精品解析：辽宁沈阳市回民中学2025-2026学年高一下学期4月月考数学试题

沈阳市回民中学2028届高一下学期4月月考 数学 试卷满分：150分 时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则角是（ ） A. 第一、二象限角 B. 第二、三象限角 C. 第二、四象限角 D. 第三、四象限角 【答案】B 【解析】 【详解】由已知， 若，则是第一、二象限角；若，则是第三、四象限角. 若，则是第一、三象限角；若，则是第二、四象限角. 因为，所以与异号， 情况一：且，此时是第二象限角， 情况二：且，此时是第三象限角， 综上，角是第二、三象限角. 2. 已知，，在上的投影的数量为，则（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影数量求出数量积，故可求. 【详解】因为在上的投影的数量为，故，故， 故， 故选：C. 3. 已知，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】． 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用，实现与的转化求值即可. 【详解】因为， 所以，即， 所以， 所以，所以，所以， 又因为， 所以， 所以. 故选：B. 5. 点在所在平面内，满足，，，.则点依次为的（ ） A. 重心、外心、内心、垂心 B. 外心、重心、内心、垂心 C. 重心、垂心、外心、内心 D. 外心、重心、垂心、内心 【答案】D 【解析】 【分析】根据模长相等可判断为的外心，利用重心性质以及向量共线定理可判断为重心；由垂直关系的向量表示可得点为垂心；再结合角平分线性质可判断点为内心. 【详解】由可知，点到三点的距离相等， 可知为的外接圆圆心，即为的外心， 取的中点为，如下图所示： 易知，又，可知； 即在中线上靠近的三等分点， 同理可得为三条中线的交点，即为重心； 由可得，即， 可得，同理可得， 所以点为三条高的交点，因此点为垂心； 易知为沿方向上的单位向量，即； 令，所以，且为等腰三角形，，如下图： 由可得，即, 此时为角的平分线， 同理由可得为角的平分线， 因此可知为三条角平分线的交点，因此点为内心. 故选：D 6. 已知函数，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 函数在区间上单调递增 D. 函数的图象关于点中心对称 【答案】C 【解析】 【分析】对于A：根据函数周期性分析判断；对于BD：根据正弦函数对称性的性质分析判断；对于C：根据单调性分析判断即可. 【详解】对于选项A：因为函数的最小正周期， 所以，故A正确； 对于选项B：因为为最大值， 可知是函数的对称轴，所以，故B正确； 对于选项C：因为，令，可得， 所以函数在区间上不单调，故C错误； 对于选项D：因为， 所以函数的图象关于点中心对称，故D正确. 7. 将函数的图象向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象的平移变换，可得，根据函数图象关于原点对称的性质可列方程，得，再结合即可得解. 【详解】的图象向右平移个单位长度， 可得， 因为函数的对称中心为， 若平移后的图象关于原点对称， 则，得， 因为，故当时，取得最小值. 故选：C. 8. 已知函数，若是的解，且满足，将函数的图象向左平移个单位长度后可以得到一个偶函数的图象，若函数在上恰有2个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最小距离可得，再利用平移规则和函数奇偶性可求得，根据函数在内恰有2个零点可限定出范围，即可解得实数的取值范围. 【详解】由，即， 可得或， 根据正弦函数图象性质可知，解得， 则； 将函数的图象向左平移个单位可得， 又为偶函数， 则，又，可得， 因此； 当时，可知， 若函数在内恰有个零点，可知， 解得， 所以实数的取值范围为. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，，则（ ） A. 在上的投影数量是 B. 在上的投影向量是 C. 与夹角的正弦值是 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由平面向量的数量积运算计算可得，由投影向量计算可判断，；由夹角求法可判断；由数量积运算计算可判断. 【详解】因为，，， 所以，， 即，所以， 对于A，在上的投影数量是，故A正确； 对于B，在上的投影向量是，故B错误； 对于C，，所以， 故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：AD 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 当在区间上的最小值为时，的取值范围是 B. 当在区间上没有最小值时，的取值范围是 C. 若，使得在区间上的值域为，则的取值范围是 D. 若，使得，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由得根据条件列出不等式或，求解即可；对于B，由得根据条件列出不等式求解即可；对于C，求出的最小正周期，由求解的范围即可；对于D，由得需求“若，时，的取值范围”，进而得解. 【详解】对于A，由得，因为在区间上的最小值为， 所以或，解得，即的取值范围是，故A正确； 对于B，由得因为在区间上没有最小值， 所以，解得，即的取值范围是，故B正确； 对于C，的最小正周期为，因为在区间上的值域为， 所以,解得，的取值范围是，故C不正确； 对于D，由得若，，则，解得， 所以若，使得，则的取值范围是，故D正确 故选：ABD. 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 与的值域相同 B. 与的奇偶性相同 C. 与有相同的零点 D. 与在上的单调性相同 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A选项，，， 于是的值域为，的值域为，故A选项不正确； 对于B选项，，所以为偶函数， ，所以为偶函数，故B选项正确； 对于C选项，由于的值域为，所以没有零点， 令，得，所以，．故C选项不正确； 对于D选项，因为在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在单调递减， 因为在上单调递增，在上单调递减， 由复合函数的单调性可知在单调递减，故D选项正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的面积为___________. 【答案】 【解析】 【详解】因为扇形的弧所对的圆心角为，且半径为， 所以该扇形的面积为. 13. 函数的部分图象如图，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据与轴交点求出，根据零点确定，求出函数解析式，然后根据对称轴与零点的距离求解. 【详解】结合题意， ，，所以， 过点，， 即，则， 所以， 因为，所以之间的对称轴为， 由图象可知，该对称轴与零点之间的距离为， 又因为，所以， 解得 . 14. 已知函数与，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为，则，所以. 因为，则，所以， 当时，， 当时，. 而对任意的，总存在，使得成立， 则有在上的取值范围是在上的取值范围的子集. 所以当时，则有，解得. 当时，则有，解得. 综上所述，取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数（）的图象过点. （1）求的单调递增区间； （2）当，且时，证明：. 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）代入点坐标，结合的范围，求出，再由正弦函数的单调性即可求得； （2）由条件化简得，再由和差公式求得，两式相比即可证明. 【小问1详解】 将点代入函数解析式，得，即， 则有，解得，， 因为，令，则，所以， 由，，解得，， 故的单调递增区间为，. 【小问2详解】 由（1）知， 则， ， 依题意，有，即， 因为，即， 代入得， 所以，即， 则有，得证. 16. 如图，在平面直角坐标系中，锐角的终边与单位圆交于点，射线绕点按逆时针方向旋转后交单位圆于点，点的横坐标为． （1）求的表达式，并求的值； （2）若，，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由条件结合三角函数定义可得，，由此可求，再由三角函数定义求，代入，结合诱导公式求结论； （2）由条件结合（1）可得，结合同角关系可求. 【16题详解】 因为锐角的终边与单位圆交于点， 则，，可知， 又因为射线绕点按逆时针方向旋转后交单位圆于点， 所以， 可得． 【17题详解】 若，， 则，所以． 17. 函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）设，将函数的图象向左平移个单位，再将横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若对任意，都有，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由最值得，由周期得，再由五点法求出，即可求解； （2）将问题等价化为，即可求解. 【小问1详解】 由图中函数的最值得，半周期，即，所以. 现知， 再由函数图象零点知， 所以，即， 所以； 【小问2详解】 ， 等价于， 所以，解得， 即取值范围为. 18. 如图，某欢乐世界摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为，摩天轮做逆时针匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处. （1）已知在时刻（单位：）时点距离地面的高度是关于的函数（其中，，），求函数的解析式； （2）当点距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，求游客在游玩一圈的过程中共有多长时间可以看到公园的全貌. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，即可求解，，，再根据题中可知，求出的值即可求解函数解析式； （2）结合题意可得从高度为到达最高点，再经过最高点下降至的过程中可以看到全貌，只需令，解不等式得到的范围即可求解. 【小问1详解】 由题意知，，解得. 又，，即. 又摩天轮上的点的起始位置在最低点处，即， ，即，∴. 又，, ，. 【小问2详解】 由（1）知，. 从高度为到达最高点，再经过最高点下降至的过程中可以看到全貌， ∴令，得，即， 解得，即， 又， 游客在游玩过程中共有可以看到公园的全貌. 【点睛】本题考查模型在实际问题中的应用，考查数学建模，数学运算的核心素养. 19. 设是平面内相交成的两条数轴，分别为与x轴、y轴正方向同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记． （1）在仿射坐标系中若，求的坐标及； （2）由题意在仿射坐标系中，的顶点A，C分别在x轴、y轴上，CE为边OA的中线，过A点作CE的垂线，交CE于B，交OC于D，此时，求的最小值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，求得，结合向量的数量积的运算公式，求得的值，得到答案； （2）设，求得，，根据，利用向量的数量积的运算公式，求得，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 解：在仿射坐标系中，可得且， 因为，可得 则 所以，所以. 【小问2详解】 解：在仿射坐标系中，可得且， 如图所示，设， 则的中点，所以， 因为，可得，向量， 又因为，所以， 可得， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈阳市回民中学2028届高一下学期4月月考 数学 试卷满分：150分 时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则角是（ ） A. 第一、二象限角 B. 第二、三象限角 C. 第二、四象限角 D. 第三、四象限角 2. 已知，，在上的投影的数量为，则（ ） A. 6 B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 点在所在平面内，满足，，，.则点依次为的（ ） A. 重心、外心、内心、垂心 B. 外心、重心、内心、垂心 C. 重心、垂心、外心、内心 D. 外心、重心、垂心、内心 6. 已知函数，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 函数在区间上单调递增 D. 函数的图象关于点中心对称 7. 将函数的图象向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若是的解，且满足，将函数的图象向左平移个单位长度后可以得到一个偶函数的图象，若函数在上恰有2个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，，则（ ） A. 在上的投影数量是 B. 在上的投影向量是 C. 与夹角的正弦值是 D. 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 当在区间上的最小值为时，的取值范围是 B. 当在区间上没有最小值时，的取值范围是 C. 若，使得在区间上的值域为，则的取值范围是 D. 若，使得，则的取值范围是 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 与的值域相同 B. 与的奇偶性相同 C. 与有相同的零点 D. 与在上的单调性相同 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的面积为___________. 13. 函数的部分图象如图，，则_____. 14. 已知函数与，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数（）的图象过点. （1）求的单调递增区间； （2）当，且时，证明：. 16. 如图，在平面直角坐标系中，锐角的终边与单位圆交于点，射线绕点按逆时针方向旋转后交单位圆于点，点的横坐标为． （1）求的表达式，并求的值； （2）若，，求的值． 17. 函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）设，将函数的图象向左平移个单位，再将横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若对任意，都有，求的取值范围. 18. 如图，某欢乐世界摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为，摩天轮做逆时针匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处. （1）已知在时刻（单位：）时点距离地面的高度是关于的函数（其中，，），求函数的解析式； （2）当点距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，求游客在游玩一圈的过程中共有多长时间可以看到公园的全貌. 19. 设是平面内相交成的两条数轴，分别为与x轴、y轴正方向同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记． （1）在仿射坐标系中若，求的坐标及； （2）由题意在仿射坐标系中，的顶点A，C分别在x轴、y轴上，CE为边OA的中线，过A点作CE的垂线，交CE于B，交OC于D，此时，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $