专题05 一次函数常考几何模型专训（8大题型+15道拓展培优题）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版2024）

专题05 一次函数常考几何模型专训（8大题型+15道拓展培优题） 题型一 一次函数中的面积问题 题型二 一次函数中的平移模型 题型三 一次函数中的动点问题 题型四 一次函数中的交点问题 题型五 一次函数中的全等问题 题型六 一次函数中的翻折模型 题型七 一次函数中的旋转模型 题型八 一次函数中的最值问题 【经典例题一 一次函数中的面积问题】 1．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）用100米长的篱笆在地上围成一个长方形，当长方形的宽由小到大变化时，长方形的面积也随之发生变化．设长方形的宽为x（米），长方形的面积为y（平方米）． (1)求长方形的面积y与长方形的宽x之间的关系式； (2)当长方形的宽为20米时，则此时长方形的面积为多少平方米？ 【答案】(1) (2)平方米 【分析】本题考查了列函数关系式，求解函数的函数值，理解题意列出正确的函数解析式是解题的关键． （1）由长方形的面积公式可得函数解析式； （2）把代入函数解析式求出函数值即可． 【详解】（1）解：； （2）解：当时，平方米． 2．（2026·黑龙江·一模）城市社区绿化是提升城市生态品质的重点工程，2025年某市推出社区绿化苗木补贴政策，某小区计划采购甲（灌木）、乙（草本）两种绿化苗木．已知购进2株甲种苗木和3株乙种苗木共需23元，购进4株甲种苗木和1株乙种苗木共需31元． (1)求购进1株甲种苗木和1株乙种苗木各需多少元？ (2)若该小区计划购进甲、乙两种苗木共15株，结合绿化区域布局，投入资金不少于80元又不超过100元（已扣除补贴）．设购进甲种苗木m株，则有哪几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，已知甲种苗木每株每年遮阴面积大约5平方米，乙种苗木每株每年遮阴面积大约2平方米．设小区年遮阴总面积为s平方米，在此前提下，哪种购买方案的年遮阴面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)购进1株甲种苗木需元，1株乙种苗木需元； (2)共有5种购买方案：①购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；②购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；③购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；④购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；⑤购进甲种苗木株，购进乙种苗木株； (3)购进甲种苗木株，购进乙种苗木株时面积最大，最大面积是69平方米． 【分析】（1）设购进1株甲种苗木需元，1株乙种苗木需元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购进甲种苗木m株，则购进乙种苗木株，根据题意列不等式组，再根据正整数得到的可能取值，即可得解； （3）设小区年遮阴总面积为s平方米，根据题意得出关于的一次函数，利用一次函数的增减性即可得解． 【详解】（1）解：设购进1株甲种苗木需元，1株乙种苗木需元， 则，解得：， 答：购进1株甲种苗木需元，1株乙种苗木需元； （2）解：设购进甲种苗木m株，则购进乙种苗木株， 由题意得：， ， 为正整数， 的可能取值为、、、、， 共有5种购买方案：①购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；②购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；③购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；④购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；⑤购进甲种苗木株，购进乙种苗木株； （3）解：设小区年遮阴总面积为s平方米， 则， ， 随的增大而增大， 由（2）可知，的最大取值为，此时 购进甲种苗木株，购进乙种苗木株时面积最大，最大面积是69平方米． 3．（24-25八年级下·广东梅州·开学考试）如图所示，在平面直角坐标系中，已知． (1)在平面直角坐标系中画出，则的面积是______； (2)在轴上找一点，使得的值最小，求点P的坐标？ (3)在轴上找一点，使的面积与的面积相等，求点Q的坐标？ 【答案】(1)5，图见解析 (2)，图见解析 (3)或 【分析】本题考查了坐标系描点、一次函数与几何综合，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据点的坐标画出图形，再利用分割法求出三角形ABC的面积； （2）先找到点关于轴的对称点，连接交轴一点，可得的值最小，进而可得点的坐标； （3）设，根据的面积与的面积相等构建方程求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求， ， 故答案为：5； （2）解：如图，作关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求， 设的表达式为， 将，代入得：， 解得： ， 当时，， ． （3）解：设， ∵的面积与的面积相等， ∴， 解得或， ∴或． 故答案为：或． 4．（2025·河南平顶山·二模）如图1，线段的长度一定，现将线段首尾相连，围成正边形（，且为整数），已知正边形的面积S（单位：）与边数（单位：条）之间的关系如图2所示．    (1)根据图中的信息，线段__________，当时，__________． (2)发现：观察图像，写出正边形的面积随边数的变化趋势为__________． (3)猜想：把线段围成什么图形时面积最大，并求出最大面积． 【答案】(1)12， (2)随的增大而增大 (3)围成圆形时面积最大，最大面积 【分析】本题考考查多边形的面积和周长，圆的面积和周长； （1）根据正方形的面积，求出周长即可得到，再求出正六边形的周长和面积即可； （2）根据函数图像直接得到答案； （3）根据题意，线段围成圆形时面积最大，进而即可求解 【详解】（1）解：当时，图形为正方形，此时面积为， ∴正方形的边长为，周长为，即， 当时，图形为正六边形，边长为，面积= 故答案为：12，； （2）由函数图像可知：随的增大而增大； （3）线段围成圆形时面积最大． 由得圆的半径， 所以圆的面积． 5．（25-26八年级上·辽宁锦州·期末）为了加强劳动教育，落实五育并举，某中学在校园内建成了如图所示的一块三角形的劳动实践基地，并邀请数学兴趣小组的同学们将其全部种植甲、乙两种蔬菜．同学们经过测量与调查，得到如下信息： 信息1：； 信息2：甲种蔬菜的种植成本为每平方米30元； 信息3：乙种蔬菜的种植成本（单位：元）与种植面积（单位：平方米）的关系如下表所示，其中； /平方米 10 20 30 40 50 /元 420 660 900 1140 1380 根据以上信息，请帮助该小组的同学们完成下列任务： (1)求该校劳动实践基地的面积； (2)求乙种蔬菜的种植成本与种植面积之间的函数关系式； (3)设甲、乙两种蔬菜的总种植成本为元，如何分配两种蔬菜的种植面积，才能使最小？并求出的最小值． 【答案】(1) (2) (3)当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，才能使最小，的最小值为1680元 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）先根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，再根据三角形的面积公式计算即可得； （2）先根据表格可得与之间满足一次函数关系，再利用待定系数法求解即可得； （3）设乙种蔬菜的种植面积为，则甲种蔬菜的种植面积为，先结合（2）的结论，建立与之间的函数关系式，再利用一次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴的面积为， 答：该校劳动实践基地的面积为． （2）解：由表格可知，自变量每增加10，函数值就增加240，函数值的变化是均匀的， ∴与之间满足一次函数关系， 设， 将点，代入得：，解得， ∴． （3）解：设乙种蔬菜的种植面积为，则甲种蔬菜的种植面积为， 由题意得：， 由一次函数的性质可知，在内，随的增大而减小， ∴当时，的值最小，最小值为， 此时， 答：当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，才能使最小，的最小值为1680元． 6．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴负半轴交于点B，与y轴正半轴交于点A，A点坐标，三角形的面积是4． (1)求点B的坐标； (2)点C是y轴正半轴点A上方一点（点C与点A不重合），C点坐标，连接，点E是x轴正半轴上一点，且，连接． ①如图2，若三角形的面积是8，求m的值； ②如图3，点F是线段上一点（点F与点B，点O不重合），连接，，当四边形的面积与三角形的面积相等时，用只含有m的代数式表示三角形的面积，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）首先得到，然后根据三角形的面积是4得到，即可求解； （2）①首先得到，然后表示出，然后根据三角形的面积是8得到，即可求解； ②设，则，，然后根据题意得到，代入得到，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵A点坐标， ∴ ∵三角形的面积是4． ∴ ∴ ∴； （2）解：①∵点C是y轴正半轴点A上方一点（点C与点A不重合），C点坐标， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵三角形的面积是8 ∴，即 ∴； ②∵点F是线段上一点（点F与点B，点O不重合）， ∴设 ∴， ∵四边形的面积与三角形的面积相等 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了一次函数和几何综合，三角形面积，解题的关键是掌握以上知识点． 【经典例题二 一次函数中的平移模型】 1．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）（1）【源于课本】 将一次函数的图象沿着轴向上平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为：_____； （2）【深入探究】 ①（平移探究）将图中一次函数的图象沿着轴向右平移3个单位长度，求所得到的图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移．因此，只需要在图象上任取两点，将它们沿着轴向右平移3个单位长度，得到点的坐标，从而求出直线对应的函数表达式为：_____； ②（轴对称探究）将图中一次函数的图象关于轴对称，所得到的图象对应的函数表达式为：_____； 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题考查了一次函数平移，对称的性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）由平移的性质即可求解； （2）①先求出函数图像平移后的解析式，再根据图象的平移就是点的平移即可求解； ②一次函数的图象关于轴对称，将x替换为即可求解． 【详解】解：（1）由平移的性质知，平移后的函数表达式为：， 故答案为：； （2）①一次函数的图象沿着轴向右平移3个单位长度，求所得到的图象对应的函数表达式为：， 图象的平移就是点的平移， 直线对应的函数表达式为； ②一次函数的图象关于轴对称， 函数上的点的坐标横坐标为相反数，纵坐标相等， 将x替换为，， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为． (1)在中，点C经过平移后的对应点为，将△ABC作同样的平移得到，画出平移后的； (2)点D是坐标轴上的点，当与的面积相等且点D为格点时，直接写出点D坐标． 【答案】(1)见解析 (2)或或． 【分析】此题考查了平移作图，坐标与图形，平移的性质，求一次函数的解析式，熟知图形的平移不变性的性质是解题的关键． （）根据平移的性质画图即可； （）过点作与轴交于格点，与轴交于格点．作关于对称的，过点作的平行线，交y轴于格点，进而求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）如图所示，过点作与轴交于格点，与轴交于格点， ∵， ∴，与的面积相等，， ∵，， ∴，． 作关于对称的，过点作的平行线，交y轴于格点， ∴和的面积相等， ∵， ∴和的面积相等，即和的面积相等， 延长过点，则， ∵，， ∴． 综上所述，符合要求的点D的坐标为或或． 3．（2025八年级上·上海松江·专题练习）（1）如图，指出平面直角坐标系中的两个图象，可以怎样由的图象得到，并写出相应的函数表达式； （2）将的图象分别向上平移2个单位长度、向下平移3个单位长度，画出平移后的图象，并写出相应的函数表达式 ___________． 【答案】（1），；（2）图象见解析，； 【分析】此题考查了一次函数与几何变换，涉及的知识有：平移的性质及图象的画法，熟练掌握平移性质是解本题的关键． （1）利用平移规律“上加下减”确定出平移后函数解析式即可； （2）利用平移规律确定出平移后函数解析式，然后再画出图形． 【详解】解：（1）由图象知，l1是将的图象向上平移3个单位长度得到的，其函数表达式为； 是将的图象向下平移2个单位长度得到的，其函数表达式为； （2）将的图象向上平移2个单位长度得到的函数表达式为； 将的图象向下平移3个单位长度得到的函数表达式为； 函数图象如图所示： 故答案为：yx+2；yx﹣3． 4．（24-25八年级下·四川成都·期末）已知一次函数，将直线向上平移个单位长度得到直线，直线与轴、轴的交点分别是点，点． (1)如图1，求直线的解析式； (2)如图2，点为直线上的动点，连接交线段于点，若，求点的坐标； (3)如图3，若点是直线上的一个动点，将点向左平移3个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，连接、、，当最小时，求的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一次函数的平移法则即可得解； （2）求出，，由平移的性质可得，由平行线的性质结合题意可得，再由三角形面积公式计算即可得解； （3）设，则，作交于，连接， ，当、、三点共线时，有最小值，设直线的解析式为，求出，设直线的解析式为，求出，从而可得，求出的值即可得解． 【详解】（1）解：∵将直线向上平移个单位长度得到直线， ∴直线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∴， 当时，，解得，即， ∴， 由平移的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设，则， 如图，作交于，连接， ， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴当、、三点共线时，有最小值， 设直线的解析式为， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴， 解得：， ∴，． 【点睛】本题考查了一次函数的平移、一次函数与几何综合、一次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 5．（25-26八年级下·上海松江·课后作业）把函数的图象分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图象． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？ 老师给了以下提示：如图1，在函数的图象上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后得到的图象． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为___________． 【解决问题】 （2）已知某一次函数的图象与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 【拓展探究】 （3）一次函数的图象绕点逆时针方向旋转后得到的图象对应的函数表达式为___________．（直接写结果） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）平移时k的值不变，只有b发生变化．可以先确定平移后与x轴的交点坐标，然后利用待定系数法即可求得； （2）直接根据平面直角坐标系中，点关于x轴对称的特点得出答案； （3）在直线取两点，，根据旋转性质求得旋转后对应点，，然后利用待定系数法求出直线的解析式即可． 【详解】解：（1）将函数的图象沿x轴向右平移3个单位长度， 平移后与x轴的交点为，将代入中，得 ， 解得， 所以平移后的函数表达式为， 故答案为：； （2）解：在函数的图象上取两个点、， 关于x轴对称的点的坐标、， 设直线的解析式为， 把代入，得 ， ∴一次函数的表达式为； （3）解：如图，在直线上取两点，， 一次函数的图象绕点逆时针方向旋转， 点、绕点逆时针方向旋转后对应点为点、， 过点作轴于，过点作轴于，过点作于， ， ，， 由旋转可得，， ， ，， ， ， ， ， ，， 轴， 四边形是矩形， ，， ， ， 同理可求得点， 设直线解析式为， 把、代入，得 ， 解得：， ∴旋转后得到函数解析式为：． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·江苏南京·月考）【探究发现】创新小队在学习一次函数的图象与性质时，发现一次函数的图象可以由正比例函数的图象通过上下平移或左右平移得到，于是，他们进行了如下的探究活动． (1)请你完成探究活动中的相关问题． ①将的图象向上平移4个单位，得到的直线，则的函数表达式为____________； ②请在图1平面直角坐标系中，画出直线的图象； ③观察图象，直线也可以看作由的图象向____________（填“左”或“右”）平移____________个单位得到． (2)【类比迁移】将向下平移3个单位得到的图象，相当于将向____________（填“左”或“右”）平移________个单位得到； (3)【拓展升华】将向下平移个单位得到的图象，相当于将向____________（填“左”或“右”）平移____________个单位得到． (4)【综合应用】已知一次函数的图象如图2所示，结合（1）－（3）的探究，请用无刻度的直尺和圆规在同一直角坐标系中画出的图象．（不写作法、保留作图痕迹） 【答案】(1)①；②见解析；③左，2 (2)左，9 (3)右， (4)见解析 【分析】本题考查一次函数图象的平移，以及左右平移规律的探索，关键是通过与坐标轴的交点解决． （1）①利用一次函数“上加下减”(截距增减)的平移规律，直接给的截距加4，得平移后解析式； ②求出直线与坐标轴的交点，过两点作直线即可； ③求与各自与轴的交点、，对比交点横坐标变化，确定左移2个单位； （2）先求“下减”求向下平移3个单位后的解析式，再分别求两直线与轴的交点，通过横坐标变化确定即可； （3）先求与平移后各自与轴的交点，计算横坐标差值，确定平移方向和平移距离； （4）根据“上加下减”，将上移个单位画，再根据与坐标轴的交点变化画． 【详解】（1）解：①根据“上加下减”的平移规律，直线向上平移4个单位，得； 故答案为：； ②当时，；当时，， 过点，作直线，即为直线：的图象，如图所示： ③∵直线与轴的交点是，与轴的交点是，将点向左平移2个单位得到， ∴直线可以看作由的图象向左平移2个单位得到． 故答案为：左，2； （2）解：令，解得， ∴直线与轴的交点坐标为． 将向下平移3个单位，得到． 令，解得， ∴直线与轴的交点坐标为． ∵将点向左平移9个单位得到， ∴直线相当于将向左平移9个单位得到． 故答案为：左，9； （3）解：同理，直线与轴的交点是． 直线向下平移个单位后的函数为， 令，得，解得， ∴新交点为． ∵，即点向右平移个单位得到， ∴将向下平移个单位，相当于将向右平移个单位得到． 故答案为：右，； （4）解：如图所示： 【经典例题三 一次函数中的动点问题】 1．（24-25八年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，点是轴上的动点． (1)求直线的解析式； (2)当时，求点的坐标； (3)若点为线段的中点，点是线段上的动点，点是线段上的动点，当△的周长取得最小值时，求点和点的坐标． 【答案】(1) (2)点或 (3)， 【分析】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的性质，轴对称的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）先求出点，点坐标，利用待定系数法可求直线解析式； （2）由面积关系列出方程可求解； （3）作点关于轴的对称点，作点关于直线的对称点，连接，交于，交轴于，此时的周长有最小值，利用待定系数法可求直线的解析式，可求点坐标，联立方程组可求点坐标． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，． ，， ， 解得：，， 直线的解析式为； （2）设点， ， ， ， ， 或， 点或； （3）如图，作点关于轴的对称点，作点关于直线的对称点，连接，交于，交轴于， 此时，的周长，即的周长的最小值为， 点为线段的中点， ， 点， 点与点关于轴对称， ， 点， 点与点关于直线对称， ，， ， 点， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 点， 点是直线与直线的交点， ， 解得：， 点． 2．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，已知长方形中，，，为边的中点，为长方形边上的动点，动点以4个单位／秒的速度从出发，沿着运动到点停止，设点运动的时间为秒，的面积为． (1)点运动过程中，求出与之间的关系式； (2)当为何值时，最大？并求出的最大值． 【答案】(1) (2)当时，最大，的最大值为． 【分析】此题是四边形综合题，主要考查了三角形面积求法，求一次函数的解析式和一次函数的性质，分类讨论是关键． （1）分两种情况讨论，求出函数解析式即可； （2）根据一次函数的性质求出最值即可． 【详解】（1）解：①当P在上时，即时（如图1）， 此时，， ∴的面积为， ②当点P在上时，即（如图2）， 此时， 则 ． 所以y与之间的关系式为， ∴ （2）当时，的面积为， ∵ ∴y随着x的增大而增大， ∴当时，， 当时，的面积为， ∵ ∴y随着x的增大而减小， ∴当时，， 综上可知，当时，最大，的最大值为． 3．（2025·重庆江北·一模）如图1，在矩形中，，，动点P以每秒1个单位的速度，从点A出发，按的顺序在边上运动．与点P同时出发的动点Q以每秒个单位的速度，从点D出发，在射线上运动．当动点P运动到点D时，动点P、Q都停止运动．在运动路径上，设点P的运动时间为t秒，此时点P、点B之间的路径距离与点P、点C之间的路径距离之和为，动点Q的运动路程为． (1)分别求出，与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； (2)在如图2的平面直角坐标系中，画出，的函数图象，并根据图象写出函数的一条性质：_________________________； (3)根据图象直接写出当时，t的取值范围____________． 【答案】(1)， (2)图见解析，当时，随t的增大而减小；当时，随t的增大而不变；当时，随t的增大而增大；函数是轴对称图象，对称轴是直线 (3) 【分析】（1）根据题意可分当P在上，当P在上，当P在上，然后分类求解即可； （2）根据（1）可直接进行作图，然后根据图象可进行求解； （3）把函数向上平移一个单位长度，进而根据函数图象可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得： ①当P在上，即时，则有：， ∴； ②当P在上，即时，则有：； ③当P在上，即时，； 综上，； ； （2）解：函数图象如下所示： 当时，随t的增大而减小；当时，随t的增大而不变；当时，随t的增大而增大； （3）解：把函数向上平移一个单位长度，如图所示，根据图象可知当时，则有； 故答案为． 【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 4．（24-25八年级下·重庆巴南·月考）如图1，在矩形中，，，E为的中点，动点P，Q分别从点A，E出发，沿射线运动，动点G从点D出发，沿射线运动，动点P的速度是动点Q的2倍，动点G的速度是动点Q的．已知，运动时间为t，令的面积为，的面积为，请回答下列问题：    (1)请直接写出，与t之间的函数关系式； (2)完成下表，并在如图2所示的平面直角坐标系中画出，的图象，并根据图象写出函数的一条性质：______． t 0 4 8 (3)根据图象直接写出当且时，t的取值范围． 【答案】(1)， (2)表见解析，图见解析，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大（答案不唯一） (3) 【分析】（1）先根据矩形的性质可得，从而可得点到边的距离为4，再分别求出，当点与点重合时，，然后利用三角形的面积公式求解即可得； （2）先根据（1）的结论完成表格，再利用描点法画出函数图象，然后结合函数图象写出函数的一条性质即可得； （3）结合函数图象即可得． 【详解】（1）解：∵在矩形中，，，为的中点， ， 点到边的距离为4， 由题意得：，， ， ， 当点与点重合时，，即， 解得， 则当时，， 此时， 当时，， 此时， 综上，，． （2）解：当时，，， 当时，，， 当时，，， 则完成表格如下： 0 4 8 0 4 8 8 0 8 在平面直角坐标系中画出，的图象如下：    函数的一条性质：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 故答案为：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．（答案不唯一） （3）解：由函数图象可知，当且时，． 【点睛】本题考查了一次函数的几何应用，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 5．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，在平面直角坐标系中，、、三点坐标分别为、、，把沿翻折，点恰好落在轴的点处，为折痕． (1)求直线的解析式； (2)在平面直角坐标系中，有一个动点使得，动点的纵坐标是否为横坐标的函数？若是，求出关于的函数解析式；若否，请说明理由； (3)连接、，点为边的中点，，且交外角的平分线于点，请补全图形，并求证． 【答案】(1) (2)是，或 (3)补全图形见解析，证明见解析 【分析】（1）由翻折的性质可得，，待定系数法求直线的解析式即可； （2）由题意知，，则，由勾股定理得，，设到的距离为，依题意得，，可求，即点在距离为的直线上运动，如图1，记与轴的交点为，与轴的交点为，作于，则，可求，由勾股定理得，，则，，设直线的解析式为；将代入，可求，则直线的解析式为；同理，直线的解析式为； （3）如图2，延长交的延长线于，记与轴的交点为，则，证明四边形是正方形，，证明，则，由，可得，如图2，作于，轴于，证明四边形是正方形，则，，，证明，则，证明，进而可证． 【详解】（1）解：由翻折的性质可得，， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为； （2）解：由题意知，， ∴， 由勾股定理得，， 设到的距离为， 依题意得，， 解得，， ∴点在距离为的直线上运动，如图1，记与轴的交点为，与轴的交点为，作于， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 同理可得，， 设直线的解析式为； 将代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为； 同理，直线的解析式为； ∴动点的纵坐标是横坐标的函数，关于的函数解析式为或； （3）证明：如图2，延长交的延长线于，记与轴的交点为， ∴， ∵， ∴四边形是正方形，， ∴外角为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图2，作于，轴于， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了翻折的性质，一次函数解析式，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，平行线间的距离，正方形的判定与性质，角平分线，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握翻折的性质，一次函数解析式，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，平行线间的距离，正方形的判定与性质，角平分线，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 6．（24-25八年级下·河南洛阳·月考）【观察发现】 如图1，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用． 【探究迁移】 （1）如图2，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点． ①的度数为________． ②，是正比例函数的图象上的两个动点，连接，．若，，则的最小值是________． （2）如图3，一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点．将直线绕点顺时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式． 【拓展应用】 （3）如图4，点在轴的正半轴上，，是直线上的动点，是轴上的动点．若是以动点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）①②8（2）（3）或 【分析】（1）①根据解析式确定，，得到，解答即可． ②根据垂线段最短，得到时，取得最小值，利用三角形全等判定证明，利用勾股定理解答即可． （2）过点D作于点D，过点D作轴于点F，过点B作于点E，则四边形为矩形，根据一线三直角全等模型解答即可． （3）分在x轴的上方，下方，结合全等模型解答即可． 【详解】（1）解：①∵直线与轴、轴分别交于，两点． ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． ②解：根据垂线段最短，得到时, 取得最小值， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：8． （2）解：过点D作于点D，过点D作轴于点F，过点B作于点E， 则四边形为矩形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点， ∴，， ∴， ∴， 解得． ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴解析式为． （3）解：当在x轴的上方时，过点P作于点M， 根据题意，得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，是直线上的动点， 设， ∴，， 解得， 故； 当在x轴的下方时，过点P作于点N， 同理可证， ∴， ∵，是直线上的动点， 设， ∴，， 解得， 故； 综上所述，所有符合条件的点的坐标或． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，垂线段最短，待定系数法，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【经典例题四 一次函数中的交点问题】 1．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交点为，与轴交点为．且与正比例函数的图象交于点． (1)求一次函数的表达式． (2)若点在轴上且．求此时点的坐标； (3)若点在轴左侧的直线上，且的面积是10，求此时点坐标． 【答案】(1) (2)或． (3) 【分析】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与几何综合，熟练掌握待定系数是解题关键． （1）首先利用待定系数法把代入正比例函数中，计算出m的值，进而得到C点坐标，再利用待定系数法把A、C两点坐标代入一次函数中，计算出k、b的值，进而得到一次函数解析式． （2）根据一次函数的解析式，得到点B的坐标，再根据，以及三角形的面积公式进行列式计算，即可作答． （3）设点P的坐标为，利用数形结合及的面积为10，以及三角形的面积公式进行列式计算，解得m的值，即可得出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图象上， ∴， ∴， 即点C坐标为． ∵一次函数经过、点， ∴， 解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）解：∵一次函数与y轴交于点B， ∴， ∵点， ∴， ∵， ∴， ∵点在轴上， ∴设， 则， 解得， 即， 故， ∴或． （3）解：∵点在轴左侧的直线上，且由（1）得直线的表达式为； ∵，， ∴， ∴点在第三象限， ∴设P的坐标为，且，连接 ∵的面积是10，，且由（2）得， ∴， ∴ ∴， ∴点P的坐标为． 2．（24-25八年级下·海南海口·月考）在平面直角坐标系中，是原点，一次函数与轴交点为，与轴交点为． (1)写出交点的坐标________、的坐标________； (2)请直接在平面直角坐标系中，作出一次函数的图象； (3)求的面积． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点，画一次函数的图象，求三角形的面积，掌握求一次函数与坐标轴的交点是解题的关键． （1）令，求出x的值得到点A的坐标；当求出y的值得到点B的坐标； （2）在平面直角坐标系中描出点和点的坐标，过两点作直线即可； （3）根据三角形的面积公式计算解题． 【详解】（1）解：令，则，解得， ∴点A的坐标为； 当时，， ∴点B的坐标为； 故答案为：，； （2）解：如图所示： （3）解：． 3．（25-26八年级上·江苏淮安·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交点为，与y轴交点为B．且与正比例函数的图象交于点． (1)求一次函数的表达式． (2)若点D在y轴上且，求此时点D的坐标； (3)若点P在y轴左侧的直线上，且的面积是9，则此时P点坐标为 ． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，直线围成的图形面积，直线与y轴的交点． （1）把点C的坐标代入中求得m的值，得点C的坐标，再用待定系数法即可求解； （2）设，则，求出，利用已知面积相等求得n的值，即可求得点D的坐标； （3）先求出点B的坐标及的面积，则得的面积，设，利用面积关系求得x的值即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与正比例函数的图象交于点， ∴， ∴， 即， ∵直线过点A、C， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 即， 解得：， ∴点D的坐标为或； （3）解：对于，令，则， ∴， ∴， ∴， ∵点P在y轴左侧的直线上，且的面积是9， 即， ∴， 设，其中， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·河南郑州·开学考试）定义：图象与x轴有两个交点的函数叫做关于m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B． (1)关于l的对称函数与直线交于点C，如图． ①直接写出点的坐标：A（ ，0）；B（ ，0）；C（1， ）； ②P为关于m的对称函数图象上一点（点P不与点C重合），当时，求点P的坐标； (2)当时，直线与关于m的对称函数有两个交点，求m的取值范围． 【答案】(1)①；②或或 (2) 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）①分别令，求出的值，得到的坐标，求出时的值，求出点坐标；②根据，得到，进而得到，进行求解即可； （2）求出点坐标，进而求出点恰好在直线上时的的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵， ∴当时，；当时，， 当时，； ∴； 故答案为：； ②∵， ∴， ∴， ∴当时，，当时，，当时，， ∴或或； （2）∵， ∴当时，把代入，得：， ∴点， 当直线过点时，直线与关于m的对称函数有两个交点， 将点C的坐标代入得：，解得； ∴当时，直线与关于m的对称函数有两个交点． 5．（24-25八年级上·浙江金华·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于任意一次函数的图象，作该图象在直线的右侧部分关于直线的轴对称图形，与原图象在直线的右侧部分及与直线的交点共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“V型函数”．例如：图1就是一次函数关于直线的“V型函数”图象． (1)请在图2中画出函数关于直线的“V型函数”图象．      (2)若函数关于直线的“V型函数”图象与x轴只有一个交点，则 ． (3)如图3，点，以为斜边在x轴上方作等腰，当函数关于直线的“V型函数”图象与的边只有两个交点时，求m的取值范围．    【答案】(1)见解析 (2) (3)，或 【分析】（1）根据题意作出图象即可； （2）求得直线与x轴的交点坐标即可求解； （3）分两种情况求解，直线在，以及“V型函数”图象在直线与x轴的交点的左侧，据此求解即可. 【详解】（1）解：函数关于直线的“V型函数”图象如图所示，    ； （2）解：令，则，解得， ∵函数关于直线的“V型函数”图象与x轴只有一个交点， ∴， 故答案为：； （3）解：∵等腰中，点， ∴， ∴点， ∴直线的解析式为， 解方程得， 由（2）知直线与x轴的交点为， ∴当时，函数关于直线的“V型函数”图象与的边只有两个交点， ∵直线与的边已经有两个交点， ∴函数关于直线的“V型函数”图象与的边不能再有交点，即在点的左侧，      ∴与点关于对称， ∴时，函数关于直线的“V型函数”图象经过点， ∴当函数关于直线的“V型函数”图象与的边只有两个交点时，m的取值范围为或． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用；理解并运用新定义“V型函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键． 6．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，点在直线l：上，若点的坐标为，则称点为点P关于直线l的“点线变换点”． 例如：点 在直线上，点关于直线l的“点线变换点”为，即．如图，直线与直线相交于点C， (1)分别求出点C关于直线，直线的“点线变换点”的坐标； (2)点在x轴上，过点D作x轴的垂线，与相交于点M，与相交于点N，设点M关于直线的“点线变换点”为点，设点N关于直线的“点线变换点”为点； ①当时，求的面积； ②当时，求直线与y轴交点坐标； ③当线段与直线组成的图形有两个交点时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)点关于直线的“点线变换点”的坐标为，点关于直线的“点线变换点”的坐标为 (2)①10，②，③或且 【分析】（1）先求出点坐标，再根据“点线变换点”定义分别计算关于直线、的变换点坐标； （2）①先求时、坐标，再求、坐标，最后根据三角形面积公式计算；②利用待定系数法求直线解析式，再求与y轴交点；③排除特殊 m 值​：当或落在一条直线上时，可能导致交点重合或增加；联立方程求交点范围，​根据图形关系分析m取值范围． 【详解】（1）解：，解得， 点的坐标为； 点关于直线的“点线变换点”的坐标为，即． 点关于直线的“点线变换点”的坐标为，即． （2）设点，点， 则，， ①当时，则，，如图1， ． ， ②设直线对应的函数表达式为， 将点，，代入得， ，解得， ， 当时，， 直线与y轴交点坐标为． ③​若在上​：则， ，解得，， 在上，与有两个交点， ​若 在上​：则， ，解得，，此时重合，故舍去， ​线段：过交点时，与有一个交点， ，解得，， 当且时，线段与直线组成的图形有两个交点； 将代入，得， 解得，，即当在上时，线段与直线组成的图形刚好有两个交点， 当时，线段与直线组成的图形有两个交点； 综上，当线段与直线组成的图形有两个交点时，或且． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及新定义“点线变换点”，通过联立方程求交点，利用坐标变换和直线解析式求解相关问题，关键是理解新定义并准确计算坐标变换． 【经典例题五 一次函数中的全等问题】 1．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点、与y轴交于点． (1)直线的函数表达式为_____． (2)若点C是直线上一点，点D是y轴上一点，当与以D、B、C为顶点的三角形全等时，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)点C的坐标为或或． 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，勾股定理，全等三角形的性质． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分三种情况讨论，利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为， 把，代入，得：， 解得， ∴； （2）解：∵，， ∴，， 当时，且点在点的上方，如图： ∴，，即轴， ∴，即， ∴； 当时，且点在点的上方，如图：作轴于点， ∴，， ∴， ∴， 当时， ∴； 当时，且点在点的下方，如图： 同理，； 综上，点C的坐标为或或． 2．（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）如图：直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，，点是直线上与A、B不重合的动点．    (1)求直线的解析式； (2)当点C运动到什么位置时的面积是6； (3)过点C的另一直线与y轴相交于D点，是否存在点C使与全等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线解析式为 (2)点C的坐标为或； (3)存在，、或时，与全等 【分析】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法即可解决问题． （2）利用三角形的面积关于y的方程，再求出点C的坐标即可； （3）利用勾股定理列式求出，然后根据，然后分三种情况：当与是对应边时，利用全等三角形对应边相等求出，再写出点C的坐标即可；②与是对应边时，过点C作轴于E，利用面积法求出，再分点C在y轴的左边与右边两种情况求解即可． 【详解】（1）解：当时，，当时，， ∴点， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴直线解析式为； （2）解：由（1）得：， ∵点，的面积是6， ∴， ∴， 解得：， ∴点C的坐标为或； （3）解：存在， 在中，∵， ∴， ∵点C是直线上与A、B不重合的动点，过点C的另一直线与y轴相交于点D， ∴， 当与是对应边时，    ∵， ， ∴， ∴点； 与是对应边，点C在y轴的左侧时，过点C作轴于E，    ∵， ， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴点C的坐标为； 与是对应边，点C在y轴的左侧时，过点C作轴于E，    ∵， ， ∵， ∴， 解得：，    ∴， ∴， ∴点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为、或． 【点睛】本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数与坐标轴的交点的求解，勾股定理，全等三角形的性质，关键在于根据题意得到，从而确定出三角形的对应边，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观． 3．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图1，已知，，，点P在线段上由点B向点A运动，点P的运动速度与运动时间之间的关系如图2所示． (1)点P的运动速度为 ； (2)当点P运动t秒时，求线段的长（用含t的代数式表示）； (3)点Q在射线上由点B向点M运动，与点P同时出发，当点P运动结束时，点Q运动随之结束．当点Q的速度是多少时，与全等？ 【答案】(1)3 (2) (3)或 【分析】本题考查的是从函数图象中获取性质，全等三角形的性质；清晰的分类讨论是解本题的关键； （1）根据函数图象可得答案； （2）先表示，再利用线段的和差关系可得答案； （3）由，再分两种情况讨论：①当时，设点Q的速度为，②当时，再建立方程求解即可； 【详解】（1）解：由图象可得：点P的运动速度为； （2）解：∵，， ∴； （3）解：∵， ①当时，设点Q的速度为， ∴，， ∴，， 解得：， ②当时， ∴，， ∴，， 解得：； 综上：点Q的速度是或 4．（24-25八年级上·浙江嘉兴·月考）如图，直线分别交轴，轴于点，，点，动点从点出发以每秒1个单位的速度沿轴负方向移动，设点的移动时间为秒． (1)求，两点的坐标． (2)设的面积为，当时，求关于的函数表达式． (3)当为何值时，与全等． 【答案】(1)， (2) (3)当或时，与全等 【分析】本题考查了一次函数的几何应用、全等三角形的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）分别求出当时，的值；当时，的值，由此即可得； （2）先求出点的坐标，从而可得的长，再利用三角形的面积公式求解即可得； （3）先判断出只能是，再根据全等三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】（1）解：对于一次函数， 当时，，解得， 当时，， 则点的坐标为，点的坐标为． （2）解：由（1）已得：点的坐标为， ∵动点从点出发以每秒1个单位的速度沿轴负方向移动，且点的移动时间为秒， ∴， ∴当时，， ∵， ∴， ∵轴轴， ∴的面积为， 所以关于的函数表达式为． （3）解：由（2）已得：， ∴， ∵，，，轴轴， ∴，，， ∴与全等只有一种情况：， ∴，即， 解得或， 所以当或时，与全等． 5．（2025·广西柳州·二模）综合与探索 【探索发现】如图，等腰直角三角形中，，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】如图，在直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点、， (1)直接写出______，______； (2)将直线绕点顺时针旋转得直线，求出直线解析式： 小明的解题思路是：在第二象限构造等腰直角，使得，，根据型全等和坐标之间的关系，求出点的坐标为______；通过，两点坐标求出直线的解析式______； (3)如图，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数解析式． 【答案】(1)，； (2)，； (3)的函数表达式为． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一次函数的图象与性质，等腰直角三角形等知识点，熟练掌握其性质，正确作出辅助线是解题的关键． （）由即可求出点的坐标为，点的坐标为，从而求解； （）根据“型全等”证明，则有点的坐标为，设解析式为，然后把，坐标代入求解即可； （）过点作交于点，过点作轴，过点作轴与交于点，与轴交于点，证明，则有，设，则，，得出，最后通过待定系数法即可求解． 【详解】（1）解：如图，在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点， 令，解得，令，得，解得：， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， 故答案为：，； （2）解：过点作轴于，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴点的坐标为， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 故答案为：，； （3）解：过点作交于点，过点作轴，过点作轴与交于点，与轴交于点，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴，解得， ∴， ∴设直线解析式为 ，解得， ∴的函数表达式为． 6．（24-25八年级下·河南南阳·期中）【情境引入】数学来源于生活，数学问题往往产生于某一场景中或一瞬间．近年来，AI技术已悄然渗透日常，信息技术课上，小宛用一款名为“GGB”数学应用软件绘制一个小球运动瞬间（图1），由此产生一些数学问题，请你帮助小宛解决下列问题． 【条件设置】将图1放置在直角坐标系中（图2），设点O为坐标原点，水平直线为横轴，过点O的铅垂线为纵轴．小球从y轴上的A点出发，到达x轴上的B点后改变方向运动到挡板上D点处，其中轴，垂足为C，，小球运动都为直线型路径． 【初步发现】 (1)如图2，若的函数关系式为． ①则点A坐标为________；点B坐标为________； ②聪明的小宛发现当时，就构成了典型的“一线三垂直全等模型”，则点D的坐标为________； 【方法总结】遇等腰直角三角形，可以过两个锐角顶点分别向直角顶点所在的直线作垂线，就得到了两个全等的直角三角形，从而利用线段相等得到点的坐标． 【应用探究】 (2)已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，过反比例函数图象一点E，在第二象限构造等腰直角，使得，求反比例函数的表达式； 【拓展延伸】 (3)如图4，将直线绕点A旋转得到，直接写出的函数表达式． 【答案】(1)①；；② (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合、求反比例函数解析式、全等三角形的性质与判定，学会作垂线构造全等三角形是解题的关键． （1）①利用一次函数的性质即可求解；②通过证明，得出，，代入数据即可得出点D的坐标； （2）作轴于点，利用一次函数的性质求出点的坐标，再通过证明，得到，，代入数据得到点E的坐标，再利用待定系数法求反比例函数表达式即可； （3）根据题意，分两种情况讨论：①直线绕点A顺时针旋转得到；②直线绕点A逆时针旋转得到，过点作交于点，作轴于点，通过证明，得到，，代入数据得到点M的坐标，再利用待定系数法求直线的函数表达式即可． 【详解】（1）解：①令，则， 令，则，解得， 点A坐标为；点B坐标为． 故答案为：；． ②， ， 轴， ， ， ， 又，， ， ，， 由①得，，， ，， ， 点D的坐标为． 故答案为：． （2）解：如图，作轴于点， 令，则， 令，则，解得， ，， ，， ， ， 轴， ， ， ， 又，， ， ，， ， ， 代入到反比例函数，得， 反比例函数的表达式为． （3）解：由（2）得，，， ①若直线绕点A顺时针旋转得到， 如图，过点作交于点，作轴于点， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ， 设直线的函数表达式为， 代入，得， 解得：， 直线的函数表达式为； ②若直线绕点A逆时针旋转得到， 如图，过点作交于点，作轴于点， 同理①的方法可得，，， ， ， 设直线的函数表达式为， 代入，得， 解得：， 直线的函数表达式为； 综上所述，直线的函数表达式为或． 【经典例题六 一次函数中的翻折模型】 1．（24-25八年级上·江西景德镇·期末）如图， 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形的顶点，将矩形的一个角沿直线折叠，使得点A落在对角线上的点E处，折痕与x轴交于点D． (1)线段的长度为 ； (2)求线段的长，以及直线所对应的函数表达式； 【答案】(1)15 (2)， 【分析】本题考查一次函数与几何图形，矩形与折叠，勾股定理，熟练掌握一次函数的图象及性质，待定系数法求函数解析式的方法，矩形的性质是解题的关键． （1）矩形中，可得； （2）求出点，，，由待定系数法求出直线的解析式． 【详解】（1）解：， ， 四边形是矩形， ， ， 故答案为：15； （2）解：由折叠的性质得：， ， 设，则， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ， 设直线所对应的函数表达式为， 将点代入得：， 解得， 则直线所对应的函数表达式为． 2．（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）如图，把长方形纸片放入平面直角坐标系中，使，分别落在x轴，y轴的正半轴上，连接， ． (1)求A、C两点的坐标； (2)将纸片折叠， 使点A与点C重合（折痕为），求折叠后纸片重叠部分的面积； (3)求所在直线的函数表达式． 【答案】(1) (2)折叠后纸片重叠部分的面积为10 (3) 【分析】本题考查了一次函数的面积问题，求一次函数解析，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握待定系数法，求出重叠部分三角形的底和高是解题的关键． （1）根据得出，根据勾股定理得出，列出方程求解即可； （2）设，则，在中，根据勾股定理可得，列出方程求出，根据，即可解答； （3）由（2）可得，设，则，在中，根据勾股定理可得：，列出方程求出，则，在用待定系数法即可求出所在直线的函数表达式． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵四边形为长方形， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； （2）解：∵四边形为长方形， ∴， ， 由折叠可得：， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴， ∴， ∴折叠后纸片重叠部分的面积为10； （3）解：由（2）可得， ∴， 由折叠可得：， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴， ∴， 设所在直线的函数表达式为， 把，代入得： ， 解得：， ∴所在直线的函数表达式为． 3．（25-26七年级上·山东东营·月考）已知一直线与坐标轴交于A，B两点，形成直角如图1所示． (1)求直线经过两坐标轴交点A，B两点的坐标． (2)折叠该纸片，使点B与点A重合，折痕与边交于点C，与边交于点D（如图2所示），求点C的坐标． (3)若P为内一点，其坐标为，过点P作x轴的平行线交于点M，作y轴的平行线交于点N（如图3所示），求点M，N的坐标并求的长． 【答案】(1) (2)点C的坐标为 (3)，，． 【分析】（1）分别求出当时，当时，另一个变量的取值，即可得到直线经过两坐标轴交点A，B两点的坐标； （2）由（1）知，，设，则，由折叠的性质可知，，结合勾股定理建立方程求解，即可解题； （3）根据平行于坐标轴的点的坐标特征求出点M，N的坐标，以及，即可解题． 【详解】（1）解：当时，， 当时，即，解得， ； （2）解：由（1）知，， 设，则， 由折叠的性质可知，， ， ， 解得， 点C的坐标为． （3）解：轴， ， 且当时，有，解得， ，， 轴， 且当时，有， ，， ， 综上所述，，，． 【点睛】本题考查一次函数的性质，一次函数与坐标轴的交点，折叠的性质，勾股定理，平行于坐标轴的点的坐标特征，解题的关键在于灵活运用相关知识． 4．（24-25八年级下·河南商丘·月考）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，C，，过点A作轴，垂足为A，过点C作轴，垂足为C，两条垂线相交于点 (1)求线段AC的长； (2)如图2，将图1中的折叠，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕交于点D，交于点E，连接，求点D的坐标； (3)是射线上的一个动点，过点M的另一条直线与y轴相交于点请直接写出与全等时，点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)M点坐标为或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，勾股定理，三角形全等的性质是解题的关键 （1）根据点A与点C是一次函数与x轴，y轴的交点，求出A、C点坐标，即可求AC的长； （2）由折叠可知，，在中，，解得，即可求D点坐标； （3）设，当≌时，，可求；当≌时，，可求 【详解】（1）解：当时，， ，即， 当时，， ，即， ； （2）解：由折叠可知，，， ， ， 在中，， 解得， ； （3）解：设直线AC的解析式为， ， 解得， ， 设， 当≌时，， ， 解得或舍， ； 当≌时，， ， 解得或舍； ； 综上所述：M点坐标为或 5．（24-25八年级下·湖北鄂州·期末）综合与实践课上；老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下： 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二；在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部点处，把纸片展平，连接，，延长交于点，连接． (1)如图1，当点在上时，______度； (2)改变点在上的位置（点不与点A，D重合）如图2，判断与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，在y轴上，点在第一象限，点在边上，，，直线交边于，，求直线的解析式． 【答案】(1)30 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）连接，根据折叠得出为对称轴，根据轴对称的性质得出，，证明为等边三角形，得出，求出结果即可； （2）根据折叠和正方形的性质，得出，得出，即可； （3）延长至F，使得，连接，，证明，得出，，，证明，得出． 设，则，，求出，得出点E的坐标，利用待定系数法，求出函数解析式即可． 【详解】（1）解：连接， ∵为对称轴， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴． （2）证明：∵四边形为正方形， ∴，， 根据折叠可知：,， ∴， ∴，， ∴， ∴． （3）解：延长至F，使得，连接，，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， ∴ ∵在和中，，，， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 在中，设，则， ∴， 解得：， 设直线为，代入点得：， 解得：， ∴直线为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，求一次函数解析式，勾股定理，折叠的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 6．（24-25八年级下·四川宜宾·期末）将一矩形纸片放在直角坐标系中，O为原点，点C在x轴正半轴上，点，点． (1)如图1，在上取一点E，将沿折叠，使O点落至边上的D点，求的长度； (2)如图2，在边上选取适当的点M、F，将沿折叠，使点O落在边上的处，过点作于点G，交于点T． ①求证：； ②设，探求y与x满足的等量关系式，并将y用含x的代数式表示（指出变量x的取值范围）． (3)在（2）的条件下，当时，点P在直线上，问：在坐标轴上是否存在点Q，使以M、、Q、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①见解析；②， (3)存在，或或 【分析】（1）在中，根据，设，在中，利用勾股定理求出即可． （2）①只要证明，即可． ②如图3中，连接，在中利用勾股定理即可解决问题． （3）分为对角线，为边两种情形讨论即可． 【详解】（1）解：如图1中，，， ,， ，， 是由翻折得到， ，， 在中，， ∴， ， 设， 在中，， 解得，即； （2）①证明：如图2中， 由折叠性质得，， ∵， ， ， ， ， ， ． ②解：如图3中，连接， 由折叠性质可得， 由勾股定理可得， 得． 结合（1）可得时，最小，从而， 当恰好平分时，最大即最大， 此时点、点与点重合，点M与点A重合，此时，， 故最大为9．从而， ． （3）解：存在．当时，， ∴，， ∴，， ∵以M，，Q，P为顶点的四边形是平行四边形， ∴当为对角线时，，如图1，，重合， ∴， 由平移的性质可得，； 当为边，为对角线时，，如图1，，重合，则， 由平移的性质可得，； 当为边，为边时，，如图1，， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴ 直线的解析式为， 令，则， 解得，， ∴； 当点在第二象限点时，同①点坐标； 综上所述，在坐标轴上存在点Q，使以M，，Q，P为顶点的四边形是平行四边形， Q点坐标为或或． 【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、翻折变换、勾股定理、等角对等边、平行四边形的判定、求一次函数解析式等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题． 【经典例题七 一次函数中的旋转模型】 1．（24-25八年级下·陕西西安·月考）我们知道，平移、翻折、旋转是3种基本的图形运动．你能求出将直线平移、旋转后对应的函数表达式吗？    (1)将一次函数的图象沿着轴向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为________； (2)如图，一次函数的图象与轴的交点为点，将直线绕点A逆时针旋转，求所得的图象对应的函数表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平移规律得出平移后的函数表达式； （2）过点B作交所得的图象于点D，过点D作轴于点E，结合全等三角形的性质可求解A、D的坐标，再利用待定系数法即可求得解析式． 【详解】（1）利用平移规律得， 将一次函数的图象沿着轴向下平移3个单位长度， 所得到的图象对应的函数表达式为， 故答案为：； （2）如图，过点B作交所得的图象于点D，过点D作轴于点E，    函数于y轴交点为点A，与x轴交点为点B， 令，，故，， 令，，故，， 将直线绕点A逆时针旋转， ， ，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 设所得的图象对应的函数表达式为， 将、代入得， ， 解得， 所得的图象对应的函数表达式为． 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查待定系数法求解析式，平移及旋转的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 2．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过，两点． (1)直接写出，的长度及一次函数的表达式； (2)当时，有最小值8，求的值； (3)将一次函数的图象绕点旋转，求所得图象的函数的表达式． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）根据点的坐标即可得出，的长度，待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据一次函数的性质可得时，，得出的值，进而根据取舍的值，即可求解； （3）分顺时针旋转与逆时针旋转两种情况分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴, 将，代入得， 解得： ∴一次函数的表达式为 （2）解：∵，， ∴随的增大而减小， ∵当时，有最小值8，求的值； ∴时， 即 解得：或 当时，，， 而∵ ∴不合题意， 当，，， ∴符合题意， （3）解：如图所示，当一次函数的图象绕点逆时针旋转得到直线， 过点作于点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作交的延长线于点， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ 又∵， ∴， ∴ ∴， 又∵，则， ∴设， ∵, 则 ∴ ∴ ∴ 设直线的解析式为，代入，，得 解得： ∴ 如图所示，当一次函数的图象绕点顺时针旋转得到直线， 同理可得， 设直线的解析式为，代入，，得 解得： ∴ 综上所述，或 【点睛】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形，全等三角形的性质与判定；熟练掌握以上知识是解题的关键． 3．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图1，等腰直角三角形中，，过点A作交于点D，过点B作交于点E，易得，我们称这种全等模型为“k型全等”．如图2，在直角坐标系中，直线分别与y轴，x轴交于点A、． (1)求k的值和点A的坐标； (2)在第二象限构造等腰直角，使得，求点E的坐标； (3)将直线绕点A旋转得到，求的函数表达式． 【答案】(1)，点 (2)点E的坐标为 (3)或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，正确利用模型是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）过点C作轴交于点F，证明，据此即可求解； （3）当直线绕点A顺时针旋转得到时，过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D，证明，求得，利用待定系数法即可求解；当直线绕点A逆时针旋转得到时，同理可求． 【详解】（1）解：将点B的坐标代入得：， 解得：， 则该函数的表达式为：， 令，则； ∴， 即，点 （2）解：过点E作轴交于点F， ∵， ∴由K型全等模型可得， ∴，则， ∴点E的坐标为； （3）解：当直线绕点A顺时针旋转得到时， 过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D， ∵， ∴， ∴由K型全等模型可得， ∵与x轴的交点， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴； 当直线绕点A逆时针旋转得到时， 同理可得； 综上所述：直线的解析式为或． 4．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B．设，将直线绕点A按某一方向旋转后交y轴于点． (1)分别求出点A和点B的坐标； (2)若，当点C在点B的上方时，求此时点C的坐标； (3)若，则y轴上是否存在点C？若存在，请求出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在， 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴交点问题、勾股定理、旋转的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）分别令直线解析式，即可求解； （2）证得，即可得解； （3）分两种情况讨论：直线绕点A沿顺时针旋转β或逆时针旋转β，分别画出图形求解即可． 【详解】（1）解：对于， 当时，， ， 当时，， ， ； （2）解：，， ，； 在中，， ， 直线绕点A沿顺时针旋转后交y轴于点C， ， ， ， ， ， . （3）解：存在， 证明：情况1：若直线绕点A按逆时针方向旋转， 当时，直线平行于y轴， 此情况不成立. 情况2：若直线绕点A按顺时针方向旋转后交y轴于点C， 当， ， ， ， 设，则，由于点C在y轴负半轴，故， 在中，， ， ∴， 解得， . 5．（2025八年级下·甘肃·专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P从B点出发，沿射线AB的方向运动，已知，点P的横坐标为x，连接，，记的面积为． (1)求关于x的函数关系式及x的取值范围； (2)在图2所示的平面直角坐标系中画出（1）中所得函数的图象，记其与y轴的交点为D，将该图象绕点D逆时针旋转，画出旋转后的图象； (3)结合函数图象，直接写出旋转前后的图象与直线的交点坐标． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)， 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是根据题意理解动点的运动过程． （1）根据直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，求得点A、B的坐标，点P从B点出发，沿射线的方向运动，得点，进而求得关于x的函数关系式及x的取值范围； （2）根据（1）所得函数解析式即可在平面直角坐标系中画出函数的图象，及旋转后的图象； （3）联立方程组即可求出旋转前后的图象与直线的交点坐标． 【详解】（1）解：∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点， ∴当时，，， 当时，，． ∵点P从B点出发，沿射线的方向运动， ∴， ∵， ∴的面积为． ∴关于x的函数关系式为：， x的取值范围为：； （2）解：如图所示， （1）中所得函数介解析式为， 在取点， 设M绕D逆时针旋转后的对应点为N，则，， 过D作轴，过M作于P，过N作于Q， 则，，，， ∴， ∴，， ∴， 设旋转后的图象解析式为， 则， 解得， ∴． （3）旋转前后的图象与直线的交点坐标为点E、F， 联立方程组 解得， 所以， 联立方程组 解得， 所以． 答：旋转前后的图象与直线的交点坐标为，． 6．（24-25八年级下·上海松江·月考）如图1，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，O为坐标原点，现将正方形绕点O顺时针方向旋转，旋转角为θ，对角线分别与x轴、直线交于点D、E， (1)当时，如图2，试求证； (2)当时，如图3，边与直线交于点M，边与x轴交于N，则周长为 ； (3)当正方形旋转到图3位置时，若，则 ； (4)当时，直线有一动点P，当点P的坐标为 时，有最小值为 ． 【答案】(1)见解析 (2)8 (3) (4)， 【分析】（1）如图2中，将绕点O顺时针旋转，得到，连接．根据正方形的性质得到，得到，然后利用勾股定理解决问题即可． （2）在图3中，将绕点O顺时针旋转，得到．得到，根据全等三角形的性质解答即可． （3）利用（2）中结论，在中，利用勾股定理解答即可． （4）如图4中，将绕点O逆时针旋转，得到，连接交于J．可知K，R，P，C共线时，的值最小，此时，解直角三角形解决问题即可． 【详解】（1）证明：如图2中，将绕点O顺时针旋转，得到，连接． 则，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵直线交于E， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：在图3中，将绕点O顺时针旋转，得到． 由旋转，可知：，，，． ∵直线的解析式为， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∴的周长． 故答案为：8． （3）解：由（2）可知，， 设，则，， ∵， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （4）解：如图4中，将绕点O逆时针旋转，得到，连接交于J． 则，是等边三角形， ∴， ∴， ∴K，R，P，C共线时，的值最小，此时， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵，即， ∴， 同理， ∴， ∴，最小值． 【点睛】本题考查坐标与图形，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【经典例题八 一次函数中的最值问题】 1．（24-25八年级上·浙江杭州·月考）一次函数（a为常数，且）． (1)若点在一次函数的图象上，求a的值； (2)若当时，函数有最大值M，最小值N，且，求出此时一次函数的表达式； (3)对于一次函数，若对任意实数都成立，求k的取值范围． 【答案】(1)-1 (2)或 (3)且 【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征把代入中可求出a的值即可； （2）分类讨论：时，y随x的增大而增大，所以当时，y有最大值M，所以当时，y有最小值时，y随x的增大而减小，所以当时，y有最大值M，当时，y有最小值N，然后代入，计算对应a的值； （3）对任意实数都成立，则直线 与 平行，且 在 的上方，所以 且 ，解得即可； 【详解】（1）把代入得， 解得：； （2）① 时， 随 的增大而增大， 则当 时， 有最大值 ， ∴， 所以当 时， 有最小值 ； ② 时， 随 的增大而减小， 所以当 时， 有最大值 ， 当 时， 有最小值 ， 故此时一次函数 的表达式为 或 ； （3）依题意得 ， ∵对任意实数 都成立， 即：， ， 解得 ， ∴ 的取值范围是 且 ． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数的性质． 2．（24-25七年级下·河南郑州·期中）姐姐帮小明荡秋千（如图①），秋千离地面的高度h（m）与摆动时间t（s）之间的关系如图②所示，结合图象： （1）变量h，t中，自变量是 ，因变量是 ，h最大值和最小值相差 m． （2）当t=5.4s时，h的值是 m，除此之外，还有 次与之高度相同； （3）秋千摆动第一个来回 s． 【答案】（1）t，h，1；（2）1，7；（3）2.8． 【分析】（1）由图象的横轴和纵轴表示的量以及图象的最高的和最低点解答即可； （2）根据图象中t=5.4对应的高度以及这个高度与图象的交点个数即可解答； （3）根据图象中秋千摆动第一个来回的时间解答即可． 【详解】解：（1）由图象可知，变量h，t中，自变量是t，因变量是h，h最大值和最小值相差1.5﹣0.5=1m， 故答案为：t，h，1； （2）由图象知，当t=5.4s时，h=1m，除此之外，还有7次与之高度相同， 故答案为：1，7； （3）由于秋千从最高点开始摆动一个来回要经过两次最低点，根据图象可知，秋千摆动第一个来回需要2.8s， 故答案为：2.8． 【点睛】本题考查用图象表示变量间关系，理解题意，能从图象中获取有效信息是解答的关键． 3．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）如图，已知A，B两点的坐标分别为，，动点P从原点O出发在x轴上运动． (1)P点运动到什么位置时离A点最近？写出P点的坐标． (2)P点运动到什么位置时，的值最小，最小值是多少？ (3)P点运动到什么位置时，的值最大，最大值是多少？ 【答案】(1)P点运动到时距离A点最近 (2)见解析， (3)见解析， 【分析】本题考查了垂线段的性质、坐标与图形—轴对称变换、勾股定理、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据垂线段的性质即可得出答案； （2）作B点关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，此时最小，则，过A作x轴的垂线，过作x轴的平行线，交点为点C，则，再由勾股定理计算即可得出答案； （3）连接并延长，交x轴于点，则当P在点位置时最大，待定系数法求出直线解析式，得出，最后再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由垂线段最短可得：P点运动到时距离A点最近； （2）解：作B点关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，此时最小， ， 过A作x轴的垂线，过作x轴的平行线，交点为点C ，， 最小值为， （3）解：连接并延长，交x轴于点， ， ∵三角形任意两之差小于第三边， ∴当P在点位置时最大， 设直线的函数关系式为：， ，， ， ， ， 当时，，解得， ， ， 最大值为． 4．（24-25八年级下·福建泉州·期末）对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形，间的“闭距离”，记作．特殊地，当图形与图形有公共点时，规定．已知点，，． (1)求（点O，直线）的值； (2)若直线满足（直线l，），求的取值范围； (3)若（点O，双曲线），直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，反比例函数与几何的综合应用，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）过点作于，易得的长即为所求，勾股定理求出的长，等积法求出的长即可； （2）分直线在直线的下方和直线在点的上方，两种情况，求出临界点时的值，即可得出结果； （3）分和，两种情况，结合反比例函数图象的对称性，进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于． ∵，， ∴，， 在中， ∵ ∴， ∴（点，直线）． （2）如图，当直线在直线的下方时， 设直线交轴于， 过点作直线于点． ∵ ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得，， ∴直线的关系式为： ， ， 当时，， ， ， 当直线在点的上方时， 设直线交轴于，过点作直线于点． 同法可得， 把点坐标代入中，得到， 观察图象可知，满足条件的的值为； （3）当时， ∵反比例函数的图象关于直线对称， ∴直线与反比例函数图象的交点到点的距离即为（点O，双曲线）， 设交点坐标为，则：， ∴或， ∴交点坐标为或， ∴， 当时， ∵反比例函数的图象关于直线对称， 同理可知：直线与反比例函数图象的交点为或， ∴； 综上：． 5．（2025·河北沧州·模拟预测）小明利用平面镜成像原理设计了一个游戏，如图，在 轴上放置一平面镜，从点处 向平面镜发射一束光（看成线），经反射后沿直线传播． (1)点在平面镜内的虚像的坐标为 ； 满足的数量关系为 ． (2)当反射光线经过点时，求直线 的解析式（不用写自变量的取值范围）； (3)在 轴上从左到右有两点，且 ，从点向上作 轴，且． 若使 沿 轴左右平移，且保证中的反射光线能照射到边（包括端点）上，求点 的横坐标的最大值与最小值的差； (4)已知点（为正整数），设平面镜的长度足够长，若反射光线经过点，直接写出满足条件的整数的个数． 【答案】(1)； (2)直线的解析式为 (3)点的横坐标的最大值与最小值的差为 (4)满足条件的整数的值有个 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形变换，掌握轴对称的性质，图形平移，二元一次方程的解等知识，数形结合分析是关键． （1）根据点关于轴对称，横坐标为相反数，纵坐标不变可得的坐标，如图所示，连接交轴于点，直线与轴交于点，过点作轴，则，根据直线与坐标轴的交点的计算得到，，可证，得，即，即可求解； （2）把点代入解析式，再把（1）中代入即可求解； （3）当点过直线时，如图所示，得到，当点过直线时，如图所示，得到，由此即可求解； （4）根据题意，把点代入得到，结合题意，代入试根即可求解． 【详解】（1）解：点在平面镜内的虚像，即点关于轴对称， ∴， 如图所示，连接交轴于点，直线与轴交于点，过点作轴，则， ∴，， 当时，，当时，，则， ∴， ∴， ∴， 根据反射原理得到，， ∴，且， ∴， ∴，即， 整理得，； （2）解：反射光线经过点时， ∴， 由（1）得，， ∴， 解得，， ∴， ∴直线 的解析式为； （3）解：已知， 当点过直线时，如图所示， 即时，， 解得，， ∴， ∴，； 当点过直线时，如图所示， 令，则， 解得，， ∴， ∴点的横坐标的最大值与最小值的差； （4）解：反射光线经过点， ∴，且， ∴， 整理得，， ∵为正整数，为整数， ∴能被整除， ∴， 经验证当：时，，符合题意， 时，，符合题意， ∴时符合题意， ∴满足条件的整数的值有个． 6．（2025·河北·二模）如图，点处有一发球机，发射的乒乓球（看做点）经过挡板（直线）上点处反弹后沿直线运动，矩形为球框，在轴上，且，，． (1)若反弹的点坐标为，求直线解析式； (2)在（1）的情况下，若乒乓球经过点反弹后直接落入框底，则点的横坐标的最大值比最小值大多少？ (3)现将球框固定，且点坐标为，乒乓球经过挡板点处反弹后仍落入球框（球落在点或点视为入框），求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，正确理解题意是解题关键． （1）找到点关于直线的对称点，然后根据待定系数法求得直线的解析式即可； （2）设点，则，，分别计算直线经过点时和直线经过点时的值，即可获得答案； （3）找到点关于直线的对称点，根据题意易得点，，分别计算直线经过点和时、直线经过点和时的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：找到点关于直线的对称点， 将点、代入直线， 可得，解得， ∴； （2）设点，则，， 当直线经过点时， 可得，解得； 当直线经过点时， 可得，解得． ∴点横坐标最大值与最小值的差为； （3）找到点关于直线的对称点， 根据题意，点，， 当直线经过点和时，将两点代入解析式， 可得，解得， 当直线经过点和时， 将两点代入解析式， 可得，解得， ∴的取值范围为． 1．（2025九年级上·吉林长春·学业考试）已知一次函数的图象与y轴交于点A，与正比例函数的图象交于点，那么的面积是（   ） A．3 B．6 C．7 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的交点问题．解题的关键在于根据函数图象的交点求出一次函数解析式． 将代入，求出，可知，然后将代入，求出，即可得到一次函数解析式，求出一次函数与y轴的交点，进而计算面积即可． 【详解】解：将代入得，解得 ∴ 将代入得，解得 ∴一次函数解析式为 令，则 ∴ ∴ 故选：C． 2．（2025·河南郑州·三模）在学习过一次函数后，小星准备利用已有知识探索函数的图象与性质，通过列表、描点、连线，他得到了如下图象，图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，则下列说法正确的有（    ） ①点A的坐标是；②函数图象是一个轴对称图形；③y随着x的增大而增大；④该函数有最小值，最小值为0；⑤    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】求出图象与x轴、y轴交点坐标，再根据函数图象直接判断即可． 【详解】解：当时，，解得， 所以点A的坐标是，①不正确； 时，，解得， 两点关于直线对称，故②正确； 当时y随着x的增大而减小；③不正确； 观察图象可知，该函数当时有最小值，最小值为0；④正确； 当时，， ∴， ∴，⑤正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了函数图象，解题关键是熟练运用一次函数解析式，求出图象与坐标轴交点坐标． 3．（25-26八年级下·广东广州·月考）如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点A的坐标为，直线l的表达式为：，将直线l沿y轴向上平移m个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得正方形各顶点的坐标，然后根据待定系数法求得直线l的解析式，然后根据平移的规律，设平移后的直线方程为；把点B和D的坐标代入进行解答即可． 【详解】解：∵边长为3的正方形中，点的坐标为， ∴，， 将直线沿轴向上平移个单位后解析式为，， 当直线与正方形有唯一一个交点时，即直线经过点B，D， 当经过点D时，有，解得，； 当经过点B时，有，解得，； ∵直线与正方形有交点， ∴的取值范围是． 4．（24-25八年级上·重庆大渡口·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点C在y轴的负半轴上，将沿翻折，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查一次函数的综合应用，解答本题的关键是利用翻折的性质、勾股定理等知识 利用勾股定理可得，由折叠得：，得出点D的坐标，设点，则，由勾股定理代入计算即可得出结果． 【详解】解：把代入得，把代入得：， 解得：， ∴、， ∴，， ∵， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴点， 设点，则， 由折叠得：， 在中， ， ∴， 解得：， ∴， 故选：D． 5．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，直线与直线l2：相交于点直线l1与y轴交于点A，一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线的点处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…，照此规律运动，动点C依次经过点则当动点C到达处时，运动的总路径的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线直线可知，则纵坐标为1，代入直线l2：中，得又横坐标相等，可得则可判断为等腰直角三角形，利用平行线的性质，得……都是等腰直角三角形，根据平行于x轴的直线上两点纵坐标相等，平行于y轴的直线上两点横坐标相等，及直线的解析式，分别求的长，得出一般规律，即可得到答案． 【详解】解：由直线可知， 由平行于坐标轴的两点的坐标特征和直线对应的函数表达式可知， ， ，， ，… 由此可得，． ∴当动点C到达点处时，运动的总路径的长为， ∴当点C到达处时，运动的总路径的长为． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的综合运用．关键是利用平行于x轴的直线上点的纵坐标相等，平行于y轴的直线上点的横坐标相等，得出点的坐标，判断等腰直角三角形，得出一般规律． 6．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）如图，直线分别与轴、轴交于点，点在线段上，线段沿翻折．点落在边上的点处．则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，折叠的性质，勾股定理，根据一次函数解析式求出点坐标，设点坐标为，利用折叠的性质和勾股定理求出值，继而利用三角形面积公式得到点的纵坐标，再把纵坐标代入直线解析式求出点横坐标即可，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵直线分别与轴、轴交于点， ，， ， 设点坐标为，则有， 由折叠可得，，， ，， 在中，由勾股定理得： ， 解得， ，，， ∵， ∴， 将代入得，， 解得， ． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，多边形的顶点坐标分别是，，，，和．若直线l：将多边形分割成面积相等的两部分，则_______． 【答案】4 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，图形的面积公式，解决问题的关键是割补法求面积． 设直线l分别交、于点、，根据一次函数关系式求出点、的坐标，得，，求出四边形的面积为，根据直线l将多边形分割成面积相等的两部分，得到关于的方程，即可求解． 【详解】解：如图，直线l分别交、于点、， 令，则， 令，则， ∴，， ∴，， ∴四边形的面积为， ∵直线l将多边形分割成面积相等的两部分， ∴多边形的面积为， ∴， 解得． 故答案为：4． 8．（24-25八年级下·福建福州·期末）已知一次函数，现给出以下结论： ①若当时，该函数最小值为8，则它的最大值为12；②该函数的图像必经过点；③若该函数的图像不经过第三象限，则；④对于一次函数，当时，，则的取值范围为．其中正确的是__________．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①② 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特征逐项分析判断即可． 【详解】解：①如果，那么当时，有最小值8， ∴， ∴，与矛盾，舍去； 如果，那么当时，有最小值8， ∴， ∴， ∴， ∴当时，它的最大值为，符合题意， 故结论①正确； ②时，， ∴该函数的图象必经过点， 故②正确； ③∵该函数的图象不经过第三象限， ∴， 解得， 故③不正确； ④∵对于一次函数，当时，， ∴是不等式的解， 即是不等式的解， ∴，解得， 故④错误． 故正确的结论是①②． 故答案为：①②． 9．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，在长方形中，，E为的中点，若点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段上由点B向点C运动，当与全等时，点Q的运动速度是_________． 【答案】2/ 【分析】根据四边形是长方形可得，设运动的时间为t秒，点Q的运动速度是，根据题意分别表示出，再根据全等三角形的对应边相等分两种情况讨论，当时，当时，分别建立方程组求解即可． 本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，全等三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题可知：， E为的中点 ， ， 设运动的时间为t秒，点Q的运动速度是， 依题有：， 当时， ， 解得：， 即点Q的运动速度为时，与全等 ， 当时， ， 解得：， 即点Q的运动速度为时，与全等， 综上可得，点Q的运动速度为或时，与全等， 故答案为：或． 10．（2025八年级下·上海松江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x，y轴于点A，B，将直线绕点B按顺时针方向旋转，交x轴于点C，则直线的函数表达式为 ________________． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数与几何的综合，全等三角形的性质与判定，熟练掌握一次函数与几何的综合及全等三角形的性质与判定是解题的关键．根据已知条件得到，，求得，，过A作交于F，过F作轴于E，得到，根据全等三角形的性质得到，求得，设直线的函数表达式为：，解方程组于是得到结论． 【详解】解：∵一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B， ∴令，得，令，则， ∴，， ∴，， 过A作交于F，过F作轴于E， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为：， ∴, 解得， ∴直线的函数表达式为：， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·陕西商洛·期中）如图，长方形的四个顶点在互相平行的两条直线上，，当点，在平行线上同方向匀速运动时，长方形的面积发生了变化． (1)在这个变化过程中，自变量是___________，因变量是_________； (2)如果长方形的长为，那请用含的式子表示长方形的面积； (3)当长方形的长从变到时，长方形的面积怎么变化？ 【答案】(1)（或）的长，长方形的面积． (2)； (3)长方形的面积从变到． 【分析】本题考查函数的函数的定义及函数关系式，解题关键是熟练掌握函数的定义及通过题于求关系式的方法． （1）根据函数的定义求解； （2）通过长方形的面积长宽求解； （2）分别代入两值求解即可； 【详解】（1）解：在这个变化过程中，自变量是（或）的长，因变量为长方形的面积． 故答案为：（或）的长，长方形的面积． （2）长方形的面积，即， 答：长方形的面积与之间的关系式为：． （3）当时，， 当时，， 答：当长方形的长从变到时，长方形的面积从变到． 12．（24-25八年级下·上海浦东新·月考）如图，已知在平面直角坐标系中，是矩形，，，点是边边上一动点，连结，将四边形沿所在直线翻折，落在的位置，点A、的对应点分别为点、，边与边的交点为点． (1)当坐标为时，求点坐标和直线的解析式； (2)过作交于，若，，求关于的函数解析式，并写出它的定义域． 【答案】(1)，直线为： (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，一次函数的应用，勾股定理等知识点，熟练掌握折叠的性质、矩形的性质及勾股定理是解题的关键． （1）设，先求出，再根据勾股定理求出点的坐标，由点的坐标可求出直线的解析式； （2）由折叠的性质得出，利用勾股定理得出 【详解】（1）解：设， 四边形是矩形， ， ， 由折叠得：， ， ， ，，， ， ， 在中，， ， ， ， ∴， ， 设直线为：，则 ， 解得：， 直线为：． （2）解：，， 由对称性可知：，， ， ， ，， ， ， ， 在中，， ， ， 当与重叠时，与重合，此时， ∴． 13．（2025·湖北襄阳·二模）2024年春节以后，襄阳市各居民小区流动经济开始繁荣起来．王强趁此抓住机会，准备购进甲、乙种时令水果销售．已知甲种水果的进货款（元）是进货量（千克）的一次函数，其对应值如下表所示（所有自变量的值暂取整数值，从整数开始，到整数结束）： … … 乙种水果每千克的进价为元．销售过程中，甲种水果的售价始终是元/千克，乙种水果的售价始终是元/千克． （1）直接写出甲种水果的进货款（元）与进货量（千克）之间的函数关系式，并写自变量x的取值范围； （2）若进货总付款元，两种水果共购进千克，进货时甲种水果的进货量不低于千克但又不高于千克，求总付款的最小值； （3）由于水果很畅销，第二次进货时，王强购进甲、乙两种水果共千克，其中甲种水果的数量不少于乙种水果数量的，他决定每销售千克的水果向某中学贫困生捐元，为了保证这批水果售完后，总利润始终不低于元，求的最大值． 【答案】（1）；（2）当购进甲种水果千克，乙种水果千克时，总付款金额最少，为元；（3）2 【分析】（1）用分段函数表示y与x的关系，直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案； （2）设购进甲种水果为x千克，则购进乙种水果（100-x）千克，根据题意可以确定a的范围，结合付款总金额（元）与两种水果的购进量之间的函数关系可以分类讨论即可得出最少费用； （3）设购进甲种水果为x千克，则购进乙种水果（200-x）千克，，根据甲种水果的数量不少于乙种水果数量的，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，设售完200千克水果获利Q元，再根据题意得出Q关于x的函数关系式，根据一次函数的性质求出Q的最小值，结合总利润始终不低于1350元可得m的范围，本题得以解决． 【详解】解：（1）由表中数值，0≤x≤40且x为整数时，设y=kx+b， 则，解得：， ∴y=20x（0≤x≤40且x为整数）， x＞40且x为整数时，设y=k′x+b′， ，解得： ∴y=16x+160（x＞40且x为整数）， ． （2）当时， ， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值，为， 当时， ， ， 随的增大而减小， 当时，有最小值为， ， 当购进甲种水果千克，乙种水果千克时，总付款金额最少，为元； （3）由题意得，则 设售完千克水果获利元，则有 随的增大而增大 又 当时，有最小值，最小值 要保证售完这千克水果，总利润始终不低于元， 解得 的最大值为． 【点睛】本题考查一次函数的应用．一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建一次函数或一元一次不等式解决问题，属于中考常考题型． 14．（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图①，已知直线与轴、轴分别交于点、，以、为边在第一象限内作长方形． (1)求点、的坐标． (2)将对折，使得点的与点重合，折痕交于点，求直线的解析式（图②）． (3)在坐标平面内，是否存在点（除点外），使得与全等？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)；； 【分析】（1）已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，即可求得A和C的坐标； （2）根据题意可知是等腰三角形，由折叠的性质和勾股定理可求出长，即可求得D点坐标，最后即可求出的解析式； （3）将点P在不同象限进行分类，根据全等三角形的判定方法找出所有全等三角形，找出符合题意的点P的坐标． 【详解】（1）解：当时，， ∴； 当时，，解得， ∴； ∴；． （2）解：由折叠知：．设，则， 根据题意得：解得： 此时，，， 设直线为，把代入得  解得： ∴设直线解析式为； （3）解：①当点P与点O重合时，，此时， ②当点P在第一象限时，如图， 由得， 则点P在直线上．过P作于点Q， 在中， 由得：    ∴ ∴，把代入得 此时， ③当点P在第二象限时，如图 由（2）同理可求得： ∴在中，根据勾股定理 ∴ 此时． 综合得，满足条件的点P有三个，分别为：；； 【点睛】本题主要考查对于一次函数图象的应用以及勾股定理的运用和全等三角形的判定，解题的关键是掌握以上知识点． 15．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，与直线交于点D． (1)求点D的坐标； (2)将沿x轴向左平移，平移后点B的对应点为点E．点O的对应点为点F，点C的对应点为点G，当点F到达点A时，停止平移，设平移的距离为t ①如图2，当点G在直线上时，求的面积； ②当与四边形重合部分的面积为2时，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2)①；② 1或 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，已知一次函数求点的坐标及已知解析式及点在直线上求点的坐标等知识，考查了平移的相关知识，及不规则图形的面积问题． （1）解方程，即可求D的坐标； （2）①先求出O，B，C各点的坐标，然后根据点的平移t设G，F，E三点的坐标，根据点G在直线上求出G点坐标，利用面积公式可求出的面积； ②首先计算的面积，判断当点G在直线上时，E点的位置，及点F达到点A是，G点的位置．进而判断何时与四边形重合部分的面积为2，然后求解． 【详解】（1）解：∵直线与直线交于点D， 由，得 ； ∴点D的坐标为； （2）当时，，； 当时，，； 解得，； 点，），； 由平移的距离为t知，点，点，点； ①当点G在直线上时，得，解得； ∴点G坐标为； ， ； ② 当点G在直线上时， ， O，E重合，完全在四边形内， 此时；即重合部分面积为； 此时，， 当时，与y轴交于M， 此时与四边形重合部分的为四边形，面积为2． 即， ； ， ， ； 即； 当时，与交于N，与交于Q， 此时与四边形重合部分的为四边形，面积为2 此时； 设直线解析式：； 把代入得，解得； 直线解析式：； 解方程得 ； ∴点N坐标为； 把代入，得，， ， 解得或（舍去）， 或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一次函数常考几何模型专训（8大题型+15道拓展培优题） 题型一 一次函数中的面积问题 题型二 一次函数中的平移模型 题型三 一次函数中的动点问题 题型四 一次函数中的交点问题 题型五 一次函数中的全等问题 题型六 一次函数中的翻折模型 题型七 一次函数中的旋转模型 题型八 一次函数中的最值问题 【经典例题一 一次函数中的面积问题】 1．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）用100米长的篱笆在地上围成一个长方形，当长方形的宽由小到大变化时，长方形的面积也随之发生变化．设长方形的宽为x（米），长方形的面积为y（平方米）． (1)求长方形的面积y与长方形的宽x之间的关系式； (2)当长方形的宽为20米时，则此时长方形的面积为多少平方米？ 2．（2026·黑龙江·一模）城市社区绿化是提升城市生态品质的重点工程，2025年某市推出社区绿化苗木补贴政策，某小区计划采购甲（灌木）、乙（草本）两种绿化苗木．已知购进2株甲种苗木和3株乙种苗木共需23元，购进4株甲种苗木和1株乙种苗木共需31元． (1)求购进1株甲种苗木和1株乙种苗木各需多少元？ (2)若该小区计划购进甲、乙两种苗木共15株，结合绿化区域布局，投入资金不少于80元又不超过100元（已扣除补贴）．设购进甲种苗木m株，则有哪几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，已知甲种苗木每株每年遮阴面积大约5平方米，乙种苗木每株每年遮阴面积大约2平方米．设小区年遮阴总面积为s平方米，在此前提下，哪种购买方案的年遮阴面积最大？最大面积是多少？ 3．（24-25八年级下·广东梅州·开学考试）如图所示，在平面直角坐标系中，已知． (1)在平面直角坐标系中画出，则的面积是______； (2)在轴上找一点，使得的值最小，求点P的坐标？ (3)在轴上找一点，使的面积与的面积相等，求点Q的坐标？ 4．（2025·河南平顶山·二模）如图1，线段的长度一定，现将线段首尾相连，围成正边形（，且为整数），已知正边形的面积S（单位：）与边数（单位：条）之间的关系如图2所示．    (1)根据图中的信息，线段__________，当时，__________． (2)发现：观察图像，写出正边形的面积随边数的变化趋势为__________． (3)猜想：把线段围成什么图形时面积最大，并求出最大面积． 5．（25-26八年级上·辽宁锦州·期末）为了加强劳动教育，落实五育并举，某中学在校园内建成了如图所示的一块三角形的劳动实践基地，并邀请数学兴趣小组的同学们将其全部种植甲、乙两种蔬菜．同学们经过测量与调查，得到如下信息： 信息1：； 信息2：甲种蔬菜的种植成本为每平方米30元； 信息3：乙种蔬菜的种植成本（单位：元）与种植面积（单位：平方米）的关系如下表所示，其中； /平方米 10 20 30 40 50 /元 420 660 900 1140 1380 根据以上信息，请帮助该小组的同学们完成下列任务： (1)求该校劳动实践基地的面积； (2)求乙种蔬菜的种植成本与种植面积之间的函数关系式； (3)设甲、乙两种蔬菜的总种植成本为元，如何分配两种蔬菜的种植面积，才能使最小？并求出的最小值． 6．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴负半轴交于点B，与y轴正半轴交于点A，A点坐标，三角形的面积是4． (1)求点B的坐标； (2)点C是y轴正半轴点A上方一点（点C与点A不重合），C点坐标，连接，点E是x轴正半轴上一点，且，连接． ①如图2，若三角形的面积是8，求m的值； ②如图3，点F是线段上一点（点F与点B，点O不重合），连接，，当四边形的面积与三角形的面积相等时，用只含有m的代数式表示三角形的面积，并说明理由． 【经典例题二 一次函数中的平移模型】 1．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）（1）【源于课本】 将一次函数的图象沿着轴向上平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为：_____； （2）【深入探究】 ①（平移探究）将图中一次函数的图象沿着轴向右平移3个单位长度，求所得到的图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移．因此，只需要在图象上任取两点，将它们沿着轴向右平移3个单位长度，得到点的坐标，从而求出直线对应的函数表达式为：_____； ②（轴对称探究）将图中一次函数的图象关于轴对称，所得到的图象对应的函数表达式为：_____； 2．（24-25七年级下·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为． (1)在中，点C经过平移后的对应点为，将△ABC作同样的平移得到，画出平移后的； (2)点D是坐标轴上的点，当与的面积相等且点D为格点时，直接写出点D坐标． 3．（2025八年级上·上海松江·专题练习）（1）如图，指出平面直角坐标系中的两个图象，可以怎样由的图象得到，并写出相应的函数表达式； （2）将的图象分别向上平移2个单位长度、向下平移3个单位长度，画出平移后的图象，并写出相应的函数表达式 ___________． 4．（24-25八年级下·四川成都·期末）已知一次函数，将直线向上平移个单位长度得到直线，直线与轴、轴的交点分别是点，点． (1)如图1，求直线的解析式； (2)如图2，点为直线上的动点，连接交线段于点，若，求点的坐标； (3)如图3，若点是直线上的一个动点，将点向左平移3个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，连接、、，当最小时，求的坐标． 5．（25-26八年级下·上海松江·课后作业）把函数的图象分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图象． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？ 老师给了以下提示：如图1，在函数的图象上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后得到的图象． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为___________． 【解决问题】 （2）已知某一次函数的图象与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 【拓展探究】 （3）一次函数的图象绕点逆时针方向旋转后得到的图象对应的函数表达式为___________．（直接写结果） 6．（25-26八年级上·江苏南京·月考）【探究发现】创新小队在学习一次函数的图象与性质时，发现一次函数的图象可以由正比例函数的图象通过上下平移或左右平移得到，于是，他们进行了如下的探究活动． (1)请你完成探究活动中的相关问题． ①将的图象向上平移4个单位，得到的直线，则的函数表达式为____________； ②请在图1平面直角坐标系中，画出直线的图象； ③观察图象，直线也可以看作由的图象向____________（填“左”或“右”）平移____________个单位得到． (2)【类比迁移】将向下平移3个单位得到的图象，相当于将向____________（填“左”或“右”）平移________个单位得到； (3)【拓展升华】将向下平移个单位得到的图象，相当于将向____________（填“左”或“右”）平移____________个单位得到． (4)【综合应用】已知一次函数的图象如图2所示，结合（1）－（3）的探究，请用无刻度的直尺和圆规在同一直角坐标系中画出的图象．（不写作法、保留作图痕迹） 【经典例题三 一次函数中的动点问题】 1．（24-25八年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，点是轴上的动点． (1)求直线的解析式； (2)当时，求点的坐标； (3)若点为线段的中点，点是线段上的动点，点是线段上的动点，当△的周长取得最小值时，求点和点的坐标． 2．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，已知长方形中，，，为边的中点，为长方形边上的动点，动点以4个单位／秒的速度从出发，沿着运动到点停止，设点运动的时间为秒，的面积为． (1)点运动过程中，求出与之间的关系式； (2)当为何值时，最大？并求出的最大值． 3．（2025·重庆江北·一模）如图1，在矩形中，，，动点P以每秒1个单位的速度，从点A出发，按的顺序在边上运动．与点P同时出发的动点Q以每秒个单位的速度，从点D出发，在射线上运动．当动点P运动到点D时，动点P、Q都停止运动．在运动路径上，设点P的运动时间为t秒，此时点P、点B之间的路径距离与点P、点C之间的路径距离之和为，动点Q的运动路程为． (1)分别求出，与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； (2)在如图2的平面直角坐标系中，画出，的函数图象，并根据图象写出函数的一条性质：_________________________； (3)根据图象直接写出当时，t的取值范围____________． 4．（24-25八年级下·重庆巴南·月考）如图1，在矩形中，，，E为的中点，动点P，Q分别从点A，E出发，沿射线运动，动点G从点D出发，沿射线运动，动点P的速度是动点Q的2倍，动点G的速度是动点Q的．已知，运动时间为t，令的面积为，的面积为，请回答下列问题：    (1)请直接写出，与t之间的函数关系式； (2)完成下表，并在如图2所示的平面直角坐标系中画出，的图象，并根据图象写出函数的一条性质：______． t 0 4 8 (3)根据图象直接写出当且时，t的取值范围． 5．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，在平面直角坐标系中，、、三点坐标分别为、、，把沿翻折，点恰好落在轴的点处，为折痕． (1)求直线的解析式； (2)在平面直角坐标系中，有一个动点使得，动点的纵坐标是否为横坐标的函数？若是，求出关于的函数解析式；若否，请说明理由； (3)连接、，点为边的中点，，且交外角的平分线于点，请补全图形，并求证． 6．（24-25八年级下·河南洛阳·月考）【观察发现】 如图1，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用． 【探究迁移】 （1）如图2，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点． ①的度数为________． ②，是正比例函数的图象上的两个动点，连接，．若，，则的最小值是________． （2）如图3，一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点．将直线绕点顺时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式． 【拓展应用】 （3）如图4，点在轴的正半轴上，，是直线上的动点，是轴上的动点．若是以动点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【经典例题四 一次函数中的交点问题】 1．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交点为，与轴交点为．且与正比例函数的图象交于点． (1)求一次函数的表达式． (2)若点在轴上且．求此时点的坐标； (3)若点在轴左侧的直线上，且的面积是10，求此时点坐标． 2．（24-25八年级下·海南海口·月考）在平面直角坐标系中，是原点，一次函数与轴交点为，与轴交点为． (1)写出交点的坐标________、的坐标________； (2)请直接在平面直角坐标系中，作出一次函数的图象； (3)求的面积． 3．（25-26八年级上·江苏淮安·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交点为，与y轴交点为B．且与正比例函数的图象交于点． (1)求一次函数的表达式． (2)若点D在y轴上且，求此时点D的坐标； (3)若点P在y轴左侧的直线上，且的面积是9，则此时P点坐标为 ． 4．（24-25八年级上·河南郑州·开学考试）定义：图象与x轴有两个交点的函数叫做关于m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B． (1)关于l的对称函数与直线交于点C，如图． ①直接写出点的坐标：A（ ，0）；B（ ，0）；C（1， ）； ②P为关于m的对称函数图象上一点（点P不与点C重合），当时，求点P的坐标； (2)当时，直线与关于m的对称函数有两个交点，求m的取值范围． 5．（24-25八年级上·浙江金华·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于任意一次函数的图象，作该图象在直线的右侧部分关于直线的轴对称图形，与原图象在直线的右侧部分及与直线的交点共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“V型函数”．例如：图1就是一次函数关于直线的“V型函数”图象． (1)请在图2中画出函数关于直线的“V型函数”图象．      (2)若函数关于直线的“V型函数”图象与x轴只有一个交点，则 ． (3)如图3，点，以为斜边在x轴上方作等腰，当函数关于直线的“V型函数”图象与的边只有两个交点时，求m的取值范围．    6．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，点在直线l：上，若点的坐标为，则称点为点P关于直线l的“点线变换点”． 例如：点 在直线上，点关于直线l的“点线变换点”为，即．如图，直线与直线相交于点C， (1)分别求出点C关于直线，直线的“点线变换点”的坐标； (2)点在x轴上，过点D作x轴的垂线，与相交于点M，与相交于点N，设点M关于直线的“点线变换点”为点，设点N关于直线的“点线变换点”为点； ①当时，求的面积； ②当时，求直线与y轴交点坐标； ③当线段与直线组成的图形有两个交点时，直接写出m的取值范围． 【经典例题五 一次函数中的全等问题】 1．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点、与y轴交于点． (1)直线的函数表达式为_____． (2)若点C是直线上一点，点D是y轴上一点，当与以D、B、C为顶点的三角形全等时，求点C的坐标． 2．（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）如图：直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，，点是直线上与A、B不重合的动点．    (1)求直线的解析式； (2)当点C运动到什么位置时的面积是6； (3)过点C的另一直线与y轴相交于D点，是否存在点C使与全等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图1，已知，，，点P在线段上由点B向点A运动，点P的运动速度与运动时间之间的关系如图2所示． (1)点P的运动速度为 ； (2)当点P运动t秒时，求线段的长（用含t的代数式表示）； (3)点Q在射线上由点B向点M运动，与点P同时出发，当点P运动结束时，点Q运动随之结束．当点Q的速度是多少时，与全等？ 4．（24-25八年级上·浙江嘉兴·月考）如图，直线分别交轴，轴于点，，点，动点从点出发以每秒1个单位的速度沿轴负方向移动，设点的移动时间为秒． (1)求，两点的坐标． (2)设的面积为，当时，求关于的函数表达式． (3)当为何值时，与全等． 5．（2025·广西柳州·二模）综合与探索 【探索发现】如图，等腰直角三角形中，，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】如图，在直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点、， (1)直接写出______，______； (2)将直线绕点顺时针旋转得直线，求出直线解析式： 小明的解题思路是：在第二象限构造等腰直角，使得，，根据型全等和坐标之间的关系，求出点的坐标为______；通过，两点坐标求出直线的解析式______； (3)如图，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数解析式． 6．（24-25八年级下·河南南阳·期中）【情境引入】数学来源于生活，数学问题往往产生于某一场景中或一瞬间．近年来，AI技术已悄然渗透日常，信息技术课上，小宛用一款名为“GGB”数学应用软件绘制一个小球运动瞬间（图1），由此产生一些数学问题，请你帮助小宛解决下列问题． 【条件设置】将图1放置在直角坐标系中（图2），设点O为坐标原点，水平直线为横轴，过点O的铅垂线为纵轴．小球从y轴上的A点出发，到达x轴上的B点后改变方向运动到挡板上D点处，其中轴，垂足为C，，小球运动都为直线型路径． 【初步发现】 (1)如图2，若的函数关系式为． ①则点A坐标为________；点B坐标为________； ②聪明的小宛发现当时，就构成了典型的“一线三垂直全等模型”，则点D的坐标为________； 【方法总结】遇等腰直角三角形，可以过两个锐角顶点分别向直角顶点所在的直线作垂线，就得到了两个全等的直角三角形，从而利用线段相等得到点的坐标． 【应用探究】 (2)已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，过反比例函数图象一点E，在第二象限构造等腰直角，使得，求反比例函数的表达式； 【拓展延伸】 (3)如图4，将直线绕点A旋转得到，直接写出的函数表达式． 【经典例题六 一次函数中的翻折模型】 1．（24-25八年级上·江西景德镇·期末）如图， 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形的顶点，将矩形的一个角沿直线折叠，使得点A落在对角线上的点E处，折痕与x轴交于点D． (1)线段的长度为 ； (2)求线段的长，以及直线所对应的函数表达式； 2．（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）如图，把长方形纸片放入平面直角坐标系中，使，分别落在x轴，y轴的正半轴上，连接， ． (1)求A、C两点的坐标； (2)将纸片折叠， 使点A与点C重合（折痕为），求折叠后纸片重叠部分的面积； (3)求所在直线的函数表达式． 3．（25-26七年级上·山东东营·月考）已知一直线与坐标轴交于A，B两点，形成直角如图1所示． (1)求直线经过两坐标轴交点A，B两点的坐标． (2)折叠该纸片，使点B与点A重合，折痕与边交于点C，与边交于点D（如图2所示），求点C的坐标． (3)若P为内一点，其坐标为，过点P作x轴的平行线交于点M，作y轴的平行线交于点N（如图3所示），求点M，N的坐标并求的长． 4．（24-25八年级下·河南商丘·月考）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，C，，过点A作轴，垂足为A，过点C作轴，垂足为C，两条垂线相交于点 (1)求线段AC的长； (2)如图2，将图1中的折叠，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕交于点D，交于点E，连接，求点D的坐标； (3)是射线上的一个动点，过点M的另一条直线与y轴相交于点请直接写出与全等时，点M的坐标． 5．（24-25八年级下·湖北鄂州·期末）综合与实践课上；老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下： 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二；在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部点处，把纸片展平，连接，，延长交于点，连接． (1)如图1，当点在上时，______度； (2)改变点在上的位置（点不与点A，D重合）如图2，判断与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，在y轴上，点在第一象限，点在边上，，，直线交边于，，求直线的解析式． 6．（24-25八年级下·四川宜宾·期末）将一矩形纸片放在直角坐标系中，O为原点，点C在x轴正半轴上，点，点． (1)如图1，在上取一点E，将沿折叠，使O点落至边上的D点，求的长度； (2)如图2，在边上选取适当的点M、F，将沿折叠，使点O落在边上的处，过点作于点G，交于点T． ①求证：； ②设，探求y与x满足的等量关系式，并将y用含x的代数式表示（指出变量x的取值范围）． (3)在（2）的条件下，当时，点P在直线上，问：在坐标轴上是否存在点Q，使以M、、Q、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【经典例题七 一次函数中的旋转模型】 1．（24-25八年级下·陕西西安·月考）我们知道，平移、翻折、旋转是3种基本的图形运动．你能求出将直线平移、旋转后对应的函数表达式吗？    (1)将一次函数的图象沿着轴向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为________； (2)如图，一次函数的图象与轴的交点为点，将直线绕点A逆时针旋转，求所得的图象对应的函数表达式． 2．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过，两点． (1)直接写出，的长度及一次函数的表达式； (2)当时，有最小值8，求的值； (3)将一次函数的图象绕点旋转，求所得图象的函数的表达式． 3．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图1，等腰直角三角形中，，过点A作交于点D，过点B作交于点E，易得，我们称这种全等模型为“k型全等”．如图2，在直角坐标系中，直线分别与y轴，x轴交于点A、． (1)求k的值和点A的坐标； (2)在第二象限构造等腰直角，使得，求点E的坐标； (3)将直线绕点A旋转得到，求的函数表达式． 4．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B．设，将直线绕点A按某一方向旋转后交y轴于点． (1)分别求出点A和点B的坐标； (2)若，当点C在点B的上方时，求此时点C的坐标； (3)若，则y轴上是否存在点C？若存在，请求出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2025八年级下·甘肃·专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P从B点出发，沿射线AB的方向运动，已知，点P的横坐标为x，连接，，记的面积为． (1)求关于x的函数关系式及x的取值范围； (2)在图2所示的平面直角坐标系中画出（1）中所得函数的图象，记其与y轴的交点为D，将该图象绕点D逆时针旋转，画出旋转后的图象； (3)结合函数图象，直接写出旋转前后的图象与直线的交点坐标． 6．（24-25八年级下·上海松江·月考）如图1，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，O为坐标原点，现将正方形绕点O顺时针方向旋转，旋转角为θ，对角线分别与x轴、直线交于点D、E， (1)当时，如图2，试求证； (2)当时，如图3，边与直线交于点M，边与x轴交于N，则周长为 ； (3)当正方形旋转到图3位置时，若，则 ； (4)当时，直线有一动点P，当点P的坐标为 时，有最小值为 ． 【经典例题八 一次函数中的最值问题】 1．（24-25八年级上·浙江杭州·月考）一次函数（a为常数，且）． (1)若点在一次函数的图象上，求a的值； (2)若当时，函数有最大值M，最小值N，且，求出此时一次函数的表达式； (3)对于一次函数，若对任意实数都成立，求k的取值范围． 2．（24-25七年级下·河南郑州·期中）姐姐帮小明荡秋千（如图①），秋千离地面的高度h（m）与摆动时间t（s）之间的关系如图②所示，结合图象： （1）变量h，t中，自变量是 ，因变量是 ，h最大值和最小值相差 m． （2）当t=5.4s时，h的值是 m，除此之外，还有 次与之高度相同； （3）秋千摆动第一个来回 s． 3．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）如图，已知A，B两点的坐标分别为，，动点P从原点O出发在x轴上运动． (1)P点运动到什么位置时离A点最近？写出P点的坐标． (2)P点运动到什么位置时，的值最小，最小值是多少？ (3)P点运动到什么位置时，的值最大，最大值是多少？ 4．（24-25八年级下·福建泉州·期末）对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形，间的“闭距离”，记作．特殊地，当图形与图形有公共点时，规定．已知点，，． (1)求（点O，直线）的值； (2)若直线满足（直线l，），求的取值范围； (3)若（点O，双曲线），直接写出的值． 5．（2025·河北沧州·模拟预测）小明利用平面镜成像原理设计了一个游戏，如图，在 轴上放置一平面镜，从点处 向平面镜发射一束光（看成线），经反射后沿直线传播． (1)点在平面镜内的虚像的坐标为 ； 满足的数量关系为 ． (2)当反射光线经过点时，求直线 的解析式（不用写自变量的取值范围）； (3)在 轴上从左到右有两点，且 ，从点向上作 轴，且． 若使 沿 轴左右平移，且保证中的反射光线能照射到边（包括端点）上，求点 的横坐标的最大值与最小值的差； (4)已知点（为正整数），设平面镜的长度足够长，若反射光线经过点，直接写出满足条件的整数的个数． 6．（2025·河北·二模）如图，点处有一发球机，发射的乒乓球（看做点）经过挡板（直线）上点处反弹后沿直线运动，矩形为球框，在轴上，且，，． (1)若反弹的点坐标为，求直线解析式； (2)在（1）的情况下，若乒乓球经过点反弹后直接落入框底，则点的横坐标的最大值比最小值大多少？ (3)现将球框固定，且点坐标为，乒乓球经过挡板点处反弹后仍落入球框（球落在点或点视为入框），求的取值范围． 1．（2025九年级上·吉林长春·学业考试）已知一次函数的图象与y轴交于点A，与正比例函数的图象交于点，那么的面积是（   ） A．3 B．6 C．7 D．14 2．（2025·河南郑州·三模）在学习过一次函数后，小星准备利用已有知识探索函数的图象与性质，通过列表、描点、连线，他得到了如下图象，图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，则下列说法正确的有（    ） ①点A的坐标是；②函数图象是一个轴对称图形；③y随着x的增大而增大；④该函数有最小值，最小值为0；⑤    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26八年级下·广东广州·月考）如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点A的坐标为，直线l的表达式为：，将直线l沿y轴向上平移m个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·重庆大渡口·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点C在y轴的负半轴上，将沿翻折，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，直线与直线l2：相交于点直线l1与y轴交于点A，一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线的点处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…，照此规律运动，动点C依次经过点则当动点C到达处时，运动的总路径的长为（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）如图，直线分别与轴、轴交于点，点在线段上，线段沿翻折．点落在边上的点处．则点的坐标为______． 7．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，多边形的顶点坐标分别是，，，，和．若直线l：将多边形分割成面积相等的两部分，则_______． 8．（24-25八年级下·福建福州·期末）已知一次函数，现给出以下结论： ①若当时，该函数最小值为8，则它的最大值为12；②该函数的图像必经过点；③若该函数的图像不经过第三象限，则；④对于一次函数，当时，，则的取值范围为．其中正确的是__________．（写出所有正确结论的序号） 9．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，在长方形中，，E为的中点，若点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段上由点B向点C运动，当与全等时，点Q的运动速度是_________． 10．（2025八年级下·上海松江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x，y轴于点A，B，将直线绕点B按顺时针方向旋转，交x轴于点C，则直线的函数表达式为 ________________． 11．（24-25八年级上·陕西商洛·期中）如图，长方形的四个顶点在互相平行的两条直线上，，当点，在平行线上同方向匀速运动时，长方形的面积发生了变化． (1)在这个变化过程中，自变量是___________，因变量是_________； (2)如果长方形的长为，那请用含的式子表示长方形的面积； (3)当长方形的长从变到时，长方形的面积怎么变化？ 12．（24-25八年级下·上海浦东新·月考）如图，已知在平面直角坐标系中，是矩形，，，点是边边上一动点，连结，将四边形沿所在直线翻折，落在的位置，点A、的对应点分别为点、，边与边的交点为点． (1)当坐标为时，求点坐标和直线的解析式； (2)过作交于，若，，求关于的函数解析式，并写出它的定义域． 13．（2025·湖北襄阳·二模）2024年春节以后，襄阳市各居民小区流动经济开始繁荣起来．王强趁此抓住机会，准备购进甲、乙种时令水果销售．已知甲种水果的进货款（元）是进货量（千克）的一次函数，其对应值如下表所示（所有自变量的值暂取整数值，从整数开始，到整数结束）： … … 乙种水果每千克的进价为元．销售过程中，甲种水果的售价始终是元/千克，乙种水果的售价始终是元/千克． （1）直接写出甲种水果的进货款（元）与进货量（千克）之间的函数关系式，并写自变量x的取值范围； （2）若进货总付款元，两种水果共购进千克，进货时甲种水果的进货量不低于千克但又不高于千克，求总付款的最小值； （3）由于水果很畅销，第二次进货时，王强购进甲、乙两种水果共千克，其中甲种水果的数量不少于乙种水果数量的，他决定每销售千克的水果向某中学贫困生捐元，为了保证这批水果售完后，总利润始终不低于元，求的最大值． 14．（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图①，已知直线与轴、轴分别交于点、，以、为边在第一象限内作长方形． (1)求点、的坐标． (2)将对折，使得点的与点重合，折痕交于点，求直线的解析式（图②）． (3)在坐标平面内，是否存在点（除点外），使得与全等？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 15．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，与直线交于点D． (1)求点D的坐标； (2)将沿x轴向左平移，平移后点B的对应点为点E．点O的对应点为点F，点C的对应点为点G，当点F到达点A时，停止平移，设平移的距离为t ①如图2，当点G在直线上时，求的面积； ②当与四边形重合部分的面积为2时，请直接写出t的值． 学科网（北京）股份有限公司 $