第七章 复数及其运算 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学复数单元复习讲义通过知识框架系统梳理了复数的概念、运算、几何意义及复数与方程应用，用表格呈现复数分类、运算公式等核心内容，思维导图展示几何意义与复平面点、向量的对应关系，清晰呈现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分题型设计练习，如题型1通过“已知复数是虚数求参数”考查概念辨析，题型3结合“复平面内点的象限问题”强化几何直观，培养数学抽象与逻辑推理素养。基础题巩固知识，综合题提升思维，助力分层教学，支持学生自主复习和教师精准教学。

第7章 复数及其运算 目录 题型1：复数的概念 4 题型2：复数的运算 4 题型3：复数的几何意义 4 题型4：复数与方程 5 1. 复数的概念 我们把形如的数叫做复数，记作：。其中，叫做虚数单位,与分别叫做复数的实部与虚部。全体复数所成的集合叫做复数集。 (1) 复数的分类 对于复数，当且仅当时，是实数；当时，叫做虚数；当且时，叫做纯虚数。 复数 (2) 复数相等 与相等当且仅当且，即当且仅当两个复数的实部与实部相等，虚部与虚部相等时，两个复数才相等。 (3) 共轭复数 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．复数的共轭复数用表示，即如果复数，那么． (4) 复数的几何意义 ①每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应。 ②设复平面内的点表示复数，连接，显然向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定． (5) 复数的模 向量的模叫做复数的模或绝对值，记作或．即，其中． 2. 复数的四则运算 设是任意两个复数，那么 ； ； ； . 3. 复数加法与减法的几何意义 (1) 复数加法的几何意义 若在同一条直线上，如图①，平移，使表示向量的有向线段起点与重合，终点到达点位置，则对应的复数即为复数的和。若不在同一条直线上，如图②，复数就是以为邻边的平行四边形的对角线所表示的向量所对应的复数。 ① ② (2) 复数减法的几何意义 复数就是连接表示的有向线段的终点，并指向表示被减向量的有向线段的终点的向量所对应的复数。 题型1：复数的概念 【例1.1.】 若复数，则实数的取值为__________. 【例1.2.】 已知是虚数，是实数，则的（    ） A．实部为1 B．实部为 C．虚部为1 D．虚部为 【例1.3.】 已知虚数z满足，则（    ） A．3 B．4 C． D． 【例1.4.】 已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【例1.5.】 若复数满足（其中为虚数单位），则（   ） A．10 B． C．5 D． 题型2：复数的运算 【例2.1.】 已知，则_________． 【例2.2.】 设，则z的共轭复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【例2.3.】 已知复数满足，则的实部为（   ） A． B． C． D． 题型3：复数的几何意义 【例3.1.】 已知复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例3.2.】 在复平面内，已知复数满足，且，则______. 【例3.3.】 在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则__________. 【例3.4.】 若复数满足，则的取值范围是___________． 题型4：复数与方程 【例4.1.】 已知复数，． (1)当z为纯虚数时，求m的值； (2)当时，z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 【例4.2.】 已知是虚数单位是关于的方程（其中）的一个根，则=__________. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 复数及其运算 目录 题型1：复数的概念 4 题型2：复数的运算 6 题型3：复数的几何意义 7 题型4：复数与方程 9 1. 复数的概念 我们把形如的数叫做复数，记作：。其中，叫做虚数单位,与分别叫做复数的实部与虚部。全体复数所成的集合叫做复数集。 (1) 复数的分类 对于复数，当且仅当时，是实数；当时，叫做虚数；当且时，叫做纯虚数。 复数 (2) 复数相等 与相等当且仅当且，即当且仅当两个复数的实部与实部相等，虚部与虚部相等时，两个复数才相等。 (3) 共轭复数 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．复数的共轭复数用表示，即如果复数，那么． (4) 复数的几何意义 ①每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应。 ②设复平面内的点表示复数，连接，显然向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定． (5) 复数的模 向量的模叫做复数的模或绝对值，记作或．即，其中． 2. 复数的四则运算 设是任意两个复数，那么 ； ； ； . 3. 复数加法与减法的几何意义 (1) 复数加法的几何意义 若在同一条直线上，如图①，平移，使表示向量的有向线段起点与重合，终点到达点位置，则对应的复数即为复数的和。若不在同一条直线上，如图②，复数就是以为邻边的平行四边形的对角线所表示的向量所对应的复数。 ① ② (2) 复数减法的几何意义 复数就是连接表示的有向线段的终点，并指向表示被减向量的有向线段的终点的向量所对应的复数。 题型1：复数的概念 【例1.1.】 若复数，则实数的取值为__________. 【答案】 【难度】0.63 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】根据复数可比较大小的充要条件为该复数是正实数，则条件转化为实部大于0，且虚部等于0，化简求解即可. 【详解】， ，解得， 故实数的取值为. 【例1.2.】 已知是虚数，是实数，则的（    ） A．实部为1 B．实部为 C．虚部为1 D．虚部为 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算 【分析】设虚数，直接利用复数的运算求出结果． 【详解】设虚数， 则， 而是实数，故，得到. 故选：B. 【例1.3.】 已知虚数z满足，则（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【难度】0.62 【知识点】复数的相等、求复数的模、共轭复数的概念及计算 【详解】设复数，已知，从而， 解得，即. 【例1.4.】 已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】复数的相等、求复数的模、复数加减法的代数运算、共轭复数的概念及计算 【分析】设复数 ， 根据模长公式，共轭复数的概念以及复数相等的条件即可求解. 【详解】设复数 ，则， 根据复数相等的条件可得，解得，所以. 【例1.5.】 若复数满足（其中为虚数单位），则（   ） A．10 B． C．5 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求复数的模、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【详解】由，得 因此，所以. 题型2：复数的运算 【例2.1.】 已知，则_________． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】求出，得出，即可计算出的值. 【详解】由题意，， ∴， ， ∴. 【例2.2.】 设，则z的共轭复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【详解】，则，所以的虚部为 【例2.3.】 已知复数满足，则的实部为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.78 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算 【详解】，，， ，， 故的实部为. 题型3：复数的几何意义 【例3.1.】 已知复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.72 【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限 【详解】复数在复平面内对应的点在第二象限， 所以解得，则实数的取值范围是． 【例3.2.】 在复平面内，已知复数满足，且，则______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】复数的向量表示、求复数的模 【分析】利用复数的几何意义，把复数和平面向量建立一一对应关系，再利用向量的模长加减运算数形结合求解即可. 【详解】设对应的复数为，对应的复数为， 则对应的复数为，对应的复数为， 因为，且， 所以为等腰直角三角形，且. 作正方形AOBC，如图所示， 则对应的复数为，故. 故答案为： 【例3.3.】 在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】复数的向量表示、复数加减法的代数运算、求复数的模 【分析】利用模相等和对应向量垂直列方程组求出，然后计算可得. 【详解】由题意可设对应的向量为对应的向量为， 由旋转性质得和模相等，且它们对应的向量垂直， 则解得 . 故答案为： 【例3.4.】 若复数满足，则的取值范围是___________． 【答案】 【难度】0.68 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【详解】在复平面内，设对应的点为，由， 得的集合是以为圆心，以4为半径的圆，是点到点的距离， 因为，所以， 即的取值范围是． 题型4：复数与方程 【例4.1.】 已知复数，． (1)当z为纯虚数时，求m的值； (2)当时，z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.86 【知识点】复数的相等、已知复数的类型求参数、复数范围内方程的根 【分析】（1）根据纯虚数实部为0、虚部不为0的定义列不等式组求解； （2）先计算时的值，代入实系数方程后利用复数相等的充要条件列方程组求解. 【详解】（1）复数，其中实部为，虚部为， 由纯虚数的定义得： ，解得. （2）当时， ， z是关于x的方程的一个根，得： ， 由复数相等的充要条件得： ， 解得， 代入方程得. 【例4.2.】 已知是虚数单位是关于的方程（其中）的一个根，则=__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】复数的相等、复数代数形式的乘法运算、复数范围内方程的根 【详解】由题目可得另一个根为，原式可化为， 则，故. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $