精品解析：2026年河南省周口市项城市九年级模拟监测(一) 数学试题

2026年九年级模拟监测（一） 数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上，写在试卷上的答案无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 用代数式表示：a与2的差的3倍．下列表示正确的是（ ） A. 3a﹣2 B. 3a＋2 C. 3（a﹣2） D. 3（a＋2） 2. 在一个温度变化的实验中，规定温度上升为正数、下降为负数．现有一个温度变化的实验数据记录，其中某一个时刻的温度变化情况可以用方程的解（单位：）来表示，则该时刻的温度变化情况是（ ） A. 温度下降 B. 温度下降 C. 温度上升 D. 温度上升 3. 纳米（）是一种长度单位，已知，．截至2026年3月，全球芯片工艺的核心技术难关已推进到及以下（），其中等于（ ） A. B. C. D. 4. 在一次演讲比赛中，甲选手的演讲内容95分、演讲能力80分，若按照“演讲内容占60、演讲能力占40”的方式计算选手的综合成绩，则甲选手的综合成绩为（ ） A. 86 B. 87 C. 88 D. 89 5. 已知一次函数，若，则关于“该函数图象经过的象限”的推理正确的是（ ） A. ，图象从左到右上升；，图象与轴交于负半轴，故图象经过一、三、四象限 B. 取特殊值，图象经过，，故图象经过一、三、四象限 C. 经过一、三象限，经过二、四象限，故图象经过一、二、三、四象限 D. 无法确定，需结合具体的值判断 6. 某食品加工厂在制作一种食品时，需要按照一定的比例混合各种原料．现在有两种原料和，原料的质量为（单位：），原料的质量为（单位：），将它们混合后进行一些操作（操作过程不影响质量），下列关于这两个代数式的运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 对于任意两个实数，定义运算“”：．若，则的值为（ ） A. B. 2 C. 1或 D. 或2 8. 将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若的度数为，则用含的代数式表示的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，点在边上，点在边上，，与，分别交于点和点，连接．下列结论：①且；②；③当是的中点时，；④当时，，其中正确结论有（ ）个 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 写出一个满足不等式组的整数___________． 12. 某款“不倒翁”（图1）的主视图如图2，，分别与所在圆相切于点，．若该圆半径是，，则图2所示图形的周长是___________． 13. 已知实数满足，则的值为___________． 14. 如图，在中，，为内部一点，则到三个顶点之和的最小值是___________． 15. 如图，线段是菱形的对角线，，点M，N分别是边上的动点，连接，将沿折叠，使点B的对应点P始终落在上，当为直角三角形时，线段的长为___________． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分） 16. 计算与化简： （1）计算：； （2）化简：． 17. 某校七年级举办了一次“共沐书香，筑梦未来”文学常识知识竞赛（如图1），赛后发现所有学生的成绩均不低于50分，为了解本次竞赛的成绩分布情况，随机抽取若干名学生的成绩作为样本进行整理，并绘制了不完整的统计表和统计图（如图2）． 成绩/分 频数 所占百分比 16 72 12 请你根据统计图表解答下列问题： （1）此次抽样调查的样本容量是__________，__________，__________，__________； （2）请补全学生成绩分布直方图； （3）该校按照此次知识竞赛的得分由低到高共设置三等奖、二等奖和一等奖若干名，如何设置一等奖的分数线，使的参赛学生能获得一等奖？ 18. 如图，已知一次函数与，它们的图象与轴分别交于两点，交点在反比例函数的图象上，是的角平分线，与交于点． （1）求该反比例函数的表达式； （2）尺规作图：求作的高线（保留作图痕迹，不写作法）； （3）在（2）的条件下，连接，求证：垂直平分． 19. 跳台滑雪要想取得好成绩，运动员必须在起跳阶段获得足够快的速度，因此大跳台需搭建到一定的高度．如图1所示的首钢滑雪大跳台，是冬奥历史上首个与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，也是世界首例永久性保留并投入使用的滑雪大跳台场馆．其跳台整体造型设计，融入了中国世界文化遗产——敦煌壁画中的“飞天”元素．图2是其示意图，为登台梯，为大跳台最高点，赛道由，，三段组成（其中平行于地面）．数学兴趣小组测得，，，，从处看的仰角为（即），请你根据兴趣小组获得的这些数据求出大跳台最高点离地面的高度（结果精确到1米）（参考数据：，，，，，，．） 20. 第二十七届哈尔滨冰雪大世界于2025年12月17日开园，位于哈市中央大街的某商店销售甲、乙两种纪念品．该商店购进两种纪念品的信息如下：购进甲种纪念品3件、乙种纪念品2件共需130元；购进甲种纪念品5件、乙种纪念品4件共需230元． （1）求甲、乙两种纪念品每件的进价各是多少元？ （2）若该商店计划购进两种纪念品共100件，所花费用不超过2700元，则该商店最多购进甲种纪念品多少件？ 21. 如图，在中，，以为直径的交于点，过点作的切线，交于点，延长交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的半径． 22. 如图1，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线与抛物线交于两点（点在点的左下方），其中点的坐标为． （1）求该抛物线的表达式． （2）直线为抛物线的对称轴． ①在直线上找到一点，使得的周长最小，求出点的坐标； ②如图2，是抛物线上的动点（在线段上方），求四边形面积的最大值． 23. 如图，已知四边形是边长为的菱形，为上异于点的一动点，点在上，是等边三角形，为的中点，连接并延长，与交于点，连接． （1）证明：垂直平分． （2）随着和点位置的改变，的值是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由． （3）当时，若，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级模拟监测（一） 数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上，写在试卷上的答案无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 用代数式表示：a与2的差的3倍．下列表示正确的是（ ） A. 3a﹣2 B. 3a＋2 C. 3（a﹣2） D. 3（a＋2） 【答案】C 【解析】 【分析】根据描述列出代数式即可． 【详解】解：由题意可知：， 故选C 【点睛】此题考查列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的数量关系，注意字母和数字相乘的简写方法． 2. 在一个温度变化的实验中，规定温度上升为正数、下降为负数．现有一个温度变化的实验数据记录，其中某一个时刻的温度变化情况可以用方程的解（单位：）来表示，则该时刻的温度变化情况是（ ） A. 温度下降 B. 温度下降 C. 温度上升 D. 温度上升 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出方程的解，再根据正负判断即可． 【详解】解： 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为得， ∵规定温度上升为正数，下降为负数，， ∴该时刻温度下降． 3. 纳米（）是一种长度单位，已知，．截至2026年3月，全球芯片工艺的核心技术难关已推进到及以下（），其中等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目给出的单位进率，逐步将纳米换算为米，结合同底数幂乘法法则计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ，，， ∴． 4. 在一次演讲比赛中，甲选手的演讲内容95分、演讲能力80分，若按照“演讲内容占60、演讲能力占40”的方式计算选手的综合成绩，则甲选手的综合成绩为（ ） A. 86 B. 87 C. 88 D. 89 【答案】D 【解析】 【分析】根据加权平均数的定义，将各项得分与对应权重相乘后求和即可得到综合成绩． 【详解】解：综合成绩（分）． 5. 已知一次函数，若，则关于“该函数图象经过的象限”的推理正确的是（ ） A. ，图象从左到右上升；，图象与轴交于负半轴，故图象经过一、三、四象限 B. 取特殊值，图象经过，，故图象经过一、三、四象限 C. 经过一、三象限，经过二、四象限，故图象经过一、二、三、四象限 D. 无法确定，需结合具体的值判断 【答案】A 【解析】 【分析】根据和的几何意义即可判断推理是否正确． 【详解】解：A、对于一次函数， 时，随增大而增大，图象从左到右上升， ∵是图象与轴的交点的纵坐标， ∴时，图象与轴交于负半轴，可得图象经过一、三、四象限，故选项符合题意； B、通过单个特殊函数推导一般结论，推理逻辑不一定成立，故选项不符合题意； C、错误理解的意义，得出错误结论，故选项不符合题意； D、根据和的符号即可确定图象经过的象限，不需要具体数值，故选项不符合题意； 6. 某食品加工厂在制作一种食品时，需要按照一定的比例混合各种原料．现在有两种原料和，原料的质量为（单位：），原料的质量为（单位：），将它们混合后进行一些操作（操作过程不影响质量），下列关于这两个代数式的运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、，故选项错误； B、，故选项正确； C、，故选项错误； D、，故选项错误． 7. 对于任意两个实数，定义运算“”：．若，则的值为（ ） A. B. 2 C. 1或 D. 或2 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的运算法则即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 8. 将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若的度数为，则用含的代数式表示的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用角的和差以及翻折的性质进行求解． 【详解】解：根据翻折的性质可得，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． 9. 如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线和角平分线的作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质等知识．根据基本作图得出垂直平分线段，平分，再由垂直平分线的性质得出，，即可判断选项A、C，根据等边对等角和垂直的定义可判断选B．由已知条件无法判断选项D． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段，平分， ∴，， 故选项A、C正确， ∴， ∵，， ∴， 故选项B正确， 由已知条件无法得到，故选项D中说法不一定正确． 故选：D． 10. 如图，在正方形中，点在边上，点在边上，，与，分别交于点和点，连接．下列结论：①且；②；③当是的中点时，；④当时，，其中正确结论有（ ）个 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】通过证明推出，，再证明，即可判断①；利用角平分线的性质可证中边的高与中边的高相等，通过“等底等高”证明，即可判断②；证明，，求出相关线段长度，可知当E是的中点时，，即可判断③；利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，两个等高的三角形面积比等于底长的比，可证，即可判断④． 【详解】解：四边形是正方形， ，． ∵， ， ，， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 四边形是正方形， ，即是的角平分线， 点G到边与边的距离相等， 即中边的高与中边的高相等， 又， ， ， ，故②正确； 设正方形的边长为， 当E是的中点时，，， 由勾股定理得：， ，， ， ， ． ，， ， ， 即， ， ， ， ， ， 当E是的中点时，，故③错误； 当时，， ， ， ， ， 中边的高与中边的高相等，， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ， ， ，故④正确． 综上，①②④正确，共3个． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 写出一个满足不等式组的整数___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，再得到不等式组的解集，最后找出解集中的整数即可得到结果． 【详解】解： 由①得：，解得， 由②得：，解得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为，，，，， ∴写出一个满足不等式组的整数可以为（答案不唯一）． 12. 某款“不倒翁”（图1）的主视图如图2，，分别与所在圆相切于点，．若该圆半径是，，则图2所示图形的周长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，，，由切线的性质得到，求出优弧对应的圆心角为，然后利用弧长公式求出优弧的长，证明出，得到，，利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：如图，连接，，， ∵，分别与所在圆相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴优弧对应的圆心角为， ∴优弧的长是：， ∵，， 由切线长定理得， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴图2所示图形的周长是． 13. 已知实数满足，则的值为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据已知等式利用幂的运算法则变形，再结合同底数幂的乘法和幂的乘方的运算法则，利用同底数幂相等则指数相等的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴，， 由可得，，即， 由可得，，即， ∴， ∴， ∴． 14. 如图，在中，，为内部一点，则到三个顶点之和的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】将绕着点A逆时针旋转，得到，连接，过点C作，交的延长线于N，由旋转的性质可得，，，，易得是等边三角形，可得，进而得到，当点H、E、P、C共线时，有最小值，再求出和的长度，由勾股定理可求解． 【详解】解：将绕着点A逆时针旋转，得到，连接，过点C作，交的延长线于N， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴当点H、E、P、C共线时，有最小值． ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即点P到三个顶点之和的最小值是． 15. 如图，线段是菱形的对角线，，点M，N分别是边上的动点，连接，将沿折叠，使点B的对应点P始终落在上，当为直角三角形时，线段的长为___________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】连接，与交于点O，根据四边形是菱形，，，得出，，，，勾股定理求出，根据折叠得出，设，则，分两种情况：当时，证明，列方程求解即可；当时，证明，列方程求解即可． 【详解】解：连接，与交于点O， ∵四边形是菱形，，， ∴，，，， ∴， ∵将沿折叠，使点B的对应点P始终落在上， ∴， 设，则， 如图，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴，解得， 即； 如图，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴，解得， 即， 综上所述，当为直角三角形时，线段的长为或． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分） 16. 计算与化简： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）先化简二次根式、计算特殊角三角函数值和负整数指数幂以及零指数幂，再将上述结果依次加减即可； （2）先通分括号内的分式，再利用平方差公式进行因式分解后运算除法即可得出结果． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 某校七年级举办了一次“共沐书香，筑梦未来”文学常识知识竞赛（如图1），赛后发现所有学生的成绩均不低于50分，为了解本次竞赛的成绩分布情况，随机抽取若干名学生的成绩作为样本进行整理，并绘制了不完整的统计表和统计图（如图2）． 成绩/分 频数 所占百分比 16 72 12 请你根据统计图表解答下列问题： （1）此次抽样调查的样本容量是__________，__________，__________，__________； （2）请补全学生成绩分布直方图； （3）该校按照此次知识竞赛的得分由低到高共设置三等奖、二等奖和一等奖若干名，如何设置一等奖的分数线，使的参赛学生能获得一等奖？ 【答案】（1）200，62，，38 （2）见解析 （3）一等奖的最低分数线是80分 【解析】 【分析】（1）根据分组的频数除以占总体百分比可得样本容量； （2）根据频数、占总体百分比、总人数的关系和表格数据即可求出的值； （3）由（2）中数据即可补全成绩分布直方图； （4）先求解的占总体百分比为，结合分数段在的频率为，即，故可得出一等奖的最低分数线是分． 【小问1详解】 解：由题意可知，此次抽样调查的样本容量为200（人）； ∵分数段在的频数占总体百分比为， ∴其频数； ∵分数段在的频数为72，占总体百分比为． ∵分数段在的频数为12， ∴占总体百分比为， 频数； 【小问2详解】 解：补全学生成绩分布直方图，如图即为所求： 【小问3详解】 解：分数段在占总体百分比为． ∵分数段在为， ∴． ∴一等奖的最低分数线是80分． 18. 如图，已知一次函数与，它们的图象与轴分别交于两点，交点在反比例函数的图象上，是的角平分线，与交于点． （1）求该反比例函数的表达式； （2）尺规作图：求作的高线（保留作图痕迹，不写作法）； （3）在（2）的条件下，连接，求证：垂直平分． 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）联立与，可得点的坐标，即可求得反比例函数的表达式； （2）以点为圆心画弧，与轴交于两点，再以为圆心，大于为半径画弧交于点，连接与轴交于点，则即为所求； （3）过点作轴于点，先证明，再证明，可得，即可得垂直平分． 【小问1详解】 解：联立， 解得， ∴， 将代入得，， ∴， ∴反比例函数的表达式． 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 【小问3详解】 证明：∵一次函数与的图象与轴分别交于两点， 令，得， 由（1）可知， 过点作轴于点，则， ∴，， ， ∴， ∴， 由（2）得是的高线， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 19. 跳台滑雪要想取得好成绩，运动员必须在起跳阶段获得足够快的速度，因此大跳台需搭建到一定的高度．如图1所示的首钢滑雪大跳台，是冬奥历史上首个与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，也是世界首例永久性保留并投入使用的滑雪大跳台场馆．其跳台整体造型设计，融入了中国世界文化遗产——敦煌壁画中的“飞天”元素．图2是其示意图，为登台梯，为大跳台最高点，赛道由，，三段组成（其中平行于地面）．数学兴趣小组测得，，，，从处看的仰角为（即），请你根据兴趣小组获得的这些数据求出大跳台最高点离地面的高度（结果精确到1米）（参考数据：，，，，，，．） 【答案】大跳台最高点离地面的高度约为 【解析】 【分析】连接，过点作于，过点作于，延长交于，则四边形是矩形，先求出，设，根据三角函数的定义，得出，，利用，即可得出关于的方程，解方程求出的值，进而可得答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于，过点作于，延长交于， ∵平行于地面， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 设， ∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 答：大跳台最高点离地面的高度约为． 20. 第二十七届哈尔滨冰雪大世界于2025年12月17日开园，位于哈市中央大街的某商店销售甲、乙两种纪念品．该商店购进两种纪念品的信息如下：购进甲种纪念品3件、乙种纪念品2件共需130元；购进甲种纪念品5件、乙种纪念品4件共需230元． （1）求甲、乙两种纪念品每件的进价各是多少元？ （2）若该商店计划购进两种纪念品共100件，所花费用不超过2700元，则该商店最多购进甲种纪念品多少件？ 【答案】（1）甲、乙两种纪念品每件的进价分别为30元和20元 （2）最多购进甲种纪念品70件 【解析】 【分析】（1）设甲、乙两种纪念品每件的进价分别为x，y元，列二元一次方程组计算即可； （2）设购进甲种纪念品m件，列一元一次不等式计算即可． 【小问1详解】 解：设甲、乙两种纪念品每件的进价分别为x，y元， 由题意可得：， 解得， ∴甲、乙两种纪念品每件的进价分别为30元和20元． 【小问2详解】 解：设购进甲种纪念品m件， 由题意可列一元一次不等式：， 解得， ∴最多购进甲种纪念品70件． 21. 如图，在中，，以为直径的交于点，过点作的切线，交于点，延长交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由是的切线，可得，再证明即可； （2）连接，由是的直径，可得，根据等腰三角形的性质可得，在中，可求得的长，设的半径为，由，是的直径，可用表示出，再在中，利用勾股定理列方程即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵是的切线，是的半径， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 设的半径为，则， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径为． 22. 如图1，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线与抛物线交于两点（点在点的左下方），其中点的坐标为． （1）求该抛物线的表达式． （2）直线为抛物线的对称轴． ①在直线上找到一点，使得的周长最小，求出点的坐标； ②如图2，是抛物线上的动点（在线段上方），求四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由抛物线与直线都经过轴上的点，可得，再由可得6和是的两个根，根据一元二次方程的根与系数的关系建立方程组即可求解； （2）①由点，点是定点，可得当取得最小值时，周长取得最小值，利用点与点关于抛物线的对称轴对称，连接即可得点的坐标； ②过点作轴，交于点，先求得的最大值，再由四边形面积即可得四边形面积的最大值． 【小问1详解】 解：∵点既是抛物线与轴的交点，又是直线与抛物线的交点， ∴点是直线与轴的交点， 令，则， 解得， ∴， ∵点在抛物线的图象上， 令，则， ∴6和是的两个根， ∴， 解得或（舍去）， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：①由题意可得，当取得最小值时，周长取得最小值， ∵点与点关于抛物线的对称轴对称， ∴直线与的交点即为点，此时的周长最小， 由（1）知，抛物线的表达式为，对称轴为直线，直线的解析式为， 把代入得，， ∴． ②联立， 解得或， ∴点坐标为， 设点的坐标为，过点作轴，交于点，则 ∴ ， ∴当时，取得最大值， ∴面积最大值， ∴四边形面积的最大值． 23. 如图，已知四边形是边长为的菱形，为上异于点的一动点，点在上，是等边三角形，为的中点，连接并延长，与交于点，连接． （1）证明：垂直平分． （2）随着和点位置的改变，的值是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由． （3）当时，若，直接写出的长． 【答案】（1）见解析 （2）的值不随和点位置的变化而变化， （3） 【解析】 【分析】（1）首先证明，可得，连接，再证明，可得，利用等腰三角形三线合一即可证明； （2）首先证明，可得，则，由菱形可得，即可得，不随和点位置的变化而变化； （3）连接，，先证明，可得，再由为的中点，可得，由，则，从而，可得，再证明∽，可得，即，即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴，，， ∴，， 如图，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分． 【小问2详解】 解：的值不随和点位置的变化而变化． 由（1）可知，，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图，连接，， 由（1）可知，， ∵四边形为菱形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵与都可以看作以为底，点在上， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴∽， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即， ∵， ∴， 解得（舍去）或， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $