第十章二元 一次方程组 复习课件 2025--2026学年人教版七年级数学下册

第十章　二元一次方程组 本章小结与复习 回顾与思考 1.什么是二元一次方程?什么是二元一次方程的解?什么是二(三)元一次方程组?什么是二(三)元一次方程组的解? 2.举例说明怎样用代入法和加减法解二元一次方程组 . “代入”与“加减”的目的是什么? 3.解三元一次方程组与解二元一次方程组有什么联系与区别?你能说一说“消元”的思想方法在解三元一次方程组中的体现吗? 4.提出一个实际问题，并用二元或三元一次方程组解决它，你能说一说用方程组解决实际问题的基本思路吗? 回顾与思考 要点梳理 1. 二元一次方程含有两个________________，且含有未知数的式子都是______，含有未知数的项的次数都是____. 未知数( x 和 y ) 整式 1 2. 含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作________________. 二元一次方程组 一、二元一次方程（组） 要点梳理 3. 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作_________________. 二元一次方程的解 4.一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作_____________________. 二元一次方程组的解 要点梳理 二、二元一次方程的解法 1. 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就可以把二元一次方程组转化为我们熟悉的_____________，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫作_________. 一元一次方程 消元思想 要点梳理 2. 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代人另一个方程，实现______，进而求得这个二元一次方程组的解.这种解二元一次方程组的方法叫作___________.简称代入法. 代入消元法 消元 3. 当二元一次方程组的两个方程中同未知数的系数_____________或_____时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解,这种解二元一次方程组的方法叫作___________.简称加减法. 加减消元法 互为相反数 相等 要点梳理 二元一次方程组 消元思想 代入消元法 加减消元法 转化 代入 求解 回代 写解 检验 变形 加减 求解 回代 写解 检验 要点梳理 考点一 二元一次方程与二元一次方程组的定义 例1 若 x2m-1 + 5y3n-2m = 7 是关于 x、y 的二元一次方程，则 m = ，n = . 2m - 1 = 1， 3n - 2m = 1. m = 1， n = 1. 1 1 关于 x、y 的二元一次方程 分析： 典例精讲 针对训练 1．下列方程组中，是二元一次方程组的是( ) A. B. C. D. D 【练一练】 2.已知方程 (m-3)x|n|-1 + = 0 是关于 x、y 的二元一次方程，求 m、n 的值. m = -3 n = 2 两个未知数系数不为 0 分析： 未知数系数是 1 m≠3，n≠-2 | n | - 1 = 1 m2 - 8 = 1 针对训练 考点二 二元一次方程与二元一次方程组的解 例2 已知 x = 1，y = -2 是关于 x、y 二元一次方程组 的解，求 a，b 的值. 解： 把 x = 1，y = -2 代入二元一次方程组得 a + 4 = 3， 1 + 2b = 4. 解得 a = -1，b = 1.5. ax - 2y = 3 x - by = 4 典例精讲 针对训练 1．若是关于x，y的方程组的解，则(a＋b)(a－b)的值为( ) A．15 B．－15 C．16 D．－16 B 【练一练】 2. 已知 x = 1，y = -2 满足 (ax - 2y - 3)2 + |x - by + 4| = 0，求 a + b 的值. 解：由题意可得 把 x = 1，y = -2 代入方程组可得 解得 a = -1，b = -2.5，则 a + b = -3.5. ax - 2y - 3 = 0， x - by + 4 = 0. a + 4 - 3 = 0， 1 + 2b + 4 = 0. 针对训练 考点三 代入消元法与加减消元法 例3 用代入法消元法解方程组 解： 由①可得 y = 3x - 7 . ③ 将③代入②得 5x + 2(3x - 7) = 8， 解得 x = 2. 把 x = 2 代入③得 y = -1. 由此可得二元一次方程组的解是 x = 2， y = -1. 3x - y = 7 ①， 5x + 2y = 8 ②. 例4 用加减消元法解方程组 由② - ①得 12 = y + 11，解得 y = 1. 把 y = 1 代入①得 3x + 3 = 4 - 16， 解得 x = -5. 由此可得二元一次方程组的解为 x = -5， y = 1. 解： 3(x+1) = 4(y -4)①， 3(x+5) = 5(y -1)②. 考点三 代入消元法与加减消元法 典例精讲 针对训练 1．(河南中考)方程组的解为 . 2．在平面直角坐标系中，点P(x，y)满足(5x－2y－10)2＋|3x＋2y－6|＝0，则点P的坐标是 ． (2，0) 【练一练】 针对训练 3.解下列方程组： 解：（1）② - ①，得 4y = 8，解得 y = 2. 将 y = 2 代入①，得 x - 2 = 1，解得 x = 3. 所以原方程组的解是 （2）由①，得 y = 4x - 6. ③ 将③代入②，得 x + 2（4x - 6）= -3， 所以原方程组的解是 解得 x = 1. 将 x = 1代入③，得 y = -2. 针对训练 (3) 解：①＋②，得4y＝12， 解得y＝3. 把y＝3代入②，得3－2x＝1， 解得x＝1. ∴原方程组的解是 (4) 解：由①×2，得8x＋6y＝28，③ ②×3，得9x＋6y＝66.④ ④－③，得x＝38. 把x＝38代入①，得4×38＋3y＝14. 解得y＝－46. ∴原方程组的解为 4. 已知 -4xm+nym-n 与 -2x7-my1+n 是同类项，求 m，n 的值. 解：由题意得 解得 m + n = 7-m， m - n = 1+n . m= 3 n = 1 针对训练 考点梳理 列二元一次方程组解应用题的一般步骤： 三、二元一次方程的应用 找等量关系 审题 设元 列方程组 解方程组 检验作答 2个未知数 根据等量关系 代入法 加减法 例5 把一些图书分给某班学生阅读，若每人分 3 本，则剩余 20 本；若每人分 4 本，则还缺 25 本. 这个班有多少学生？图书一共多少本？ 分析： 图书总数和学生总数一定，可以设学生人数为 x 人，图书总数设为 y 本. 典例精讲 解：设该班有 x 名学生，图书一共有 y 本，则 答：这个班有 45 名学生，图书一共有 155 本． 解得 y = 3x+20 ①， y = 4x -25 ②. x = 45 y = 155 典例精讲 针对训练 1．明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶．”设有好酒x瓶，薄酒y瓶． 【练一练】 针对训练 根据题意，可列方程组为( ) A. B. C. D. A 解：设该年级寄宿学生有 x 人，宿舍有 y 间.根据题意 答：设该年级寄宿学生有 514 人，宿舍有 85 间. 2.某校七年级安排宿舍，若每间宿舍住 6 人，则有 4 人住不下；若每间住 7 人，则有 1 间只住 3 人，且空余 11 间宿舍．问该年级寄宿学生有多少人？宿舍有多少间？ 6y + 4= x ①, 7(y -11-1) = x-3 ②. x = 514 y = 85 可得 解得 针对训练 针对训练 3．某市自来水收费实行阶梯水价，基本用水量为5 m3，超出5 m3的部分另收费．小芳说：“我家8月份用水10 m3，付水费25元．”小明说：“我家8月份用水14 m3，付水费37元．”该市自来水的基本水价为每立方米多少元？超出5 m3的部分每立方米收费多少元？ 针对训练 解：设该市自来水的基本水价为每立方米x元，超出5 m3的部分每立方米收费y元，根据题意得 即 解得 答：该市自来水的基本水价为每立方米2元，超出5 m3的部分每立方米收费3元． 针对训练 4．为拓展办学空间，某校的新食堂正在紧锣密鼓的装修，其中由甲、乙两个装修组同时铺设地面． (1)甲装修组每天比乙装修组多铺设20 m2，两组每天可共铺设地面80 m2，求甲、乙两个装修组每天各铺设地面的面积； (2)若两个装修组同时施工8天，共需要工时费35 200元，若甲组单独施工6天，乙组单独施工12天，共需要工时费34 800元，求甲、乙装修组施工一天各自的工时费． 针对训练 解：(1)设甲装修组每天铺设地面x m2，乙装修组每天铺设地面y m2，根据题意得 解得 答：甲装修组每天铺设地面50 m2，乙装修组每天铺设地面30 m2. 针对训练 (2)设甲装修组施工一天的工时费是m元，乙装修组施工一天的工时费是n元，根据题意得 解得 答：甲装修组施工一天的工时费是3 000元， 乙装修组施工一天的工时费是1 400元． 5．某市有甲、乙两个有名的乐团，这两个乐团决定向某服装厂购买演出服，已知甲乐团购买的演出服每套70元，乙乐团购买的演出服每套80元，两个乐团共75人，购买演出服的总价钱为5 600元． (1)甲、乙两个乐团各有多少人？ (2)现从甲乐团抽调a(a≥5)人，从乙乐团抽调b(b＞5)人，去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”，甲乐团每位成员负责3位小朋友，乙乐团每位成员负责5位小朋友，这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖．请写出所有的抽调方案． 针对训练 解：(1)设甲乐团有x人，乙乐团有y人， 由题意得解得 答：甲乐团有40人，乙乐团有35人． 针对训练 (2)由题意得3a＋5b＝65，∴b＝13－ a， ∵a≥5，b＞5，且a，b均为整数， ∴或 ∴共有两种方案：从甲乐团抽调5人，从乙乐团抽调10人或者从甲乐团抽调10人，从乙乐团抽调7人． 针对训练 要点梳理 三元一次方程组 概念 含未知数的项的次数都是 1 方程组中一共含有 3 个未知数 解法 化“三元”为“二元” 含有三个整式方程 消元 代入消元法 加减消元法 二元一次方程组 四、三元一次方程组 例6．方程组的解为 . 典例精讲 针对训练 1.解下列三元一次方程组： 2x+3z=-12， 3x-4y+5z=9， x+2y-4z=12； ① ② ③ （1） x+y-z=0， 2x-y+3z=2， x-4y-2z=-6 . ① ② ③ （2） 解:（1）③×2+②，得 5x-3z=33 ④ ①与④组成方程组 5x-3z=33. 2x+3z=-12， 解这个方程组，得 z=-6. x=3， 把x=3，z=-6代入③，得 y=-7.5 . 因此，这个三元一次方程组的解为 z=-6. x=3， y=-7.5， 探究新知 1.解下列三元一次方程组： 2x+3z=-12， 3x-4y+5z=9， x+2y-4z=12； ① ② ③ （1） x+y-z=0， 2x-y+3z=2， x-4y-2z=-6 . ① ② ③ （2） 解: （2）①+②，得 3x+2z=2 ④ ①×4+③，得 5x-6z=-6 ⑤ ④与⑤组成方程组 5x-6z=-6. 3x+2z=2， 解这个方程组，得 z=1. x=0， 把x=0，z=1代入①，得 y=1. 因此，这个三元一次方程组的解为 z=1. x=0， y=1， $