精品解析：2025年山东省济南市长清区中考一模数学试卷

九年级阶段检测 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本试题共8页，满分150分，考试时间为120分钟． 答卷前请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填在试卷规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 在0、、、这四个数中，最大的数是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 篆刻是中华传统艺术之一．如图是一块雕刻印章的材料，从正面看这个印章，得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 3. 根据某网站统计数据，截至止2025年1月，的总访问量达到了278000000次，其中278000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4 如图，已知△ABC≌△ADC，∠B=30°，∠DAC=25°，则∠ACB=（ ） A. 55° B. 60° C. 120° D. 125° 5. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 小芳和小颖分别从“趵突泉”、“大明湖”、“千佛山”三处景点中随机选择一处游玩，则两人恰好选中同一景点的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若，则代数式的值为（ ） A. B. C. 2 D. 9. 如图，在矩形中，，，以B为圆心，适当的长为半径画弧，交，于M，N两点；再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点F；再以B为圆心，的长为半径画弧，交射线于点E，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图（1），在中，点O为其中心，，．动点P从点A出发，沿运动到点E，再从点E沿直线运动到上的点F．设点P运动的路程为x，的面积为y（当点A，O，P共线时，），y与x的函数关系的图象如图（2）所示，则下列结论：①，②，③，④，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②④ 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案．） 11. 若正多边形一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________. 12. 一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是____________________． 13. 将一块直角三角板按如图所示的方式放置在平行线a，b之间．若，则的度数为_________． 14. 电信公司手机的收费标准有两类，已知每月应缴费用（元）与通话时间（分）之间的关系如图所示．当通话时间为分钟时，按这两类收费标准缴费的差为_________元． 15. 如图，在矩形中，．将矩形对折，得到折痕；沿着折叠，点D的对应点为E，与的交点为F；再沿着折叠，使得与重合，折痕为，此时点B的对应点为G．则_________． 三、解答题（本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： 17. 解不等式组，并写出该不等式组的整数解． 18. 如图，在平行四边形中，点E在边上，且，点F为线段上一点，且．求证：． 19. 踢正步是解放军战士的一门必修课．图1是一名解放军战士踢正步的场景，图2是它的示意图，已知，这名解放军战士的身高为，他到军帽的长为长的，为他的右臂（不含手掌），、分别为他的左腿和右腿，．（参考数据：，，结果保留到） （1）若点到的垂直距离为，，求他的腿的长度； （2）若（1）中条件不变，手臂的长度为，点到点的竖直距离为，，求军帽的长度． 20. 如图，内接于，是的直径，过上的点作，交的延长线于点，交于点，过点作的切线交于点． （1）求证：； （2）若半径为，，，求的长． 21. 近年来，体育在青少年成长中的多元价值已经得到广泛认同，某校鼓励学生利用课余时间进行体育锻炼．为了解本校学生周末校外体育活动情况，随机对本校40名学生周末某天的校外体育活动时间进行了调查，并按照体育活动时间分A，B，C，D，以下是部分数据和不完整的统计图表： 体育活动时间在范围内的数据： 70，80，75，80，75，70．85，75，70，80，70，65，75，85，80，70不完整的统计表： 体育活动时间x（min） 等级 D C B A 人数 6 a 16 结合以上信息回答下列问题： （1）统计表中的______； （2）统计图中B组对应扇形的圆心角为______度； （3）体育活动时间在范围内的数据的众数是______；调查的40名同学体育活动时间的中位数是______； （4）根据调查结果，请你估计全校1600名同学体育活动时间不少于的人数． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 为落实《健康中国行动（2019—2030）》等文件精神，某学校准备购进一批排球和足球促进校园体育活动，请你根据以下素材，探索完成任务： 素材1 某体育器材店每个排球的价格比足球的价格少元，用元购买的排球数量与元购买的足球数量相等． 素材2 该学校决定购买排球和足球共个，且购买足球的数量不少于排球的数量，同时该体育器材店为支持该学校体育活动，对排球给折优惠，足球给予8折优惠． 问题解决 任务1 探求商品单价 请求出每个排球和足球价格． 任务2 确定购买方案 运用数学知识，确定该学校本次购买排球和足球所需费用最少的方案，并求出最少费用． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数图象于点N，连接，若是以为底边的等腰三角形，求的面积； （3）点P为反比例函数图象上一点，连接，若，求点P的坐标． 24. 二次函数的图象交x轴于点，点，交轴于点，抛物线的顶点为点． （1）求二次函数解析式； （2）如图1，点是抛物线上的一点，设点P的横坐标为，点在对称轴上，且，若，请求出的值； （3）如图2，将抛物线绕轴正半轴上一点旋转得到新抛物线交轴于，两点，点的对应点为点，点B的对应点为点．若，求旋转中心点的坐标 25. 某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，进行了深入研究． （1）如图1，在中，D为上一点，．求证：． 【拓展探究】 （2）如图2，在菱形中，E，F分别为，上的点，且，射线交的延长线于点M，射线交的延长线于点N．若，．求的长； 【学以致用】 （3）如图3，在菱形中，，，以点B为圆心作半径为3的圆，其中点P是圆上的动点，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级阶段检测 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本试题共8页，满分150分，考试时间为120分钟． 答卷前请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填在试卷规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 在0、、、这四个数中，最大的数是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据实数比较大小的方法解答即可得. 【详解】解：因为， 所以，最大的数是， 故选：D. 【点睛】本题考查了比较实数的大小，正数大于0，负数都小于0，两个负数比较大小，绝对值大的反而小. 2. 篆刻是中华传统艺术之一．如图是一块雕刻印章材料，从正面看这个印章，得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查从不同方向看几何体，掌握简单组合体从不同方向看到的图形的画法是正确解答的关键；画出从正面看这个印章的平面图形，进行作答即可； 【详解】解：这个组合体从正面看，得到的平面图形如图所示： 故选：B 3. 根据某网站统计数据，截至止2025年1月，的总访问量达到了278000000次，其中278000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：278000000用科学记数法表示为． 故选：B． 4. 如图，已知△ABC≌△ADC，∠B=30°，∠DAC=25°，则∠ACB=（ ） A. 55° B. 60° C. 120° D. 125° 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据三角形全等可得：∠BAC=∠DAC=25°， 根据三角形的内角和定理可得：∠ACB=180°-30°-25°=125°. 故选：D. 【点睛】本题考查三角形全等的性质. 5. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法与除法运算，幂的乘方运算，根据合并同类项法则、幂的乘方、同底数幂乘法除法法则逐一分析判断即可． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B正确； C、，故C错误； D、，故D错误． 故选：B． 6. 小芳和小颖分别从“趵突泉”、“大明湖”、“千佛山”三处景点中随机选择一处游玩，则两人恰好选中同一景点的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．画出树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选中同一景点的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：将“趵突泉”、“大明湖”、“千佛山”三看着A，B，C；画树状图如图： 共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场所的结果数为3， ∴两人恰好选中同一景点的概率， 故选：B． 7. 关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）⇔方程有两个不相等的实数根；（2）⇔方程有两个相等的实数根；（3）⇔方程没有实数根，求解即可． 【详解】解：根据题意得， 解得：， 故选：A． 8. 若，则代数式的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，注意计算的准确性即可． 【详解】解：∵， ∵， ∴， 故选：D 9. 如图，在矩形中，，，以B为圆心，适当的长为半径画弧，交，于M，N两点；再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点F；再以B为圆心，的长为半径画弧，交射线于点E，则的长为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作图—角平分线，角平分线的性质和勾股定理．根据题意判断出BE为的平分线是解题关键． 过点F作于Q．由勾股定理可求出．根据题意可判定BE为的平分线，又可得出，从而可得出，，进而可求出．设，则，在中，根据勾股定理可列出关于x的等式，求出x，即得出FC的长，再利用勾股定理可求出BF的长，从而可求出EF的长． 【详解】如图，过点F作于Q ． ∵，， ∴． 根据题意可知为的平分线，， ∴，， ， ∴． ∴． 设，则． ∵在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 10. 如图（1），在中，点O为其中心，，．动点P从点A出发，沿运动到点E，再从点E沿直线运动到上的点F．设点P运动的路程为x，的面积为y（当点A，O，P共线时，），y与x的函数关系的图象如图（2）所示，则下列结论：①，②，③，④，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值的应用，中位线的性质，平行线分线段成比例的应用，连接，过作于，结合题意可得，，三点共线，由函数图象可得：当时，可得，当时，动点从点沿直线运动到上的点，此时的面积不变，可得，，再进一步求解即可，作出合适的辅助线是解本题的关键． 【详解】解：如图，连接，过作于，结合题意可得，，三点共线， 由函数图象可得：当时，动点从点出发，沿匀速运动到点， ， 故①正确； 当时，动点从点沿直线运动到上的点， 此时的面积不变， ，，故②正确； ， 由条件可知， ， ，， ， 故③错误， 由平行线性质可知， ， ；故④正确； 故选：B． 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案．） 11. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用可求得边数． 【详解】解：多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是， 即该正多边形的边数是8， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了多边形外角和以及多边形的边数，解题的关键是掌握正多边形的各个内角相等，各个外角也相等． 12. 一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．根据几何概率的求法：最终停留在黑色的方砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：这个图形的总面积为9，阴影部分的面积为4，因此阴影部分占整体的， 所以小球最终停留在黑砖上的概率是， 故答案为：． 13. 将一块直角三角板按如图所示的方式放置在平行线a，b之间．若，则的度数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，作，推出，得到，据此即可求解； 【详解】解：作，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 14. 电信公司手机的收费标准有两类，已知每月应缴费用（元）与通话时间（分）之间的关系如图所示．当通话时间为分钟时，按这两类收费标准缴费的差为_________元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，用待定系数法求函数解析式，用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 设类收费的解析式为，类收费的解析式为，分别用待定系数法求出函数解析式，当时，求出的值，计算即可得到答案． 【详解】解：设类收费的解析式为， 把代入得， 解得：， 类收费的解析式为； 设类收费的解析式为， 把代入得， 解得， 设类收费的解析式为； 当时， ， ， （元）， 当通话时间为分钟时，按这两类收费标准缴费的差为元， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，．将矩形对折，得到折痕；沿着折叠，点D的对应点为E，与的交点为F；再沿着折叠，使得与重合，折痕为，此时点B的对应点为G．则_________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明直角三角形，设，则，由，求得，再证明，设，则，利用勾股定理求得，，据此求解即可． 【详解】解：由折叠可知：，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， 设，则， 由折叠可知：，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵矩形中，， ∴， 由折叠可知：， ∴， ∴， 设，则， ∵，即， 解得，则， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查翻折问题，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，证明是直角三角形是解题的关键． 三、解答题（本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 利用乘方、特殊角三角函数值、负整数指数幂、零指数幂、绝对值法则计算即可． 【详解】解： 17. 解不等式组，并写出该不等式组的整数解． 【答案】；整数解为 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是解题的关键．先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为， 不等式组整数解为． 18. 如图，在平行四边形中，点E在边上，且，点F为线段上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，由平行四边形的性质推出，得到，由推出． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 19. 踢正步是解放军战士的一门必修课．图1是一名解放军战士踢正步的场景，图2是它的示意图，已知，这名解放军战士的身高为，他到军帽的长为长的，为他的右臂（不含手掌），、分别为他的左腿和右腿，．（参考数据：，，结果保留到） （1）若点到的垂直距离为，，求他的腿的长度； （2）若（1）中条件不变，手臂的长度为，点到点的竖直距离为，，求军帽的长度． 【答案】（1）解放军战士的腿的长度为约为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用； （1）如图，过点作于点，根据，即可求解； （2）如图，过点作于点，先求得，进而求得， 根据军帽的长为长的，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点 ，， 解放军战士的腿的长度为. 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， ，， ，又， ， ． 20. 如图，内接于，是的直径，过上的点作，交的延长线于点，交于点，过点作的切线交于点． （1）求证：； （2）若的半径为，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接OB，根据是的直径，得出，根据BF与相切则，可得，又，等量代换可得； （2）由（1）可得，进而得出，在中，得出，则，在中，，即可求解． 【小问1详解】 解：证明：连接OB， ∵是的直径， ∴ ∴ ∴ ∵BF与相切 ∴，即 ∴ ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 由（1）． ∴， 设， ∴ ∴， ∵⊙O的半径为， ∴， 在中， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴ 又∵， ∴ 在中，． ∴ 【点睛】本题考查了解直角三角形，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 21. 近年来，体育在青少年成长中的多元价值已经得到广泛认同，某校鼓励学生利用课余时间进行体育锻炼．为了解本校学生周末校外体育活动情况，随机对本校40名学生周末某天的校外体育活动时间进行了调查，并按照体育活动时间分A，B，C，D，以下是部分数据和不完整的统计图表： 体育活动时间在范围内的数据： 70，80，75，80，75，70．85，75，70，80，70，65，75，85，80，70不完整的统计表： 体育活动时间x（min） 等级 D C B A 人数 6 a 16 结合以上信息回答下列问题： （1）统计表中的______； （2）统计图中B组对应扇形的圆心角为______度； （3）体育活动时间在范围内的数据的众数是______；调查的40名同学体育活动时间的中位数是______； （4）根据调查结果，请你估计全校1600名同学体育活动时间不少于的人数． 【答案】（1）10 （2）144 （3）70；70 （4）960 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数、扇形统计图，从扇形统计图准确获取信息是解决问题的前提，样本估计总体是统计中常用的方法． （1）根据总人数以及所占百分比计算即可； （2）用乘以B组对应的百分比，即可求解； （3）根据众数和中位数的概念，即可求解； （4）用1600乘以课外阅读时间不少于的人数所占的百分比，即可求解． 【小问1详解】 解： 故答案为：10． 【小问2详解】 故答案为：． 【小问3详解】 ∵体育活动时间在范围内，65出现1次，70出现5次，75出现4次，80出现4次，85出现2次， ∴众数是70， A等级人数：（人） 按从小到大顺序排列，第20、21位同学体育活动时间均为70 ∴中位数为 故答案为：70；70． 【小问4详解】 A等级人数：（人） （人） 答：估计全校1600名同学体育活动时间不少于的人数有960人． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 为落实《健康中国行动（2019—2030）》等文件精神，某学校准备购进一批排球和足球促进校园体育活动，请你根据以下素材，探索完成任务： 素材1 某体育器材店每个排球的价格比足球的价格少元，用元购买的排球数量与元购买的足球数量相等． 素材2 该学校决定购买排球和足球共个，且购买足球的数量不少于排球的数量，同时该体育器材店为支持该学校体育活动，对排球给折优惠，足球给予8折优惠． 问题解决 任务1 探求商品单价 请求出每个排球和足球的价格． 任务2 确定购买方案 运用数学知识，确定该学校本次购买排球和足球所需费用最少的方案，并求出最少费用． 【答案】任务1：每个排球元，每个足球元；任务2：购买方案为：个排球，个足球时费用最小，最小费用为元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程以及一次函数在实际问题中的营养，正确理解题意是解题关键． 任务1：设排球的单价为x元，则足球的单价是；根据题意，得，据此即可求解； 任务2：设排球购买m个，则足球购买了个，根据题意得，解得 ；设总费用为w元，根据 即可求解； 【详解】任务1解：设排球的单价为x元，则足球的单价是； 根据题意，得， 解得 经检验，是原方程的根， 足球的单价：， 答：每个排球元，每个足球元； 任务2解：设排球购买m个，则足球购买了个， 根据题意得， 解得 设总费用为w元，根据题意 因为，所以w随m的增大而减小， ∴当时，w最小元， 所以购买方案为：个排球，个足球时费用最小，最小费用为元． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数图象于点N，连接，若是以为底边的等腰三角形，求的面积； （3）点P为反比例函数图象上一点，连接，若，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）8 （3）点P坐标为 【解析】 【分析】（1）先求出一次函数的解析式，然后可得点B坐标，进而问题可求解； （2）设点M坐标为，则点N坐标为，过点B作于点H，然后可得，进而问题可求解； （3）取中点C，过点C作交x轴于点D，连接，则与反比例函数图象交点即为点P，过点B作轴于点H，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：将代入，得， 把点代入一次函数得：， ， ； 【小问2详解】 解：设点M坐标为，则点N坐标为， 过点B作于点H， ， ， 由（1）可知， ， 解得：，（舍）， ； 【小问3详解】 解：取中点C，过点C作交x轴于点D 连接，则与反比例函数图象交点即点P 过点B作轴于点H ， ∵，，且点C为的中点 ∴，， 直线的函数表达式为 联立，解得或（舍） 点P坐标为． 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何综合及相似三角形的性质与判定，熟练掌握反比例函数的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 24. 二次函数的图象交x轴于点，点，交轴于点，抛物线的顶点为点． （1）求二次函数的解析式； （2）如图1，点是抛物线上的一点，设点P的横坐标为，点在对称轴上，且，若，请求出的值； （3）如图2，将抛物线绕轴正半轴上一点旋转得到新抛物线交轴于，两点，点的对应点为点，点B的对应点为点．若，求旋转中心点的坐标 【答案】（1） （2） （3）R 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）证明，则，即可求解； （3）在中，，，则，解得，在中，，故点的坐标为，进而求解． 【小问1详解】 解：将，点，代入函数解析式得：， 解得：， 这个二次函数的表达式是； 【小问2详解】 解：过点作轴的平行线交过点与轴的平行线与点，交过点与轴的平行线于点， ，， ， ， ， ， 设点的坐标为，点的坐标为， 则，，，， 即， 解得（舍去）或4， 故； 【小问3详解】 解：过点作交的延长线于点， 由抛物线的表达式知，点，， 则， ，故， 故设，则， 在中，，， 则，解得， 在中，， 故点的坐标为， 由旋转的定义知，点是点、的中点， 则， 故点的坐标为． 【点睛】本题要考查了二次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、图形的旋转、解直角三角形，解题的关键是正确的利用性质． 25. 某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，进行了深入研究． （1）如图1，在中，D为上一点，．求证：． 【拓展探究】 （2）如图2，在菱形中，E，F分别为，上的点，且，射线交的延长线于点M，射线交的延长线于点N．若，．求的长； 【学以致用】 （3）如图3，在菱形中，，，以点B为圆心作半径为3的圆，其中点P是圆上的动点，请直接写出的最小值． 【答案】（1）见解析，（2），（3） 【解析】 【分析】（1）由，，可得，进而有，根据比例的基本性质即可得出结论成立； （2）连接，由菱形可得，进而证明，得即可求出的长； （3）如图，过点D作垂直的延长线于点M，在上取一点Q，使得，连接，，先利用勾股定理求出，，再证明得出，从而得出即可得出最小值． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：连接， 在菱形中，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， （3）解：如图，过点D作垂直的延长线于点M，在上取一点Q，使得，连接，， 菱形中，， ，， ， ， ， ， ，， ， ，，， ， ， ， ， ， 即， ， 最小值为 ． 【点睛】本题主要考查了圆的概念、三角形的两边之和大于第三边、勾股定理、相似三角形的性质和判定及菱形的性质，构造辅助线将求和的两条线段转入同一三角形中利用三角形的两边之和大于第三边求最小值是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $