精品解析：山东济南市长清区2026年中考一模数学试题

九年级阶段检测数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本试题共8页；满分150分；考试时间为120分钟． 答卷前请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填在试卷规定的位置．考试结束后；将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. -2的倒数是（ ） A. -2 B. C. D. 2 2. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. “悟空”号全海深是中国哈尔滨工程大学自主研发的无人无缆潜水器，具备在米深海自主作业的能力，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 传统纹样作为中华传统文化的一部分，具有深厚的底蕴．徐州出土汉代玉器的下列纹样，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若，根据不等式的性质，下列变形一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 为增强学生健康饮食意识，某中学计划开展“营养健康伴成长，合理膳食筑未来”主题教育活动，从3名志愿者（2名男生，1名女生）中随机抽取2人担任活动宣讲员，抽取的恰好是1名男生和1名女生的概率是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，正六边形的边长为6，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分图形的弧长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，小聪按照以下步骤进行作图： ①在和上分别截取和，使，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点； ②分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线分别交，于点和点． 根据以上作图，若，，，，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 5 10. 二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表：且当时；与其对应的函数值；有下列结论：①函数图象的顶点在第四象限内；②和3是关于的方程的两个根：③；④若点，点在二次函数图象上，则；⑤方程有两个不相等的实数根．其中正确的结论有（ ） x … 0 1 2 … … t m n … A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案．） 11. 代数式的值为0，则______． 12. 桌上倒扣着背面图案相同的张扑克牌，其中张红桃，张黑桃．从中随机抽取张，则抽取的扑克牌的花色是红桃的概率是_____． 13. 如图是一款儿童小推车的示意图，若，，则的度数为__________． 14. 近年新能源汽车越来越受到人们的追捧．为了解某新能源汽车的充电速度，某校数学兴趣小组经调查研究发现：如图，用快速充电器时，汽车电池电量（单位：）与充电时间x（单位：h）的函数图象是折线：用普通充电器时，汽车电池电量（单位：）与充电时间（单位：h）的函数图象是线段．若该汽车电池电量从充至，则快速充电器比普通充电器少______h． 15. 如图，正方形的边上有一点E，将沿翻折，使得点C落在点F处，射线，相交于点G，若，，则______． 三、解答题（本题共10小题，共90分．解答时应写出文字说明，证明或演算步骤．） 16. 计算：； 17. 解不等式组，并写出它的整数解． 18. 如图，在菱形中，分别是边上的点，且． 求证：． 19. 图1是我国古代提水的器具桔槔（）；创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿；大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物；前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直）；小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力；从而提水出井．当放松大竹竿时；小竹竿下降；水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图；大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． （1）如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； （2）如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置；此时；求点A上升的高度（结果精确到0.1米）． （参考数据：） 20. 如图，是的直径；点D在直径上（D与不重合）；且；连接；与交于点F；在上取一点E；使与相切． （1）求证：； （2）若D是的中点，，求的长． 21. 跳绳是一项集健身与娱乐为一体的体育活动，有利于学生的身心健康发展．颖立中学为了解全校学生60秒钟的跳绳次数，随机抽取部分学生进行测试，并将测试所得数据整理成不完整的频数分布表和扇形统计图． A组学生跳绳次数（单位：次）如下：65 70 73 80 85 95 96 96 98 组别 次数（单位：次） 频数 A组 9 B组 C组 12 D组 3 根据以上信息回答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）A组学生跳绳次数的中位数是_____，的值是_____； （3）若颖立中学共有1500名学生，估计该中学60秒钟的跳绳次数在范围的学生有多少名． 22. 2026马年央视春晚中；宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作；是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元． （1）求A、B两种型号智能机器人的单价． （2）该企业现计划采购A型和B型机器人共15台，且B型机器人数量不超过A型机器人数量的4倍；当购买A型机器人多少台时采购总费用最少？最少采购总费用是多少？ 23. 如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点，点，与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点P是反比例函数图象在第一象限分支上的一点（不与点C重合），过点P作轴；交线段于Q；若；求点P的坐标． （3）若点M是x轴上一点，点N是反比例函数图象上一点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标． 24. 如图，在平面直角坐标系中抛物线交y轴于点；交x轴正半轴于点；交x轴负半轴于点A；连接． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图1，点P为直线上方抛物线上的一动点，连接、，设的面积为S，求出S的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，点是线段的中点，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 25. 在平行四边形中，，点分别为、上的两点． （1）如图1，若，且，则______°，______； （2）如图2，，求证：； （3）如图3，连接交于点，，若，求的值（用含m的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级阶段检测数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本试题共8页；满分150分；考试时间为120分钟． 答卷前请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填在试卷规定的位置．考试结束后；将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. -2的倒数是（ ） A. -2 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据倒数的定义（两个非零数相乘积为1，则说它们互为倒数，其中一个数是另一个数的倒数）求解． 【详解】解：-2的倒数是-， 故选：B． 【点睛】本题难度较低，主要考查学生对倒数等知识点的掌握． 2. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了主视图“从正面观察物体所得到的视图是主视图”，熟练掌握主视图的定义是解题关键．根据主视图的定义即可得． 【详解】解：这个几何体的主视图是， 故选：D． 3. “悟空”号全海深是中国哈尔滨工程大学自主研发的无人无缆潜水器，具备在米深海自主作业的能力，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 4. 传统纹样作为中华传统文化的一部分，具有深厚的底蕴．徐州出土汉代玉器的下列纹样，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内一个图形绕着一点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形完全重合，这个图形就叫做中心对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意； D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意； 故选：B． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘除法、积的乘方．根据合并同类项、同底数幂的乘除法、积的乘方运算法则逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、与不能合并，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 6. 若，根据不等式的性质，下列变形一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质：不等式两边同时加上或减去同一个数，不等号方向不变；不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．据此依次分析即可． 【详解】解：A．∵， ∴，即， 则原变形不成立，故此选项不符合题意； B．∵，， ∴， 则原变形不成立，故此选项不符合题意； C．∵， ∴， 则原变形成立，故此选项符合题意； D．∵，， ∴， 则原变形不成立，故此选项不符合题意． 故选：C． 7. 为增强学生健康饮食意识，某中学计划开展“营养健康伴成长，合理膳食筑未来”主题教育活动，从3名志愿者（2名男生，1名女生）中随机抽取2人担任活动宣讲员，抽取的恰好是1名男生和1名女生的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了列举法求概率，列举出所有等可能结果数是解题的关键． 通过列举所有可能抽取结果数和恰好抽取1名男生和1名女生，然后运用概率公式求解即可． 【详解】解：∵从3人（2男1女）中随机抽取2人，所有可能结果为：（男1，男2）、（男1，女）、（男2，女），共3种．其中恰好1男1女的结果为：（男1，女）、（男2，女），共2种． ∴恰好是1名男生和1名女生的概率是． 故选D． 8. 如图，正六边形的边长为6，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分图形的弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正多边形的外角求得内角的度数，进而根据弧长公式即可求解． 【详解】解：∵正六边形的边长为6， ， 图中阴影部分图形的弧长． 9. 如图，在中，小聪按照以下步骤进行作图： ①在和上分别截取和，使，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点； ②分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线分别交，于点和点． 根据以上作图，若，，，，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图-复杂作图、角平分线的性质和垂直平分线的性质、等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、勾股定理，连接，由三角形内角和定理求出，根据作法得平分，垂直平分，得，，从而证明，，由三角形外角的性质求出，进而求出，设，则，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， 由作法得平分，垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 则即， 解得． 故选：B． 10. 二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表：且当时；与其对应的函数值；有下列结论：①函数图象的顶点在第四象限内；②和3是关于的方程的两个根：③；④若点，点在二次函数图象上，则；⑤方程有两个不相等的实数根．其中正确的结论有（ ） x … 0 1 2 … … t m n … A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】先根据表格数据得到二次函数的对称轴、的值，推导出与的关系，再结合时得到的范围，最后根据二次函数的性质逐一判断每个结论． 【详解】解：由表格可知，当时，， ， 和的值相等，均为， ∴二次函数对称轴为直线， ∴，得， ∴二次函数解析式为， 时，，代入得， 化简得，解得，抛物线开口向上； ①顶点横坐标为，顶点纵坐标为， ∴顶点在第四象限，①正确； ②∵时，，对称轴为， 设关于对称轴的对称点横坐标为，则，解得， ∴时，即和是方程的两个根，②正确； ③当时，， 当时，， ∴， ∵， ∴，③错误； ④点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，， ∴，④正确； ⑤方程，即， 判别式， ∵， ∴，方程有两个不相等的实数根，⑤正确； 综上，正确的结论共个． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案．） 11. 代数式的值为0，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题根据分式值为零的条件求解，分式值为零需满足分子为零且分母不为零． 【详解】解：分式的值为， ∴， 解， 得， 由得， 综上可得． 12. 桌上倒扣着背面图案相同的张扑克牌，其中张红桃，张黑桃．从中随机抽取张，则抽取的扑克牌的花色是红桃的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的计算，直接应用概率公式：事件发生的概率等于该事件可能发生的结果数除以所有可能的结果数。 【详解】解：从7张扑克牌中随机抽取张，共有种等可能结果， 其中抽到红桃的有种结果， 抽取红桃的概率为． 故答案为：． 13. 如图是一款儿童小推车的示意图，若，，则的度数为__________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角定理，解题的关键是熟练掌握三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和． 先根据平行线的性质得到，再由三角形的外角定理得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ， ，， ， 故答案为：． 14. 近年新能源汽车越来越受到人们的追捧．为了解某新能源汽车的充电速度，某校数学兴趣小组经调查研究发现：如图，用快速充电器时，汽车电池电量（单位：）与充电时间x（单位：h）的函数图象是折线：用普通充电器时，汽车电池电量（单位：）与充电时间（单位：h）的函数图象是线段．若该汽车电池电量从充至，则快速充电器比普通充电器少______h． 【答案】（或1.5） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，分别利用待定系数法求出线段对应的函数关系式为，线段对应的函数关系式为，再结合题意求解即可，正确求出函数解析式是解此题的关键． 【详解】解：设线段对应的函数关系式为， 将和代入函数解析式可得， 解得：， ∴线段对应的函数关系式为， 设线段对应的函数关系式为， 将和代入函数解析式可得， 解得：， ∴线段对应的函数关系式为， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∵， ∴快速充电器比普通充电器少， 故答案为：． 15. 如图，正方形的边上有一点E，将沿翻折，使得点C落在点F处，射线，相交于点G，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】作于点，于点，由正方形的性质，折叠的性质，证明，得到，，由，得，由，求得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点，于点，则， 四边形是正方形，点在边上，，， ，， AI 将沿翻折，点落在点处， ，，，， ，， ， ， ，， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 三、解答题（本题共10小题，共90分．解答时应写出文字说明，证明或演算步骤．） 16. 计算：； 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，先运算零指数次幂、负整数指数次幂、绝对值和二次根式的化简以及特殊角的三角函数值，然后进行合并即可． 【详解】解：原式 ． 17. 解不等式组，并写出它的整数解． 【答案】不等式组的解集为，整数解为：0，1，2 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据夹逼原则求出不等式组的解集，进而求出不等式组的整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组和求不等式组的整数解，正确求出每个不等式的解集进而求出不等式组的解集是解题的关键． 18. 如图，在菱形中，分别是边上的点，且． 求证：． 【答案】 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，先根据菱形的性质得到，再由线段的和差关系证明，则可利用证明，据此由全等三角形对应边相等可证明． 【详解】略． 19. 图1是我国古代提水的器具桔槔（）；创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿；大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物；前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直）；小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力；从而提水出井．当放松大竹竿时；小竹竿下降；水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图；大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． （1）如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； （2）如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置；此时；求点A上升的高度（结果精确到0.1米）． （参考数据：） 【答案】（1）1.7米 （2）0.6米 【解析】 【分析】（1）作于点，则，由题意得：，，求得，米，根据，即可求解； （2）由（1）知，，，可求得米，作于点，则，同理可得，，，根据，可求得，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，作于点，则， 由题意得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵O为的中点，米， ∴米， 在中，， ，， ∴支点到小竹竿的距离（米）； 【小问2详解】 解：由（1）知，，， ∴米， 如图，作于点，则， 同理可得，， ∴， 在中，， ， ∴， ∴米， ∴水桶在竖直方向上升的距离约为0.6米． 20. 如图，是的直径；点D在直径上（D与不重合）；且；连接；与交于点F；在上取一点E；使与相切． （1）求证：； （2）若D是的中点，，求的长． 【答案】（1）证明：连接OF， ， ， ， 是的半径，是的切线， ∴， ∴ ， ， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据垂直定义可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质可得，由切线的性质得，继而得到，即可解答； （2）连接，根据已知可得，，从而在中，利用勾股定理求出，然后利用直径所对的圆周角是直角可得，从而可证，进而利用相似三角形的性质可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ， ， 是的中点， ， ， 在中，， ， 是的直径， ， ， ∵， ， ， ， ． 21. 跳绳是一项集健身与娱乐为一体的体育活动，有利于学生的身心健康发展．颖立中学为了解全校学生60秒钟的跳绳次数，随机抽取部分学生进行测试，并将测试所得数据整理成不完整的频数分布表和扇形统计图． A组学生跳绳次数（单位：次）如下：65 70 73 80 85 95 96 96 98 组别 次数（单位：次） 频数 A组 9 B组 C组 12 D组 3 根据以上信息回答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）A组学生跳绳次数的中位数是_____，的值是_____； （3）若颖立中学共有1500名学生，估计该中学60秒钟的跳绳次数在范围的学生有多少名． 【答案】（1）60 （2）85，36 （3）900 【解析】 【分析】本题主要考查频率分布表和扇形统计图、中位数，熟练掌握频率分布表和扇形统计图、中位数是解题的关键； （1）由扇形统计图和频率分布表可知C组的人数为12人，所占百分比为，然后问题可求解； （2）根据中位数的定义可进行求解； （3）由（1）（2）及题意可进行求解． 【小问1详解】 解：由题意得：（名）． 答：一共抽取60名学生． 【小问2详解】 解：由A组学生跳绳次数（单位：次）如下：65、70、73、80、85、95、96、96、98，排在中间位置的数是85，所以A组学生跳绳次数的中位数是85， ； 故答案为85，36． 【小问3详解】 解：由题意得：（名）． 答：估计该中学60秒钟的跳绳次数在范围的学生有900名． 22. 2026马年央视春晚中；宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作；是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元． （1）求A、B两种型号智能机器人的单价． （2）该企业现计划采购A型和B型机器人共15台，且B型机器人数量不超过A型机器人数量的4倍；当购买A型机器人多少台时采购总费用最少？最少采购总费用是多少？ 【答案】（1）A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 （2）采购A型机器人3台时，采购费用最低，最低采购费用为960万元 【解析】 【分析】（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据“买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元”列方程组求解即可； （2）设购买A型机器人m台，则B型机器人台，总采购费用为万元，根据“B型机器人数量不超过A型机器人数量的4倍”列不等式求出，列出的函数关系式，再根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 得：， 解得：． 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； 【小问2详解】 解：设购买A型机器人m台，则B型机器人台，总采购费用为万元， 根据题意得， 解得：， 根据题意可得， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取最小值， 此时万元， 答：采购A型机器人3台时，采购费用最低，最低采购费用为960万元． 23. 如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点，点，与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点P是反比例函数图象在第一象限分支上的一点（不与点C重合），过点P作轴；交线段于Q；若；求点P的坐标． （3）若点M是x轴上一点，点N是反比例函数图象上一点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法进行解答即可； （2）作轴于点，交于点，平行线分线段成比例得到， 求出，，得到点的纵坐标为3，即可求出答案； （3）分、为对角线、为对角线、为对角线三种情况进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为， ∵点在直线上， ∴， 解得， ∴点， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为 【小问2详解】 解：作轴于点，交于点， ∵点， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴点的纵坐标为3， ∴，解得 ∴点的坐标为． 【小问3详解】 解：设，， 以，C，，为顶点的四边形是平行四边形，， 当、为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得， ； 当、为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得， （舍）； 当、为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得：； 综上所述，点的坐标为或． 24. 如图，在平面直角坐标系中抛物线交y轴于点；交x轴正半轴于点；交x轴负半轴于点A；连接． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图1，点P为直线上方抛物线上的一动点，连接、，设的面积为S，求出S的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，点是线段的中点，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【答案】（1） （2）的最大值为，点 （3）或 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）将代入，得到，运用待定系数法求出直线的解析式为．过点P作轴，交于点M，设点，则点，，，根据二次函数的性质即可求解； （3）先求出新抛物线的表达式，分类讨论当点在轴下方和上方时，可分别求出直线的表达式，与抛物线联立即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴该抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：将代入得， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 过点P作轴，交于点M 设点，则点， ∴， ∴， ∴当时，有最大值为， 此时， ∴的最大值为，此时点； 【小问3详解】 解：如图，原抛物线沿射线方向平移个单位长度， ∵， 相当于抛物线先向左平移1个单位长度、再向上平移3个单位长度， 则新抛物线的表达式为，即． 当点在轴下方时， 设直线交轴于点，过点作于点，此时， ∵为中点，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 当时，为等腰直角三角形， 设， 则在中，， ∴， ， ∵， ∴ ∴； ∴， ∴ ∴， 设直线的函数表达式为， ∵直线过点，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立直线和新抛物线得，有， 整理，得， 解得， ∵，舍去， ∴，即点的横坐标为； 当点在轴上方时，此时， 设直线与轴交于， ∵，， ∴在中，， ， 当时，， ∴在中，， ∴， 即， 设直线的解析式为：， ∵直线过点，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立直线和新抛物线，得，有， 整理，得， 解得， ∵，舍去， ∴， 即点的横坐标为； 综上，点的横坐标为或． 25. 在平行四边形中，，点分别为、上的两点． （1）如图1，若，且，则______°，______； （2）如图2，，求证：； （3）如图3，连接交于点，，若，求的值（用含m的代数式表示）． 【答案】（1）； （2）证明：在的延长线上取点M，使， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）利用证明，进一步即可求出答案； （2）在的延长线上取点M，使，证明，即可求解； （3）延长至N，使，证明，得到，再由，得到，由此可求． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形，，，， ∴， ∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴ 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：延长至N，使， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $