决]（3）作图见解析；或． 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系，熟练掌握函数的性质，数形结合是解题的关键． [问题提出]：（1）根据函数图象可得答案； [知识迁移]：（2）先求解的值，再根据函数图象可得答案； [问题解决]：（3）把函数化为，再画图即可；在同一坐标系内画的图象，并求解两个函数的交点坐标，根据函数图象可得答案； 【详解】解：[问题提出]，（1）如图， ∵当时，函数的图象在的图象上方， ∴不等的解集为：， [知识迁移]，（2）如图， ∵点在上， ∴， 解得：， ∴， ∵当时，直线的图象在的图象的上方， ∴不等式， 即的解集为：， [问题解决] （3）根据题意得： ， 画图如下： 再在同一坐标系内画的图象如下： 由函数图象得：与有交点， 则， 解得：， 与有交点， 则 解得： ∴与的两个交点坐标分别为：，； 由函数图象可知，当时，的图象在的上方， 当时，的图象在的上方， 故不等式的解集为：或． 【经典例题四 一次函数的平移综合】 19．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）如图直线与y轴交于点A，点B为该直线上一点，且点B的纵坐标是6． (1)求点A和点B的坐标； (2)把直线向下平移7个单位长度，若平移后的直线与x轴交于点C，连接，，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查一次函数图象上点坐标的特征，一次函数图象的平移，三角形面积． （1）把代入求得相应的y值，即可得点A的坐标；把代入求得相应的x值，可得点B的坐标； （2）设直线与x轴交于点E，求得，再求得平移后直线方程为，据此求得，进而得，再根据求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 把代入，得， 解得， ∴； ∴A的坐标为，B的坐标为； （2）解：设直线与x轴交于点E，如图： 在中，令得， ∴， 把直线向下平移7个单位长度得到直线：，即， 在中，令得， 解得， ∴， ∴， ∴ ． ∴的面积为． 20．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求m的值； (2)将直线平移，平移之后的直线记作直线，若直线与直线的交点在第二象限内，直接写出b的取值范围． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象的交点，象限内点的坐标特征，解一元一次不等式组，解二元一次方程组等，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）将点B的坐标代入即可求解； （2）先求出直线的解析式，再联立，求出交点坐标，再根据交点在第二象限，且第二象限的点的横坐标小于0、纵坐标大于0，得到关于b的不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴； （2）解：∵， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得， ∵直线与直线的交点在第二象限内， ∴， 解得． 21．（24-25八年级下·四川绵阳·月考）如图1，将矩形置于平面直角坐标系中，其中边在轴上，，直线：沿轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被矩形的边截得的线段长度为，平移时间为，与的函数图象如图2所示． (1)点的坐标为________，矩形的面积为_________； (2)求，的值； (3)在平移过程中，求直线扫过矩形的面积与的函数关系式（其中）． 【答案】(1)点的坐标为， (2)， (3)与的函数关系式为 【分析】（1）根据直线解析式求出点M的坐标，然后根据函数图象可知直线平移3个单位后经过点A，从而求的点A的坐标，由函数图象中点F的横坐标可求得点D的坐标，从而可求得AD的长，据此可求得ABCD的面积； （2）如图1所示；当直线MN经过点B时，直线MN交DA于点E，首先求得点E的坐标，然后利用勾股定理可求得BE的长，从而得到a的值；如图2所示，当直线MN经过点C时，直线MN交x轴于点F，求得直线MN与x轴交点F的坐标从而可求得b的值； （3）结合图象分三种情况：当3≤t＜5时；当5≤t＜7时；当7≤t≤9时，结合图象得出三角形面积解析式即可． 【详解】（1）解：令直线的得：， 解得：， ∴点的坐标为. 由函数图象可知：当时，直线经过点A， ∴点的坐标为. 沿轴的负方向平移3个单位后与矩形相交于点A， ∵沿x轴的负方向平移3个单位后直线的解析式是：， ∴点A的坐标为； 由函数图象可知：当时，直线经过点， ∴点的坐标为. ∴. ∴矩形的面积； （2）解：如图1所示；当直线经过点时，直线交于点. ∵点A的坐标为， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入得：， ∴， ∴直线的解析式为. 将代入得：，解得， ∴点的坐标为. ∴. ∴； 如图2所示，当直线经过点时，直线交轴于点. ∵点的坐标为， ∴点的坐标为. 设的解析式为， 将代入得：，解得. ∴直线的解析式为. 将代入得，解得. ∴点的坐标为. ∴； （3）解：当时，如图3所示： ∴. 当时，如图4所示：过点作. 由（2）可知点的坐标为. ∴， ∴； 当时，如图5所示. ，， ∴， 综上所述，与的函数关系式为． 【点睛】本题主要考查一次函数图象的平移，矩形的性质，坐标与图形，函数解析式的确定等，理解题意，根据题意作出相应图象求解是解题关键． 22．（25-26八年级下·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中有一点，将点A向左平移5个单位再向上平移5个单位得到点B，直线过点A、B，交x轴于点C，交y轴于点D，通过研究发现直线上所有点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程的解．例如：若点E在直线上，横坐标，则其纵坐标为；若点F在直线上，纵坐标，则其横坐标为． (1)直接写出点B，C，D的坐标：B______，C_______，D______； (2)求． (3)将绕点B顺时针旋转得到，求的面积． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）由平移的性质可求点B坐标，由题意可得直线l的解析式，即可求点C，点D坐标； （2）由三角形面积公式可求解； （3）求出，由三角形面积公式可求解． 【详解】（1）解：∵点，将点A向左平移5个单位再向上平移5个单位得到点B， ∴点， ∵直线l上所有点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程的解． ∴直线l的解析式为， ∴当时，， 当时，， ∴点，点； （2）解：如图，连接，， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵点，点， ∴， ∴， ∴绕点B顺时针旋转得到，则，， 连接，过点作于点，则， 所以，的面积． 23．（24-25八年级下·河南南阳·期中）[问题情境] 老师在黑板上写了一道题目：在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位长度，求平移后直线的函数表达式， 小雯利用直线上下平移的规律“上加下减”得平移后直线的函数表达式为；小谢认为平移前后直线中的“k”不变，只要求出b的值即可．他的方法是：在原直线上任意找一点，如点，先把点A按要求平移，得到相应的对应点，再用待定系数法求过点的直线的函数表达式． 在课堂交流中，老师肯定了他们的做法，感兴趣的小雯继续进行探究验证： [解决问题] （1）小雯用小谢的方法进行了尝试：将点向上平移3个单位长度后的对应点的坐标为______，利用待定系数法求得过点的直线的函数表达式为 ； （2）小雯又提出了一个新问题请全班同学一起解答和检验这个方法：将直线向左平移3个单位长度，平移后直线的函数表达式为 ，利用上下平移的规律，将直线向 （填“上”或“下”）平移 个单位长度也能得到这条直线； [拓展应用] （3）对于平面直角坐标系内的图形M，将图形M上所有点都向上平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度，我们把这个过程称为图形M的一次“斜平移”．请你求出将直线进行两次“斜平移”后得到直线的函数表达式． 【答案】（1），；（2），下， 6；（3）将直线进行两次“斜平移”后的函数解析式为 【分析】本题考查了坐标与图形变换－平移，待定系数法求解析式，解题的关键是得到平移后经过的一个具体点． （1）由平移的性质可求点坐标，设平移后的直线解析式为，利用待定系数法可求解； （2）平移后的直线的解析式的k不变，设出相应的直线解析式，可求向左平移3个单位后的坐标，代入设出的直线解析式，即可求得m，也就求得了所求的直线解析式； （3）平移后的直线的解析式的k不变，设出相应的直线解析式，找到点进行两次“斜平移”后的对应点的坐标，代入设出的直线解析式，即可求得n，也就求得了所求的直线解析式． 【详解】（1）点向上平移3个单位后的点的坐标为， 设平移后的直线解析式为， 代入得，则， 所以过点的直线的解析式为； 故答案为：，； （2）可设新直线解析式为， ∵原直线经过点， ∴点O向左平移3个单位后点， 代入新直线解析式得：， ∴， ∴平移后直线的解析式为：， 由（1）可知，另外直接将直线向下平移6个单位也能得到直线； 故答案为：，下，6； （3）直线上的点，进行一次“斜平移”后的对应点的坐标为，进行两次“斜平移”后的对应点的坐标为， 设两次斜平移后的直线的解析式为， 代入得，， 则， 所以，两次斜平移后的直线的解析式为． 24．（24-25七年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系xOy中，正方形的顶点，，点B在点A的右侧，点C，点D在的下方． (1)直接写出的长度（用含m的式子表示）； (2)若三角形的面积为3． ①求m的值； ②在平面直角坐标系中，二元一次方程的图象都是一条直线，直线上每个点的坐标（x，y）都是这个方程的一个解．记二元一次方程（）的图象为直线l，直线l与正方形的边，分别交于点E，点F，如图所示，且三角形的面积为．现将正方形进行平移，使得直线l与正方形的边分别交于点P，点Q，在平移过程中，是否存在三角形的面积也为的情形？若存在，请探究如何平移；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，上下平移距离与左右平移距离之差为定值2 【分析】（1）根据两坐标横坐标作差即可； （2）①根据三角形的面积为3，列式计算即可；②分别表示出的长，代入到面积公式中求出的坐标，表示出，求出，再利用面积公式求出最终结果即可； 本题主要考查一次函数与几何的实际应用，坐标与图形的知识，采用数形结合的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：． （2）①因为 所以，       所以． ②因为正方形中，轴，轴，且E在上，F在上， 所以． 因为E、F在二元一次方程的图象上， 所以将代入方程， 得：， 将代入方程， 得： ， 所以，即， 所以，即 所以， 因为 所以， 因为， 所以 ，       所以 所以 设点C平移后的坐标， 所以， 因为P，Q两点都在二元一次方程的图象上， 所以，， 所以． 因为， 所以 所以     上下平移距离与左右平移距离之差为定值2． 【经典例题五 一次函数与不等式、方程组综合应用】 25．（24-25八年级下·山西朔州·月考）如图，直线与x轴交于点B，，直线经过点C，且与交于点． (1)求直线的解析式； (2)根据图象，直接写出的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，一次函数与不等式，待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是求得两条直线的解析式． （1）先根据直线表达式，求出点B坐标，根据，即得点C坐标，结合点，即可求出直线的解析式； （2）根据图象，要找满足的解集，只需找到对应的x的范围，满足直线的图象在的图象上方，且的图象在x轴的上方． 【详解】（1）解：∵直线的解析式为， 当时，， ， ， ， 经过点C和点A， ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：由函数图象可知，的解集为． 26．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与直线交于点，与y轴交于点B． (1)___________；不等式的解集为___________． (2)y轴上是否存在一点P，使得的面积为6，若不存在请说明理由，若存在请求出P的坐标． (3)若点在线段上，点在直线上，求的最小值． 【答案】(1)1， (2)存在，P坐标为或 (3) 【分析】本题考查待定系数法求解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，一次函数与不等式组，一次函数的性质． （1）将点代入直线，即可求出k的值，从而得到直线的解析式，令，求出直线与x轴的交点，再根据数形结合思想求出不等式组的解集； （2）对于直线，令得，得到．设点P的坐标为，则，，根据的面积为6列出方程，求解即可； （3）根据题意得到，因此，根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：∵直线过点， 解得， ∴直线的解析式为， 令得，解得， ∴直线与x轴交点为， 不等式的解集为， 故答案为：1，； （2）解：存在，理由如下： 对于直线，令得， ∴． 设点P的坐标为，则， ∵， ∴当的面积为6时，， 解得或， ∴P坐标为或． （3）解：∵点在线段上，点在直线上， ， ， ， ∴当时，取得最小值，为． 27．（25-26八年级下·山东日照·月考）如图，直线与直线相交于点，直线与与x轴分别交于A、B两点． (1)求b的值，并结合图象直接写出关于x、y的方程组的解； (2)垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C、D，若线段的长为4，求出a的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）把点代入，得，则，由直线与直线相交于点可得，方程组的解为，由此即可得出方程组的解； （2）由题意得，直线与直线的交点的坐标为，与直线的交点的坐标为，由可得，即，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：把点代入，得： ， ， 直线与直线相交于点， 方程组的解为， 方程组的解为； （2）解：由题意得： 直线与直线的交点的坐标为，与直线的交点的坐标为， ， ， 即：， 解得：或． 28．（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图，，，，动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位速度向上移动，且过点P的直线也随之移动，设移动时间为t秒． (1)当时，求l的解析式； (2)若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围； (3)直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上． 【答案】(1) (2) (3)当时，落在y轴上，当时，落在x轴上 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，求出一次函数的解析式； （2）分别求出直线l经过点M、点N时的t值，即可得到t的取值范围； （3）找出点M关于直线l在坐标轴上的对称点E、F，如解答图所示．求出点E、F的坐标，然后分别求出中点坐标，最后分别求出时间t的值． 【详解】（1）解：当时，， ∴点P的坐标为， ∴， ∴直线l的表达式为：； （2）解：当直线l过点M时， 将代入直线l的表达式：得：， 解得：， ∴； 当直线l过点N时，同理可得：， 故t的取值范围为：； （3）解：如图，过点M作，交y轴于点F，交x轴于点E，则点E、F分别为点M在坐标轴上的对称点． 过点M作轴于点D，则，． 对于直线， ∵当时，；当时，， ∴直线l与坐标轴的夹角为， ∴， ∴与均为等腰直角三角形， ∴， ∴，． ∴线段中点坐标为， 直线过点，则， 解得：， ∴． ∵，， ∴线段中点坐标为． 直线过点，则， 解得：， ∴． 故点M关于l的对称点，当时，落在y轴上，当时，落在x轴上． 29．（2026八年级下·天津红桥·学业考试）已知学生宿舍、超市、图书馆依次在同一条直线上，超市离宿舍，图书馆离宿舍．小琪从宿舍出发，先匀速步行了到超市，在超市停留了，之后匀速骑行了到图书馆，在图书馆停留了后，再匀速步行了返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中小琪离宿舍的距离与时间的对应关系．    请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 小琪离开宿舍的时间/ 1 8 16 60 小琪离宿舍的距离/ ②填空：小琪从图书馆返回宿舍的速度为________； ③当时，请直接写出小琪离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； (2)若同宿舍的小华与小琪同时从宿舍出发，小华以的速度步行直接到图书馆．在从宿舍到图书馆的过程中，对于同一个x的值，小琪离宿舍的距离为，小华离宿舍的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①；；；②；③； (2) 【分析】（1）①理解题意，从图形中获取准确信息即可； ②理解题意，从图形中获取准确信息利用速度公式进行计算即可； ③理解题意，从图形中获取准确信息，并利用待定系数法进行分段求函数解析式即可； （2）求出相关解析式，列出等式求解，并结合图形即可求出不等式的解集． 【详解】（1）解：①小琪去超市的速度为， 1分钟时小琪离宿舍的距离为； 由图可知16分钟时，小琪离宿舍的距离为； 60分钟时，小琪离宿舍的距离为； ②小琪从图书馆返回宿舍的速度为， ③由①得小琪去超市的速度为， ∴当时，； 由图可知，当时，； 当时，设直线解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴； 综上，； （2）解：根据题意可知，小华的速度为， 所以小华离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为， 当时，， 得， 解得； 当时，， 得， 解得； 如图所示，为小华的函数图象，    结合图形，当时，． 30．（25-26八年级上·河南郑州·期末）定义：对于一个函数，若存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“邂逅点函数”，点为该函数图象上的一个邂逅点．例如：中，当时，，所以称为邂逅点函数，点是该函数图象上的一个邂逅点．某数学兴趣小组围绕该定义展开探究．     (1)一次函数①，②，③，是“邂逅点函数”的是_________（填写序号）； (2)观察图1，判断直线表示的函数是否是“邂逅点函数”_________（填“是”或“否”） 【深入探究】 (3)如图2，求直线的函数表达式，并判断该函数是否是“邂逅点函数”，若是，求出邂逅点坐标；若不是，请说明理由． (4)兴趣小组发现求函数邂逅点坐标的本质就是求该函数图象与直线图象的交点坐标，则直线的表达式为_________． 【迁移应用】 (5)如图3，兴趣小组对“邂逅点函数”函数展开了探究： 计算x与y的几组对应值，列表如下： x … 0 1 2 3 4 … y … 6 4 2 0 0 2 4 6 … 请用描点法在平面直角坐标系中画出该函数的图象，并直接写出该函数邂逅点坐标． 【答案】(1)②③ (2)是 (3)直线的函数表达式为，是“邂逅点函数”， 邂逅点坐标为 (4) (5)图见解析，邂逅点坐标为或 【分析】（1）根据题意可判断出，邂逅点就是函数图象与直线的交点，判断三个函数与直线是否有交点即可； （2）观察直线与直线是否有交点即可； （3）先用待定系数法求出直线的函数表达式，再与直线联立求出交点坐标即可； （4）由（1）可知，直线就是直线； （5）根据表格数据在坐标系中依次描点，再连成线即可；分为和两段图象研究，分别与直线联立，求出交点坐标即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴若函数图象与直线有交点，则符合“邂逅点函数”的定义，交点即为邂逅点． 对于①： ∵， ∴直线与直线平行，即无交点， ∴不是“邂逅点函数”； 对于②： ∵直线与直线不平行，即有交点， ∴是“邂逅点函数”； 对于③： ∵直线与直线重合， ∴是“邂逅点函数”； 综上所述，是“邂逅点函数”的是②③； （2）解：由图1可知，直线与直线有交点， ∴直线表示的函数是“邂逅点函数”； （3）解：由图2可知，直线过点，， 设直线的函数表达式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为， 联立直线与直线，得， ， 解得， ∴直线是“邂逅点函数”， 邂逅点坐标为； （4）解：由（1）可知，直线的表达式为； （5）解：函数图象如图所示： ①当时，， 联立直线与直线，得， ， 解得， ∴邂逅点坐标为； ②当时，， 联立直线与直线，得， ， 解得， ∴邂逅点坐标为； 综上所述，函数的邂逅点坐标为或． 【点睛】本题是一次函数与新定义相关的题型，掌握好一次函数的图象与性质并判断出邂逅点即函数图象与直线的交点是解题关键． 【经典例题六 一次函数翻折问题】 31．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，把沿着过点B的某条直线折叠，使点A落在y轴负半轴上的点D处，折痕与x轴交于点C．    (1)求点A、B、C、D的坐标； (2)求的余弦值． 【答案】(1)；；；； (2)． 【分析】（1）令，则，则点B的坐标为．令，则，则点A的坐标为．从而，，在中，利用勾股定理得，由折叠可得，从而得到点D的坐标为．根据由折叠得到，利用面积公式可得，代入即可求出，所以点C的坐标为． （2）在中，利用勾股定理求得，从而，又由折叠可得，从而． 【详解】（1）当时，， ∴点B的坐标为； 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为； ∴， ∴在中，， ∵由折叠可得，点B的坐标为，点B在点D的上方， ∴点D的坐标为． ∵由折叠可知：， 即， ∴， ∴， ∴点C的坐标为． （2）∵在中，，，， ∴， ∴， ∵由折叠可得 ∴． 【点睛】本题考查折叠问题，直线与坐标轴的交点，勾股定理，锐角三角函数，熟练运用相关知识，利用数形结合是解题的关键． 32．（24-25八年级上·河南驻马店·月考）如图，直线交y轴于C，与x轴交于点D，直线经过点，且直线交于点． (1)当时，直接写出x的取值范围_____；直线的表达式为______； (2)点M是直线上的一点，若将沿折叠，点C恰好落在x轴上，求出点M的坐标． (3)若点Q为x轴上一点，连接，且是等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)， ； (2)或； (3)Q的坐标为或或或． 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式、轴对称的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识． （1）求出，得点B坐标，结合图象得时， x的取值范围；设直线的解析式为，把A，B坐标代入，解得k，b，即可得出答案； （2）分点M在y轴正半轴和负半轴上两种情况讨论，结合勾股定理求解即可； （3）分三种情况：①时，②当时，③时，求出点Q的坐标即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴ ∴当时，x的取值范围； 设直线的解析式为：， ∵直线经过点，点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：∵, 当时，， ∴， 当点M在y轴正半轴时，如图， 设，则 ∵，， ∴， 由折叠得，， ∴， 在中， ∴， 解得，， ∴点的坐标为； 当点M在y轴负半轴上时，如图， 设，则， 由勾股定理得，， 解得，， ∴点M的坐标为； 综上，点M的坐标为或； （3）解：设Q的坐标为， ∵, ∴，，； 如图， ①当时，， ∴ 解得，，或（此时Q与点D重合，不合题意，舍去） ∴点Q的坐标为 ②当时， ∴ 解得，， ∴点Q的坐标为； ③时， ∴， 解得，，或， ∴点Q的坐标为或； 综上，点Q的坐标为或或或． 33．（2025·江苏苏州·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． （1）求的长和点C的坐标； （2）求直线的解析式． 【答案】（1）AB=5，C(8，0)；（2） 【分析】（1）先根据A、B两点是直线与两坐标轴的交点求出两点坐标，再由勾股定理求出AB的长，由图形翻折变换的性质得出AC=AB，故可得出C点坐标； （2）设点D的坐标为D(0，m)，由图形翻折变换的性质可知CD=BD，在Rt△OCD中由勾股定理可求出m的值，进而得出D点坐标，利用待定系数法即可求出直线CD的解析式． 【详解】解：（1）当x=0时，， B点的坐标为（0，4）， OB=4， 当y=0,则，解得x=3， A点的坐标为（3，0）， OA=3， AB =， △DAB沿直线AD折叠， ， ， ； （2）设点，则， ∴， 在中， ， 即， 解得， ， 设直线 的解析式为， 则， 解得， 直线 的解析式为． 【点睛】本题考查了一次函数，勾股定理，折叠；熟知待定系数法求一次函数的解析式、勾股定理、折叠的性质，是解题的关键． 34．（24-25八年级上·江西抚州·月考）如图，在矩形中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是．矩形沿直线折叠，使得点A落在对角线上的点E处，且直线与、x轴分别交于点D、F． (1)求线段的长； (2)求的面积； (3)在x轴上是否存在点M，使得以A、B、F、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出满足条件的M点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)15 (2) (3)存在；M点的坐标为或 【分析】（1）由勾股定理可求的长； （2）设，由矩形的性质可得，，由勾股定理可得出，解得，根据三角形的面积公式即可求解； （3）求出直线的解析式，可求出，由平行四边形的性质可求解． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ． 在中， ， ． （2）解：设， 四边形是矩形， ． 矩形沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处， ，，， ，． 在中，， ， 解得， 即， ； （3）解：由（2）知，得， 设直线的解析式为， ，， ， 解得， 直线的解析式为． 当时，， ． 又， ， 在轴上存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形．满足条件的点的坐标为或． 【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，平行四边形的性质，勾股定理，一次函数的性质，待定系数法求函数解析式，利用方程思想解决问题是本题的关键． 35．（24-25八年级下·黑龙江鹤岗·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴交于A、B两点，且OA、OB的长度满足，M是OA上一点，若将△ABM沿着直线BM折叠，点A恰好落在y轴上的点P处． (1)求点A、B、P三点坐标； (2)求直线BM的解析式； (3)在坐标平面内是否存在一点N，使以点B、M、A、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)A（8，0） ，B（0，6）； (2) (3)存在，N（5，6）或（-5，6）或（11，-6） 【分析】（1）先根据非负性求得OA、OB的长可确定A、B的坐标，然后运用勾股定理求得AB的长，根据折叠可知BP=AB,然后求得OP的长，即可确定P点坐标； （2）先求得M点的坐标，然后再运用待定系数法求解即可； （3）分四边形AMBN、四边形MABN、四边形ABMN是平行四边形三种情况，分别根据平行四边形性质和点的坐标变化关系求得N点坐标即可． 【详解】（1）（1）∵    ∴OA=8，OB=6 ∴A（8，0）、B（0，6）， ∴AB= ∵将△ABM沿着直线BM折叠，点A恰好落在y轴上的点P处． ∴BP=AB=10 ∴OP=BP-AB=4 ∴． （2）解：设OM=x，则MP=MA=8-x，OP=4 由勾股定理可得：OM2+OP2=MP2,即x2+42=（8-x）2，解得x=3 ∴OM=3,即M（3,0） 设直线BM的解析式为：y=kx+b 解得 ∴直线BM的解析式为． （3）解：①四边形BMAN是平行四边形 ∴0+（8-3）=5， ∴.N（5，6）， ②四边形MABN是平行四边形， ∵0-（8-3）=-5， ∴N（-5，6） ③四边形BMNA是平行四边形 ∵3+8=11，0-6=-6， ∴N（11，-6）． 综上所述：N（5，6）或（-5，6）或（11，-6）． 【点睛】本题主要考查了绝对值和算术平方根非负性、求一次函数的解析式、平行四边形的性质、折叠性质、勾股定理等知识点，根据平行四边形性质和点的坐标变化特征求点的坐标是解答本题的关键． 36．（24-25八年级上·江西景德镇·期末）已知一直角三角形纸片，其中，，，将该纸片放置在平面直角坐标系中，如图1所示. (1)求经过A，B两点的直线的函数表达式. (2)折叠该纸片，使点B与点A重合，折痕与边交于点C，与边交于点D（如图2所示），求点C的坐标. (3)①若P为内一点，其坐标为，过点P作x轴的平行线交于点M，作y轴的平行线交于点N（如图3所示），求点M，N的坐标并求的长. ②若P为上一动点，设的中点为点E，的中点为点（如图4所示）求的最小值，并求取得最小值时点P的坐标. 【答案】(1) (2) (3)①3；② 【分析】（1）由题意得，，则利用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）设,则在中，利用勾股定理即可求出的值，进而得出点C坐标； （3）①由已知可知点M的纵坐标为1，点N的横坐标为，再代入直线的解析式即可求出点M和点N的坐标，进而求出的长； ②作点F关于y轴的对称点，连接交于点P，此时的值最小，从而可求出最小值和此时点P的坐标． 【详解】（1）解：由题意得，， 设直线的解析式，则 ，解得， 所以直线的解析式为； （2）解：设，则， 在中，， 解得， ∴． （3）解：①∵， ∴， ∴点M的纵坐标为1， 把代入，得， ∴， ∵， ∴点N的横坐标为， 把代入，得， ∴， 所以； ②作点F关于ｙ轴的对称点 所以， 连接交于点P，此时的值最小，为， ∵， ∴直线为， 令，则， ∴ 【点睛】本题综合考查了运用轴对称、一次函数图象与几何变化．折叠型动态问题是近年来中考试题中的热点问题，它可以考查学生的综合能力，如想象能力、动手操作及创新意识能力等等，对于这类问题，通常从原图中选取满足条件的基本图形进行分析、解决问题． 【经典例题七 一次函数中最值问题】 37．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，一次函数y1＝ax+b（a≠0）的图象经过点Q（1，2），过点A（2，3）且长为2个单位长度的线段AB平行于x轴，点B在第一象限． (1)求a与b的关系式； (2)当直线y1＝ax+b（a≠0）与线段AB有公共点时，求a的最大值p与最小值q的差； (3)对于一次函数y2＝mx+3m﹣1（m≠0），无论x取何值，始终有y1＞y2，求a与m的数量关系及m的取值范围． 【答案】(1)a+b＝2 (2)p﹣q＝ (3)a＝m，m＜ 【分析】（1）将点Q（1，2）代入y1＝ax+b，即可求解； （2）当直线经过B点时，此时a的最小值q＝，当直线经过A点时，此时a的最大值p＝1，则p﹣q＝； （3）先求出直线y2经过定点（﹣3，﹣1），再由题意可知y1//y2，且y1在y2的上方，则a＝m，当y1＝ax+2﹣a经过点（﹣3，﹣1）时，a＝，此时两直线相交，则a＜时，y1＞y2． 【详解】（1）将点Q（1，2）代入y1＝ax+b， ∴a+b＝2； （2）由题意可得B（4，3）， ∵a+b＝2， ∴y＝ax+2﹣a， 当直线经过B点时，4a+2﹣a＝3， ∴a＝， ∴a的最小值q＝， 当直线经过A点时，2a+2﹣a＝3， ∴a＝1， ∴a的最大值p＝1， ∴p﹣q＝； （3）∵y2＝mx+3m﹣1＝m（x+3）﹣1， ∴直线经过定点（﹣3，﹣1）， ∵无论x取何值，始终有y1＞y2， ∴y1//y2，且y1在y2的上方， ∴a＝m， 当y1＝ax+2﹣a经过点（﹣3，﹣1）时， ﹣1＝﹣3a+2﹣a， ∴a＝， 此时两直线相交， ∴a＜时，y1＞y2， 即m＜． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，通过所给的条件确定两条直线的位置关系是解题的关键． 38．（24-25八年级下·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，已知函数，其中m为常数，该函数的图象记为． (1)当时， ①请你在平面直角坐标系中画出函数的图象； ②若点和点在图象G上，则a的值为 ，b的值为 ； (2)当时，函数的最大值记为p，最小值记为q，当时，求的取值范围． 【答案】(1)①见解析；②0，或3 (2)当时，；当时， 【分析】（1）①由题意画出函数图象即可； ②由图象即可得解； （2）分类讨论，然后根据增减性找到取值范围内最大值和最小值，即可得解． 【详解】（1）解：①函数的图象如图所示； ②根据图象可知，当时，， 当时，或3； （2）解：当时，此时当时，其图象都在的图象上， ， 随x增大而增大， 当时，，当时，， ； 当时， 如图， 当时，，当时，， ， ∴ 综上，当时，；当时， 39．（2025·天津南开·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，四边形是矩形，点A，C的坐标分别是，．点D是边上的动点（与端点B，C不重合），过点D作直线交边于点E． （1）如图①，直接写出D，E两点的坐标（用含b的式子表示）． （2）如图②，若矩形关于直线的对称图形为矩形，试探究矩形与距形的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积：若改变，请说明理由； （3）矩形绕着它的对称中心旋转，如果旋转前后两矩形重叠部分的图形是菱形，请直接写出这个菱形面积的最大值和最小值． 【答案】（1）；；（2）面积不变，且面积为；（3）； 【分析】 （1） 根据题意得出点纵坐标为 1 ，点的纵坐标为 0 ，代入解析式即可； （2）如图根据菱形的性质和勾股定理从而得出结论； （3）分两种情况:当这个菱形是正方形时，当这个菱形与重合时，得出菱形面积的最小和最大值． 【详解】 解：（1）四边形是矩形， 轴， 由点，的坐标分别为，． 可得点的纵坐标为 1 ， 当时，， 解得：， 的坐标为 当时，， 解得：， 的坐标为 （2）与的交点为，与的交点为，如图： 四边形，四边形是矩形， ，， 四边形是平行四边形， 矩形关于直线的对称图形为矩形， ， ， ， ， ， 平行四边形是菱形， 过点作于点， 由，， 可知，，， ， 设菱形的边长为， 在中，，，， 由，得， 解得：， ， 所以重叠部分菱形的面积不变， 为； （3） 如下图所示， 当这个菱形是正方形时，即时，菱形的面积最小，最小值是1； 如下图所示， 当这个菱形与重合时，菱形的面积最大， 设，则, 中， 解之得：， ∴ ∴菱形面积的最大值是． 【点睛】 本题考查了一次函数的性质，矩形的性质，菱形的性质与判定，正方形的性质与判定，勾股定理，旋转等知识点，熟悉相关性质和知识点是解题的关键． 40．（2025·重庆·模拟预测）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题． （1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象； … －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 … … －3 0 3 … （2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在相应的括号内打“√”，错误的在相应的括号内打“×”； ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴；(    ) ②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当时，函数取得最大值3；当时，函数取得最小值－3；(    ) ③当或时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；(    ) （3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集（保留1位小数，误差不超过0.2）． 【答案】（1），；（2）①× ②√  ③√；（3）x＜−1或−0.3＜x＜1.8． 【分析】（1）代入x=3和x=-3即可求出对应的y值，再补全函数图象即可； （2）结合函数图象可从增减性及对称性进行判断； （3）根据图象求解即可． 【详解】解：（1）当x=-3时，， 当x=3时，， 函数图象如下： （2）①由函数图象可得它是中心对称图形，不是轴对称图形； 故答案为：× ， ②结合函数图象可得：该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当时，函数取得最大值3；当时，函数取得最小值－3； 故答案为：√ ， ③观察函数图象可得：当或时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大； 故答案为：√． （3）， 时， 得，，， 故该不等式的解集为： x＜−1或−0.3＜x＜1.8． 【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键． 41．（2025·重庆沙坪坝·二模）重庆八中的学子课外活动丰富多彩，开展了很多社团活动．最近数学社的同学在探究函数y＝的图象与性质，请你根据之前学习函数的经验和方法，画出函数图象，并回答下列问题． （1）选择恰当的值补充表格，在平面直角坐标系中，描出表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出函数图象． x … … y … 　 　 　 　 　 　 … （2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在答题卡上相应的括号内打“√”，错误的在答题卡上相应的括号内打“×”． ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴．（ ） ②当x＝0时，函数取得最大值5；当x＝﹣5或5时，函数取得最小值0（ ） ③当﹣5≤x＜0时，y随x的增大而减小；当0＜x≤5时，y随x的增大而增大（ ） （3）请结合（1）中函数图象，直接写出关于x的不等式＞﹣x+3的解集． 【答案】（1）见解析；（2）√，√，×；（3）﹣3＜x＜4.5 【分析】（1）列表，描点、连线画出函数图象即可； （2）观察图象即可求解； （3）根据图象即可求解． 【详解】解：（1）列表： x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 0 2 3 4 5 … y … 0 3 4 4.6 5 4.6 4 3 0 … 描点、连线，画出函数图象如图： （2）观察图象可知， ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴． ②当x＝0时，函数取得最大值5；当x＝﹣5或5时，函数取得最小值0． ③当﹣5≤x＜0时，y随x的增大而增大；当0＜x≤5时，y随x的增大而减小． 故答案为：√，√，×； （3）由图象可知关于x的不等式＞﹣x+3的解集为：﹣3＜x＜4.5． 【点睛】本题考查的是函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，数形结合是解题的关键． 42．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，对于任意三点A、B、C我们给出如下定义：“横长”a：三点中横坐标的最大值与最小值的差，“纵长”b：三点中纵坐标的最大值与最小值的差，若三点的横长与纵长相等，我们称这三点为正方点． 例如：点 (，0) ，点 (1，1) ，点 (， )，则、、三点的 “横长”=||=3，、、三点的“纵长”=||=3．因为=，所以、、三点为正方点． (1)在点 (3，5) ，(3，) ， (，)中，与点、为正方点的是 ； (2)点P (0，t)为轴上一动点，若，，三点为正方点，的值为 ； (3)已知点 (1，0)． ①平面直角坐标系中的点满足以下条件：点，，三点为正方点，在图中画出所有符合条件的点组成的图形； ②若直线：上存在点，使得，，三点为正方点，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)点R； (2)3或－2； (3)①见解析；② 或． 【分析】（1）根据正方点的定义即可判断； （2）根据正方点的定义构建方程即可解决问题； （3）①根据正方点的定义画出图形即可； ②如图，当直线y=与①中的图象有交点时满足条件，求出直线经过M(1，3)或(－2，－3)时m的值即可解决问题． 【详解】（1）解：∵点A、B、R的横长为：，纵长为：，5＝5， ∴、、R三点为正方点； ∵点A、B、S的横长为：，纵长为：，5≠3， ∴、、S三点不是正方点； ∵点A、B、T的横长为：，纵长为：，5≠4， ∴、、T三点不是正方点； 故答案为：点R； （2）解：∵，，三点的横长为：， ∴，，三点的纵长为3， ∴t－0＝3或1－t＝3， 解得：t＝3或－2， 故答案为：3或－2； （3）解：①如图所示： ②如图，当直线y=与①中的图象有交点时满足条件， 当直线y=经过图中M(1，3)时，有3=+m， 解得m=， 当直线y=经过图中N(－2，－3)时，有－3=－1+m， 解得m=－2， 观察图象可知：当m≥或m≤－2时，y=上存在点N，使得A、D、N三点为正方点． 【点睛】本题考查了一次函数综合题、正方点的定义，解题的关键是理解题意，学会用方程的思想思考问题，学会寻找特殊点解决问题，属于中考常考题型． 【经典例题八 一次函数的应用（利润、分配、行程）问题】 43．（2026·山东济南·一模）2026年央视春晚舞台上，多款国产智能机器人惊艳亮相，展现了我国人工智能与机器人技术的飞速发展．某科技公司计划采购A、B两款小机器人，用于科普展览．经过调查，购买2台A型机器人和1台B型机器人需2400元，购买1台A型机器人和3台B型机器人需3950元． (1)求A型机器人和B型机器人的单价分别为多少元？ (2)该公司准备采购这两种机器人共50台，其中要求B型机器人的数量超过A型机器人数量的一半，请你给出最节省费用的购买方案，最低费用是多少？ 【答案】(1)A型机器人单价为650元/台，B型机器人单价为1100元/台 (2)购买A型机器人33台，B型机器人17台；最低费用为40150元 【分析】（1）设每台A型机器人的单价为x元，每台B型机器人的单价为y元，根据购买2台A型机器人和1台B型机器人需2400元，购买1台A型机器人和3台B型机器人需3950元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设A型机器人采购a台，则B型机器人采购台，根据B型机器人的数量超过A型机器人数量的一半列出一元一次不等式，解不等式求出a的取值范围，设总的购买费用为W元，得出关于W的一次函数表达式，根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设A型机器人每台x元，B型机器人每台y元．由题意得： ， 解得：， 答：A型机器人单价为650元/台，B型机器人单价为1100元/台； （2）解：设A型机器人采购a台，则B型机器人采购台， 由题意得：， 解得：， ∵a只能取正整数， ∴a的最大值为33 设总的购买费用为W元， ∴， ∵， ∴当时，费用最低，为（元） 此时的购买方案为：购买A型机器人33台，B型机器人17台；最低费用为40150元． 44．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）某学校计划组织全校1441名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司62辆A，B两种型号客车作为交通工具．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息： 型号 载客量 租金单价 A 30人/辆 380元/辆 B 20人/辆 280元/辆 注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数． (1)设租用A型号客车x辆，租车总费用为y元，求y与x的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)若要使租车总费用不超过21940元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？ 【答案】(1)（且x为整数） (2)共有25种租车方案；租用A型号客车21辆，B型号客车41辆时最省钱 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题意列出函数关系式与不等式组． （1） 先根据总费用=A型车费用+B型车费用列出函数表达式，再根据载客量不小于总人数、车辆数非负确定x的取值范围； （2） 结合总费用不超过21940元的条件，列出不等式组，确定x的整数取值，得到租车方案，再根据一次函数的增减性确定最省钱方案． 【详解】（1）解： 租用A型号客车辆，则租用B型号客车辆， ． 总载客量需满足， ， ． 又为整数，且， 的取值范围是，且为整数． （2）解： 租车总费用不超过21940元， ， ． 结合（1）中，得，且为整数， 可取，共25种租车方案． 中，， 随的增大而增大， 当时，取得最小值， 此时，． 答：一共有25种租车方案，租用A型车21辆、B型车41辆时最省钱． 45．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）某公司研发了一款新型玩具，成本为每个50元，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）（x为整数）符合一次函数关系，如图所示 (1)求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)，x为整数 (2)当销售单价为85元时，每天获得的利润最大，最大利润3150元 【分析】（1）由待定系数法可得函数的解析式； （2）设利润为w元，根据利润等于每件的利润乘以销售量，列w关于x的函数解析式，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为， 将，代入，得：， 解得， 销售单价不低于成本，销售利润率不高于， ， ，x为整数 y与x的函数关系式为，x为整数； （2）解：设利润为w元， 则 ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w有最大值为， 即当销售单价为85元时，每天获得的利润最大，最大利润3150元． 46．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）“谷雨前后，种瓜种豆”是一句广泛流传的农谚，此时春耕春播进入了关键期．琪琪家计划在某一天（一天以24小时计）租用播种机播种花生．现有两家农机公司可提供播种机租赁，按播种机租赁时间计费，每小时的租赁费标价都是40元，他们的优惠方案如下： 甲公司：按标价的8折租赁； 乙公司：一次性租赁时间不超过4小时的，按标价租赁；若超过4小时，则超过4小时的部分按标价的七折租赁． 根据以上信息，解答下列问题： (1)设租赁时间为小时，租用甲公司的播种机每日所需费用为元，租用乙公司的播种机每日所需费用为元，分别求出，与x之间的关系式； (2)当播种机的租赁时间为多少小时时，这两家公司提供的优惠方案所需租赁费用相同？ (3)琪琪家一次性拿出480元用于租赁播种机，选择哪家公司，能使租赁的时间更长？ 【答案】(1)；当时，；当时， (2)12小时 (3)乙公司，能使租赁的时间更长 【分析】本题考查了一次函数的表达式，方程的应用及函数值的计算与比较． （1）根据题意分别列出与x的关系式和与x的关系式，需注意分情况讨论； （2）由于两家公司提供的方案所需租赁费用相同，列出方程，解得x的值即为播种机的租赁的时间； （3）一次性用480元租赁播种机时，租赁时间一定超过4小时，将代入到和中，通过比较选择出租赁时间更长的公司即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 当时，； 当时，． （2）解：∵两家公司提供的方案所需租赁费用相同， 根据题意，得，解得， ∴当播种机的租赁时间为12小时时，这两家公司提供的优惠方案所需租赁费用相同． （3）解：由题可得，一次性用480元租赁播种机时，租赁时间一定超过4小时， 在中，当时，， 在中，当时，， ∵， ∴选择乙公司，能使租赁的时间更长． 47．（2026·陕西汉中·一模）2026年是中国工农红军长征胜利90周年，为弘扬伟大的长征精神，某校组织学生开展“重走长征路”主题研学活动．研学途中，一支小分队从营地出发，沿指定路线向营地行进，行进过程中保持匀速前进，这支小分队距离营地的路程（千米）与行进时间（小时）之间满足一次函数关系，部分对应值如下表所示： （小时） 1 2 3 4 （千米） 20 16 12 8 根据表中信息，解答下列问题： (1)求与之间的一次函数关系式；（无需写出自变量的取值范围） (2)这支小分队从营地到营地共需要多长时间？ 【答案】(1) (2)6小时 【分析】（1）用待定系数法求解一次函数解析式，代入表格中两组对应值计算系数即可； （2）到达B营地时距离B营地的路程，代入已求得的解析式即可算出总时间． 【详解】（1）解：设与之间的一次函数关系式为 将和代入得， 解得， 所以与之间的一次函数关系式为； （2）解：小分队到达营地时，距离营地的路程， 将代入得， 解得． 答: 这支小分队从营地到营地共需要6小时． 48．（2026·山东日照·一模）某校九年级组织了一场趣味运动会，其中“背夹球竞走”项目（如图1）的规则是：每班选出男、女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上从起点出发，侧身走到终点，再原路返回至起点，气球不能落地．若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续行进．用时少者胜．甲、乙两班比赛过程中，甲班途中掉了球，乙班顺利走完了全程，两个班级同学到起点的距离与比赛时间的函数关系如图2． (1)求的函数表达式， (2)求甲、乙两班同学在途中到起点的距离相同时，x的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出的函数表达式为，的函数表达式为，再根据函数关系式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， 设的表达式为，把代入得： ， 解得：， ∴的表达式为． （2）解：∵， 设的函数表达式为，则， 解得：， ∴的函数表达式为， ∵，， ∴的解析式为， 由图象可得：和的交点表示甲、乙两班同学在途中第一次到起点的距离相同， ∴， 解得：． ∵， 设的函数表达式为，则 ， 解得：， ∴的表达式为， 由图象可得：和的交点表示甲、乙两班同学在途中第二次到起点的距离相同， ∵的表达式为， ∴， 解得：． 综上所述，甲、乙两班同学在途中到起点的距离相同时，或． 【经典例题九 一次函数规律探究问题】 49．（25-26八年级下·上海杨浦·课后作业）如图是用火柴棒按规律拼摆的图形． (1)用y表示摆成第n个图形所需的火柴棒根数，试完成下表： n 1 2 3 4 5 … y … (2)用公式法表示y与n之间的函数关系； (3)画出这个函数的图象． 【答案】(1)3  5  7  9  11 (2) (3)作图见解析 【分析】（1）直接根据图形填表即可； （2）根据已知图形分析，得到第n个图形（n为正整数）需根火柴棒，进而可得到y与n之间的函数关系； （3）直接描点画图即可． 【详解】（1）解：根据图形可知，第1个图形需要3根火柴棒， 第2个图形需要5根火柴棒， 第3个图形需要7根火柴棒， 第4个图形需要9根火柴棒， 按照规律，每个图形都比上个图形需要的火柴棒多2根，故第5个图形需要11根火柴棒； （2）解：观察发现，第1个图形需根火柴棒， 第2个图形需根火柴棒， 第3个图形需根火柴棒， 第4个图形需根火柴棒， …… 观察发现，第n个图形（n为正整数）需根火柴棒， 故； （3）解：直接作图如下： 50．（24-25八年级下·宁夏石嘴山·期中）声音在空气中传播的速度（简称“声速”）和气温有下表中的关系： 0 5 10 15 20 331 334 337 340 343 (1)随着T的增大，v将随之_____________（填“增大”或“不变”或“减小”）． (2)根据表中数据的变化，你发现了什么规律？写出v与T之间的函数解析式（不需要写自变量的取值范围）． (3)根据你发现的规律，回答下列问题： 在气温为的某个夏夜，小明在看到闪电后听到雷声，那么打雷的地方距小明大约多远？ 【答案】(1)增大； (2)气温每升高，速度增加；； (3)打雷的地方距小明大约 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据表格得出函数关系式是解题关键． （1）根据表格作答即可； （2）由表中数据的变化发现，气温每升高，速度增加，进而写出函数解析式即可； （3）先求出气温为时的速度，再乘以时间即可． 【详解】（1）解：由表格可知，随着T的增大，v将随之增大， 故答案为：增大； （2）解：由表中数据的变化发现，气温每升高，速度增加， 即气温每升高，速度增加， ； （3）解：当时，， 小明在看到闪电后听到雷声， ， 即打雷的地方距小明大约． 51．（2025·山西晋城·一模）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文（部分），请仔细阅读并完成相应的任务 用函数研究数轴上动点到定点（两个）距离和的变化规律 数轴是初中数学的一个重要工具，研究数轴我们可以发现许多重要的规律．例如：若数轴上点，点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为．学习函数知识后，我们可以用函数方法研究数轴上动点到定点（两个）距离和的变化规律． 特例研究： 例：如图1，在数轴上点，点表示的数分别为，3，动点表示的数为，求点到点，的距离和为，并直接写出的最小值. 用函数方法，我们可以用含的式子表示 ， 画出函数图象如图2，观察图象，可以直观看出：的最小值为5． 拓广探索： 若数轴上点，点表示的数分别为常数，，且，动点表示的数为，点到点，的距离和为，并直接写出的最小值，.…… 任务： (1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是______（从下面选项中选出两个即可）； A．转化思想  B．数形结合思想   C．统计思想      D．分类讨论思想 (2)请直接写出“拓广探索”中，关于的函数表达式． (3)在“拓广探索”中，的最小值为______；当时，随的增大而______． (4)如果你写“拓广探索”部分的内容，请直接写出一个你发现的结论． 【答案】(1)（或或） (2) (3)；减小 (4)当时，随的增大而增大；当时，有最小值；没有最大值；等等（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数的应用，求函数解析式，画函数图像，一次函数的性质； （1）从小论文中可知，主要运用的数学思想有转化思想、数形结合思想、分类讨论思想，故任选两个即可； （2）对，分三种情况计算即可； （3）根据（2）的函数画出函数图像，由图象及一次函数的性质即可完成解答； （4）根据函数表达式及一次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：小论文主要运用的数学思想有转化思想、数形结合思想、分类讨论思想， 故选：（或或）； （2）解：由题意知， 当时，； 当时，； 当时，； ∴ （3）解：画出的图像如下： 由图像知，函数的最小值为，当时，随的增大而减小； 故答案为：；减小； （4）解：由图像知，当时，随的增大而增大；当时，有最小值；没有最大值；等等（答案不唯一） 52．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）【问题情境】数学课上老师出示了这样一道题：在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位长度，求平移后直线的函数解析式． 小雯利用直线上下平移的规律“上加下减”得平移后直线的函数表达式为； 小谢认为平移前后直线中的“k”值不变，只要求出b的值即可．他的方法是：在原直线上任意找一点，如点，先把点A按要求平移，得到相应的对应点，再用待定系数法求过点的直线的函数解析式． 在分享交流中，老师肯定了他们的做法．小雯很感兴趣，又继续进行了以下探究： 【解决问题】 （1）小雯用小谢的方法尝试解决老师给出的问题：将点向上平移3个单位长度后的对应点的坐标为 ，利用待定系数法求得过点的直线的函数解析式为 （2）小雯提出了一个新的问题，请同学们用以上方法解答，将直线向左平移3个单位长度，平移后直线的函数解析式为 ，利用上下平移的规律，将直线向 （填“上”或“下”）平移 个单位长度也能得到这条直线； 【拓展应用】 （3）如果直线与直线关于y轴对称，求这条直线的函数解析式． 【答案】（1）；（2），下，6；（3） 【分析】本题考查了坐标与图形变换-平移，轴对称，待定系数法求解析式，解题的关键是得到平移后经过的一个具体点． （1）由平移的性质可求点坐标，设平移后的直线解析式为，利用待定系数法可求解； （2）平移后的直线的解析式的不变，设出相应的直线解析式，可求向左平移 3 个单位后的坐标，代入设出的直线解析式，即可求得，也就求得了所求的直线解析式； （3）根据上述方式在直线上找两点，求出其关于y轴对称的坐标，再根据待定系数法直线解析式即可． 【详解】解：（1）点向上平移 3 个单位后的点的坐标为， 设平移后的直线解析式为， 代入得，则， 所以过点的直线的解析式为； 故答案为：； （2）可设平移后的直线解析式为， ∵原直线经过点， ∴点向左平移 3 个单位后点， 代入新直线解析式得：， ， ∴平移后直线的解析式为：， 由（1）可知，另外直接将直线向下平移 6 个单位也能得到直线； 故答案为：，下，6； （3）当时，，直线与轴的交点坐标为， 当时，，解得，直线与轴的交点坐标为， 点关于轴的对应点的坐标分别为， 把分别代入得， 解得， ∴直线的表达式为． 53．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期末）数学精英小组利用平面直角坐标系在研究直线上点的坐标规律时，发现直线上的任意三点，，（），满足，经小组查阅资料，再经请教老师验证，以上结论是成立的，即直线上任意两点的坐标，，（），都有．例如：，为直线上两点，则． (1)已知直线经过，两点，请直接写出______． (2)如图，直线于点，直线，分别交轴于，两点，，，三点坐标如图所示．请用上述方法求出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据求解即可； （2）根据，分别求出k1，k2的值，再代入计算即可 【详解】（1）解：∵A(2,3)，B(4,-2)， ∴k=， 故答案为：； （2）解：∵y1=k1x+b1经过A(2,0)，B(0,4)， ∴k1=， ∵y2=k2x+b2经过A(2,0)，C(0,-1)， ∴k1=， ∴k1k2=-2×=-1． 【点睛】本题考查求一次函数解析式，本题属阅读材料题，理解题目中介绍的解题方法并能灵活运用是解题的关键． 54．（24-25八年级下·福建南平·期末）探究活动一： 如图1，某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时，发现在直线上的三点，，，有，，，兴趣小组提出猜想：若直线上任意两点，，则是定值．通过多次验证和查阅资料得知，猜想成立，是定值，并且是直线中的，叫做这条直线的斜率． （1）请你应用以上规律直接写出过，两点的直线的斜率______． 探究活动二： 数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到正确结论：当任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值． （2）如图2，直线与直线垂直于点，且，，．请求出直线与直线的斜率之积．并写出你发现的结论． 综合应用： （3）如图3，，，请结合探究活动二的结论，求出过点且与直线垂直的直线的解析式． 【答案】（1）；（2）-1，当任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积等于-1；（3） 【分析】（1）直接利用公式计算即可； （2）运用公式分别求出kDE和kDF的值，再计算kDE×kDF=-1； （3）先求直线MN的斜率kMN，根据探究活动二的结论可得直线PQ的斜率kPQ，待定系数法即可求得直线PQ解析式． 【详解】解：（1）根据题意得：． （2）∵，，， ∴，， ∴， 结论：当任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积等于-1． （3）设过点且与直线垂直的直线为，解析式为， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直线经过点， ∴，解得． ∴过点且与直线垂直的直线的解析式为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，新定义：直线斜率；是一道创新题，引入新定义：直线斜率，理解和掌握直线斜率的概念是解题的关键． 【经典例题十 一次函数几何综合应用】 55．（24-25八年级下·河南信阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线的表达式为，交轴于点．点，分别在直线上，两条直线相交于点. (1)求直线的表达式； (2)直接写出不等式的解集； (3)若直线上存在一点，使得的面积等于的面积的倍，求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）联立函数解析式求出点坐标，再结合函数图象解答即可求解； （）连接，可得，设点的纵坐标为，得，得到，进而代入即可求出点的坐标； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的交点问题，一次函数的几何应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点，分别在直线上， ∴， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：由，解得， ∴， 由函数图象可知，当时，直线在直线的上方， ∴不等式的解集为； （3）解：如图，连接， ∵点， ∴， ∵， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， 设点的纵坐标为， ∵的面积等于的面积的倍， ∴ 解得， ∵点在直线上， ∴点的坐标为或． 56．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，已知直线与直线交于点，直线在轴上的截距为． (1)求的值； (2)过直线上一点作轴的垂线交直线于点，交直线于点． ①当时，求点的坐标； ②当时，请通过计算比较与的大小． 【答案】(1) (2)①；②当时，；当时，；当时， 【分析】（1）根据截距可得b的值，再代入A点坐标，可得a； （2）①先表示出，再根据，建立方程，求解即可；②表示出，再分情况讨论即可． 【详解】（1）解：由题可知，则直线， 直线过， 则直线． （2）解：直线上一点作轴的垂线交直线于点，交直线于点， ． ①， ， ． 点的坐标为． ②由题意得：， 当点在直线下方或在直线上时，由图可知； 当点在直线上方时，； 当时， 解得：； 当时， 解得：； 当时， 解得：； 综上，当时，；当时，；当时，． 57．（25-26八年级上·四川雅安·期中）已知一次函数的图象过和两点，且与x轴交于A点，点和点Q在一次函数图象上，且点P的横坐标为1，点Q的纵坐标为1． (1)求此一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)已知点M在x轴上，若使的值最小，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，解题的关键是掌握待定系数法求解函数解析式，割补法求解面积以及将军饮马模型求线段最值． （1）运用待定系数法求解即可； （2）根据求解； （3）作点关于轴的对称点，连接与轴交点即为点，则，再由两点间距离公式求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过和两点， ∴， 解得 ∴一次函数解析式为； （2）解：∵点和点Q在一次函数图象上，且点P的横坐标为1，点Q的纵坐标为1 ∴；， 解得 ∴，， 如图： ∴ （3）解：作点关于轴的对称点，连接与轴交点即为点， ∴ ∴． 58．（25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与直线平行，且经过点． (1)求点A、B的坐标及直线的解析式； (2)若点P是直线上的一个动点，其横坐标为n，且点P到x轴的距离为9，求n的值； (3)设点Q为直线上的动点，且点Q的纵坐标为3，在x轴上是否存在点D，使的面积为12．如果存在，请直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)点坐标为，点坐标为， (2)或 (3)存在，D的坐标为或． 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积等知识，解题的关键是正确求出直线的解析式． （1）首先分别令和求出点坐标为，点坐标为，然后根据直线与直线平行，设直线的表达式为，然后利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到点P的纵坐标为9或，然后分别将和代入求解即可； （3）首先求出点的坐标为，然后根据题意得到，求出，然后分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴当时， ∴点坐标为， 当时， ∴ ∴点坐标为， ∵直线与直线平行， ∴设直线的表达式为 将代入得， ∴设直线的表达式为； （2）解：∵点到轴的距离为9， ∴点P的纵坐标为9或 ∴当时， 解得； 当时， 解得； 综上所述，或； （3）解：∵点为直线上的动点，且点的纵坐标为3， ∴ 解得 ∴点的坐标为 ∵点D在x轴上，的面积为12， ∴ ∴ ∴点D的横坐标为或 ∴点D的坐标为或． 59．（2026·湖北襄阳·一模）如图1，已知正比例函数与一次函数的图象交于点． (1)求点的坐标； (2)设轴上有一点，过点作轴的垂线（垂线位于点的右侧），分别交函数和的图象于点、，连接，若，求的面积； (3)在（2）的条件下，如图2，若一次函数的图象与轴交于点，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)四边形是平行四边形，理由见解析 【分析】（1）联立与解方程组即可求解； （2）过点作轴的垂线，在中，由勾股定理求得的长，再由求得的长，用点的横坐标表示出点、的坐标，利用的长求得值，根据即可求得的面积； （3）先求得点的坐标，得出，又，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）解： ， 解得， ∴． （2）过点作轴的垂线，垂足为， 在中，由勾股定理得， ， ，， ， ， 解得， ； （3）四边形是平行四边形，理由如下， 当时， ∴ ∴ 由（2）可得，， ∴ ∴四边形是平行四边形． 60．（24-25八年级上·江苏常州·月考）建立模型 如图，等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，可证明得到． 模型应用 (1)如图2，直线：与轴、轴分别交于、两点，经过点和第一象限点的直线，且，，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，求直线的表达式； (3)如图3，在平面直角坐标系中，已知点，连接，在第二象限内是否存在一点，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在一点Q，使得是等腰直角三角形，点Q坐标为或 【分析】（1）根据解析式得出、坐标，由 “”可证 可得，即可求解； （2）由待定系数法可求解； （3）分两种情况，结合全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】（1）解：∵与轴、轴分别交于、两点， ∴点，点， ∴，， 如图，过点作轴于， ∴ ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴点； （2）解：设直线的表达式为：， ∵， ∴， ∴， ∴直线的表达式； （3）解：存在一点Q，使得是等腰直角三角形， 当时，过点作轴于，过点作于， ∵点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点， 当时， 过作于点，过作，交延长线于点， 同理， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴点， 综上所述： 点坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用以上知识点的性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $