辽宁沈阳市回民中学2025-2026学年高一下学期4月月考数学试题

沈阳市回民中学2028届高一下学期4月月考 数学 试卷满分：150分 时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则为（ ） A. 第一或第二象限角 B. 第二或第三象限角 C. 第二或第四象限角 D. 第三或第四象限角 2. 已知，，在上的投影的数量为，则（ ） A. 6 B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 点在所在平面内，满足，，，.则点依次为的（ ） A. 重心、外心、内心、垂心 B. 外心、重心、内心、垂心 C. 重心、垂心、外心、内心 D. 外心、重心、垂心、内心 6. 已知函数，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 函数在区间上单调递增 D. 函数的图象关于点中心对称 7. 将函数的图象向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若是的解，且满足，将函数的图象向左平移个单位长度后可以得到一个偶函数的图象，若函数在上恰有2个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，，则（ ） A. 在上的投影数量是 B. 在上的投影向量是 C. 与夹角的正弦值是 D. 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 当在区间上的最小值为时，的取值范围是 B. 当在区间上没有最小值时，的取值范围是 C. 若，使得在区间上的值域为，则的取值范围是 D. 若，使得，则的取值范围是 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 与的值域相同 B. 与的奇偶性相同 C. 与有相同的零点 D. 与在上的单调性相同 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的面积为___________. 13. 函数的部分图象如图，，则_____. 14. 已知函数与，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数（）的图象过点. （1）求的单调递增区间； （2）当，且时，证明：. 16. 如图，在平面直角坐标系中，锐角的终边与单位圆交于点，射线绕点按逆时针方向旋转后交单位圆于点，点的横坐标为． （1）求的表达式，并求的值； （2）若，，求的值． 17. 函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）设，将函数的图象向左平移个单位，再将横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若对任意，都有，求的取值范围. 18. 如图，某欢乐世界摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为，摩天轮做逆时针匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处. （1）已知在时刻（单位：）时点距离地面的高度是关于的函数（其中，，），求函数的解析式； （2）当点距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，求游客在游玩一圈的过程中共有多长时间可以看到公园的全貌. 19. 设是平面内相交成的两条数轴，分别为与x轴、y轴正方向同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记． （1）在仿射坐标系中若，求的坐标及； （2）由题意在仿射坐标系中，的顶点A，C分别在x轴、y轴上，CE为边OA的中线，过A点作CE的垂线，交CE于B，交OC于D，此时，求的最小值． 沈阳市回民中学2028届高一下学期4月月考 数学 试卷满分：150分 时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）， （2）证明：由（1）知， 则， ， 依题意，有，即， 因为，即， 代入得， 所以，即， 则有，得证. 【16题答案】 【答案】（1）， （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1）， （2） 【19题答案】 【答案】（1）； （2） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $《沈阳市回民中学2028届高一下学期4月月考》参考答案 题号 1 2 4 6 7 8 9 10 答案 B 0 B 0 AD ABD 题号 11 答案 BD 1.B 【详解】由已知9≠机+分ke乙， 若sinO>0,则8是第一、二象限角；若sin0<0,则8是第三、四象限角. 若tan0>0,则0是第一、三象限角；若tan0<0,则0是第二、四象限角. 因为sin0.tan0<0,所以sin0与tan6异号， 情况一：sin8>0且tanB<0,此时8是第二象限角， 情况二：sin0<0且tanB>0,此时0是第三象限角， 综上，角日是第二、三象限角 2.C 【分析】根据投影数量求出数量积，故可求ā+b1: 【详解】因为5在云上的投影的数量为-4，故团-4，故a.6=-24 故1a+6=a+2a.6+62=00-48=23,， 故选：C 3.D si(a+2m)+sin 【详解】 2e sin a+cos a tana+13+14 3π 2sin +2 +sin(a+3π) -2cos a-sin a -2-tana-2-35 4.B 【分析】应用sinB+cos2B=1,实现sinB+cosB与sinp-cosf的转化求值即可. 【详解】因为simB+co09B-专Be(Q, 所以(ea5+o6j-5间smp1csa12 ocos6 251 所以2sin6c0sB=-1+1=-24 +25=-25 0, 答案第1页，共11页 所以( 所以sinB>0,cosB<0,所以sinB-cosB>0, 又因为(sim,6-cosB)=1-2sim,6cosB, 所以(sinB-cosp)2-=1+ 2449 25-25 > 所以sinβ-cosB= 5 故选：B 5.D 【分析】根据模长相等可判断O为△ABC的外心，利用重心性质以及向量共线定理可判断N 为重心：由垂直关系的向量表示可得点P为△ABC垂心；再结合角平分线性质可判断点2为 △ABC内心 【详解】由OA=OB-=DC可知，O点到A,B,C三点的距离相等， 可知O为△ABC的外接圆圆心，即O为△ABC的外心， 取AB的中点为D,如下图所示： 易知+NB=2WD,又WA+NB+NC=0,可知2NWD=-WC; 即N在中线CD上靠近D的三等分点， 同理可得N为三条中线的交点，即N为重心： 由PA.PB=PB.PC可得PB·(PA-PC)=0,即PB.CA=0, 可得PB⊥CA,同理可得PA⊥CB,PC⊥AB 所以点P为△ABC三条高的交点，因此点P为△ABC垂心： AC AB AB 易知 为沿AC,AB方向上的单位向量， AC AB AC 令ad =AF, AB AC AB AB=E,所以ACAB =EF,且△AEF为等腰三角形，AE=AF,如下 图： 答案第2页，共11页 F A 夕 AB 由QA =0可得QA·EF=0,即OA⊥EF, AC 此时QA为角A的平分线， BC BA 同理由QB 0可得QB为角B的平分线， BC BA 因此可知Q为△ABC三条角平分线的交点，因此点Q为△ABC内心. 故选：D 6.C 【分析】对于A:根据函数周期性分析判断；对于BD:根据正弦函数对称性的性质分析判 断；对于C:根据单调性分析判断即可. 【详解】对于选项A:因为函数f(x)=2sin3x- 兀 6 的最小正周期T=2π 所以〔+f6),故A正确： 对干：因为（2m〔君}-2m号-2%大， 可知x号是西数0形对陈植，所以〔+-放B确： 0 对于选项C: 所以函数)在区同0写》 上不单调，故C错误： 对于选项D:因为f 2sin 7π =2sin=0, 6 6 (7 所以函数f(x)的图象关于点 ,0中心对称，故D正确。 18 7.C 【分析】根据函数图象的平移变换，可得y=tan 根据函数图象关于原点对称 的性质可列方程，得= 3一r,k∈乙，再结合>0即可得解 答案第3页，共11页 【详解】y=tan 2x+ 的图象向右平移m(m>0)个单位长度， 23 可得y=tan 2-2+3 因为函数y=tanx的对称中心为 ,0,k∈Z, 3 若平移后的图象关于原点对称， 则1×0-mL=ke乙，得u=二-阮，keZ 232 3 因为m>0,故当k=0时，m取得最小值2亚 3 故选：C. 8.D 【分折】根据最小距离可得=2，再利用平移规则和函数奇阀性可求得口-。根据函数 f八)在（后0内恰有2个零点可限定出20+名范国，即可解符实数9的取值范围 6 【详解】由()=V5,即sm(ox+p)-5 2 可得x+p=C+2kπkeZ或ax+p 4 3T+2k元k∈Z, 4 根据正弦函数图象性质可知书一为= 0444,解得w=2, 1(3ππ)π 则f(x)=2sin(2x+p): 将函数f(x)的图象向左平移”个单位可得y= 2sin 6 -2 又y=2in2x+亚+0为偶函数， 3 则+0-血ez,又行可得p-若 2 当eg0时可知2x+820+周 若函数（四在(G0内恰有2个零点，可知2m<20+石≤3元， 6 解得 17元 12 <0 12 所以实数B的取值范围为 1117m 12’12 9.AD 答案第4页，共11页 【分析】由平面向量的数量积运算计算可得ā.b=-1,由投影向量计算可判断A,B；由夹 角求法可判断C；由数量积运算计算可判断D 【详解】因为a=(1,2),=2,la+-=√万， 所以d=1+4=5,a2+2a-b+b2=7, 即5+4+2a.b=7,所以a.b=-1, ab 1 对于A,a在万上的投影数量是 万“2，故A正确 对于B,方在a上的投影向量是 对于C, √95 Γ10 10 故C错误； 对于D,因为(4ā+b)6=4i-b+62=-4+4=0,所以(4a+b)1b,故D正确. 故选：AD 10.ABD 【分析】对于A,由x∈[元，4]，o>0,得am∈[ω，4]，根据条件列出不等式-0≤-T或 2 4o≥3n ,求解即可；对于B,由x∈[0，o>0,得ax∈[0，，根据条件列出不等式 Kw:受求解即可：对于C,求品的最小正周期，白子3求解心的他则可：对于 D,由x∈[0，π]，o>0,得ax∈[0，πo],需求“若x,x∈[0，π]，f(:)+f(化)≠l时，w的取值 范围，进而得解 【详解】对于A,由x∈[-兀，4]，o>0,得ax∈[-π@，4rw],因为f(x)在区间[-兀，4π]上的最 小值为-1， 所以：或w:空解得0合即的取位范用是日)，放A正确： 对于B,由x∈[0，π)，o>0,得ax∈[0，πo),因为f(x)在区间[0，)上没有最小值， 所以a0三受，解得1<m≤即®的取值范围是 3 故B正确； 2 答案第5页，共11页 对于C,f(y)=-sin cx((o>0)的最小正周期为2江，因为f(x)在区间(aa+3)上的值域为 [-11, 所以子石3解得公子如的取值流国足修小 故C不正确： 对于D,由x∈[0，，w>0,得ar∈[0，π网，若s,∈[0，，f(s)+f(s)≠1，则πo< 解得0<6 1 所以若，[0，，使得f()+f(:)=1,则o的取值范围是 1 故D正确 故选：ABD. 11.BD 【详解】对于A选项，cosx∈[-l,1],sinxe[-1,1], 于是f(x)的值域为[-sin 1,.sin1],g(x)的值域为[cosl,],故A选项不正确： 对于B选项，f(-x)=sin(cos(-x》=sin(cosx)=f(x),所以f(x)为偶函数， g(-x)=cos(sin(-x)》=cos(-sinx)=cos(sinx)=g(x),所以g(x)为偶函数，故B选项正确： 对于C选项，由于g(x)的值域为[©os1,,所以g(x)没有零点， 令f①)=0，得cosx=0,所以x三)+k元，keZ.故C选项不正确 对于D选项，因为t=cosx在O, 2 上单调递减，y=sint在[0，l]上单调递增， 由复合函数的单调性可知f(x)=sin(cosx)在0， 2 单调递减， 因为t=sinx在o, 上单调递增，y=cost在[0，]上单调递减， 由复合函数的单调性可知g()=cos(sin)在0，” 单调递减，故D选项正确。 12.20元 【详解】因为扇形的弧所对的圆心角为二π，且半径为l0cm, 5 所以该碳形的面积为Sa成分冬10：-20班 Γ-25 13.-4 【分析】根据与y轴交点求出P,根据零点确定ω，求出函数解析式，然后根据对称轴与零 点的距离求解！ 【详解】结合腿意，0)=2np1,0<<分所以0-君 答案第6页，共11页 过0 -x-ke(bc2, 6 则a子&c2,则w子 所以f=2a经+孕， 因为)-1儿s)子所以无，之间的对将销为生兰。 2 由图象可知，该对称轴与零点之间的距离为7， 又因为T=2元-6，所以+5=3×6= 9 224 , 解得x1+x3=4. 14.(-0,-2][2,+0)】 【详解1因为升则3+牙[任所以g)=2m3两+升Q斗 因为[引 则2[，所以s)-22e2 当>0时，f(x)-∈[-，m, 当m<0时，mf(3)-m∈[m,-m]. 而对任意的x∈0， 总存在，∈ ππ 123 使得g(,)=f(c2)-m成立， 则有g(s)在0， 上的取值范围是(：)-在 ππ 12'3 上的取值范围的子集。 m≥2 所以当>0时，则有 -n≤0' 解得m≥2 「-m≥2 当m<0时， 则有 ≤0 ,解得≤-2. 综上所述，m取值范围为(-，-2][2，+∞) 15.+2h+2 k∈Z (2)证明见解析 【分析】(1)代入点P坐标，结合P的范围，求出P,再由正弦函数的单调性即可求得： （2)由条件化简得sin=子再由和差公式求得p=名，两式相比即可证.明 3 【详解】1)将点P子2代入函数解析式，得2-2m(行即n仔小-1， 答案第7页，共11页 则有子+p-子2，解得p-子2，ez 4 因为，令k=0,则0-子所以f)-2sn+到】 由+2≤x+牙号+2瓶，ke2,解得+2ms<+2m,e2, 42 4 故（倒的单调道增区间为[好+2子+2]，女cz 四由知w=2如别剂 4: 则a-到a开牙 2sin a, 44 f0+到-2an0+宁别2am[2+到2on, 依想意，有女a牛引4ao63.即na0- 因为sn(a+A)-i6即ino+osaA- 15 16” f代入sin=3得cos5mB= 161 5 inacosB=4=4,即 tan a 所以 =4, cos asin B 3 tan B 16 则有tana=4tanB,得证. 16.(1)f(8)=cos8+ x) 5 6 (2)-22 【分折们1)由条行结合二角网数定义可得cox=点，加a方i此可求&，科拍三角 1 2 函数定义求（⊙），代入交，结合诱导公式求结论。 (2由条件结合1》可得ca9-号结合间角关系可求血Qan0 【小题1】因为锐角α的终边与单位圆交于点A V31 2’2 则cos=5,na}可知a-名 6 又因为射线OA绕点O按逆时针方向旋转日后交单位圆于点B, 所以f(o)=cos(0+a)=cos0+ 6 答案第8页，共11页 6 6 【小题2】若0-君引-cos00e(-r0. 则sin0= VI-cos 0=212 所以tam6=sn9=-25. 3 cos0 (2)(3,+∞) 【分析】(1)由最值得A,由周期得⊙，再由五点法求出p,即可求解： (2)将问题等价化为x∈ 638(以x-8(以<m,即可求解 2π 【详解11)的图中函数的是位得42，半周期号行吾即爱子所以@=2 现知f(x)=2sin(2x+p), 再由函数图象零点知f =2sin+o=0, 3 所以零+p=π+2keZ),即p 2 3 所以f(x)=2sin2x+3： 2π (2)g(x)=2sin (x+)=-2sinx, %与晋收6上g水m等价于吾 ,g()x-8c)m<L, 所以)-8引m,解得m3 即m取值范围为(3，+o). 18.(1)f(t)=-50cos 5+60,120 (2)5 min f()ax=A+h=110 【分析】(1)根据题意可得 f()n=-A+h=l0,即可求解A,h,o,再根据题中可知 2π =30 f(0)=10,求出p的值即可求解函数解析式： 答案第9页，共11页 (2)结合题意可得从高度为(60+25V3)m到达最高点，再经过最高点下降至(60+25V3)m 的过程中可以看到全貌，只需令f(t)=-50co s亚t+60≥60+253，解不等式得到t的范围 15 即可求解。 ,=A+h=110 h=60 【详解】(1)由题意知， f()n=-A+h=10,解得A=50 T= 2π 回 30 又0>0，.0= 即f(t)=50sin i+p+60 15 又摩天轮上的点P的起始位置在最低点处，即f(0)=10, 50mp+60=10,即sap=-1,0=子+2keZ. 又网<兀，9=-2 f0=5m引60o+60.120 15 (2)由(1)知f)=-50 cos+60,t≥0. 15 从高度为(60+25V3)m到达最高点，再经过最高点下降至(60+25V3)m的过程中可以看 到全貌， 令f050c0s60260+25B.得-cs买9即csEB 15 15 15 2 解得5L+2m≤s7匹+2keN,即25+30k≤1≤35 +30k,k∈N, 6 156 2 2 =5, ∴.游客在游玩过程中共有5in可以看到公园的全貌， 【点睛】本题考查∫(t)=Asin(aot+p)+h模型在实际问题中的应用，考查数学建模，数学运 算的核心素养 19.(1)(-3,4)；5 )vE 9 【分析】(1)根据题意，得到a=e,+2e,b=-221+e,求得a+2b=-3+4e,,结合向量的 答案第10页，共11页 数量积的运算公式，求得a+2b的值，得到答案： 2）设4a0,C0e,求得西--cg,而=-E+,根据AD1C,利用向量 。,C一 4 的数量积的运算公式，求得cosa= 4m+2c2 ，结合基本不等式，即可求解 9ac 【详解】1)解：在号仿射坐标系中，可得-=1且石名=0， 因为a=(1,2),b=(（-2,1),可得a=e+2e2,b=-2e+e2 则a+2b=(e1+2e)+2(-2e1+e2)=-31+4e,=(←3,4) 所以a+2=(-3g+4g}=9g+16g-24gg=25,所以a+2b=5. (2)解：在a-仿射坐标系中，可得==1且g,e,=a, 如图所示，设A(a,0),C(0,c),(a>0,c>0), 则a1的中点导0叭，所以丽=号，)--2， 因为0而=0c,可相D0,导，向量而=a月=-+3， 又因为AD⊥CE,所以AD.CE=0, 可得而=-（废+）=9gG e2d9ac c2 29+89846- 28 -cos a- 0, 所以cosa=4+22≥24r2r_45, 9ac 9ac 9 当且仅当4a2=2c2时，即c=√2a时，等号成立， 所以cosQ的最小值为4 9 答案第11页，共11页