专题01 变量与函数重难点题型专训（3个知识点+9大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升讲练（沪教版2024）

专题01 变量与函数变量与函数重难点题型专训 （3个知识点+9大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 函数的概念 题型二 用表格表示变量间的关系 题型三 用关系式表示变量间的关系 题型四 用图象表示变量间的关系 题型五 求自变量的值或函数值 题型六 函数解析式 题型七 函数图象识别 题型八 从函数的图象获取信息 题型九 函数的三种表示方法 拓展训练一 函数图象中的动点问题 拓展训练二 根据图象中的信息解决问题 知识点一：变量与函数 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． （3）函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 【即时训练】 1．（24-25八年级下·上海虹口·期中）要画一个面积为的长方形，其长为，宽为，在这一变化过程中，常量与变量分别是（   ） A．常量为；变量为x，y B．常量为，y；变量为x C．常量为，x；变量为y D．常量为x，y；变量为 2．（24-25八年级下·上海长宁·课前预习）指出下列事件过程中的常量与变量． （1）某水果店橘子的单价为5元／千克，买a千克橘子的总价为m元，其中常量是_____，变量是_____； （2）周长C与圆的半径r之间的关系式是C＝2πr，其中常量是_____，变量是_____； 注意：π是一个确定的数，是常量 知识点二：函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 【即时训练】 1．（24-25八年级下·安徽宣城·自主招生）对于自变量为的函数，我们把使函数值等于零的实数叫做函数的零点．如果函数在上的图象是一条连续不断的曲线，并且在和时的函数值乘积为非正值，则该函数在范围内至少有一个零点，那么对于函数在下列范围内一定有零点的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河北石家庄·月考）已知函数经过点，则m的值为______． 知识点三：函数的三种常见表示方法 表示法 定义 优点 缺点 列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表，这种表示函数关系的方法叫做列表法 一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接查出与之对应的函数的值 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律 解析法 两个变量之间的函数关系可以用等式来表示，这种表示两个变量之间函数关系的式子称为函数表达式，用函数表达式表示函数的方法叫做解析法 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系 求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，有些函数不能用表达式表示出来 图像法 用图像来表示函数关系的方法叫做图像法 能直观、形象地反映出函数关系变化的趋势 由自变量的值常常难以找到对应函数的准确值 函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·广东深圳·期末）酗酒对人体有害吗？下表是某实验小组探究不同浓度的酒精对某种水蚤心率影响的实验数据（心率是心脏每分钟跳动的次数，因水蚤心跳太快，为减少误差，实验中计算10秒内心跳次数）．根据表格，下列结论错误的是（    ） 酒精浓度 0 内心跳次数 33 30 24 18 15 0 A．酒精浓度越高，水蚤心率越低 B．自变量是水蚤心率，因变量是酒精溶液浓度 C．酒精浓度达到时水蚤内心跳次数为0 D．酗酒对人体的心跳可能有不利影响 2．（24-25八年级下·上海长宁·课前预习）函数的表示方法通常有三种，它们是_______、_______、_______． 【经典例题一 函数的概念】 【例1】（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）有下列式子：①；②；③；④．其中是的函数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（24-25八年级下·北京海淀·期中）如图所示，某加油站地下圆柱体储油罐示意图，已知储油罐长度为d，截面半径r（d，r为常量），油面高度为h，油面宽度为w，油量为v（h，w，v为变量），则下面四个结论中，①w是v的是函数；②v是w的函数；③h是w的函数；④w是h的函数，所有正确结论的序号是____． 1．（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）下列选项中，不能表示y是x的函数的是（    ） A． x 0 5 10 15 y 3 3.5 4 4.5 B． C．   D．   2．（24-25九年级上·上海长宁·课后作业）下列图象中，不能表示是的函数的是_____．（填序号） 3．（24-25八年级下·陕西延安·月考）地表以下岩层的温度与它所处的深度有表中的关系： 岩层的深度 1 2 3 4 5 6 岩层的温度 55 90 125 160 195 230 (1)上表中自变量是__________，因变量是__________； (2)岩层的深度h每增加，温度t是怎样变化的？ (3)岩层的温度为时，估计岩层的深度是多少？ 【经典例题二 用表格表示变量间的关系】 【例1】（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）在综合实践活动中，小强同学了解到裤子的尺码（英寸）与腰围的长度（）对应关系如下表： 尺码/英寸 … … 腰围/ … … 若小强的腰围是，那么他所穿裤子的尺码是（    ） A．英寸 B．英寸 C．英寸 D．英寸 【例2】（24-25八年级下·山东淄博·期末）变量x，y的一些对应值如表： x … -2 -1 0 1 2 3 … y … -8 -1 0 1 8 27 … 根据表格中的数据规律，当时，y的值是______． 1．（24-25八年级下·上海长宁·课后作业）在一定范围内，弹簧挂重物后会伸长，测得弹簧长度最长为，与所挂物体质量间有下面的关系： 0 1 2 3 4 … 8 8.5 9 9.5 10 … 下列说法不正确的是（   ） A．x与y都是变量，x是自变量，y是因变量 B．所挂物体为时，弹簧长度为 C．在弹性限度内，物体每增加，弹簧长度就增加 D．挂物体时，弹簧长度一定比原长增加 2．（24-25八年级下·上海长宁·期中）根据下面的研究弹簧长度与所挂物体重量关系的实验表格，当所挂物体重量为时，弹簧长度为_____ ． 所挂物体重量 1 3 4 5 弹簧长度 10 14 16 18 3．（24-25八年级下·上海长宁·单元测试）受台风的影响，某条河流受暴雨袭击，水位的变化情况如表： 时间 0 4 8 12 16 20 24 水位 2 2.5 3 4 5 6 8 (1)上表反映了_____________和_____________之间的关系，自变量是_____________，因变量是_____________； (2)时，水位是_____________m； (3)_____________h至_____________h水位上升最快． 【经典例题三 用关系式表示变量间的关系】 【例1】（24-25八年级上·广东深圳·期中）某市出租车收费标准如下表：设行驶里程数为，收费为y元，则y与x（）之间的关系式为（   ） 里程数 收费/元 3以下（含3） 8 3以上每增加1 1.8 A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设x张白纸粘合后的总长度为，则y与x之间的关系式为______，其中常量是______，变量是______． 1．（24-25八年级下·山东德州·期末）弹挂上物体后伸长，已知一弹的长度（）与所挂物体的质（）之间的关系如表：下列说法错误的是（    ） 物体的质量（） 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度（） 10 12.5 15 17.5 20 22.5 A．在没挂物体时，弹簧的长度为． B．弹簧的长度随物体的质量的变化而变化，弹簧的长度是自变量，物体的质量是弹簧的长度的函数 C．在弹簧能承受的范围内，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就增加 D．在弹簧能承受的范围内，当物体的质量为时，弹簧的长度为 2．（24-25八年级下·山东东营·期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表所示： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 20 20.5 21 21.5 22 22.5 在弹性限度内，当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为________． 3．（24-25七年级下·四川达州·期中）飞机飞行时距离地面的高度和相应高度处的气温有密切的联系．下面表格是飞机当日距离地面的高度（千米）与相应高度处的气温的关系： 海拔高度h（千米） 0 1 2 3 4 5 气温 20 14 8 2 根据上表，回答以下问题： (1)由上表可知距离地面的高度5千米的上空气温为_______； (2)求当日飞机飞行时的气温t与距离地面的高度h之间的关系式． 【经典例题四 用图象表示变量间的关系】 【例1】（2026·河南周口·模拟预测）如图是甲、乙、丙三种物质的溶解度曲线，当甲、乙、丙三种物质在的饱和溶液降低温度到时，得到的溶液的溶质质量分数的关系表示正确的是（   ） A．甲乙丙 B．甲乙丙 C．丙甲乙 D．甲乙丙 【例2】（24-25八年级上·宁夏银川·期末）已知动点以每秒的速度沿图甲的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图乙中的图象表示．若，①图甲中长是；②图乙中是；③图甲中图形面积是；④图乙中的是17秒．正确说法的序号是__________． 1．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）某容器的截面如图所示，出水阀门在点A处．如果这个注满水的容器以固定的流量把水全部放出，下面哪个图象能大致表示水的深度与放水时间之间的关系是（   ） A．B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东泰安·期末）小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：00先出发去学校，走了一段路后，在途中停下来吃了早饭，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程和小明所用时间的关系图，则下列说法中正确的是_________．①小明吃早饭用时；②小华到学校的平均速度是；③小明跑步的平均速度是；④小华到学校的时间是7：05．    3．（24-25七年级下·广东深圳·期末）小亮骑自行车去上学，当他以往常的速度骑行至点A处时，忽然想起要买某本书，于是又折回到刚经过的一家书店，买到书后继续赶去学校．以下是他本次上学离家距离与时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： (1)图象所表示的两个变量中，自变量是 ；因变量是 (2)小亮家到学校的距离是 米；本次上学途中，小亮一共骑行了 米； (3)点A的实际意义是什么？ (4)如果小亮不买书，以往常的速度去学校，从家到学校需要多少分钟？ 【经典例题五 求自变量的值或函数值】 【例1】（24-25八年级下·福建厦门·期中）下列函数的图象经过点的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值为2时，输出的值为1，则输入的值为4时，输出的值为________． 1．（24-25八年级下·河北邢台·月考）按照如图所示的程序计算函数y的值时，若输入x的值是3，则输出y的值是，若输入x的值是1，则输出y的值是（    ）    A．−3 B．−2 C．0 D．2 2．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加．根据小球速度（单位：）关于时间（单位：）的函数关系，第时小球的速度为______． 3．（25-26八年级下·吉林长春·月考）如图，长方形，，，，E为边的中点，P为长方形边上的动点，动点P从A出发，沿着运动到E点停止，设点P经过的路程为x，的面积为y．           (1)当时，对应________；当时，对应________；当时，对应________； (2)当点P在边上时，________； 当点P在边上时，________； 当点P在边上时，________．（分别用含x的代数式表示） (3)若时，求出相对应的x值． 【经典例题六 函数解析式】 【例1】（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，一个长方形菜园，其中一边为足够长的墙，另外三边用一根长的篱笆围成（接口处忽略不计）．设边的长为，边的长为，则与的关系式为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·四川成都·期末）甲，乙两车分别从，两地沿直路同向匀速行驶，两车相距（单位：）与行驶时间（单位：） ）的部分对应值如表，则与的对应关系可用关系式表示为__________________________． 时间 两车相距 1．（24-25八年级上·江西吉安·期末）如图，直线l与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，P在线段上（不包括端点），过点P作轴于D，轴于E，四边形的周长为8，则直线l的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河北承德·期末）如图，长为32米，宽为20米的长方形地面上，修筑宽度均为x米的两条互相垂直的小路（图中阴影部分），其余部分作耕地，如果将两条小路铺上地砖，选用地砖的价格是60元/米．    （1）写出买地砖需要的钱数y（元）与x（米）的函数关系式为______（不要求写自变量的取值范围）； （2）当时，地砖的费用为______元． 3．（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）乐乐参观昆虫科普展的过程中拍了很多照片，他计划将照片打印出来制作纪念册，已知打印照片所需费用（单位：元）与打印照片的数量（单位：张）之间的关系如下表所示： 打印照片的数量/张 费用/元 1元/张 超出50张的部分打八折 (1)自变量是_______________________，因变量是_______________________； (2)当时，请写出打印照片所需费用与打印照片的数量之间的关系式； (3)若乐乐最终付款90元，则他打印了多少张照片？ 【经典例题七 函数图象识别】 【例1】（2026八年级下·湖北武汉·专题练习）匀速地向一个如图所示的容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t变化的图象（草图）大致是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·山东烟台·期末）小明和小英一起去上学．小明觉得要迟到了，就跑步上学，一会跑累了，便走着到学校；小英开始走着，后来也跑了起来，直到在校门口赶上了小明，问：如图四幅图像中，第______幅描述了小明的行为（填序号）．             1．（2025·江苏常州·模拟预测）如图是某企业年月份总产量（即前个月产量之和）与时间（月）的函数图象，则下列图像中能大致反映每个月产量增长速度的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·上海长宁·课后作业）如图四个图象近似地刻画了两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应，正确的排序为_____________（填序号）． ①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系）； ②向锥形瓶（上小下大）中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）； ③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系）； ④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）．    3．（24-25八年级下·上海长宁·课后作业）“漏壶”是一种古代计时器．在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出．壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度．下页哪个图象适合表示y与x的对应关系？（不考虑水量变化对压力的影响．） 【经典例题八 从函数的图象获取信息】 【例1】（2026·贵州六盘水·一模）如图是物理课上测量长方体铜块的体积实验，借助外力将铜块从离液面一定高度匀速放入烧杯直至底部静置一段时间．下列哪幅图象可以近似的刻画出液面高度h与铜块被放入时间t的关系（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·北京·月考）小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点出发，沿箭头所示方向经过点跑到点，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为（单位：秒），他与教练的距离为（单位：米），表示与的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的_____．（填四点之一） 1．（2026·河南周口·一模）如图中的图象（折线）描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离（）和行驶时间之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法： ①汽车在行驶途中停留了；    ②汽车共行驶了； ③汽车回来时的平均速度是去时的2倍；    ④汽车自出发后至之间的行驶速度为． 其中正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26六年级上·黑龙江大庆·期中）下图是妙想和笑笑参加米比赛的情况统计图． （1）( )先到达终点． （2）比赛中两人相距最远约为( )米． 3．（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）如图，这是某地区一天的气温随时间变化的图象，根据图象回答，在这一天中： (1)气温是不是时间t（时）的函数？ (2)什么时候的气温最高，最高是多少？什么时候的气温最低，最低是多少？ (3)什么时候的气温处于上升趋势？ (4)什么时候的气温是？ 【经典例题九 函数的三种表示方法】 【例1】（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）某航空公司规定，旅客可免费携带一定质量的行李，超出部分需另外收费，下表列出了乘客携带的行李质量x（千克）与其运费y（元）之间的一些数据： x（千克） 20 23 26 29 32 y（元） 0 90 180 270 360 若旅客携带了36千克的行李，他应该支付的运费为（    ） A．450元 B．480元 C．510元 D．600元 【例2】（24-25八年级·上海长宁·假期作业）农村“雨污分流”工程是“美丽乡村”战略的重要组成部分，我县某村要铺设一条全长为1000米的“雨污分流”管道，现在工程队铺设管道施工x天与铺设管道y米之间的关系用表格表示如下，则施工8天后，未铺设的管道长度为__米． 时间（x天） 1 2 3 4 5 … 管道长度（y米） 20 40 60 80 100 … 1．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）小明和妈妈通过自驾去“花溪十里河滩”游玩，早上他们从贵安新区出发，匀速行驶一段时间后，途中遇到堵车原地等待一会儿，然后他们加快速度行驶，按时到达“十里河滩”．游玩结束后，他们自驾匀速返回．其中x表示小明和妈妈驾车从贵安新区出发后至回到贵安新区所用的时间，y表示他们离贵安新区的距离，下面能反映y与x的关系的大致图象是（　　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·上海长宁·课后作业）声音在空气中传播的速度y（米/秒）（简称音速）与气温之间的关系如下从表中可知音速y随温度x的升高而__________．在气温为的一天召开运动会，某人看到发令枪的烟秒后，听到了枪声，则由此可知，这个人距发令地点__________米． 气温（） 0 5 10 15 20 音速y（米/秒） 331 334 337 340 343 3．（24-25七年级下·山西晋中·期末）小明为了了解水温的变化规律，连续测量并记录一杯开水在室温下的温度变化情况，得到下表： 时间/min 0 5 10 15 25 35 45 55 65 70 温度/℃ 98 71 55 45 35 28 24 22 22 22 根据上表，回答问题： (1)室温大概是________℃； (2)你能描述在室温下开水温度随时间变化的特点吗？ (3)某种奶粉的适宜冲泡温度为42℃，小明想冲泡这种奶粉，水烧开后大约需要等多久？ 【拓展训练一 函数图象中的动点问题】 【例1】（24-25八年级下·广东广州·期末）如图1，在中，，点是的中点，动点从点出发沿运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为，与的图象如图2所示，则的面积为（   ）    A．10 B．16 C．20 D．40 【例2】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在正方形中，，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段运动，同时动点N从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段运动，当点N运动到点D时，点M，N同时停止运动，设的面积为y，运动时间为x（s），请写出y与x之间函数关系式______．    1．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，且，，点是线段上一个动点，由向以移动，运动至点停止，则的面积随点的运动时间之间的关系式为（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·上海虹口·期中）如图，动点P从O点出发，匀速沿着线段、半圆弧，线段返回到出发点O，动点P与出发点O的距离y（厘米）与时间t（秒）之间的函数图像如图所示，根据图像解决下列问题：(π取3) (1)半圆O的半径是_______厘米；点P的运动速度_______厘米/秒． (2)求a的值； (3)当点P运动到点C处时，遇到障碍停止了2秒，停止后运动速度不变，求： ①b的值； ②求图像中F点的坐标，并解释F点坐标的实际意义． 3．（25-26八年级下·上海虹口·期中）如图，在长方形中，动点从点出发，沿、、运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为，如果与的关系如图所示，则的长度______；的面积______． 【拓展训练二 根据图象中的信息解决问题】 【例1】（25-26八年级上·江苏扬州·月考）经科学家研究证实，蝉在气温超过时才会活跃起来，此时它会边吸树木的汁液边鸣叫．如图所示是某地一天的气温变化图象，在这一天中，听不到蝉的鸣叫的时间最多有（　　） A．10小时 B．22小时 C．8小时 D．12小时 【例2】（2026·山东济南·一模）人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人甲和乙从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，甲比乙先出发，且速度保持不变，乙出发一段时间后将速度提高到原来的3倍．设甲行走的时间为，甲和乙行走的路程分别为，，，与之间的函数图象如图所示，则甲给客人送餐需要_____s． 1．（2026·河南洛阳·一模）某智能路灯的亮度调节电路图如图1所示，电源电压恒为，为定值电阻，为光照传感器，其阻值随光照强度（单位：）变化的关系如图2所示．当光照强度低于时，路灯自动开启，当光照强度达到时，路灯自动关闭，此时电流表的示数为．下列说法错误的是（   ）（温馨提示：电流表电阻忽略不计，在此串联电路中，） A．光照强度为时，电阻的阻值为 B．路灯处于关闭状态时，的阻值不大于 C．光照强度越强，的阻值越大 D．定值电阻的阻值为 2．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图1，有甲乙两个圆柱形水槽，其中乙水槽内装有一定量的水，甲水槽内没有装水，且甲水槽中放有两个完全相同且底面为正方形的长方体铁块．现将乙水槽内的水匀速注入甲水槽中，两个水槽内的水深y（）与注水时间x（）的函数关系如图2所示，根据图象解答下列问题： （1）由点A、B坐标可知一个长方体铁块的体积为___； （2）若设注水速度为，甲水槽的底面积为S，则注水前乙水槽内装有水______． 3．（24-25七年级下·山东济南·期末）某景区内有小石潭、花圃、石塔三个景点（且三个景点在同一直线上），图1为三个景点之间的路线图．小明与小红均从小石潭出发，依次游览小石潭、花圃、石塔，最后原路返回至小石潭． 小明骑共享单车出发游览，小明到小石潭的距离与其出发时间之间的关系如图2所示． 景区内有一班游览车从小石潭发车，在小石潭与石塔之间匀速往返行驶（上下车时间忽略不计）．小红乘坐游览车出发，小红和游览车到小石潭的距离与其出发时间之间的关系如图3所示． (1)图2中的自变量是______，因变量是______． (2)小明从小石潭出发匀速骑行到花圃，在该路段小明的速度为______，在花圃游玩后，小明以的速度骑行至石塔，则小明在花圃游玩了______ (3)游览车的平均速度是______，若小红和游览车的出发时刻均为早上，则小红在早上______（填时刻）从花圃上车前往石塔． A基础训练 1．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）下列图形中的曲线不能表示是的函数的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·重庆九龙坡·期中）用如图所示的程序框图来计算函数y的值，当输入x为和7时，输出y的值相等，则b的值是（    ） A． B． C．4 D．2 3．（2025·广西·模拟预测）某水文局测得一组关于降雨强度和产汇流历时的对应数据如下表（注：产汇流历时是指由降雨到产生径流所经历的时间），根据表中数据，可得关于的函数解析式近似为（  ） 降雨强度 4 6 8 10 12 14 产汇流历时 18.0 12.1 9.0 7.2 6.0 5.1 A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·山东青岛·期末）五一假期，小明去游乐场坐了摩天轮，小明离地面的高度h（米）和他坐上摩天轮后旋转的时间t（分钟）之间的关系如图所示，已知摩天轮匀速转动，则下列说法正确的是（   ） A．自变量是小明离地面的高度h，因变量是小明坐上摩天轮后的旋转时间t B．摩天轮最低点距地面3米，最高点距地面9米 C．摩天轮转一周需要9分钟 D．当时，小明处于上升状态 5．（2026·河南焦作·一模）游乐园里的大摆锤如图所示，图是它的简化模型．学校数学兴趣小组在摆锤第一次到达左侧最高点时开始计时，研究发现摆锤相对地面的高度（米）随时间（秒）变化的图象如图所示．下列说法错误的是（   ） A．摆锤运行过程中最低距地面米 B．摆锤运行过程中最高距地面米 C．摆锤运行过程中摆动一个来回需要秒 D．摆锤运行过程中从最高点摆动到最低点需要秒 B 提高训练 6．（24-25九年级上·山东济宁·期中）设表示关于的函数，若，且，那么______． 7．（24-25八年级下·上海长宁·周测）下列各情境分别可以用下面哪幅图来近似刻画（填字母）？ （1）一面冉冉上升的红旗（高度与时间的关系）：________________． （2）匀速行驶的汽车（速度与时间的关系）：________________． （3）足球守门员一脚踢出去的球（高度与时间的关系）：________________． （4）一杯越晾越凉的水（水温与时间的关系）：________________． 8．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）高山地区海拔高，空气稀薄，所以大气压低于一个标准大气压，水的沸点随高原气压的减小而降低．下表是各个城市的海拔高度及水的沸点统计情况，请根据表中的数据，请写出y与x的关系式为______． 城市 A地 B地 C地 D地 海拔x（米） 0 300 600 1500 沸点y（度） 100 99 98 95 9．（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，在长方形中，动点P从A出发，以相同的速度，沿方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y与x之间的关系如图所示，那么长方形的面积为 _____． 10．（24-25八年级下·湖南湘西·期末）阅读下面材料：小明想探究函数的性质，他借助计算器求出了y与x的几组对应值，并在平面直角坐标系中画出了函数图象：小聪看了一眼就说：“你画的图象肯定是错误的．”请回答：小聪判断的理由是______．写出函数的一条性质：______． x … 1 2 3 … y … 2.83 1.73 0 0 1.73 2.83 … C 培优训练 11．（24-25七年级上·山东菏泽·期末）一汽车油箱里有油，在行驶过程中，每小时耗油，回答下列问题： (1)在这一变化过程中，邮箱里剩下的油量和行驶的时间是_______，每小时的耗油量是_______； (2)①设汽车行驶的时间为，油箱里剩下的油为，请用含x的式子表示Q； ②这辆汽车最多能行驶多少小时？ 12．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，根据程序计算函数值． (1)当输入的x的值是时，输出的结果y是多少？ (2)当输入的x的值是多少时，输出的结果y是？ 13．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，的底边，当边上的高由小到大变化时，的面积也随之发生了变化． (1)在这个变化过程中，自变量是____________，因变量是____________； (2)如果边上的高为，请写出的面积与高的关系式：____________； (3)当边上的高由变到时，的面积怎么变化？ 14．（24-25八年级下·山东泰安·期末）将若干张长的长方形纸条，按如图所示的方法粘合成长纸条，粘合部分的宽为． (1)将表格补充完整： 纸的张数 1 2 3 4 …… 10 …… 纸条的长度 40 116 154 …… …… (2)设张纸粘合后的纸条长为． ①直接写出与间的表达式： ； ②将50张纸粘合后的纸条长为 ； ⑧小明能否用这样的小纸条粘合出长为的纸条，若能，通过计算说明至少需要多少张这样的长方形纸，若不能，请说明理由． 15．（24-25八年级下·上海虹口·课后作业）如图①，数轴上点O表示的数是0，点A表示的数是，点B是数轴上一动点，表示的数是x，它与点A之间的距离AB用y表示． (1)填写下表，在如图②所示的平面直角坐标系内画出y关于x的图象； x … 1 2 … y … … (2)下列说法正确的是________（填序号）． ①变量x是变量y的函数；②y随x的增大而减小；③图象经过第一、二、三象限；④当时，y有最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 变量与函数变量与函数重难点题型专训 （3个知识点+9大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 函数的概念 题型二 用表格表示变量间的关系 题型三 用关系式表示变量间的关系 题型四 用图象表示变量间的关系 题型五 求自变量的值或函数值 题型六 函数解析式 题型七 函数图象识别 题型八 从函数的图象获取信息 题型九 函数的三种表示方法 拓展训练一 函数图象中的动点问题 拓展训练二 根据图象中的信息解决问题 知识点一：变量与函数 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． （3）函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 【即时训练】 1．（24-25八年级下·上海虹口·期中）要画一个面积为的长方形，其长为，宽为，在这一变化过程中，常量与变量分别是（   ） A．常量为；变量为x，y B．常量为，y；变量为x C．常量为，x；变量为y D．常量为x，y；变量为 【答案】A 【分析】本题主要考查了常量与变量的概念，熟练掌握在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量，数值发生变化的量为变量是解题的关键．先根据长方形面积公式确定等式，再依据常量与变量的定义，判断在变化过程中数值不变的量和数值变化的量． 【详解】解：∵长方形面积为， ∴是固定不变的量， ∵长为，宽为， ∴，是可以变化的量， ∴常量为；变量为，， 故选：A． 2．（24-25八年级下·上海长宁·课前预习）指出下列事件过程中的常量与变量． （1）某水果店橘子的单价为5元／千克，买a千克橘子的总价为m元，其中常量是_____，变量是_____； （2）周长C与圆的半径r之间的关系式是C＝2πr，其中常量是_____，变量是_____； 注意：π是一个确定的数，是常量 【答案】 5 a，m； 2，π C，r 【解析】略 知识点二：函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 【即时训练】 1．（24-25八年级下·安徽宣城·自主招生）对于自变量为的函数，我们把使函数值等于零的实数叫做函数的零点．如果函数在上的图象是一条连续不断的曲线，并且在和时的函数值乘积为非正值，则该函数在范围内至少有一个零点，那么对于函数在下列范围内一定有零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是函数零点存在性定理的应用，解题关键是理解题意． 根据题意，若函数在闭区间上连续且端点函数值乘积非正，则区间内至少有一个零点，计算各选项端点函数值即可得解． 【详解】函数 在实数范围内连续， 只需验证各选项区间端点函数值乘积是否非正， 选项，时，， 时，， 在和时的函数值乘积为正值，不符合题意； 选项，时，， 时，， 在和时的函数值乘积为非正值，符合题意； 选项，时，， 时，， 在和时的函数值乘积为正值，不符合题意； 选项，时，， 时，， 在和时的函数值乘积为正值，不符合题意． 故选：． 2．（25-26八年级下·河北石家庄·月考）已知函数经过点，则m的值为______． 【答案】 【分析】将代入解析式，即可求解． 【详解】解：∵函数经过点 ∴， 解得：， 知识点三：函数的三种常见表示方法 表示法 定义 优点 缺点 列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表，这种表示函数关系的方法叫做列表法 一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接查出与之对应的函数的值 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律 解析法 两个变量之间的函数关系可以用等式来表示，这种表示两个变量之间函数关系的式子称为函数表达式，用函数表达式表示函数的方法叫做解析法 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系 求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，有些函数不能用表达式表示出来 图像法 用图像来表示函数关系的方法叫做图像法 能直观、形象地反映出函数关系变化的趋势 由自变量的值常常难以找到对应函数的准确值 函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·广东深圳·期末）酗酒对人体有害吗？下表是某实验小组探究不同浓度的酒精对某种水蚤心率影响的实验数据（心率是心脏每分钟跳动的次数，因水蚤心跳太快，为减少误差，实验中计算10秒内心跳次数）．根据表格，下列结论错误的是（    ） 酒精浓度 0 内心跳次数 33 30 24 18 15 0 A．酒精浓度越高，水蚤心率越低 B．自变量是水蚤心率，因变量是酒精溶液浓度 C．酒精浓度达到时水蚤内心跳次数为0 D．酗酒对人体的心跳可能有不利影响 【答案】B 【分析】本题考查的是利用表格表示函数，理解表格信息是解本题的关键，根据表格信息结合函数定义可得答案； 【详解】解：由表格信息可得：酒精浓度越高，水蚤心率越低，正确，A不符合题意； 自变量是酒精溶液浓度，因变量是水蚤心率，原来说法错误，B符合题意； 酒精浓度达到时水蚤内心跳次数为0，正确，C不符合题意； 酗酒对人体的心跳可能有不利影响，正确，D不符合题意； 故选B 2．（24-25八年级下·上海长宁·课前预习）函数的表示方法通常有三种，它们是_______、_______、_______． 【答案】 解析式法 列表法 图象法 【解析】略 【经典例题一 函数的概念】 【例1】（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）有下列式子：①；②；③；④．其中是的函数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查函数的概念，熟练掌握其定义是解题的关键． 判断每个式子是否满足函数的定义，即对于每个自变量，有唯一的因变量对应． 【详解】解：∵ 函数要求对于每个，有唯一的对应， ①，对于每个，唯一，是函数； ② ，对于，有两个值（正负根），不满足唯一性，不是函数； ③ ，即，对于每个，唯一，是函数； ④ ，对于，唯一（算术平方根），是函数. ∴ 是函数的个数为=． 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·北京海淀·期中）如图所示，某加油站地下圆柱体储油罐示意图，已知储油罐长度为d，截面半径r（d，r为常量），油面高度为h，油面宽度为w，油量为v（h，w，v为变量），则下面四个结论中，①w是v的是函数；②v是w的函数；③h是w的函数；④w是h的函数，所有正确结论的序号是____． 【答案】①④/④① 【分析】直接利用变量间的关系，结合函数的定义判断①②③④的结论. 【详解】解：根据圆柱的体积公式的实际应用， 油面高度为h，会影响油面的宽度w，从而影响油量v， 对于①，w是v的函数；由于v确定，故h确定，w就确定，故①正确； 对于②，v是w的函数，由于w确定，h有两个（上下对称），所以v有两个，故与函数的定义相矛盾，不是函数，故②错误； 对于③，h是w的函数，同②，w确定，所以有两个h（上下对称）故与函数的定义相矛盾，不是函数，故③错误； 对于④，w是h的函数，h确定，则w确定，故④正确． 故①④正确． 故答案为：①④． 【点睛】本题考查的知识要点：函数的定义的理解，实际问题中的函数关系，主要考查学生对基础定义的理解和应用，属于基础题． 1．（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）下列选项中，不能表示y是x的函数的是（    ） A． x 0 5 10 15 y 3 3.5 4 4.5 B． C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查函数的概念，掌握函数的概念是解题的关键． 根据函数的定义“如果在一个变化过程中有两个变量和，并且对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，则称是的函数，其中是自变量”逐项判断即可． 【详解】解：A、在所给的数据中，对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，所以能表示是的函数，不符合题意； B、是一次函数，所以能表示是的函数，不符合题意； C、对于的每一个确定的值，不一定有唯一的值与其对应，可能有两个或三个值，所以不是的函数，符合题意； D、对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，所以能表示是的函数，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25九年级上·上海长宁·课后作业）下列图象中，不能表示是的函数的是_____．（填序号） 【答案】③④⑤ 【分析】本题考查函数定义，解题的关键是理解掌握自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数．根据函数的定义，自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数，即可得出答案． 【详解】解：根据函数的定义可知，③和④部分自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有俩个确定的值与之对应，⑤自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有无数个的值与之对应，不满足函数定义．其余均满足函数的定义即自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，． 故答案为：③④⑤． 3．（24-25八年级下·陕西延安·月考）地表以下岩层的温度与它所处的深度有表中的关系： 岩层的深度 1 2 3 4 5 6 岩层的温度 55 90 125 160 195 230 (1)上表中自变量是__________，因变量是__________； (2)岩层的深度h每增加，温度t是怎样变化的？ (3)岩层的温度为时，估计岩层的深度是多少？ 【答案】(1)岩层的深度，岩层的温度 (2) (3) 【分析】（1）直接利用常量与变量的关系得出自变量和因变量； （2）利用表格中数据进而得出答案； （3）利用表格中数据得到函数关系式得出自变量的值或函数值． 【详解】（1）解：上表反映了岩层的温度与岩层的深度之间的关系； 其中岩层的深度是自变量，岩层的温度是因变量；、 故答案为：岩层的深度，岩层的温度； （2）解：由表可知：岩层的深度h每增加，温度t上升； （3）解：由表中数据可知，岩层的温度与岩层的深度之间的关系为：， 当时，， 解得：， ∴估计岩层的深度为． 【点睛】此题主要考查了函数关系式以及常量与变量，正确得出函数关系式是解题关键． 【经典例题二 用表格表示变量间的关系】 【例1】（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）在综合实践活动中，小强同学了解到裤子的尺码（英寸）与腰围的长度（）对应关系如下表： 尺码/英寸 … … 腰围/ … … 若小强的腰围是，那么他所穿裤子的尺码是（    ） A．英寸 B．英寸 C．英寸 D．英寸 【答案】A 【分析】本题考查了变量之间的关系．根据题意确定变量之间的关系是解题的关键． 由题意知，尺码/英寸每增加1英寸，腰围的长度增加，当腰围是，所穿裤子的尺码为，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，尺码/英寸每增加1英寸，腰围的长度增加， ∴当腰围是，所穿裤子的尺码为英寸， 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·山东淄博·期末）变量x，y的一些对应值如表： x … -2 -1 0 1 2 3 … y … -8 -1 0 1 8 27 … 根据表格中的数据规律，当时，y的值是______． 【答案】－125 【分析】根据表格中两个变量对应值的变化规律得出答案． 【详解】解：由表格中两个变量对应值的变化规律可知，y＝x3， 当x＝﹣5时，y＝（﹣5）3＝﹣125， 故答案为：﹣125． 【点睛】本题考查了用表格表示变量间的关系，发现表格中两个变量对应值的变化规律是解题的关键． 1．（24-25八年级下·上海长宁·课后作业）在一定范围内，弹簧挂重物后会伸长，测得弹簧长度最长为，与所挂物体质量间有下面的关系： 0 1 2 3 4 … 8 8.5 9 9.5 10 … 下列说法不正确的是（   ） A．x与y都是变量，x是自变量，y是因变量 B．所挂物体为时，弹簧长度为 C．在弹性限度内，物体每增加，弹簧长度就增加 D．挂物体时，弹簧长度一定比原长增加 【答案】D 【分析】本题考查了变量、自变量、因变量的概念，认真审题能从题目中抽取出有效信息是解题的关键．弹簧长度随所挂物体的重量的变化而变化，由表格数据可知物体每增加，弹簧长度就增加，可以计算当所挂物体为或时弹簧的长度，但应注意弹簧的最大长度为． 【详解】解：A．因为弹簧长度随所挂物体的重量的变化而变化，所以x是自变量，y是因变量．故本选项正确，不符合题意； B．当所挂物体为时，弹簧的长度为．故本选项正确，不符合题意； C．从表格数据中分析可知，物体每增加，弹簧长度就增加．故本选项正确，不符合题意； D．当所挂物体为时，弹簧长度为．故本选项不正确，符合题意． 故选：D． 2．（24-25八年级下·上海长宁·期中）根据下面的研究弹簧长度与所挂物体重量关系的实验表格，当所挂物体重量为时，弹簧长度为_____ ． 所挂物体重量 1 3 4 5 弹簧长度 10 14 16 18 【答案】15 【分析】从表格中观察并估计y与x的之间的关系，再预测相关值即可． 【详解】解：所挂物体重量每增加，弹簧长度增加， 当物体重量为时，弹簧长度为, 故答案为：15． 【点睛】本题考查根据表格数据估计因变量的值，熟练掌握知识点是解题的关键． 3．（24-25八年级下·上海长宁·单元测试）受台风的影响，某条河流受暴雨袭击，水位的变化情况如表： 时间 0 4 8 12 16 20 24 水位 2 2.5 3 4 5 6 8 (1)上表反映了_____________和_____________之间的关系，自变量是_____________，因变量是_____________； (2)时，水位是_____________m； (3)_____________h至_____________h水位上升最快． 【答案】(1)时间，水位，时间，水位 (2) (3)， 【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系，从表格获取正确信息是解题的关键． （1）根据表格即可直接得出答案； （2）根据表格即可直接得出答案； （3）根据表格找出水位上升最快的时段即可． 【详解】（1）解：由表可知： 上表反映了时间和水位之间的关系，自变量是时间，因变量是水位， 故答案为：时间，水位，时间，水位； （2）解：由表可以看出： 时，水位是， 故答案为：； （3）解：由表可以看出：在相等的时间间隔内，至水位上升最快， 故答案为：，． 【经典例题三 用关系式表示变量间的关系】 【例1】（24-25八年级上·广东深圳·期中）某市出租车收费标准如下表：设行驶里程数为，收费为y元，则y与x（）之间的关系式为（   ） 里程数 收费/元 3以下（含3） 8 3以上每增加1 1.8 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数的关系式，审题是解题的关键． 根据3以下（含3）收费8元，3以上每增加1米收费1.8元，列出关系式即可． 【详解】解：由题意得，所付车费为：， 即． 故选：D． 【例2】（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设x张白纸粘合后的总长度为，则y与x之间的关系式为______，其中常量是______，变量是______． 【答案】 ，12 x，y 【详解】解：设x张白纸粘合后的总长度为， ∴， 其中常量是，12，变量是x，y． 1．（24-25八年级下·山东德州·期末）弹挂上物体后伸长，已知一弹的长度（）与所挂物体的质（）之间的关系如表：下列说法错误的是（    ） 物体的质量（） 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度（） 10 12.5 15 17.5 20 22.5 A．在没挂物体时，弹簧的长度为． B．弹簧的长度随物体的质量的变化而变化，弹簧的长度是自变量，物体的质量是弹簧的长度的函数 C．在弹簧能承受的范围内，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就增加 D．在弹簧能承受的范围内，当物体的质量为时，弹簧的长度为 【答案】B 【分析】根据表格数据，自变量x所挂物体的重量与因变量y弹簧的长度的关系，依次判断正误即可． 【详解】解：根据条件，可列关系式为：． A、在没挂物体时，弹簧的长度为，根据图表，当质量时，，故此选项正确，不符合题意； B、反映了所挂物体的质量和弹簧的长度之间的关系，所挂物体的质量是自变量；弹簧的长度是因变量，故此选项错误，符合题意； C、在弹簧能承受的范围内，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就增加，故此选项正确，不符合题意； D、由关系式，，解得，在弹簧的弹性范围内，故此选项正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了函数关系式，主要考查了函数的定义和结合几何图形列函数关系式．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量． 2．（24-25八年级下·山东东营·期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表所示： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 20 20.5 21 21.5 22 22.5 在弹性限度内，当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为________． 【答案】23.5 【分析】本题考查了用表格表示变量之间的关系，由表可知，当所挂物体的质量每增加，弹簧的长度伸长，由此可得与的关系式．解题的关键在于能够从表格中的数据发现其变化规律． 【详解】解：分析表格可知，当所挂物体的质量每增加，弹簧的长度伸长， ∴与的关系式为． 当所挂物体的质量为时，即时， 故答案为：23.5． 3．（24-25七年级下·四川达州·期中）飞机飞行时距离地面的高度和相应高度处的气温有密切的联系．下面表格是飞机当日距离地面的高度（千米）与相应高度处的气温的关系： 海拔高度h（千米） 0 1 2 3 4 5 气温 20 14 8 2 根据上表，回答以下问题： (1)由上表可知距离地面的高度5千米的上空气温为_______； (2)求当日飞机飞行时的气温t与距离地面的高度h之间的关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由表格直接可得结果； （2）根据表格中气温随海拔高度的变化的规律得出答案． 【详解】（1）解：由表格得距离地面的高度5千米的上空气温为； （2）解：从表格中两个变量的变化对应值的变化规律可知，海拔高度每升高1千米，气温就减少， 所以当日飞机飞行时的气温t与距离地面的高度h之间的关系式为． 【经典例题四 用图象表示变量间的关系】 【例1】（2026·河南周口·模拟预测）如图是甲、乙、丙三种物质的溶解度曲线，当甲、乙、丙三种物质在的饱和溶液降低温度到时，得到的溶液的溶质质量分数的关系表示正确的是（   ） A．甲乙丙 B．甲乙丙 C．丙甲乙 D．甲乙丙 【答案】D 【详解】解：溶解度越大，对应饱和溶液的溶质质量分数越大， 甲、乙溶解度随温度降低而减小，的饱和溶液降温到后，析出晶体，仍为饱和溶液； 从曲线可知，时甲、乙溶解度相等，因此降温后溶质质量分数：甲乙； 丙溶解度随温度降低而增大，的饱和溶液降温到后，变为不饱和溶液，溶质没有析出，溶质质量分数不变，仍等于时丙饱和溶液的溶质质量分数，时丙的溶解度小于时甲、乙的溶解度， 因此，溶液的溶质质量分数的关系为甲乙丙． 【例2】（24-25八年级上·宁夏银川·期末）已知动点以每秒的速度沿图甲的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图乙中的图象表示．若，①图甲中长是；②图乙中是；③图甲中图形面积是；④图乙中的是17秒．正确说法的序号是__________． 【答案】①②③④ 【分析】①动点在段运动时对应时间为0到4秒，根据点的移动速度即可算出的长； ②当点运动到点时，为直角三角形，计算出其面积即为的值； ③观察题意，图图甲的面积，求出相应长度代入求值即可； ④图乙中的值即为点走完全程所需的时间，求出整个路程长，根据移动速度即可求出时间． 【详解】解：当点在上运动时，逐渐增大，由图乙可知，在段运动时对应时间为0到4秒， ， 即图甲中的长为，故①说法正确； 当点运动到点时，为直角三角形， ， ， 即图乙中是，故②说法正确； 由图可知：，， 又，， ，， 则图甲的面积， 故③说法正确； 图乙中代表点从所需的全部时间， ， 秒， 故④说法正确； 正确说法的序号是①②③④． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查三角形综合知识以及动点问题，学会结合图象具体分析仍是解决该类问题的关键，要重点理解动点P的不同位置导致面积的变化特点． 1．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）某容器的截面如图所示，出水阀门在点A处．如果这个注满水的容器以固定的流量把水全部放出，下面哪个图象能大致表示水的深度与放水时间之间的关系是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的图象； 根据容器上宽下窄，可知水的深度随着时间的增大，先缓慢降低，随后快速降低． 【详解】解：因为容器上宽下窄， 所以水的深度随着时间的增大，先缓慢降低，随后快速降低， 只有A选项符合题意． 2．（24-25八年级下·山东泰安·期末）小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：00先出发去学校，走了一段路后，在途中停下来吃了早饭，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程和小明所用时间的关系图，则下列说法中正确的是_________．①小明吃早饭用时；②小华到学校的平均速度是；③小明跑步的平均速度是；④小华到学校的时间是7：05．    【答案】①②③ 【分析】观察图像，根据路程、速度、时间之间的关系依次判断即可． 【详解】由图知小明从家出发，第8分钟至第13分钟在吃早饭，因此小明吃早饭用了5分钟，故①正确； 由图知小华从家到学校的路程为1200米，用时分钟，因此小华到学校的速度为，故②正确； 由图知小明从第13分钟至第20分钟跑步到学校，用时分钟，跑的路程为米，因此小明跑步的速度为，故③正确； 由图知小华到学校的时间为7：13，故④错误． 故答案为：①②③ 【点睛】本题主要考查了用图像法表示变量之间的关系，读懂题意，能从所给图像中获取信息是解题的关键． 3．（24-25七年级下·广东深圳·期末）小亮骑自行车去上学，当他以往常的速度骑行至点A处时，忽然想起要买某本书，于是又折回到刚经过的一家书店，买到书后继续赶去学校．以下是他本次上学离家距离与时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： (1)图象所表示的两个变量中，自变量是 ；因变量是 (2)小亮家到学校的距离是 米；本次上学途中，小亮一共骑行了 米； (3)点A的实际意义是什么？ (4)如果小亮不买书，以往常的速度去学校，从家到学校需要多少分钟？ 【答案】(1)时间；离家距离 (2)； (3)点A的实际意义是“骑行6分钟时到A处，离家距离为米” (4)分钟 【分析】本题主要考查了函数图象、行程问题等知识点，利用函数图象获取正确信息是解题关键． （1）根据函数的定义解答即可； （2）根据图象，路程的最大值即为小亮家到学校的距离；分开始行解答； （3）根据题意可得点A的实际意义即可解答； （4）利用路程速度时间求解即可． 【详解】（1）解：图象所表示的两个变量中，自变量是时间，因变量是离家距离． 故答案为：时间，离家距离． （2）解：小亮家到学校的距离是米； 本次上学途中，小亮一共骑行了：（米）． 故答案为：，． （3）解：点A的实际意义是骑行6分钟时到达A处，离家距离为米． （4）解：（米/分）， （分钟）， 所以小亮以往常的速度去学校，需要分钟． 【经典例题五 求自变量的值或函数值】 【例1】（24-25八年级下·福建厦门·期中）下列函数的图象经过点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数图象上点的坐标特点，将点代入各个函数解析式进行判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、当时，，满足函数，符合题意； 、当时，，不满足函数，不符合题意； 、当时，，不满足函数，不符合题意； 、当时，，不满足函数，不符合题意； 故选：． 【例2】（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值为2时，输出的值为1，则输入的值为4时，输出的值为________． 【答案】7 【分析】本题考查了函数值，分类讨论思想，根据输入的值为2时，输出的的值为1求出的值是解答关键. 利用输入的值为2时，输出的的值为1求出，再将代入计算求解. 【详解】解：当时，， ， 当时，. 故答案为：7. 1．（24-25八年级下·河北邢台·月考）按照如图所示的程序计算函数y的值时，若输入x的值是3，则输出y的值是，若输入x的值是1，则输出y的值是（    ）    A．−3 B．−2 C．0 D．2 【答案】B 【分析】直接利用已知代入得出b的值，进而求出输入1时，得出y的值． 【详解】解：∵当输入x的值是3，输出y的值是， ∴，解得：， 故输入x的值是1时，． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了求函数值，正确得出b的值是解题关键． 2．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加．根据小球速度（单位：）关于时间（单位：）的函数关系，第时小球的速度为______． 【答案】 【分析】本题考查了求函数值，根据小球速度（单位：）关于时间（单位：）的函数关系为，将代入求值即可，解题的关键是正确列出函数关系式． 【详解】解：由题意，得， 当时，， 故答案为：． 3．（25-26八年级下·吉林长春·月考）如图，长方形，，，，E为边的中点，P为长方形边上的动点，动点P从A出发，沿着运动到E点停止，设点P经过的路程为x，的面积为y．           (1)当时，对应________；当时，对应________；当时，对应________； (2)当点P在边上时，________； 当点P在边上时，________； 当点P在边上时，________．（分别用含x的代数式表示） (3)若时，求出相对应的x值． 【答案】(1)8；14；4 (2)；； (3)或 【分析】（1）找到对应的点的位置，求出的面积即可； （2）设定对应的点的位置，用x表示出的面积即可； （3）分点P在边上，点P在边上，点P在边上三种情况，根据（2）的结论即可求解． 【详解】（1）解：当时，点在上，， ∴， ∴当时，对应； 当时，如图，点在上，，则， ∵E为边的中点， ∴， ∴， ∴当时，对应； 当时，如图，点在上，，则， ∴， ∴当时，对应； 综上所述，当时，对应；当时，对应；当时，对应． （2）解：当点P在边上时，如图，， ∴． ∴当点P在边上时，即时，； 当点P在边上时，如图，， ， ∴当点P在边上时，即时，； 当点P在边上时，如图，，则， ∴， ∴当点P在边上时，即时，； 综上所述，当点P在边上时，；当点P在边上时，；当点P在边上时，． （3）解：当点P在边上时，由（2）可知，则， ∴； 当点P在边上时，由（2）可知，则， ∴，不符合题意，舍去； 当点P在边上时，由（2）可知，则， ∴． 综上所述，当时，x值为或． 【经典例题六 函数解析式】 【例1】（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，一个长方形菜园，其中一边为足够长的墙，另外三边用一根长的篱笆围成（接口处忽略不计）．设边的长为，边的长为，则与的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求函数解析式，解题的关键是理解题意，熟练掌握矩形周长公式． 根据矩形周长公式写出y与x之间的函数关系式即可． 【详解】解：∵三边总长恰好为， 设边的长为，边的长为， ． 故答案为：B． 【例2】（24-25七年级下·四川成都·期末）甲，乙两车分别从，两地沿直路同向匀速行驶，两车相距（单位：）与行驶时间（单位：） ）的部分对应值如表，则与的对应关系可用关系式表示为__________________________． 时间 两车相距 【答案】 【分析】本题考查函数关系式，解题关键是理解表格中数据的变化规律．根据表格可得时，，时间每增加，两车的相距对应减少，由此可得与的关系式． 【详解】解：由题意可得：时，，时间每增加，两车的相距对应减少， ， 故答案为：． 1．（24-25八年级上·江西吉安·期末）如图，直线l与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，P在线段上（不包括端点），过点P作轴于D，轴于E，四边形的周长为8，则直线l的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查列函数关系式．设 P点坐标为，由坐标的意义可知 ，，根据围成的图形的周长为8，可得到 x、y之间的关系式． 【详解】解：如图，过点分别作轴，轴，垂足分别为、， 设点坐标为， 点在第一象限， ，， 四边形的周长为8， ， ， 即该直线的函数表达式是， 故选择：C． 2．（24-25八年级下·河北承德·期末）如图，长为32米，宽为20米的长方形地面上，修筑宽度均为x米的两条互相垂直的小路（图中阴影部分），其余部分作耕地，如果将两条小路铺上地砖，选用地砖的价格是60元/米．    （1）写出买地砖需要的钱数y（元）与x（米）的函数关系式为______（不要求写自变量的取值范围）； （2）当时，地砖的费用为______元． 【答案】 8820 【分析】（1）先求出小路的面积，然后根据买地砖需要的钱数小路的面积每平方米地砖的价格，进行计算即可解答； （2）把代入（1）中所求的关系式进行计算即可解答． 【详解】（1）由题意得：两条小路的面积为：米， ， 故答案为：； （2）当时，（元， 答：当时，地砖的费用为8820元． 【点睛】本题考查了函数关系式，根据题目的已知条件结合图形求出小路的面积是解题的关键． 3．（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）乐乐参观昆虫科普展的过程中拍了很多照片，他计划将照片打印出来制作纪念册，已知打印照片所需费用（单位：元）与打印照片的数量（单位：张）之间的关系如下表所示： 打印照片的数量/张 费用/元 1元/张 超出50张的部分打八折 (1)自变量是_______________________，因变量是_______________________； (2)当时，请写出打印照片所需费用与打印照片的数量之间的关系式； (3)若乐乐最终付款90元，则他打印了多少张照片？ 【答案】(1)打印照片的数量，打印照片所需费用； (2)； (3)当乐乐最终付款90元时，他打印了100张照片． 【分析】本题考查了自变量与因变量的定义，分段函数的解析式，根据函数值求自变量的知识点，掌握分段函数的分析方法和列方程求解是解题的关键． （1）根据自变量和因变量的定义判断； （2）分前50张和超出50张的部分分别计算费用，再合并得到关系式； （3）先判断费用对应的区间，再代入对应关系式列方程求解． 【详解】（1）解：自变量是打印照片的数量，因变量是打印照片所需费用． （2）解：当时，． 故打印照片所需费用与打印照片的数量之间的关系式为； （3）解：由表格信息可知，当时，． 因为，所以， 所以将代入， 得，解得． 故当乐乐最终付款90元时，他打印了100张照片． 【经典例题七 函数图象识别】 【例1】（2026八年级下·湖北武汉·专题练习）匀速地向一个如图所示的容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t变化的图象（草图）大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将时间和水面高度的变化特点分析出来，并在图象上表示出来即可． 【详解】解：随着时间的增加水面高度上升，其速度最快，其图象最陡，再随着时间的增加水面高度增加，速度最慢，其图象最平缓，然后随着时间的增加水面高度增加，其速度是两者之间，陡缓趋势介于两者之间，所以B符合题意． 【例2】（24-25八年级下·山东烟台·期末）小明和小英一起去上学．小明觉得要迟到了，就跑步上学，一会跑累了，便走着到学校；小英开始走着，后来也跑了起来，直到在校门口赶上了小明，问：如图四幅图像中，第______幅描述了小明的行为（填序号）．             【答案】② 【分析】根据题意可得小明先跑后走，速度先快后慢，结合图象逐个进行分析即可． 【详解】解：①随着时间推移，路程没有变化，则速度为0，不符合题意； ②由图可知，速度先快后慢，符合题意； ③随着时间推移，路程均匀变大，则速度没有发生变化，不符合题意； ④由图可知，速度先慢后快，不符合题意； 故答案为：②． 【点睛】本题主要考查了从函数图像获取信息的能力，熟练运用数形结合思想是解本题的关键． 1．（2025·江苏常州·模拟预测）如图是某企业年月份总产量（即前个月产量之和）与时间（月）的函数图象，则下列图像中能大致反映每个月产量增长速度的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据总产量（即前个月产量之和）与时间（月）的函数图象分析出每个月产量增长速度变化情况，确定符合的图象即可． 【详解】解：观察函数图象可知，总产量在月，每个月产量增长速度由快变缓，在月，每个月产量保持不变，不再增加，能大致反映每个月产量增长速度的是C选项的图象． 2．（24-25八年级下·上海长宁·课后作业）如图四个图象近似地刻画了两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应，正确的排序为_____________（填序号）． ①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系）； ②向锥形瓶（上小下大）中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）； ③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系）； ④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）．    【答案】③②④① 【分析】本题主要考查了函数的图象，解题的关键是了解两个变量之间的关系，①一辆汽车在公路上匀速行驶，汽车行驶的路程与时间成正比例关系；②向锥形瓶中匀速注水，水面的高度一开始随注水时间的增加较慢，后来变快；③将常温下的温度计插入一杯热水中温度计的读数一开始较快，后来变慢；④一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低．据此可以得到答案． 【详解】解：图1表示：③将常温下的温度计插入一杯热水中温度计的读数一开始较快，后来变慢；图2表示： ②向锥形瓶中匀速注水，水面的高度一开始随注水时间的增加较慢，后来变快；图3表示： ④一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低； 图4表示：①一辆汽车在公路上匀速行驶，汽车行驶的路程与时间成正比例关系， 故图象顺序为：③②④①， 故答案为：③②④①． 3．（24-25八年级下·上海长宁·课后作业）“漏壶”是一种古代计时器．在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出．壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度．下页哪个图象适合表示y与x的对应关系？（不考虑水量变化对压力的影响．） 【答案】图（2） 【分析】根据题意，可知y随x的增大而减小，符合一次函数图象，从而可以解答本题． 【详解】解：∵不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度， ∴y随x的增大而匀速的减小，符合一次函数图象， ∴图象（2）适合表示y与x的对应关系． 【点睛】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【经典例题八 从函数的图象获取信息】 【例1】（2026·贵州六盘水·一模）如图是物理课上测量长方体铜块的体积实验，借助外力将铜块从离液面一定高度匀速放入烧杯直至底部静置一段时间．下列哪幅图象可以近似的刻画出液面高度h与铜块被放入时间t的关系（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：1.初始阶段：铜块还没接触液面时，液面高度保持不变，对应图象是一段水平的直线； 2.铜块浸入阶段：铜块开始浸入液体，排开液体使液面上升；因为铜块是匀速放入的，所以液面高度匀速上升，对应图象是一段斜率为正的直线； 3.铜块完全浸没后：铜块继续向下放，但排开液体的体积不再变化，液面高度保持不变，对应图象又是一段水平的直线； 4.静置阶段：铜块沉底后，液面高度也不会再变化，图象保持水平； 所以，液面高度h与时间t的关系图象是：先水平→再上升→再水平； 观察四个选项，选项C符合题意． 【例2】（25-26八年级下·北京·月考）小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点出发，沿箭头所示方向经过点跑到点，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为（单位：秒），他与教练的距离为（单位：米），表示与的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的_____．（填四点之一） 【答案】 Q 【分析】观察函数图象，随的变化趋势是先增大，再减小，最后增大，且 时的函数值大于时的值，分别分析点、、、作为观察点时，小翔与观察点的距离变化情况，即可得出结论． 【详解】解：由图2可知，与的函数图象大致分为三段：先上升，再下降，最后上升，且起始点的纵坐标大于终点的纵坐标， 若观察点在点，小翔从到的过程中，他与点的距离等于半圆的半径，保持不变，图象应有一段水平线，与图2不符，故排除点； 若观察点在点，点与点关于点中心对称，则小翔在点和点时与点的距离相等，即和时值应相等，与图2不符，故排除点； 若观察点在点，小翔从到的过程中，他与点的距离逐渐减小，图象应一直下降，而图2最后一段是上升的，与图2不符，故排除点； 若观察点在点，小翔从出发运动到点时，距离先增大，再减小，从最右端经点运动到中点（点正上方）的过程中，距离逐渐减小，从中点运动到的过程中，距离逐渐增大，且点离点的距离大于点离点的距离，故起点值大于终点值，符合图2特征，则这个固定位置可能是点． 1．（2026·河南周口·一模）如图中的图象（折线）描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离（）和行驶时间之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法： ①汽车在行驶途中停留了；    ②汽车共行驶了； ③汽车回来时的平均速度是去时的2倍；    ④汽车自出发后至之间的行驶速度为． 其中正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据函数图象得到路程、速度、时间之间的关系，分别分析每一个选项即可． 【详解】解：，故汽车在行驶途中停留了，①正确； ，故汽车共行驶了，②正确； 汽车去时的平均速度为，汽车回来时的速度为，故汽车回来时的平均速度是去时的2倍，③正确； ，④正确， ∴正确的有4个． 2．（25-26六年级上·黑龙江大庆·期中）下图是妙想和笑笑参加米比赛的情况统计图． （1）( )先到达终点． （2）比赛中两人相距最远约为( )米． 【答案】 妙想； 【分析】本题考查了根据函数图象获取信息，解决本题的关键是由函数图象正确获取信息． 由图象可知，妙想跑完米用时分钟，笑笑跑完米用时分钟，妙想先到达终点；由图象可知，出发分钟时，两人相距最远，最远约为米． 【详解】解：由图象可知，妙想跑完米用时分钟， 笑笑跑完米用时分钟， 妙想先到达终点； 由图象可知，出发分钟时，两人相距最远，最远约为米． 故答案为：妙想；． 3．（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）如图，这是某地区一天的气温随时间变化的图象，根据图象回答，在这一天中： (1)气温是不是时间t（时）的函数？ (2)什么时候的气温最高，最高是多少？什么时候的气温最低，最低是多少？ (3)什么时候的气温处于上升趋势？ (4)什么时候的气温是？ 【答案】(1)气温是时间t（时）的函数 (2)14时的气温最高，是；4时的气温最低，是 (3)4时到14时的气温处于上升趋势 (4)8时、22时的气温是 【分析】（1）由函数的定义即可得出答案； （2）分别观察图象的最高点和最低点，即可得出答案； （3）气温不断上升，即图像呈上升趋势，即可得出答案； （4）找到y轴上的，其对应的x轴数据即气温是的时间； 【详解】（1）解：在气温T随时间t的变化过程中有两个变量T和t，并且对于t的每一个值，变量T都有唯一的值与它对应，符合函数的定义，所以气温是时间t（时）的函数． （2）解：最高气温：图象的最高点出现在时，对应的温度为． 最低气温：图象的最低点出现在时，对应的温度为． （3）解：从图中可以看出，在4时到14时之间，图象呈上升趋势，因此4时到14时的气温处于上升趋势． （4）解：在处画一条水平线，与图象交于两点，对应的时间为时和时． 因此，8时和22时的气温是． 【经典例题九 函数的三种表示方法】 【例1】（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）某航空公司规定，旅客可免费携带一定质量的行李，超出部分需另外收费，下表列出了乘客携带的行李质量x（千克）与其运费y（元）之间的一些数据： x（千克） 20 23 26 29 32 y（元） 0 90 180 270 360 若旅客携带了36千克的行李，他应该支付的运费为（    ） A．450元 B．480元 C．510元 D．600元 【答案】B 【分析】本题主要考查函数的表示方法，“当行李的质量超过20千克时，求出每千克需要支付的费用”是解题的关键． 由图表可知，当行李的质量超过20千克时，求出每千克需要支付的费用，即可求出答案． 【详解】解：由图表可知，当行李的质量超过20千克时，每千克需要支付的费用为（元）， 则（元）． 故选：B． 【例2】（24-25八年级·上海长宁·假期作业）农村“雨污分流”工程是“美丽乡村”战略的重要组成部分，我县某村要铺设一条全长为1000米的“雨污分流”管道，现在工程队铺设管道施工x天与铺设管道y米之间的关系用表格表示如下，则施工8天后，未铺设的管道长度为__米． 时间（x天） 1 2 3 4 5 … 管道长度（y米） 20 40 60 80 100 … 【答案】840 【分析】观察表格数据可得y=20x，可得施工8天后y的值，进而求出未铺设的管道长度． 【详解】解：观察表格数据可知： y＝20x， 当x＝8时，y＝160， 所以未铺设的管道长度为：1000﹣160＝840（米）． 故答案为：840. 【点睛】本题考查了函数的表示方法，解决本题的关键是根据表格数据表示函数． 1．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）小明和妈妈通过自驾去“花溪十里河滩”游玩，早上他们从贵安新区出发，匀速行驶一段时间后，途中遇到堵车原地等待一会儿，然后他们加快速度行驶，按时到达“十里河滩”．游玩结束后，他们自驾匀速返回．其中x表示小明和妈妈驾车从贵安新区出发后至回到贵安新区所用的时间，y表示他们离贵安新区的距离，下面能反映y与x的关系的大致图象是（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据匀速行驶路程逐渐增加，堵车时路程不变，加速行驶时路程迅速增加，返回时路程逐渐减少，可得答案． 【详解】解：A．匀速行驶路程逐渐增加，堵车时路程不变，加速行驶时路程迅速增加，返回时路程逐渐减少，故A符合题意； B．加速行驶时路程应迅速增加，故B不符合题意； C．参观时路程不变，故C不符合题意； D．返回时路程逐渐减少，故D错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了函数图象，理解题意是解题关键：匀速行驶路程逐渐增加，堵车时路程不变，加速行驶时路程迅速增加，返回时路程逐渐减少． 2．（24-25八年级下·上海长宁·课后作业）声音在空气中传播的速度y（米/秒）（简称音速）与气温之间的关系如下从表中可知音速y随温度x的升高而__________．在气温为的一天召开运动会，某人看到发令枪的烟秒后，听到了枪声，则由此可知，这个人距发令地点__________米． 气温（） 0 5 10 15 20 音速y（米/秒） 331 334 337 340 343 【答案】 加快 68.6 【详解】解：观察表中的数据可知，音速随温度的升高而加快； 当气温为时，音速为343米/秒，而该人是看到发令枪的烟秒后，听到了枪声． 则由此可知，这个人距发令地点（米）． 3．（24-25七年级下·山西晋中·期末）小明为了了解水温的变化规律，连续测量并记录一杯开水在室温下的温度变化情况，得到下表： 时间/min 0 5 10 15 25 35 45 55 65 70 温度/℃ 98 71 55 45 35 28 24 22 22 22 根据上表，回答问题： (1)室温大概是________℃； (2)你能描述在室温下开水温度随时间变化的特点吗？ (3)某种奶粉的适宜冲泡温度为42℃，小明想冲泡这种奶粉，水烧开后大约需要等多久？ 【答案】(1)22 (2)在室温下开水随时间的增加温度逐渐降低，最后与室温保持一致 (3)18分钟 【分析】本题考查用表格表示变量之间的关系， （1）根据表格可知从55min开始水温不在发生变化，此时水温约等于室温，即可得出结果； （2）根据表格数据描述特点； （3）结合表格数据分析求解． 【详解】（1）解：由表格可知，从55min开始水温不在发生变化，为22℃， ∴当天的室温大概是22℃； 故答案为：22． （2）解：由表格数据可得在室温下开水随时间的增加温度逐渐降低，最后与室温保持一致； （3）解：结合表格数据可得从15min至25min之间，平均每分钟温度降低1℃， ∴某种奶粉的适宜冲泡温度为42℃，小明想冲泡这种奶粉，水烧开后大约需要等18分钟． 【拓展训练一 函数图象中的动点问题】 【例1】（24-25八年级下·广东广州·期末）如图1，在中，，点是的中点，动点从点出发沿运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为，与的图象如图2所示，则的面积为（   ）    A．10 B．16 C．20 D．40 【答案】C 【分析】本题考查了与动点问题有关的两个变量间的图象关系：图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是求出和的长．由图象可知：当时，等于4，由此可得出的长，进而得出的长；当时，面积最大，且面积发生转折，此时点和点重合，可得，由直角三角形的面积公式求出面积即可． 【详解】解：由图象可知：当，即时， ∴，即， 解得， 点是的中点， ， 当时，面积发生转折，此时点和点重合， ， 在中，，，， ． 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在正方形中，，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段运动，同时动点N从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段运动，当点N运动到点D时，点M，N同时停止运动，设的面积为y，运动时间为x（s），请写出y与x之间函数关系式______．    【答案】 【分析】根据点N的运动情况，写出y和x之间的函数关系式即可. 【详解】解：当点N在运动时， ∵， ∴， ∵动点M以每秒1个单位长度的速度沿线段运动，动点N以每秒2个单位长度的速度沿线段运动， ∴，， ∴， 故答案为：. 【点睛】本题是运动型综合题，考查了函数表达式、正方形的性质、三角形的面积等知识点.解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程. 1．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，且，，点是线段上一个动点，由向以移动，运动至点停止，则的面积随点的运动时间之间的关系式为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据是一个动点，由向以匀速移动，求出的底，即可求得的面积随点的运动时间之间的关系式． 【详解】解：是一个动点，由向以匀速移动， ， ， ； 故选：C． 【点睛】本题考查了函数关系式，求出的底是解题的关键． 2．（24-25八年级下·上海虹口·期中）如图，动点P从O点出发，匀速沿着线段、半圆弧，线段返回到出发点O，动点P与出发点O的距离y（厘米）与时间t（秒）之间的函数图像如图所示，根据图像解决下列问题：(π取3) (1)半圆O的半径是_______厘米；点P的运动速度_______厘米/秒． (2)求a的值； (3)当点P运动到点C处时，遇到障碍停止了2秒，停止后运动速度不变，求： ①b的值； ②求图像中F点的坐标，并解释F点坐标的实际意义． 【答案】(1)6；2 (2)12 (3)①17；②；点P运动时间16秒时到达C点，此时距离O点 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由函数图象可得动点从点出发，经过秒到达点，与点的距离为， 之后到处发秒，点与点的距离一直为，说明这时点在半圆弧上运动，由此即可得解； （2）先求出半圆弧的长为厘米，再求出点在半圆弧上运动的时间为秒，即可得解； （3）当点运动到点处时，遇到障碍停止了秒，然后继续以原来的速度运动，结合函数图象计算即可得解；②先求出当点运动到点处时，的长，从而可得点的横坐标为，即可得解． 【详解】（1）解：由函数图象可得：动点从点出发，经过秒到达点，与点的距离为， 之后到处发秒，点与点的距离一直为，说明这时点在半圆弧上运动， ∴半圆O的半径是厘米，点P的运动速度（厘米/秒）； （2）解：由（1）可得：半圆O的半径是厘米，点P的运动速度2厘米/秒， ∴半圆弧的长为（厘米）， ∴点在半圆弧上运动的时间为（秒）， ∴； （3）解：当点运动到点处时，遇到障碍停止了秒，然后继续以原来的速度运动， 由题意及函数图象可得：； ②由题意及函数图象可得：当点运动到点处时，（厘米）， ∴点的横坐标为， ∴图象中点的坐标为， 点坐标的实际意义是：点P运动时间16秒时到达C点，此时距离O点． 3．（25-26八年级下·上海虹口·期中）如图，在长方形中，动点从点出发，沿、、运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为，如果与的关系如图所示，则的长度______；的面积______． 【答案】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，采用数形结合的思想是解此题的关键． 按照几个关键位置，如点，点，并结合函数图象，可得的值及的值，再根据长方形的对边相等，可得的值，最后按照三角形的面积公式计算，得出的面积． 【详解】解：动点从点出发，沿、、运动至点停止， 而当点运动到点，之间时，的面积不变， 而由图象可知，时，开始不变，说明， 时，接着变化，说明， 的面积为： 故答案为：；． 【拓展训练二 根据图象中的信息解决问题】 【例1】（25-26八年级上·江苏扬州·月考）经科学家研究证实，蝉在气温超过时才会活跃起来，此时它会边吸树木的汁液边鸣叫．如图所示是某地一天的气温变化图象，在这一天中，听不到蝉的鸣叫的时间最多有（　　） A．10小时 B．22小时 C．8小时 D．12小时 【答案】D 【分析】根据图象，得到气温超过的时间为（小时），继而得到不鸣叫的时间为（小时），解答即可． 本题考查了图象的意义，时长的计算，熟练掌握图象的意义是解题的关键． 【详解】解：根据图象，得到气温超过的时间为（小时），继而得到不鸣叫的时间为（小时）． 故选：D． 【例2】（2026·山东济南·一模）人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人甲和乙从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，甲比乙先出发，且速度保持不变，乙出发一段时间后将速度提高到原来的3倍．设甲行走的时间为，甲和乙行走的路程分别为，，，与之间的函数图象如图所示，则甲给客人送餐需要_____s． 【答案】45 【分析】先求出乙送餐所用时间，进而求出点的坐标，求出甲机器人的速度，再进行计算即可． 【详解】解：由题意，乙机器人刚出发时的速度为， 则段乙机器人的速度为， ∴乙机器人送餐所用时间为， ∴点坐标为，即， ∴甲机器人的速度为， ∴甲给客人送餐需要． 1．（2026·河南洛阳·一模）某智能路灯的亮度调节电路图如图1所示，电源电压恒为，为定值电阻，为光照传感器，其阻值随光照强度（单位：）变化的关系如图2所示．当光照强度低于时，路灯自动开启，当光照强度达到时，路灯自动关闭，此时电流表的示数为．下列说法错误的是（   ）（温馨提示：电流表电阻忽略不计，在此串联电路中，） A．光照强度为时，电阻的阻值为 B．路灯处于关闭状态时，的阻值不大于 C．光照强度越强，的阻值越大 D．定值电阻的阻值为 【答案】C 【分析】根据函数图象即可判断A、C；根据函数图象可得光照强度越强，的阻值越小，且光照强度为时，的阻值为，据此可判断B；根据路灯自动关闭，此时电流表的示数为求出此时电路中的总电阻，进而求出定值电阻的阻值，则可判断D． 【详解】解：A、由函数图象可知，光照强度为时，电阻的阻值为，原说法正确，不符合题意； B、由函数图象可知，光照强度越强，的阻值越小，且光照强度为时，的阻值为，故路灯处于关闭状态，即光照强度不低于时，的阻值不大于，原说法正确，不符合题意； C、由函数图象可知，光照强度越强，的阻值越小，原说法错误，符合题意； D、，，则定值电阻的阻值为，原说法正确，不符合题意． 2．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图1，有甲乙两个圆柱形水槽，其中乙水槽内装有一定量的水，甲水槽内没有装水，且甲水槽中放有两个完全相同且底面为正方形的长方体铁块．现将乙水槽内的水匀速注入甲水槽中，两个水槽内的水深y（）与注水时间x（）的函数关系如图2所示，根据图象解答下列问题： （1）由点A、B坐标可知一个长方体铁块的体积为___； （2）若设注水速度为，甲水槽的底面积为S，则注水前乙水槽内装有水______． 【答案】 225 3600 【分析】本题考查了函数图象，二元一次方程组的应用． （1）根据函数图象可知长方体铁块的底面边长为，高为，根据长方体的体积公式计算即可； （2）根据函数图象可知，求出，根据乙水槽倒完水的时间为40秒即可求出乙水槽存水量． 【详解】解：（1）观察图1甲槽与图2两次转折点A、B，可知： 长方体铁块的底面边长为，高为， 体积为； （2）根据题意得：， 解得：． ∴注水速度为， ∵乙水槽倒完水的时间为40秒， ∴乙水槽存水量， 故注水前乙水槽内装有水． 3．（24-25七年级下·山东济南·期末）某景区内有小石潭、花圃、石塔三个景点（且三个景点在同一直线上），图1为三个景点之间的路线图．小明与小红均从小石潭出发，依次游览小石潭、花圃、石塔，最后原路返回至小石潭． 小明骑共享单车出发游览，小明到小石潭的距离与其出发时间之间的关系如图2所示． 景区内有一班游览车从小石潭发车，在小石潭与石塔之间匀速往返行驶（上下车时间忽略不计）．小红乘坐游览车出发，小红和游览车到小石潭的距离与其出发时间之间的关系如图3所示． (1)图2中的自变量是______，因变量是______． (2)小明从小石潭出发匀速骑行到花圃，在该路段小明的速度为______，在花圃游玩后，小明以的速度骑行至石塔，则小明在花圃游玩了______ (3)游览车的平均速度是______，若小红和游览车的出发时刻均为早上，则小红在早上______（填时刻）从花圃上车前往石塔． 【答案】(1)出发时间，小明到小石潭的距离 (2)300，20 (3)400， 【分析】（1）根据题意即可解题； （2）根据图2求出小明从小石潭到花圃的速度，进而解题； （3）由图3可知游览车往返花了20分钟，根据路程、速度、时间之间的关系计算即可． 【详解】（1）解：依据题意可知：图2中的自变量是出发时间，因变量是小明到小石潭的距离； （2）解：由图2可知，当时，小明到达花圃， ，即小明从小石潭到花圃的速度为； 当时，小明到达石塔， ， ，即小明在花圃游玩了； （3）解：由图3可知游览车往返花了20分钟， ； ， ， 小红在早上从花圃上车前往石塔． A基础训练 1．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）下列图形中的曲线不能表示是的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的概念，熟练掌握函数的自变量与函数的关系是解题的关键． 设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，据此即可解答． 【详解】解：A．中图象，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么是的函数，不符合题意； B．中图象，对于的每一个确定的值，不一定有唯一的值与其对应，那么不是的函数，符合题意； C．中图象，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么是的函数，不符合题意； D．中图象，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么是的函数，不符合题意． 故选：B． 2．（24-25八年级下·重庆九龙坡·期中）用如图所示的程序框图来计算函数y的值，当输入x为和7时，输出y的值相等，则b的值是（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了程序框图，一次函数的函数值．理解程序框图的运算规则是解题的关键． 当时，；当时，；由题意得，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，当时，； 当时，． 由题意得，， 解得． 故选：D． 3．（2025·广西·模拟预测）某水文局测得一组关于降雨强度和产汇流历时的对应数据如下表（注：产汇流历时是指由降雨到产生径流所经历的时间），根据表中数据，可得关于的函数解析式近似为（  ） 降雨强度 4 6 8 10 12 14 产汇流历时 18.0 12.1 9.0 7.2 6.0 5.1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数的关系式，通过表格中两个变量的对应值的变化关系，发现它们的乘积相等是正确解答的关键．根据表格中两个变量的对应值，探索两个变量的乘积，进而得出两个变量的函数关系式．通过计算降雨强度 I 与产汇流历时 t 的乘积，发现乘积近似为常数72，因此 t 与 I 成反比例关系 【详解】解：由表格数据：时 ，； 时 ，； 时 ，； 时 ，； 时 ，； 时 ，． ∵ I 与 t 的乘积近似常数72， ∴ t 与 I 成反比例关系，即， 故选：A． 4．（24-25七年级下·山东青岛·期末）五一假期，小明去游乐场坐了摩天轮，小明离地面的高度h（米）和他坐上摩天轮后旋转的时间t（分钟）之间的关系如图所示，已知摩天轮匀速转动，则下列说法正确的是（   ） A．自变量是小明离地面的高度h，因变量是小明坐上摩天轮后的旋转时间t B．摩天轮最低点距地面3米，最高点距地面9米 C．摩天轮转一周需要9分钟 D．当时，小明处于上升状态 【答案】D 【分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，正确认识图象，理解自变量和应变量是解题的关键． 根据函数图象，结合题意，逐一判断各选项，可得到结果． 【详解】解： A．根据图形，可得到自变量为小明坐上摩天轮后的旋转时间，因变量是小明离地面的高度，故原说法错误，此选项不符合题意； B．摩天轮最低点距地面3米，最高点距地面45米，故原说法错误，此选项不符合题意； C．摩天轮转一周需要6分钟，故原说法错误，此选项不符合题意； D．当时，小明离地面的高度越来越大，所以处于上升状态，故说法正确，此选项符合题意； 故选：D． 5．（2026·河南焦作·一模）游乐园里的大摆锤如图所示，图是它的简化模型．学校数学兴趣小组在摆锤第一次到达左侧最高点时开始计时，研究发现摆锤相对地面的高度（米）随时间（秒）变化的图象如图所示．下列说法错误的是（   ） A．摆锤运行过程中最低距地面米 B．摆锤运行过程中最高距地面米 C．摆锤运行过程中摆动一个来回需要秒 D．摆锤运行过程中从最高点摆动到最低点需要秒 【答案】C 【分析】先根据图像的最高点、最低点计算出摆锤的最高和最低地面高度，再通过周期判断摆动一个来回的时间，以及从最高点到最低点的时间，从而判断各选项的正误． 【详解】解：A：由图可知，摆锤高度的最小值为米， 即最低距地面米，正确； B：的最大值为米，即最高距地面米，正确； C：摆锤从A点出发再次回到A点需要秒，所以摆动一个来回需要秒，不是秒，错误； D：从最高点到最低点的时间是一个周期的四分之一，即秒，正确． B 提高训练 6．（24-25九年级上·山东济宁·期中）设表示关于的函数，若，且，那么______． 【答案】4 【分析】根据，把化为代入计算即可． 【详解】解：∵若，， ∴ ， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了函数的概念，能够把把化为是解题的关键． 7．（24-25八年级下·上海长宁·周测）下列各情境分别可以用下面哪幅图来近似刻画（填字母）？ （1）一面冉冉上升的红旗（高度与时间的关系）：________________． （2）匀速行驶的汽车（速度与时间的关系）：________________． （3）足球守门员一脚踢出去的球（高度与时间的关系）：________________． （4）一杯越晾越凉的水（水温与时间的关系）：________________． 【答案】 D B A C 【分析】主要考查了函数图象的读图能力，弄清楚变量之间变化关系是解题的关键． 确定两个变量之间的变化情况，逐次分析即可求解． 【详解】解：（1）一面冉冉上升的旗子，高度随着时间的增加而增加，故选D； （2）匀速行驶的汽车，速度始终不变，故选B； （3）足球守门员踢出去的球，球的高度先上升后下降，故选A； （4）一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低，最后趋于0°C，故选C；   故答案为：D，B，A，C． 8．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）高山地区海拔高，空气稀薄，所以大气压低于一个标准大气压，水的沸点随高原气压的减小而降低．下表是各个城市的海拔高度及水的沸点统计情况，请根据表中的数据，请写出y与x的关系式为______． 城市 A地 B地 C地 D地 海拔x（米） 0 300 600 1500 沸点y（度） 100 99 98 95 【答案】 【分析】本题主要考查确定函数关系式．根据表格得出相应规律，然后列出函数关系式即可． 【详解】解：由表得：海拔每上升米，沸点降低1度， ∴与的关系式为； 故答案为：． 9．（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，在长方形中，动点P从A出发，以相同的速度，沿方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y与x之间的关系如图所示，那么长方形的面积为 _____． 【答案】21 【分析】利用数形结合的思想进行求解． 【详解】解：由题意可知，当点P从点A运动到点B时，的面积不变，结合图象可知， 当点P从点B运动到点C时，的面积逐渐变小直到为0，结合图象可知， ∴长方形的面积为：． 10．（24-25八年级下·湖南湘西·期末）阅读下面材料：小明想探究函数的性质，他借助计算器求出了y与x的几组对应值，并在平面直角坐标系中画出了函数图象：小聪看了一眼就说：“你画的图象肯定是错误的．”请回答：小聪判断的理由是______．写出函数的一条性质：______． x … 1 2 3 … y … 2.83 1.73 0 0 1.73 2.83 … 【答案】 因为函数值不可能为负，所以在x轴下方不会有图象 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大（答案不唯一） 【分析】此题考查函数的表示方法：表格法和图象法，还考查了函数的性质：利用表格中x与y的对应值确定函数图象的位置及函数的性质，正确理解表格中自变量与函数值的对应关系，分析其变化规律是解题的关键. 根据表格函数值没有负数解答，根据表格的x与y的值得到增减性. 【详解】解：由表格可知：∵函数值不可能为负， ∴在x轴下方不会有图象， 性质：当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大， 故答案为：因为函数值不可能为负，所以在x轴下方不会有图象；当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大； C 培优训练 11．（24-25七年级上·山东菏泽·期末）一汽车油箱里有油，在行驶过程中，每小时耗油，回答下列问题： (1)在这一变化过程中，邮箱里剩下的油量和行驶的时间是_______，每小时的耗油量是_______； (2)①设汽车行驶的时间为，油箱里剩下的油为，请用含x的式子表示Q； ②这辆汽车最多能行驶多少小时？ 【答案】(1)变量；常量 (2)①．②这辆汽车最多能行驶16小时 【分析】本题考查函数的概念，列函数表达式，求自变量的值，属于基础题，关键是掌握函数的基础知识． （1）可以取不同的数值的量是变量，数值不变的量是常量，据此判定即可； （2）①根据（1）中的基本关系求解即可；②当油箱里剩下的油为0时，汽车就不能行驶了，因此令，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：这一变化过程中，邮箱里剩下的油量和行驶的时间是变量，每小时的耗油量是常量； （2）解：①由题意，得： ②当时，有， 解得： 即这辆汽车最多能行驶16小时． 12．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，根据程序计算函数值． (1)当输入的x的值是时，输出的结果y是多少？ (2)当输入的x的值是多少时，输出的结果y是？ 【答案】(1) (2)6或 【分析】本题考查了分段函数． （1）由将代入计算即可； （2）根据平方的非负性可知输入的x的取值范围不可能为，将代入其他两段函数计算即可． 【详解】（1）把代入，得； （2）∵输出值为， ∴输入的x的取值范围不可能为， ∴对于，当时，； 对于，当时，． ∴输入的x的值是6或． 13．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，的底边，当边上的高由小到大变化时，的面积也随之发生了变化． (1)在这个变化过程中，自变量是____________，因变量是____________； (2)如果边上的高为，请写出的面积与高的关系式：____________； (3)当边上的高由变到时，的面积怎么变化？ 【答案】(1)边上的高；的面积 (2) (3)由变化到 【分析】本题主要考查了函数的相关概念、列函数关系式、三角形的高等知识点，求得函数关系式成为解题的关键． （1）的面积也随高线的变化而变化，因而边上的高是自变量，的面积是因变量； （2）根据三角形的面积公式求解即可； （3）求出和两种情况的函数值即可求得面积的变化范围． 【详解】（1）解：∵的面积也随高线的变化而变化， ∴边上的高是自变量，的面积是因变量． 故答案为：边上的高；的面积． （2）解：由三角形的面积公式可得： 故答案为：． （3）解：当时，的面积为； 当时，的面积为； 所以的面积由变化到． 14．（24-25八年级下·山东泰安·期末）将若干张长的长方形纸条，按如图所示的方法粘合成长纸条，粘合部分的宽为． (1)将表格补充完整： 纸的张数 1 2 3 4 …… 10 …… 纸条的长度 40 116 154 …… …… (2)设张纸粘合后的纸条长为． ①直接写出与间的表达式： ； ②将50张纸粘合后的纸条长为 ； ⑧小明能否用这样的小纸条粘合出长为的纸条，若能，通过计算说明至少需要多少张这样的长方形纸，若不能，请说明理由． 【答案】(1)78，382 (2)①；②；③能，至少需要70张这样的长方形纸 【分析】本题考查了函数关系式，理解纸条的粘贴规律是解此题的关键． （1）根据纸条的粘贴规律进行计算即可； （2）①根据纸条的粘贴规律进行计算即可；②把代入①中的函数关系式计算即可；③把代入①中的函数关系式计算即可． 【详解】（1）解：当纸的张数为张时，纸条的长度为， 当纸的张数为张时，纸条的长度为， 补全表格如下： 纸的张数 1 2 3 4 …… 10 …… 纸条的长度 40 78 116 154 …… 382 …… （2）解：①由题意可得：； ②当时，； ③能，理由如下： 当时，， 解得：，即至少需要70张这样的长方形纸． 15．（24-25八年级下·上海虹口·课后作业）如图①，数轴上点O表示的数是0，点A表示的数是，点B是数轴上一动点，表示的数是x，它与点A之间的距离AB用y表示． (1)填写下表，在如图②所示的平面直角坐标系内画出y关于x的图象； x … 1 2 … y … … (2)下列说法正确的是________（填序号）． ①变量x是变量y的函数；②y随x的增大而减小；③图象经过第一、二、三象限；④当时，y有最小值． 【答案】(1)见解析 (2)④ 【分析】本题考查两点之间距离，函数图象及性质，熟练掌握是解决本题的关键． （1）根据表格中得数据描点画图即可； （2）观察图象即可； 【详解】（1）解：填表如下，画图如下： （2）解：∵变量取一个数值，变量有两个数值与之对应，不符合函数定义，故①不正确； ∵在所画图象中，随的增大而减小和增大均有，故②不正确； ∵距离不为负数，即不经过第三象限，故③不正确； ∵通过观察图象可知，当时，有最小值，故④正确； 故答案为：④． 学科网（北京）股份有限公司 $