精品解析：2025年河南省周口市项城市中考一模数学试题

2025年河南省中考仿真模拟考试（一） 数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．写在试卷上的答案无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数中，绝对值最大的是（ ）． A. 2 B. C. 1.5 D. 2. 科学调查表明，一颗普通电池弃入大自然后，可以污染60万升水，这相当于一个人一生的用水量，60万这个数字用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 3. 郑州玉米楼的真实名字是：“绿地中心千玺广场”，楼高280米、共58层，总投资达22亿元，被称为“中原第一高楼”如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 4. 如图，平移三角形，使点B移动到点E，点C移动到点F，平移的方向为的方向，平移后的图形为三角形，若平移的距离为，，则的长为（ ）． A. B. C. D. 5. 下列算式中，运算结果为的是（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，一次函数（k为常数，）的图象分别与x，y轴交于A，B两点，，则当时，x的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 7. 李伟和同学计划五一去长沙游玩，准备购买两张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择两个，则“两人购买的车票座位刚好是双排座（D座和F座）”的概率是（ ）． A. B. C. D. 8. 已知二次函数函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … m 1 2 1 0 … 其中m的值是（ ）． A. 2 B. 1 C. 0 D. 9. 如图①，点O，A在直线上，射线与直线的夹角，四边形是菱形，点O与点B重合，线段于点O．若菱形以每秒4个单位长度的速度沿射线滑行，设菱形落在射线下方部分的面积为S（如图②）．小丽经过研究发现S与滑行时间t的函数关系的图象是由四段函数图象组成的，并正确绘制了如图③所示的图象（E，F，G为相邻两段图象的公共点），则点G的坐标为（ ）． A. B. C. D. 10. 某光敏电阻因光电效应使其阻值与所受光照的强弱（即光强，国际单位）之间成反比例关系，其函数图象如图1所示，小明用它设计了一个简易烟雾报警控制器，工作电路如图2所示，激光发生器发出的激光强度恒定不变，当烟雾浓度增大时，光敏电阻上的光照强度减小，已知电源电压．当闭合开关时，下列说法错误的是（ ） 信息框 1．欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比． 2．串联电路中，电路的总电阻等于各电阻的阻值之和． 3．当电路中的电流达到时，报警控制器控制的报警器（图中没有画出）报警． A. 当时， B. 光照强度越大，电路中的电流越大 C. 当报警器报警时，光照强度为 D. 烟雾浓度越大，光敏电阻的阻值越大 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 计算的结果是__________． 12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，写出一个符合条件的m的值__________． 13. 截至2024年底，国内某外卖平台已开通53条无人机航线，累计配送订单超45万单，为优化无人机配送系统，工作人员对A，B两种型号的无人机受不同因素影响的程度进行评分，数据如下（评分越高，影响程度越小，满分10分）： 型号 影响因素 城市环境 山地地形 天气 障碍物识别 A型 8.5 9.5 8 8.3 B型 9 7.5 8.3 9 该外卖平台计划再购进一批无人机，将城市环境、山地地形、天气、障碍物识别四项得分按的比例确定无人机的综合得分，则平台应选择的无人机型号是__________型（填“A”或“B”）． 14. 如图，在半径为4的中，将劣弧沿弦翻折，使折叠后的所在的圆恰好与相切，A，B为切点，则阴影部分的面积等于__________． 15. 如图，已知点A是直线l外一点，于点D，且，点B，C均在直线l上，，则的最小值为__________． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 郑州某中学九年级共有800名学生，为了解这800名学生数学学习的情况，从中随机抽取50名学生的九年级第一学期期中、期末考试两次数学成绩进行整理和分析（两次测试满分均为120分，试卷整体难度相同；成绩用x表示，分为A，B，C，D，E五个等级），下面给出部分统计信息： Ⅰ．期中、期末考试两次数学成绩的条形统计图（如图）： Ⅱ．期末数学成绩在C：这一组的10人的成绩分别是：90，92，95，95，98，96，98，98，99，99； Ⅲ．期中、期末考试两次数学成绩的平均数、众数、中位数统计表： 成绩类别 平均数 众数 中位数 期中考试成绩 95.12 92 97.5 期末考试成绩 97.96 107 m 根据以上信息，解答下列问题： （1）请你求出信息Ⅲ的表格中m的值并补全信息Ⅰ中的条形统计图． （2）若规定为优秀，则该中学这800名学生中九年级第一学期期末考试数学成绩达到优秀的约有 人． （3）你认为该校九年级第一学期期末考试数学成绩与期中考试相比有没有提高？请说明理由． 18. 如图，直线，垂足为P，测得，． （1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A，C两点分别与直线和相切（不写作法，保留作图痕迹）； （2）记（1）中所作劣弧的圆心为O，在中，弦，连接，直接写出的长 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点和点，且与x轴交于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）将直线向上平移个单位，平移后的直线与的图象在第一象限交于点P，若，求平移距离d． 20. 松柏苍翠寄哀思，丰碑永驻颂英魂．清明节小华和家人一起到烈士陵园祭奠先烈，祭拜结束后他想利用所学知识测量纪念碑的高度．如图，他在纪念碑对面一幢建筑物楼顶A处观测，测得纪念碑顶部B处的仰角为，测得纪念碑底部C处的俯角为．已知观测点A处距地面的高度为12m（图中点A，B，C，D均在同一平面内）． （1）求这幢建筑物与纪念碑之间的水平距离（结果保留根号）． （2）求纪念碑的高度（结果取整数）． （参考数据：，，，） 21. 截止2025年4月17日，《哪吒之魔童闹海》以156.99亿票房位列全球影史票房榜第五位，这部动画电影不仅刷新了国产电影的天花板，更让世界见证了中国动画的崛起——从“国漫崛起”到“全球爆款”，哪吒用五年时间完成了从现象级IP到文化符号的蜕变．某影城准备推出玩偶、保温杯等周边产品，采购时得知5个玩偶和4个保温杯的价格一样，购买3个玩偶和5个保温杯共需740元． （1）求玩偶和保温杯的单价． （2）该影城需要购买玩偶、保温杯共4000个，且购买保温杯的数量不少于玩偶数量的3倍．请你帮助影城计算应购买玩偶、保温杯各多少个，才能使总费用最低． 22. 如图1，这是郑栾高速的始祖山隧道，它位于新郑市和禹州市交界地带上，是一座上下行分离的四车道高速公路长隧道．如图2是单向隧道的示意图，洞宽米，其中两侧分别设人行检修道米，左侧设侧向宽度米，右侧设侧向宽度米，行车道宽米．假设隧道的轮廓为抛物线，建立如图2所示的平面直角坐标系，其中O为的中点，隧道的净高度米．（参考数据：） （1）求该抛物线的解析式． （2）如果一货运汽车装载货物后的高度为4.6米，宽度为2.25米．隧道内两个行车道用实线隔开（实线的宽度忽略不计），不允许车辆随意变道．试通过计算说明这辆货车能否安全通过这个隧道？如果能，请指出该货车应按哪个车道行驶；如果不能，请说明理由． 23. 定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形． （1）如图，在邻余四边形中，，是钝角，，则 ． （2）如图，在中，，，垂直平分交于点E，垂足为D，，，F为上一点，求证：四边形是邻余四边形． （3）如图1，图2，在邻余四边形中，，是钝角，E为B中点，， ①如图1，当时，判断四边形ADCE的形状并证明你的结论． ②如图2，当，时，直接写出CD的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河南省中考仿真模拟考试（一） 数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．写在试卷上的答案无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数中，绝对值最大的是（ ）． A. 2 B. C. 1.5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，有理数的大小比较，正确求出绝对值是解题的关键． 先分别求每个数的绝对值，再根据有理数的大小比较方法比较即可． 【详解】解：，，，， ∵， ∴绝对值最大的是， 故选：D． 2. 科学调查表明，一颗普通电池弃入大自然后，可以污染60万升水，这相当于一个人一生的用水量，60万这个数字用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：60万， 故选：A． 3. 郑州玉米楼的真实名字是：“绿地中心千玺广场”，楼高280米、共58层，总投资达22亿元，被称为“中原第一高楼”如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图，先确定三视图，再进行判断即可． 【详解】解：由图可知：这个几何体的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同． 故选A． 4. 如图，平移三角形，使点B移动到点E，点C移动到点F，平移的方向为的方向，平移后的图形为三角形，若平移的距离为，，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质得到，再求出的长即可求出的长． 【详解】解：由平移的性质可得， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 5. 下列算式中，运算结果为的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，合并同类项，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键． 分别根据同底数幂的乘除法和幂的乘方运算以及合并同类项法则判断即可． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故符合题意； C、，故不符合题意； D、， 故选：B． 6. 如图，一次函数（k为常数，）的图象分别与x，y轴交于A，B两点，，则当时，x的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与不等式，从函数图象的角度看，就是确定直线的解集，就是图象在x轴下方部分所有的点的横坐标所构成的集合，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据函数图象解答即可得到时x的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， 由函数图象可得，当时，， ∴的取值范围为， 故选：D． 7. 李伟和同学计划五一去长沙游玩，准备购买两张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择两个，则“两人购买的车票座位刚好是双排座（D座和F座）”的概率是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率．画树状图展示所有20种等可能结果数，再找出恰好选到“D”和“F”的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图如下： 共20种等可能的结果数，其中恰好选到“D”和“F”有2种， ∴“两人购买的车票座位刚好是双排座（D座和F座）”的概率是． 故选：C． 8. 已知二次函数函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … m 1 2 1 0 … 其中m的值是（ ）． A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，根据当和当时的函数值相同可得对称轴，再根据对称性可得当和当时的函数值相同，据此可得答案． 【详解】解：∵当和当时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∴当和当时的函数值相同， ∴， 故选：C． 9. 如图①，点O，A在直线上，射线与直线的夹角，四边形是菱形，点O与点B重合，线段于点O．若菱形以每秒4个单位长度的速度沿射线滑行，设菱形落在射线下方部分的面积为S（如图②）．小丽经过研究发现S与滑行时间t的函数关系的图象是由四段函数图象组成的，并正确绘制了如图③所示的图象（E，F，G为相邻两段图象的公共点），则点G的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，由题意得，图③中点E的实际意义是此时点A运动到点O处，根据此时点E的坐标可求出菱形的边长和菱形的高，再由点G的实际含义是此时菱形的点D运动到上，此时的S等于菱形面积，求出此时点A运动的总路程，即可求出运动时间，再求出菱形的面积即可求出点G的坐标． 【详解】解：由题意得，图③中点E的实际意义是此时点A运动到点O处，此时 ， ∴， ∵射线与直线的夹角，线段（设交于H） ∴在中，， ∴； 结合图③可知，点G的实际含义是此时菱形的点D运动到上，此时的S等于菱形面积， 由菱形的性质可得， ∴在中，， ∴ ∵ ∴G点坐标为 故选：B． 10. 某光敏电阻因光电效应使其阻值与所受光照的强弱（即光强，国际单位）之间成反比例关系，其函数图象如图1所示，小明用它设计了一个简易烟雾报警控制器，工作电路如图2所示，激光发生器发出的激光强度恒定不变，当烟雾浓度增大时，光敏电阻上的光照强度减小，已知电源电压．当闭合开关时，下列说法错误的是（ ） 信息框 1．欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比． 2．串联电路中，电路的总电阻等于各电阻的阻值之和． 3．当电路中的电流达到时，报警控制器控制的报警器（图中没有画出）报警． A. 当时， B. 光照强度越大，电路中的电流越大 C. 当报警器报警时，光照强度为 D. 烟雾浓度越大，光敏电阻的阻值越大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的运用，掌握待定系数法求解析式，反比例函数图象的性质是解题的关键． 根据图示，运用待定系数法可得反比例函数解析式，由此可判定A，B选项，根据阻值与所受光照的强弱（即光强，国际单位）之间成反比例关系，当电路中的电流达到时，报警控制器控制的报警器报警，运用电路中电压、电流、电阻的关系可判定C选项；根据题意判定D选项即可求解． 【详解】解：设，点在反比例函数图象上， ∴， 解得，， ∴， ∴当时，，故A正确，不符合题意； 根据反比例函数图象可得，当光照强度越大，电路中电阻的值越小， ∵导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比， ∴光照强度越大，电路中电流越大，故B正确，不符合题意； 当电路中的电流达到时，报警控制器控制的报警器报警， ∴， ∴， ∴，故C选项错误，符合题意； 烟雾浓度越大，越小，则越大，即光敏电阻的阻值越大，故D选项正确，不符合题意； 故选：C ． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 计算的结果是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了乘法公式，先根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，写出一个符合条件的m的值__________． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，先根据判别式的意义得到，解不等式得到m的范围，然后在此范围内取一个值即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴当m取1时，方程有两个不相等的实数根． 故答案为：1（答案不唯一）． 13. 截至2024年底，国内某外卖平台已开通53条无人机航线，累计配送订单超45万单，为优化无人机配送系统，工作人员对A，B两种型号的无人机受不同因素影响的程度进行评分，数据如下（评分越高，影响程度越小，满分10分）： 型号 影响因素 城市环境 山地地形 天气 障碍物识别 A型 8.5 9.5 8 8.3 B型 9 7.5 8.3 9 该外卖平台计划再购进一批无人机，将城市环境、山地地形、天气、障碍物识别四项得分按的比例确定无人机的综合得分，则平台应选择的无人机型号是__________型（填“A”或“B”）． 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查加权平均数．利用加权平均数的计算方法进行计算即可． 【详解】解：A型：（分）， B型：（分）， ， ∴平台应选择的无人机型号是B型， 故答案为：B． 14. 如图，在半径为4的中，将劣弧沿弦翻折，使折叠后的所在的圆恰好与相切，A，B为切点，则阴影部分的面积等于__________． 【答案】​ 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，三角形面积的计算，翻折变换，正方形的判定与性质，解决本题的关键是掌握扇形面积的相关计算． 作O点关于的对称点，连接，可得四边形为菱形，再根据圆的切线的性质可得四边形为正方形，则，最后由阴影部分的面积即可求解． 【详解】解：如图，作O点关于的对称点，连接， ∵， ∴四边形为菱形， ∵折叠后的与相切， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴阴影部分的面积． 故答案为：． 15. 如图，已知点A是直线l外一点，于点D，且，点B，C均在直线l上，，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形的相关运算，正确地作出辅助线是解题的关键．作△的外接圆，连接、、，过点作于点，先由圆周角定理和垂径定理得，，则，，设，则，，再由，即可解决问题． 【详解】解：如图，作的外接圆，连接、、，过点作于点，则，，， ， ， 设， 则，， ，， ， 解得：， ， 最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，化简二次根式，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，再去绝对值后计算加减法即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 郑州某中学九年级共有800名学生，为了解这800名学生数学学习的情况，从中随机抽取50名学生的九年级第一学期期中、期末考试两次数学成绩进行整理和分析（两次测试满分均为120分，试卷整体难度相同；成绩用x表示，分为A，B，C，D，E五个等级），下面给出部分统计信息： Ⅰ．期中、期末考试两次数学成绩的条形统计图（如图）： Ⅱ．期末数学成绩在C：这一组的10人的成绩分别是：90，92，95，95，98，96，98，98，99，99； Ⅲ．期中、期末考试两次数学成绩的平均数、众数、中位数统计表： 成绩类别 平均数 众数 中位数 期中考试成绩 95.12 92 97.5 期末考试成绩 97.96 107 m 根据以上信息，解答下列问题： （1）请你求出信息Ⅲ的表格中m的值并补全信息Ⅰ中的条形统计图． （2）若规定为优秀，则该中学这800名学生中九年级第一学期期末考试数学成绩达到优秀的约有 人． （3）你认为该校九年级第一学期期末考试数学成绩与期中考试相比有没有提高？请说明理由． 【答案】（1），补图见解析 （2）464 （3）该校九年级第一学期期末考试数学成绩比期中考试有提高，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，平均数、众数和中位数，样本估计总体，掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据中位数的定义解答即可；根据条形统计图分别求出）期中数学成绩在等级的人数和期末数学成绩在等级的人数，进而补全图形即可； （2）用乘以期末考试数学成绩达到优秀的人数占比即可求解； （3）根据平均数、众数和中位数的意义分析判断即可． 【小问1详解】 解：由条形统计图可知期末考试数学成绩不低于分（即和这两组）的有人，再结合信息，可知把期末考试数学成绩从大到小排列后，第个人和第个人的成绩分别为99，98， ∴中位数； 期中数学成绩在等级的人数为人， 期末数学成绩在等级的人数为人， ∴补全统计图如下： 【小问2详解】 解：， ∴该中学这800名学生中九年级第一学期期末考试数学成绩达到优秀的约有496人， 故答案为：464； 【小问3详解】 解：该校九年级第一学期期末考试数学成绩比期中考试有提高． 理由：因为从平均数、众数和中位数三个统计量来看，期末考试都比期中考试大，所以该校九年级第一学期期末考试数学成绩比期中考试有提高． 18. 如图，直线，垂足为P，测得，． （1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A，C两点分别与直线和相切（不写作法，保留作图痕迹）； （2）记（1）中所作劣弧的圆心为O，在中，弦，连接，直接写出的长 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图---作垂线，圆的切线的性质，圆周角定理，勾股定理，矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）分别过点作的垂线，相交于点，然后以点为圆心，为半径作即可； （2）当点E在左侧时，过点A作于点H，可得四边形为矩形，由圆周角定理可得，则，由勾股定理可得，再由即可求解；当点E在右侧时，过点A作交延长线于点H，同理可求． 【小问1详解】 解：如图，即为所作： 【小问2详解】 解：当点E在左侧时，过点A作于点H， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点E在右侧时，过点A作交延长线于点H， 同理可求，， ∴， 综上：的长为或． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点和点，且与x轴交于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）将直线向上平移个单位，平移后的直线与的图象在第一象限交于点P，若，求平移距离d． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，熟知待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）先将点代入一次函数，求得一次函数解析式，再求出点，即可求出把比例函数解析式； （2）作轴交直线于点，根据，即可求． 【小问1详解】 解：点在一次函数的图象上， ， ， ∴一次函数的表达式为； 点在直线上， ， ． ， 把代入得， 解得：， 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：作轴交直线于点， ， ， ， ， ． 20. 松柏苍翠寄哀思，丰碑永驻颂英魂．清明节小华和家人一起到烈士陵园祭奠先烈，祭拜结束后他想利用所学知识测量纪念碑的高度．如图，他在纪念碑对面一幢建筑物楼顶A处观测，测得纪念碑顶部B处的仰角为，测得纪念碑底部C处的俯角为．已知观测点A处距地面的高度为12m（图中点A，B，C，D均在同一平面内）． （1）求这幢建筑物与纪念碑之间的水平距离（结果保留根号）． （2）求纪念碑的高度（结果取整数）． （参考数据：，，，） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作， 垂足为， 根据题意可得：米，， 然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：过点作， 垂足为， 由题意得： 米， ， 在中， ， (米) ， 米， ∴两幢楼房之间的水平距离为米； 【小问2详解】 解：在中， 米， （米) ， ∵米， (米)， ∴对面这幢楼房的高度约为米. 21. 截止2025年4月17日，《哪吒之魔童闹海》以156.99亿票房位列全球影史票房榜第五位，这部动画电影不仅刷新了国产电影的天花板，更让世界见证了中国动画的崛起——从“国漫崛起”到“全球爆款”，哪吒用五年时间完成了从现象级IP到文化符号的蜕变．某影城准备推出玩偶、保温杯等周边产品，采购时得知5个玩偶和4个保温杯的价格一样，购买3个玩偶和5个保温杯共需740元． （1）求玩偶和保温杯的单价． （2）该影城需要购买玩偶、保温杯共4000个，且购买保温杯的数量不少于玩偶数量的3倍．请你帮助影城计算应购买玩偶、保温杯各多少个，才能使总费用最低． 【答案】（1）玩偶每个80元，保温杯每个100元 （2）买玩偶1000个，保温杯3000个费用最低 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式的应用，解题的关键是： （1）设玩偶每个x元，保温杯每个y元，根据“采购5个玩偶和4个保温杯的价格一样，购买3个玩偶和5个保温杯共需740元”，列方程组求解即可； （2）设购买玩偶m个，费用为元，则购买保温杯个，根据题意，得，然后根据“购买保温杯的数量不少于玩偶数量的3倍”，求出m的取值范围，最后根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解∶设玩偶每个x元，保温杯每个y元， 根据题意，得， 解得， ∴玩偶每个80元，保温杯每个100元； 【小问2详解】 解：设购买玩偶m个，费用为元，则购买保温杯个， 根据题意，得， ∵购买保温杯的数量不少于玩偶数量的3倍， ∴， 解得， ∵， ∴随m的增大而减小， ∴当时，取最小值， ∴买玩偶1000个，保温杯3000个费用最低． 22. 如图1，这是郑栾高速的始祖山隧道，它位于新郑市和禹州市交界地带上，是一座上下行分离的四车道高速公路长隧道．如图2是单向隧道的示意图，洞宽米，其中两侧分别设人行检修道米，左侧设侧向宽度米，右侧设侧向宽度米，行车道宽米．假设隧道的轮廓为抛物线，建立如图2所示的平面直角坐标系，其中O为的中点，隧道的净高度米．（参考数据：） （1）求该抛物线的解析式． （2）如果一货运汽车装载货物后的高度为4.6米，宽度为2.25米．隧道内两个行车道用实线隔开（实线的宽度忽略不计），不允许车辆随意变道．试通过计算说明这辆货车能否安全通过这个隧道？如果能，请指出该货车应按哪个车道行驶；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）能安全通过，走右侧车道 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是合理建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式． （1）根据待定系数法求解即可； （2）分别求出，时，对应的函数值，即可判断． 【小问1详解】 解：∵O为的中点，， ∴， ∴， 设抛物线解析式为， 则， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，，，， ∴， ∴， ∴当时，， ∴左侧车道不能通过， 当时，， ∴右侧车道能通过， ∴该货车应按右侧车道行驶能通过． 23. 定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形． （1）如图，在邻余四边形中，，是钝角，，则 ． （2）如图，在中，，，垂直平分交于点E，垂足为D，，，F为上一点，求证：四边形是邻余四边形． （3）如图1，图2，在邻余四边形中，，是钝角，E为B中点，， ①如图1，当时，判断四边形ADCE的形状并证明你的结论． ②如图2，当，时，直接写出CD的长． 【答案】（1） （2）见解析 （3）①四边形是平行四边形，理由见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据邻余四边形的定义求解即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得出，，，根据勾股定理求出，在中根据勾股定理的逆定理可判定，根据三角形内角和定理可求出，然后根据邻余四边形的定义即可得证； （3）根据邻余四边形的定义、平行线的判定与性质以及三角形内角和定理可求出，证明，得出，，则，最后根据平行线的判定即可得出结论； ②过A作交的延长线于F，连接，可证，得出，，由邻余四边形知，可求出，根据勾股定理求出，最后根据线段的垂直平分线的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵在邻余四边形中，，是钝角， ∴， 又， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：连接， ∵垂直平分， ∴，，， 又， ∴， 又， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是邻余四边形； 【小问3详解】 解：①四边形是平行四边形， 理由：∵在邻余四边形中，，是钝角， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； ②过A作交的延长线于F，连接， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 由邻余四边形知：， ∴，即， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了新定义，勾股定理与逆定理，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理等知识，掌握相关性质定理进行推理论证是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $