精品解析：湖南省长沙市雅礼集团2025-2026学年下学期九年级期中检测试卷 数学科目

2026年上学期九年级期中检测试卷 数学科目 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. 0 B. C. 3.14 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，对各选项判断即可． 【详解】解：A．是整数，是有理数； B．是无限不循环小数，符合无理数定义，是无理数； C．是有限小数，是有理数； D．是分数，是有理数． 2. 下列以数学家名字命名的图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，逐项分析求解即可． 【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，不符合题意； B．该图形不是轴对称图形，不符合题意； C．该图形是轴对称图形，符合题意； D．该图形不是轴对称图形，不符合题意． 3. 最新数据显示，长沙市2025年总量为亿元，在全国29座万亿城市中排名第15位．数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，解题时先将以“亿”为单位的数转换，再按科学记数法的规则改写即可． 【详解】解：亿． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、合并同类项、平方差公式、积的乘方，逐一计算判断即可． 【详解】解：选项A，根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∵ ，故A错误； 选项B，根据合并同类项法则：合并同类项时，系数相加，字母和指数不变， ∵ ，故 B错误； 选项C，根据平方差公式计算， ∵ ，故 C错误； 选项D，根据积的乘方法则：积的乘方等于各因式分别乘方，幂的乘方底数不变，指数相乘， ∵ ，等式成立，故 D正确． 5. 初三年级6名教师某周使用人工智能（AI）备课的次数分别为：3，4，5，7，6，5．关于这组数据，下列说法正确的是（ ） A. 平均数是6 B. 中位数是6 C. 众数是5 D. 极差是3 【答案】C 【解析】 【分析】先将数据排序，再依次计算各统计量，即可判断选项． 【详解】解：将原数据从小到大排序得：， 平均数：，故选项A错误； 中位数：共个数据，中位数为第、第个数据的平均数，即，故选项B错误； 众数：数据中出现的次数最多，为次，众数是，选项C正确； 极差：极差最大值最小值，故选项D错误． 6. 如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“炮”所在位置的坐标为，则“車”所在位置的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为“炮”所在位置的坐标为，可知每个小方格的边长为，则“車”所在位置的坐标为． 7. 函数是（ ） A. 正比例函数 B. 一次函数 C. 二次函数 D. 反比例函数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是掌握反比例函数的一般形式．函数符合反比例函数的形式，其中． 【详解】解：∵正比例函数一般形式为，一次函数一般形式为，二次函数一般形式为，反比例函数一般形式为， 又∵题目给出的函数符合反比例函数的定义，不符合其余三类函数的定义， ∴该函数是反比例函数， 故选：D． 8. 如图是用尺规作图“作一个角等于已知角”，通过判定得到，其中判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，作一个角等于已知角；实际上作的是三边对应相等，根据三边对应相等两三角形全等，全等三角形的对应角相等可知所作的角等于已知角． 【详解】解：由作图痕迹得：， ∴， ∴． 故选：D． 9. 如图，是的弦，半径于点D．若，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由垂径定理得到，由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵半径于点D， ∴， 由圆的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴． 10. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数轴上点的位置得到，，进而推出，，由此即可得到答案． 【详解】解：由数轴，得 ，，故A错误，B正确， ∴，，故C，D错误． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】观察多项式，提取公因式即可完成因式分解． 【详解】解：． 12. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次根式有意义的条件，解题关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 由二次根式有意义的条件：被开方数必须大于或等于零即可得解． 【详解】解：由二次根式有意义的条件，得被开方数 ， 解得 ． 故答案为：． 13. 已知关于x的方程的一个根是1，则m的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，解题的关键是利用方程的根满足方程这一性质，将代入方程即可求解． 【详解】解：关于的方程的一个根是1， 将代入方程，得 解得，， 故答案为：1． 14. 如图，在菱形中，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据“菱形的四条边相等”，可知，结合“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”，可证明为等边三角形． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴． 又， ∴为等边三角形． ∴． 15. 圆锥的底面半径为4，母线长为6，则圆锥的侧面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，解题的关键是掌握圆锥侧面积公式． 圆锥底面半径，母线长，代入公式． 【详解】解：圆锥的底面半径，母线长， 圆锥的侧面积， 故答案为：． 16. 某中学三月份迎来了“数学学科节”，同学们都积极参与其中，各种活动精彩纷呈．其中小南、小雅、小星、小辰四位同学分别参加了①幻方探秘、②趣味数独、③玩转魔方、④数字转换器这四个项目，每人只能参加一个项目且四人参加的项目互不相同．已知小南参加了趣味数独、玩转魔方中的一个，小雅参加了幻方探秘、趣味数独中的一个，小星参加了幻方探秘、玩转魔方中的一个，参加趣味数独的是小南或小辰中的其中一个，请你按顺序写出小南、小雅、小星、小辰分别参加的项目名称所对应的数字编号______． 【答案】②①③④ 【解析】 【分析】本题考查了逻辑推理能力，解题的关键是从"参加趣味数独的是小南或小辰"这一条件入手，结合每人参加项目的限制条件进行排除推理．由小南参加②或③，小雅参加①或②，小星参加①或③，且趣味数独②是小南或小辰，若小南参加②，则小雅只能参加①，小星只能参加③，小辰参加④，符合所有条件；若小辰参加②，则小南参加③，小雅参加①，小星只能参加①，与小雅冲突，故小南参加②． 【详解】解：由题意，小南参加②或③，小雅参加①或②，小星参加①或③， ∵参加趣味数独②的是小南或小辰， 若小南参加②，则小雅只能参加①，小星只能参加③，小辰参加④， 此时四人项目分别为②、①、③、④，互不相同，符合题意； 若小辰参加②，则小南参加③，小雅参加①，小星只能参加①或③，但此时项目①和③均已被选，导致小星无项可选，与题意矛盾，不符合题意； ∴小南、小雅、小星、小辰分别参加的项目为②、①、③、④， 故答案为：②①③④． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握二次根式化简、特殊角三角函数值、负整数指数幂及零指数幂的运算法则．先化简,再进行加减运算. 【详解】解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中a从、0、1中选择一个合适的数代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】先将括号里的分式通分，计算分式的加法后，再将除法转化为乘法，约分化简，最后选一个使所给分式有意义的数代入计算． 【详解】解：原式 ， ， 据题意可知，a只能取0． ∴当时，原式． 19. 坐落于长沙橘子洲头的毛泽东青年艺术雕塑，以1925年青年时期毛泽东形象为艺术原型，突出表现伟人青年时代胸怀大志，风华正茂的气概，该雕塑通过伟人文化为名洲增色，是红色之洲的代表作．某校九年级学生在数学实践活动课时对该雕塑的高度进行了测量．如图，在点C处用测角仪测得雕塑顶部A的仰角为，向远离雕塑的方向走到达点D处，在点D处测得雕塑顶部A的仰角为．已知测角仪距地面的高，求雕塑的高度约为多少米？ (结果精确到．参考数据∶，，)． 【答案】雕塑的高度约为32米 【解析】 【分析】设的长为，分别解和，求出的值，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解∶由题意可知，，四边形和四边形都是矩形， ∴， 设的长为， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中， ， ∴， 即，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴． 答∶雕塑的高度约为32米． 20. 为落实国家“双减”政策，某中学开展了“音乐社团、体育社团、文学社团、美术社团”活动．该校从全校3000名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题 （1）参加问卷调查的学生共有_______人； （2）条形统计图中m的值为________，扇形统计图中a的度数为_______； （3）现从“文学社团”里表现优秀甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 【答案】（1）300 （2）55， （3） 【解析】 【分析】（1）的人数除以所占的比例求出总人数； （2）总数减去其他组的人数求出的值， 360 度乘以组人数所占的比例求出圆心角的度数； （3）画出树状图，利用概率公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：（人）， ∴参加问卷调查的学生共有 300 人． 【小问2详解】 解：由题意得：． 【小问3详解】 解：设甲、乙、丙、丁四名同学分别用表示， 根据题意可画树状图如下： 由上图可知，共有 12 种等可能的结果，符合条件的结果有 2 种， 故恰好选中甲、乙两名同学的概率为． 21. 如图，在中，D，E分别为，的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求AC的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理、矩形的判定与性质及勾股定理，解题的关键是利用中位线性质和平行关系证明矩形，再通过矩形性质和线段关系构造直角三角形求解． (1)中由分别为中点得，结合证平行四边形，再由得矩形， (2)中由矩形性质得，由中位线性质得，则，在中用勾股定理求，再 由为中点得． 【小问1详解】 解：分别为的中点， 是的中位线， ， ， 四边形是平行四边形， 又， ， 四边形是矩形； 【小问2详解】 解：， ， 由(1)知，是的中位线，四边形是矩形， ， ， 在中，， ， 为的中点， ． 22. 湖南省足球联赛（简称“湘超”）已圆满结束，但广大市民对足球的热情依然很高，体育中心附近商店销售的赛事文创产品也一直很受欢迎．某商店准备销售文创产品，用600元购进吉祥物“湘湘”，用900元购进吉祥物“超超”，“超超”购进单价是“湘湘”购进单价的2倍，“超超”的购进数量比“湘湘”的购进数量少30个． （1）该商店“湘湘”的购进单价为多少元？ （2）该商店将“湘湘”的售价定为10元/件，如果要使得总利润不低于1140元，那么“超超”的售价最低应定为每件多少元？ 【答案】（1）该商店“湘湘”的购进单价为5元 （2）“超超”的售价最低应定为每件16元 【解析】 【分析】（1）设“湘湘”的购进单价为x元，可得“超超”的购进单价为元，根据数量差为30个，列分式方程求解； （2）先算出两种吉祥物的购进数量，再设“超超”的售价为y元/件，根据总利润不低于1140元，列不等式求解． 【小问1详解】 解：（1）设“湘湘”的购进单价为x元，则“超超”的购进单价为元，根据题意列分式方程，得 ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：该商店“湘湘”的购进单价为5元． 【小问2详解】 解：“湘湘”的购进数量为件，则“超超”的购进数量为件，“超超”的购进单价为（元/件）， 设“超超”的售价为y元/件，根据题意列一元一次不等式，得 ， 解得． 答：“超超”的售价最低应定为每件16元． 23. 如图，中，，平分，O是上一点，经过点A、点M的分别交，于点E、点F． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，由角平分线的性质及等腰三角形的性质得，再由即可得，从而得与的位置关系是相切； （2）连接，证明即可； （3）连接，在中，由，设，则，从而，求得a的值，则可得，再由正弦函数关系即可求得的值． 【小问1详解】 证明： 如图，连接， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵为圆的半径， ∴与的位置关系是相切． 【小问2详解】 证明：如图，连接， ∵是圆的直径， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； 【小问3详解】 解：如图，连接， 由（1）知， 在中，， 设，则， ∴， 解得， ∴，， ∵为圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 在平面直角坐标系中，对于任意一点，我们不妨约定∶点的横，纵坐标的绝对值之和叫做点的轴距和，记为．例如点的轴距和为． （1）已知点在反比例函数的图象上，且点的轴距和为，求反比例函数的解析式； （2）已知点在一次函数的图象上，且点A的横坐标，点的轴距和为，点B在x轴上，为等腰三角形，求点B的轴距和； （3）已知二次函数的图象与一次函数的图象只有一个交点C，且点C在第一象限，点C的轴距和满足∶．将一次函数的图象向上平移6个单位后，与抛物线交于M，N两点，以线段为直径的圆恰好经过点C，设线段的中点为点H，求点H的轴距和． 【答案】（1） （2）或8或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据新定义，得到，进而得到，即可； （2）根据新定义，得到，进而求出的值，确定点坐标，设点B坐标为，分3种情况进行讨论求解即可； （3）先根据题意，求出的取值范围，点的坐标，设点M，N坐标为，，根据平移规则求出平移后的一次函数的解析式，联立抛物线与一次函数的解析式，得到对应的一元二次方程，根据根与系数的关系，得到，，根据圆周角定理结合勾股定理得到，进而求出的值，确定点的坐标，再根据新定义进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵，且 ∴， ∴， ∴ ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：由题意， ， ∴； ①当时，则 ，解得（舍去） ②当时，则，解得 ∴点A坐标为， ∴， 设点B坐标为， ∴，， ①当时，即，则． ②当时，则，解得（舍去）或，则． ③当时，则，解得，则． 综上得或8或． 【小问3详解】 解：联立，得， 由题意，方程有两个相等的解，即有两个相等实根， ∴， ∴， 设方程的两个根为，则，，， ∵点C在第一象限， ∴，即 ∴，， ∴点C坐标为， ∴， 又∵， ∴， 又∵，且， ∴， 设点M，N坐标为，， ∵将一次函数的图象向上平移6个单位后，得到， 联立，得， 故方程的两个根为，， ∴，， ∴，， ∵以为直径的圆恰好经过点C， ∴， ∴，即 ， ∵，， ∴， ， ， 化简得 又 ∴， ∴， ∵的中点H的坐标为，即， ∴． 25. 已知：内接于，，点E是上的一个动点． （1）如图1，若，的半径为2，求的长； （2）如图2，点E在劣弧上（不与点A、C重合），连接．若，求的度数； （3）如图3，已知，，点E在劣弧上（不与点B、C重合），与交于点D，在延长线上取一点G，连接，交于点H，．请判断的结果是否为定值，若是请求出其定值，若不是请说明理由． 【答案】（1） （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理可得，即可求解； （2）在上截取，连接，证明，可得，再证明为等边三角形，可得，从而得到，即可解答； （3）连接，并延长交于点N．设，根据等腰三角形的性质可得，在和中，分别求出， ，然后分两种情况：若与不共线时；若与共线时，即可求解． 【小问1详解】 解：连接，如图， ∵，， ， ∵的半径为2， ∴， ∴在等腰中，； 【小问2详解】 解：在上截取，连接，如图， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ， ∵， ， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ， ，即； 【小问3详解】 解：结论：，理由如下： 连接，并延长交于点N． 设， ∵， ∴，， 在中，， ， ∴， 在中， ， ∴， ①若与不共线时， 在中， ∵ ∴， 过点C作于点Q，于点H， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴，又， ∴， ∴； ②若与共线时， 同理， ∴， ∴， ∴， 解得（舍），， ∴， ∴； 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期九年级期中检测试卷 数学科目 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. 0 B. C. 3.14 D. 2. 下列以数学家名字命名的图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 最新数据显示，长沙市2025年总量为亿元，在全国29座万亿城市中排名第15位．数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 初三年级6名教师某周使用人工智能（AI）备课的次数分别为：3，4，5，7，6，5．关于这组数据，下列说法正确的是（ ） A. 平均数是6 B. 中位数是6 C. 众数是5 D. 极差是3 6. 如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“炮”所在位置的坐标为，则“車”所在位置的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 函数是（ ） A. 正比例函数 B. 一次函数 C. 二次函数 D. 反比例函数 8. 如图是用尺规作图“作一个角等于已知角”，通过判定得到，其中判定的依据是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的弦，半径于点D．若，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 10. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：______． 12. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为__________． 13. 已知关于x的方程的一个根是1，则m的值为______． 14. 如图，在菱形中，，，则的长为______． 15. 圆锥的底面半径为4，母线长为6，则圆锥的侧面积是______． 16. 某中学三月份迎来了“数学学科节”，同学们都积极参与其中，各种活动精彩纷呈．其中小南、小雅、小星、小辰四位同学分别参加了①幻方探秘、②趣味数独、③玩转魔方、④数字转换器这四个项目，每人只能参加一个项目且四人参加的项目互不相同．已知小南参加了趣味数独、玩转魔方中的一个，小雅参加了幻方探秘、趣味数独中的一个，小星参加了幻方探秘、玩转魔方中的一个，参加趣味数独的是小南或小辰中的其中一个，请你按顺序写出小南、小雅、小星、小辰分别参加的项目名称所对应的数字编号______． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中a从、0、1中选择一个合适的数代入求值． 19. 坐落于长沙橘子洲头的毛泽东青年艺术雕塑，以1925年青年时期毛泽东形象为艺术原型，突出表现伟人青年时代胸怀大志，风华正茂的气概，该雕塑通过伟人文化为名洲增色，是红色之洲的代表作．某校九年级学生在数学实践活动课时对该雕塑的高度进行了测量．如图，在点C处用测角仪测得雕塑顶部A的仰角为，向远离雕塑的方向走到达点D处，在点D处测得雕塑顶部A的仰角为．已知测角仪距地面的高，求雕塑的高度约为多少米？ (结果精确到．参考数据∶，，)． 20. 为落实国家“双减”政策，某中学开展了“音乐社团、体育社团、文学社团、美术社团”活动．该校从全校3000名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题 （1）参加问卷调查的学生共有_______人； （2）条形统计图中m的值为________，扇形统计图中a的度数为_______； （3）现从“文学社团”里表现优秀甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 21. 如图，在中，D，E分别为，的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求AC的长． 22. 湖南省足球联赛（简称“湘超”）已圆满结束，但广大市民对足球的热情依然很高，体育中心附近商店销售的赛事文创产品也一直很受欢迎．某商店准备销售文创产品，用600元购进吉祥物“湘湘”，用900元购进吉祥物“超超”，“超超”购进单价是“湘湘”购进单价的2倍，“超超”的购进数量比“湘湘”的购进数量少30个． （1）该商店“湘湘”的购进单价为多少元？ （2）该商店将“湘湘”的售价定为10元/件，如果要使得总利润不低于1140元，那么“超超”的售价最低应定为每件多少元？ 23. 如图，中，，平分，O是上一点，经过点A、点M的分别交，于点E、点F． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，，求的长． 24. 在平面直角坐标系中，对于任意一点，我们不妨约定∶点的横，纵坐标的绝对值之和叫做点的轴距和，记为．例如点的轴距和为． （1）已知点在反比例函数的图象上，且点的轴距和为，求反比例函数的解析式； （2）已知点在一次函数的图象上，且点A的横坐标，点的轴距和为，点B在x轴上，为等腰三角形，求点B的轴距和； （3）已知二次函数的图象与一次函数的图象只有一个交点C，且点C在第一象限，点C的轴距和满足∶．将一次函数的图象向上平移6个单位后，与抛物线交于M，N两点，以线段为直径的圆恰好经过点C，设线段的中点为点H，求点H的轴距和． 25. 已知：内接于，，点E是上的一个动点． （1）如图1，若，的半径为2，求的长； （2）如图2，点E在劣弧上（不与点A、C重合），连接．若，求的度数； （3）如图3，已知，，点E在劣弧上（不与点B、C重合），与交于点D，在延长线上取一点G，连接，交于点H，．请判断的结果是否为定值，若是请求出其定值，若不是请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $