11.1 不等式（第1课时）课件 2024--2025学年人教版七年级数学下册

11.1 不等式（第1课时） 数学人教版（204）七年级下册 　　观察下图，圆和三角形的数量之间存在着怎样的关系？ 　　圆的数量________三角形的数量，即 9______7． 大于 ＞ 　　圆有 9 个，三角形有 7 个． 　　数量有大小之分，它们之间有相等关系，也有不等关系．现实世界和日常生活中存在大量涉及不等关系的问题．我们常常用等式（包括方程）研究相等关系，那么研究不等关系需要用什么？ 　　一辆汽车在高速公路上匀速行驶， 6:00 时汽车距前方的A 地 210 km，汽车要在 8:00 之前驶过 A 地，车速应满足什么条件？ 问题 　　思考：汽车在 8:00 之前驶过 A 地的意思是什么？ 　　从时间上看，汽车行驶 210 km（驶过 A 地）所用时间，必须在 6:00～8:00 这 2 h之内，即所用的时间不到 2 h． 　　从路程上看，汽车在 6:00～8:00 这 2 h 之内行驶的路程必须超过 210 km． 4 思考 　　从时间上看，汽车要在 8:00 之前驶过 A 地，就是以 x km/h 的速度行驶 210 km 的时间小于2 h， 即　　　． 路程 速度 　　设车速是 x km/h，如何用式子表示上面的两个不等关系？ 　　设车速是 x km/h，如何用式子表示上面的两个不等关系？ 思考 　　从路程上看，汽车要在 8:00 之前驶过 A 地，就是以 x km/h 的速度行驶2 h 的路程要超过 210 km， 即 2x＞210． 　　路程＝时间×速度＝2x ＞210 　　式子 和 2x＞210从不同角度表示了车速应满足的条件． 新知 　　观察下列式子： 9＞7，　　　，2x＞210． 　　它们有什么共同特点？ 　　用符号“＜”或“＞”表示不等关系的式子，叫作不等式． 新知 　　像 a＋2≠a－2 这样的式子是不等式吗？ 　　用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 　　注意：（1）“＜”是小于号，读作“小于”；“＞”是大于号，读作“大于”； “≠”是不等于号，读作“不等于”，表示“大于或小于”．这 3 个符号统称不等号． 　　（2）不等式中可以不含未知数，如“5＞3”． 　　有下列式子： 　　①－1＞－2；②3x＜－1；③x－3；④s＝vt；⑤3x－4＜2y； ⑥a2＋2＞0；⑦a2＋b2≠c． 　　其中是不等式的有____________．（只填序号） 　　解析： ③不是等式，也不是不等式；④用等号连接，是等式，不是不等式；①②⑤⑥⑦都是用不等号表示不等关系的式子，都是不等式． ①②⑤⑥⑦ 练习 判断一个式子是不是不等式，要把握两点： （1）是否含有不等号； （2）是否表示不等关系． 注意，一个式子是不是不等式与不等式是否成立无关． 归纳 　　对于不等式 2x＞210 而言， x 可以取 90 吗？110 呢？ 思考 　　解：当 x＝90 时， 2x＝180 ，不等式 2x＞210 不成立 ； 　　当 x＝110 时，2x＝220，不等式 2x＞210 成立 ． 新知 　　类比方程的解，你能说出什么叫作不等式的解吗？ 　　使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解． 　　与方程的解类似，使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解． 　　例如 110 是不等式 2x＞210 的解，而 90不是不等式 2x＞210的解． 思考 　　再取 x 的一些值试一试，看一看哪些是不等式 2x＞210 的解． x … 90 95 100 105 110 … 2x … 180 190 200 210 220 … 　　可以发现，当 x＞105 时，不等式 2x＞210 总成立；而当 x＜105 或 x＝105 时，不等式 2x＞210 不成立． 　　观察不等式 2x＞210 的解，它们都满足什么条件？ 13 　　这就是说，任何一个大于 105 的数都是不等式 2x＞210 的解，这样的解有无数个；任何一个小于或等于105 的数都不是不等式 2x＞210 的解． 　　因此，x＞105 表示了能使不等式 2x＞210 成立的 x 的取值范围． 　　我们称 x＞105 是不等式 2x＞210 的解集． 　　由上可知，在前面的问题中，汽车要在 8:00 之前驶过 A 地，车速应大于 105 km/h． 新知 　　一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集．求不等式的解集的过程叫作解不等式． 　　注意：（1）当不等式的解集只有一个解时，不等式的解集就是它的解． 　　（2）一个不等式一般有无数个解，但这并不意味着任何一个实数都是它的解． 　　除了用不等式 x＞105 表示不等式 2x＞210 的解集，还有其他表示方法吗？ 思考 用数轴表示． 　　回顾数轴的相关知识，并思考：如何在数轴上表示 x＞105 ？ 　　除了用不等式 x＞105 表示不等式 2x＞210 的解集，还有其他表示方法吗？ 思考 　　用数轴表示：在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，所以在数轴上表示不等式的解集时应牢记“大于向右画，小于向左画”． 注意：在表示 105 的点上画空心圆圈，表示解集不包含这个点所对应的数． 0 105 　　分析：这是一道用不等式表示数量关系的题目，关键是抓住表示不等关系的词语． 　　例1　用不等式表示下列不等关系： 　　（1）a 的一半与 3 的和大于 5； （2）x 的 3 倍与 1 的差小于 2； 　　（3）a 的一半与 1 的差是正数；（4）m 与 2 的差是负数． 找不等关系 用不等号表示 18 　　例1　用不等式表示下列不等关系： 　　（1）a 的一半与 3 的和大于 5； （2）x 的 3 倍与 1 的差小于 2； 　　（3）a 的一半与 1 的差是正数；（4）m 与 2 的差是负数． 　　（2）3x－1＜2． 　　（4）m－2＜0． 　　解：（1） ＋3＞5． 　　（3） －1＞0． 　　解决此类问题要把握两点：一是要用式子表示其中的相关量，二是要把其中表示不等关系的关键词找出来，并用不等号表示出不等关系． 归纳 　　例2　在 3，0，2，π，－2 中，是不等式 3x－1＞2 的解的有________个． 　　解析：把 x＝3 代入不等式 3x－1＞2 的左边，得 3x－1＝8＞2，所以不等式成立，故 x＝3 是不等式 3x－1＞2 的解．同理可知，x＝2， x＝π 也是不等式 3x－1＞2 的解． 　　把 x＝0 代入不等式 3x－1＞2 的左边，得 3x－1＝－1＜2 ，所以不等式不成立，故 x＝0 不是不等式 3x－1＞2 的解．同理可知，x＝－2 也不是不等式 3x－1＞2 的解． 3 判断一个数是不是不等式的解的基本方法 　　判断一个数是不是不等式的解，只需用这个数代替不等式中的未知数，看能否使不等式成立，若不等式成立，则该数是不等式的解；若不等式不成立，则该数不是不等式的解． 归纳 　　例3　直接写出不等式 2x＜6 的解集，并在数轴上表示出来． 　　解：不等式 2x＜6 的解集为 x＜3，原不等式的解集在数轴上的表示如图所示． －1 0 1 2 3 4 5 6 7 不等式的解集 不等式的概念 不等式的解 用不等式表示 用数轴表示 不等式及其解集 $$