第三讲 带电粒子在复合场中的运动 讲义-2025-2026学年高二下学期物理粤教版选择性必修第二册

粤教版（2019）选择性必修第二册复习讲义 第三讲 带电粒子在复合场中的运动 一．带电粒子在组合场中运动 “电偏转”和“磁偏转”的比较 垂直电场线进入匀强电场(不计重力) 垂直磁感线进入匀强磁场(不计重力) 受力情况 电场力F＝qE，其大小、方向不变，与速度v无关，F是恒力 洛伦兹力F洛＝qvB，其大小不变，方向随v而改变，F洛是变力 轨迹 抛物线 圆或圆的一部分 运动轨迹 求解方法 利用类似平抛运动的规律求解： vx＝v0，x＝v0t vy＝·t， y＝··t2 偏转角φ： tan φ＝＝ 半径：r＝ 周期：T＝ 偏移距离y和偏转角φ要结合圆的几何关系利用圆周运动规律讨论求解 运动时间 t＝ t＝T＝ 动能 变化 不变 带电粒子在组合场中运动的分析思路及技巧 1．基本思路 2．解题关键：抓住联系两个场的纽带——速度． 2、 带电体在叠加场中的运动 1．带电体在叠加场中无约束情况下的运动情况分类 (1)洛伦兹力、重力并存 ①若重力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动． ②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒，由此可求解问题． (2)静电力、洛伦兹力并存(不计重力的微观粒子) ①若静电力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动． ②若静电力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解问题． (3)静电力、洛伦兹力、重力并存 ①若三力平衡，一定做匀速直线运动． ②若重力与静电力平衡，一定做匀速圆周运动． ③若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒定律或动能定理求解问题． 2．带电体在叠加场中有约束情况下的运动 带电体在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求解． 粒子在叠加场中运动分析思路 三、带电粒子在复合场中的实际应用 1．质谱仪 (1)构造：如图1所示，由粒子源、加速电场、偏转磁场和照相底片等构成． 图1 (2)原理：粒子由静止被加速电场加速，qU＝mv2. 粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qvB＝m. 由以上两式可得r＝ ，m＝，＝. 2．回旋加速器 (1)构造：如图2所示，D1、D2是半圆形金属盒，D形盒的缝隙处接交流电源，D形盒处于匀强磁场中． 图2 (2)原理：交流电的周期和粒子做圆周运动的周期相等，粒子经电场加速，经磁场回旋，由qvB＝，得Ekm＝，可见粒子获得的最大动能由磁感应强度B和D形盒半径r决定，与加速电压无关． 考点一：带电粒子在组合场中运动分析 例1.图甲是洛伦兹力演示仪。图乙是演示仪结构图，玻璃泡内充有稀薄的气体，由电子枪发射电子束，在电子束通过时能够显示电子的径迹。图丙是励磁线圈的原理图，两线圈之间产生近似匀强磁场，线圈中电流越大磁场越强，磁场的方向与两个线圈中心的连线平行。电子速度的大小和磁感应强度可以分别通过电子枪的加速电压和励磁线圈的电流来调节。若电子枪垂直磁场方向发射电子，给励磁线圈通电后，能看到电子束的径迹呈圆形。关于电子束的轨道半径，下列说法正确的是（    ） A．只增大电子枪的加速电压，轨道半径变小 B．只增大励磁线圈中的电流，轨道半径变大 C．同时增大电子枪的加速电压和励磁线圈中的电流，轨道半径一定变小 D．增大电子枪的加速电压同时减小励磁线圈中的电流，轨道半径一定变大 例2.如图所示，在xOy平面直角坐标系的第Ⅰ象限内有一垂直纸面向里的圆形匀强磁场区域，与x轴、y轴分别相切于A（L，0）、C（0，L）两点，第Ⅱ象限内有沿y轴负方向的匀强电场。一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子从A点沿y轴正方向以v0射入磁场，经C点射入电场，最后从x轴上离O点的距离为2L的P点射出，不计粒子的重力。求： (1)匀强磁场磁感应强度B的大小； (2)电场强度E的大小； (3)粒子在磁场和电场中运动的总时间。 考点二：带电粒子在叠加场中的直线运动 例1.如图，匀强电场的方向竖直向下，匀强磁场的方向垂直纸面向里，三个油滴a、b、c带有等量同种电荷，其中a静止，b向右做匀速运动，c向左做匀速运动，比较它们的重力、、间的关系，正确的是（　　） A．最大 B．最小 C．最大 D．最小 例2.一个质量为m=0.1g的小滑块，带有的电荷量，放置在倾角为的固定绝缘光滑斜面（足够长）上，斜面置于B=0.5T的匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里，如图所示。小滑块由静止开始沿斜面下滑，滑至某一位置时要离开斜面，g取10。则： (1)小滑块带何种电荷? (2)小滑块在斜面上运动的加速度及最大速度分别是多大? 考点三：带电粒子在叠加场中的曲线运动 例1.磁控管是电子显微镜的核心部件之一。某科研机构的电子显微镜中磁控管内局部区域分布着竖直向上的匀强电场E和垂直纸面向里的匀强磁场B。一电子从M点由静止释放，沿图中轨迹依次经过N、P两点，且N点离虚线最远。已知电子质量为m、电荷量为，M点为零电势点，电子重力不计，则（    ） A．电子在N点的速率为 B．N点离虚线的距离为 C．电子在N点的电势能为 D．M、P两点的距离为 例2.．如图所示，在方向水平向里、磁感应强度大小的匀强磁场中，有一根长的竖直光滑绝缘细杆，细杆顶端套有一个质量、电荷量的小环。现让细杆以的速度沿垂直磁场方向水平向右匀速运动，同时释放小环（竖直方向初速度为0），小环最终从细杆底端飞出，重力加速度g取。关于小环的运动，下列说法正确的是（　　） A．洛伦兹力对小环做正功 B．小环做匀变速直线运动 C．小环在绝缘细杆上运动的时间为 D．小环离开绝缘细杆时的速度大小为 例3.如图所示，在区域Ⅰ有与水平方向成的匀强电场，电场方向斜向左下方；在区域Ⅱ有竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，电场强度大小，磁感应强度大小为。区域Ⅰ、Ⅱ的边界均沿竖直方向。一质量为、电荷量为的微粒从区域Ⅰ的左边界点由静止释放。微粒沿水平虚线向右运动，进入区域Ⅱ，区域Ⅱ的宽度为。微粒从区域Ⅱ右边界的点（图中未画出）离开复合场区域，速度方向偏转了，重力加速度为。求： （1）区域Ⅰ的电场强度大小。 （2）微粒进入区域Ⅱ时的速度大小。    考点四：洛伦兹力与现代技术 例1.质谱仪是测定带电粒子质量和分析同位素的重要仪器，其工作原理如图所示。带电粒子被加速电场加速后，进入速度选择器，再进入偏转磁场打在底片上。下列说法正确的是（    ） A．速度选择器中的磁场方向一定垂直纸面向里 B．能通过狭缝P的带电粒子具有相同的速度 C．打在底片上的位置越靠近狭缝P，粒子的比荷越小 D．该装置只能分析带正电的粒子 例2.1930年劳伦斯制成了世界上第一台回旋加速器，其原理如图所示，置于真空中的两个D形金属盒半径为R，两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过的时间可忽略；金属盒内磁场磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直，交流电源频率为f，粒子每次穿过狭缝时加速电压为U。若加速的粒子质量为m、电荷量为q。则下列说法正确的是（   ） A．若只增大交流电压U，则粒子获得的最大速度增大 B．若只增大D形金属盒半径，则粒子获得的最大速度增大 C．若只增大磁感应强度为B，则交流电源频率为f必须适当变小 D．不同质量、相同电荷量的粒子都可以在同一加速器中正常加速 巩固练习 一、单选题 1．现代质谱仪可用来分析比质子重很多的离子，其示意图如图所示，加速电场电压为U，偏转区域匀强磁场的磁感应强度为B。现有一质量为m、电荷量为q的正离子，在加速电场入口处由静止开始被加速，之后垂直进入偏转磁场，最终从磁场边界的某点射出。不计粒子重力，粒子进入磁场的入射点与出射点之间的距离为（    ） A． B． C． D． 2．由中国科学院合肥物质科学研究院研制的紧凑型超导回旋质子治疗系统加速器是一台回旋加速器。该回旋加速器中磁场的磁感应强度达到3.0T，引出的质子具有200MeV的能量。已知质子的电荷量为，质量约为。则回旋加速器的D形盒的内半径最接近（　　） A．0.1m B．0.7m C．2m D．5m 3．如图所示，地面附近空间存在正交的匀强电场（水平向右）和匀强磁场（垂直纸面向里）。一带电颗粒在该区域恰能做匀速直线运动，则该颗粒（    ） A．一定带正电 B．可能带负电 C．不可能沿电场E方向运动 D．可能沿任意方向运动 4．质谱仪的工作原理示意图如图所示。带电粒子被加速电场加速后，沿直线经过速度选择器，垂直平板S从狭缝P进入下方的匀强磁场B0。速度选择器内相互正交的匀强磁场和匀强电场分别为B和E，其中电场强度E的方向水平向右，平板S上有记录粒子位置的胶片A1、A2。若粒子在磁场B0中做圆周运动的周期为T，则下列选项正确的是（　　） A．该粒子带负电 B．速度选择器中的磁场方向垂直于纸面向里 C．能通过狭缝P的带电粒子的速率等于 D．粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P，粒子的比荷越小 5．如图为同步加速器模型，仅在直通道PQ内有加速电场，三段圆弧内有可调的匀强偏转磁场B。带电荷量为＋q、质量为m的质子以初速度从P进入加速电场后，沿顺时针方向循环加速。已知加速电压为U，磁场中质子的偏转半径均为R，忽略重力和相对论效应，则（　　） A．偏转磁场的方向垂直纸面向里 B．质子相邻两次经过P点的时间变大 C．第1次加速后，质子的速度大小为 D．第k次加速后，偏转磁场的磁感应强度大小应为 二、多选题 6．回旋加速器核心部分是分别与高频交流电源两极相连接的两个D型金属盒，两盒间的狭缝中形成周期性变化的电场，使粒子在通过狭缝时都能得到加速，两D型金属盒处于垂直于盒底的匀强磁场中，如图所示。位于D1圆心处的质子源A能不断产生质子（初速度可以忽略，重力不计），它们在两盒之间被电场加速，所加匀强磁场的磁感应强度为B。D型盒半径为R，两盒间所加高频交流电源电压的最大值为U，缝隙的宽度为d，质子的电量为q，质量为m。不考虑相对论效应，忽略缝隙间磁场对质子运动的影响。设质子每次都能在最高电压下加速。下列说法正确的是（　　） A．带电粒子分别从电场和磁场中获得能量 B．两盒间所加交流电源的频率为，不用做任何调试，可以直接用该回旋加速器加速α粒子 C．增大加速电压不能增大粒子获得的最大动能，粒子离开回旋加速器时获得的动能为 D．每个质子在D型金属盒内部和缝隙间运行的时间分别为、 7．如图为空间站推进器的简化图，在很窄的圆环空间内有沿半径向外的磁场I，其磁感应强度大小可近似认为处处相等；垂直圆环平面加有匀强磁场II和垂直圆环平面向里的匀强电场（图中未画出），磁场II与磁场I的磁感应强度大小相等。已知电子质量为m、电荷量为-e，若电子恰好可以在圆环内做半径为R、速率为v的匀速圆周运动，则（    ） A．电子沿逆时针方向运动 B．垂直环平面的磁场II方向为垂直圆环平面向里 C．电场强度大小为 D．质子也可以在圆环空间内做半径为R、速率为v的匀速圆周运动 8．如图所示，竖直放置的光滑绝缘曲面处于方向垂直竖直平面（纸面）向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，一带电荷量为q（q>0）的滑块自a点由静止沿曲面滑下，下降高度为h时到达b点，滑块恰好对曲面无压力。关于滑块自a点运动到b点的过程，下列说法正确的是（重力加速度为g）（　　） A．滑块在a点受重力、支持力和洛伦兹力作用 B．滑块在b点受到的洛伦兹力垂直曲面切线向上 C．滑块的机械能增大 D．滑块在b点受到的洛伦兹力大小为 9．如图甲所示为一个质量为m、电荷量为q的带正电的圆环，从竖直放置的足够长的粗糙绝缘细杆顶端由静止释放，细杆处于磁感应强度为B的匀强磁场中（不计空气阻力）。圆环运动的速度图像如图乙所示，下列有关说法正确的是（重力加速度为g）（　　） A．圆环与细杆间的动摩擦因数为 B．圆环对竖直杆的压力就是圆环受到的洛伦兹力 C．若将磁场的方向改为竖直方向，圆环将做自由落体运动 D．若磁感应强度的方向反向则圆环的最大速度将变为2v0 三、解答题 10．如图所示,直角坐标系xOy位于竖直平面内，在水平的x轴下方存在匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应强度为B，方向垂直xOy平面向里，电场线平行于y轴，质量为m、电荷量为q的带正电的小球，从y轴上的A点以初速度v0水平向右抛出，经x轴上的M点进入电场和磁场，恰能做匀速圆周运动，从x轴上的N点第一次离开电场和磁场，已知OM=2OA，不计空气阻力，重力加速度为g，求: （1）电场强度E的大小和方向； （2）M、N两点之间的距离； 11．现代科学仪器中常利用电磁场控制带电粒子的运动。如图，电子枪发出的电子（初速度可以忽略）经M、N之间的加速电场加速后，从A点进入宽度的虚线方形框内，虚线方形框内只有垂直纸面方向的匀强磁场或只有竖直向下的匀强电场时，电子都从B点飞出打在足够长的竖直荧光屏上。已知M、N之间的加速电压，A、B两点之间的竖直距离，虚线框的右边界到竖直荧光屏的距离，忽略电子的重力，电子的比荷。求： (1)虚线方形框内只有垂直纸面方向的匀强磁场时，匀强磁场的磁感应强度B； (2)虚线方形框内只有竖直向下的匀强电场时，匀强电场的电场强度E的大小； (3)电子两次打在荧光屏上的距离L。 12．如图所示，在平面直角坐标系xOy的第二象限内，存在沿轴负方向的匀强电场，在轴与PQ之间的区域存在大小相等、方向相反的匀强磁场，轴上方的磁场垂直纸面向外，轴下方的磁场垂直纸面向里，直线PQ过坐标为的点且与轴平行。一质量为、电荷量为的带电粒子从坐标为的点以初速度沿平行于轴正方向运动，一段时间后从坐标原点与轴正方向成进入第四象限的磁场，假设电场与磁场有理想边界。（不计粒子重力） (1)求匀强电场的电场强度的大小； (2)若带电粒子只在第四象限运动一段时间后，垂直GQ边界离开磁场区域，求磁感应强度的大小； (3)若，求带电粒子在磁场中的运动时间。 13．一个质量为m电荷量为q的带电粒子从x轴上的P（a，0）点以速度v沿与x正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限，进入第二象限的匀强电场中，电场强度为E。不计粒子重力，求： (1)匀强磁场的磁感应强度的大小； (2)带电粒子在电场中速度第一次为零时的坐标。 (3)带电粒子从开始到第二次打到y轴上的运动时间 14．如图所示的xOy平面内，轴上方存在平行于轴向下的匀强电场，轴下方存在垂直xOy平面向外的匀强磁场，在轴上坐标为处的点有一质量为、电荷量为的带电粒子，以的速度平行轴进入电场强度为的电场。从轴上的点（图中未标出）首次进入磁场中，粒子在磁场中做匀速圆周运动，随后从轴上的点（图中未标出）首次离开磁场，且恰能回到点，不计粒子重力，求： (1)点到点的距离； (2)粒子从点首次进入磁场时的速度及方向； (3)匀强磁场的磁感应强度大小以及粒子第一次在磁场中运动的时间。 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 粤教版（2019）选择性必修第二册复习讲义 第三讲 带电粒子在复合场中的运动 一．带电粒子在组合场中运动 “电偏转”和“磁偏转”的比较 垂直电场线进入匀强电场(不计重力) 垂直磁感线进入匀强磁场(不计重力) 受力情况 电场力F＝qE，其大小、方向不变，与速度v无关，F是恒力 洛伦兹力F洛＝qvB，其大小不变，方向随v而改变，F洛是变力 轨迹 抛物线 圆或圆的一部分 运动轨迹 求解方法 利用类似平抛运动的规律求解： vx＝v0，x＝v0t vy＝·t， y＝··t2 偏转角φ： tan φ＝＝ 半径：r＝ 周期：T＝ 偏移距离y和偏转角φ要结合圆的几何关系利用圆周运动规律讨论求解 运动时间 t＝ t＝T＝ 动能 变化 不变 带电粒子在组合场中运动的分析思路及技巧 1．基本思路 2．解题关键：抓住联系两个场的纽带——速度． 2、 带电体在叠加场中的运动 1．带电体在叠加场中无约束情况下的运动情况分类 (1)洛伦兹力、重力并存 ①若重力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动． ②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒，由此可求解问题． (2)静电力、洛伦兹力并存(不计重力的微观粒子) ①若静电力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动． ②若静电力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解问题． (3)静电力、洛伦兹力、重力并存 ①若三力平衡，一定做匀速直线运动． ②若重力与静电力平衡，一定做匀速圆周运动． ③若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒定律或动能定理求解问题． 2．带电体在叠加场中有约束情况下的运动 带电体在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求解． 粒子在叠加场中运动分析思路 三、带电粒子在复合场中的实际应用 1．质谱仪 (1)构造：如图1所示，由粒子源、加速电场、偏转磁场和照相底片等构成． 图1 (2)原理：粒子由静止被加速电场加速，qU＝mv2. 粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qvB＝m. 由以上两式可得r＝ ，m＝，＝. 2．回旋加速器 (1)构造：如图2所示，D1、D2是半圆形金属盒，D形盒的缝隙处接交流电源，D形盒处于匀强磁场中． 图2 (2)原理：交流电的周期和粒子做圆周运动的周期相等，粒子经电场加速，经磁场回旋，由qvB＝，得Ekm＝，可见粒子获得的最大动能由磁感应强度B和D形盒半径r决定，与加速电压无关． 考点一：带电粒子在组合场中运动分析 例1.图甲是洛伦兹力演示仪。图乙是演示仪结构图，玻璃泡内充有稀薄的气体，由电子枪发射电子束，在电子束通过时能够显示电子的径迹。图丙是励磁线圈的原理图，两线圈之间产生近似匀强磁场，线圈中电流越大磁场越强，磁场的方向与两个线圈中心的连线平行。电子速度的大小和磁感应强度可以分别通过电子枪的加速电压和励磁线圈的电流来调节。若电子枪垂直磁场方向发射电子，给励磁线圈通电后，能看到电子束的径迹呈圆形。关于电子束的轨道半径，下列说法正确的是（    ） A．只增大电子枪的加速电压，轨道半径变小 B．只增大励磁线圈中的电流，轨道半径变大 C．同时增大电子枪的加速电压和励磁线圈中的电流，轨道半径一定变小 D．增大电子枪的加速电压同时减小励磁线圈中的电流，轨道半径一定变大 【答案】D 【详解】电子被加速电场加速，由动能定理可得 粒子在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力，则有 联立解得 A．只增大电子枪的加速电压，轨道半径变大，故A错误； B．只增大励磁线圈中的电流，磁感应强度B增大，轨道半径变小，故B错误； C．同时增大电子枪的加速电压和励磁线圈中的电流，则和B同时增大，轨道半径可能变小，可能变大，也可能不变，故C错误； D．增大电子枪的加速电压同时减小励磁线圈中的电流，即增大电压U的同时，减小磁感应强度B，则轨道半径一定变大，故D正确。 故选D。 例2.如图所示，在xOy平面直角坐标系的第Ⅰ象限内有一垂直纸面向里的圆形匀强磁场区域，与x轴、y轴分别相切于A（L，0）、C（0，L）两点，第Ⅱ象限内有沿y轴负方向的匀强电场。一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子从A点沿y轴正方向以v0射入磁场，经C点射入电场，最后从x轴上离O点的距离为2L的P点射出，不计粒子的重力。求： (1)匀强磁场磁感应强度B的大小； (2)电场强度E的大小； (3)粒子在磁场和电场中运动的总时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，粒子从A点沿y轴正方向以v0射入磁场，经C点射入电场，根据几何关系有 粒子圆周运动过程由洛伦兹力提供向心力，则有 解得 （2）粒子在电场中做类平抛运动，则有， 解得， （3）粒子在磁场中圆周运动的周期 粒子在磁场中运动的时间 粒子在磁场和电场中运动的总时间 解得 考点二：带电粒子在叠加场中的直线运动 例1.如图，匀强电场的方向竖直向下，匀强磁场的方向垂直纸面向里，三个油滴a、b、c带有等量同种电荷，其中a静止，b向右做匀速运动，c向左做匀速运动，比较它们的重力、、间的关系，正确的是（　　） A．最大 B．最小 C．最大 D．最小 【答案】CD 【详解】由于a静止，则，电场力向上，带负电荷，由左手定则，b受洛伦兹力竖直向下，则 由左手定则，c受洛伦兹力竖直向上，则 由此可知 故选CD。 例2.一个质量为m=0.1g的小滑块，带有的电荷量，放置在倾角为的固定绝缘光滑斜面（足够长）上，斜面置于B=0.5T的匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里，如图所示。小滑块由静止开始沿斜面下滑，滑至某一位置时要离开斜面，g取10。则： (1)小滑块带何种电荷? (2)小滑块在斜面上运动的加速度及最大速度分别是多大? 【答案】(1)负电 (2)5m/s2， 【详解】（1）滑块受洛伦兹力方向垂直斜面向上，根据左手定则可知，小滑块带负电； （2）沿斜面方向由牛顿第二定律 可得a=5m/s2 当滑块离开斜面时，则 解得最大速度 考点三：带电粒子在叠加场中的曲线运动 例1.磁控管是电子显微镜的核心部件之一。某科研机构的电子显微镜中磁控管内局部区域分布着竖直向上的匀强电场E和垂直纸面向里的匀强磁场B。一电子从M点由静止释放，沿图中轨迹依次经过N、P两点，且N点离虚线最远。已知电子质量为m、电荷量为，M点为零电势点，电子重力不计，则（    ） A．电子在N点的速率为 B．N点离虚线的距离为 C．电子在N点的电势能为 D．M、P两点的距离为 【答案】AD 【详解】AB．配速法：电子在M点静止释放，可以看作电子分别以速度向左运动，以速度向右运动。由， 则电子的运动可以分解为以向左做匀速直线运动和在竖直面上的速度为的匀速圆周运动。N点离虚线最远，则电子圆周运动速度方向同时水平向左，则电子在N点的速率为 N点离虚线的距离，故A正确，B错误。 C．粒子从M点到N点，在电场方向上运动了d，则电势能为，故C错误。 D．粒子做圆周运动的周期，粒子从M点到P点，运动了两个圆周，则M、P两点的距离为，故D正确。 故选AD。 例2.．如图所示，在方向水平向里、磁感应强度大小的匀强磁场中，有一根长的竖直光滑绝缘细杆，细杆顶端套有一个质量、电荷量的小环。现让细杆以的速度沿垂直磁场方向水平向右匀速运动，同时释放小环（竖直方向初速度为0），小环最终从细杆底端飞出，重力加速度g取。关于小环的运动，下列说法正确的是（　　） A．洛伦兹力对小环做正功 B．小环做匀变速直线运动 C．小环在绝缘细杆上运动的时间为 D．小环离开绝缘细杆时的速度大小为 【答案】D 【详解】A．洛伦兹力的方向始终与小环的运动速度方向垂直，所以洛伦兹力对小环不做功，故A错误； B．小环在水平方向随杆匀速运动，在竖直方向受重力以及向上的洛伦兹力的作用，因水平速度v不变，则竖直向上的洛伦兹力不变，所以在竖直方向小环受竖直向下且不变的合力的作用向下做匀变速直线运动，符合类平抛运动的特点，所以小环做的是类平抛运动，故B错误； C．小环在竖直方向，根据牛顿第二定律可得 解得小环在竖直方向的加速度大小为 由匀变速直线运动的位移公式有 解得小环在绝缘细杆上运动的时间为，故C错误； D．小环离开绝缘细杆时竖直方向的速度为 所以小环离开绝缘细杆时的速度大小为，故D正确。 故选D。 例3.如图所示，在区域Ⅰ有与水平方向成的匀强电场，电场方向斜向左下方；在区域Ⅱ有竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，电场强度大小，磁感应强度大小为。区域Ⅰ、Ⅱ的边界均沿竖直方向。一质量为、电荷量为的微粒从区域Ⅰ的左边界点由静止释放。微粒沿水平虚线向右运动，进入区域Ⅱ，区域Ⅱ的宽度为。微粒从区域Ⅱ右边界的点（图中未画出）离开复合场区域，速度方向偏转了，重力加速度为。求： （1）区域Ⅰ的电场强度大小。 （2）微粒进入区域Ⅱ时的速度大小。    【答案】（1）；（2） 【详解】（1）微粒在区域Ⅰ沿水平虚线做直线运动，说明微粒在竖直方向上受力平衡，根据平衡条件有 解得 （2）微粒进入区域Ⅱ后，根据题意有 由此可知微粒在区域Ⅱ中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有 根据几何关系有 联立解得 考点四：洛伦兹力与现代技术 例1.质谱仪是测定带电粒子质量和分析同位素的重要仪器，其工作原理如图所示。带电粒子被加速电场加速后，进入速度选择器，再进入偏转磁场打在底片上。下列说法正确的是（    ） A．速度选择器中的磁场方向一定垂直纸面向里 B．能通过狭缝P的带电粒子具有相同的速度 C．打在底片上的位置越靠近狭缝P，粒子的比荷越小 D．该装置只能分析带正电的粒子 【答案】B 【详解】A．若粒子带正电，在速度选择器中，带电粒子所受电场力和洛伦兹力在粒子沿直线运动时应等大反向，由于粒子受到向右的电场力，故粒子受到的洛伦兹力向左，结合左手定则可知，磁场方向垂直纸面向外；同理，若粒子带负电，在速度选择器中，带电粒子所受电场力和洛伦兹力在粒子沿直线运动时应等大反向，由于粒子受到向左的电场力，故粒子受到的洛伦兹力向右，结合左手定则可知，磁场方向垂直纸面向外，故A错误； B．由A选项分析可知，带电粒子在速度选择器中有 解得 可知能通过狭缝P的带电粒子具有相同的速度，故B正确； C．带电粒子在偏转磁场中有 联立解得 打在底片上的位置越靠近狭缝P，r越小，比荷越大，故C错误； D．由ABC选项分析可知，该装置能分析带正电的粒子和带负电的粒子，故D错误。 故选B。 例2.1930年劳伦斯制成了世界上第一台回旋加速器，其原理如图所示，置于真空中的两个D形金属盒半径为R，两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过的时间可忽略；金属盒内磁场磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直，交流电源频率为f，粒子每次穿过狭缝时加速电压为U。若加速的粒子质量为m、电荷量为q。则下列说法正确的是（   ） A．若只增大交流电压U，则粒子获得的最大速度增大 B．若只增大D形金属盒半径，则粒子获得的最大速度增大 C．若只增大磁感应强度为B，则交流电源频率为f必须适当变小 D．不同质量、相同电荷量的粒子都可以在同一加速器中正常加速 【答案】B 【详解】A．粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，当粒子运动半径等于D形盒半径时速度最大，由牛顿第二定律得，解得粒子获得的最大速度 由此可知，最大速度与加速电压无关，故A错误； B．由 可知，若只增大D形金属盒半径，则粒子获得的最大速度增大，故B正确； C．为了保证粒子每次经过狭缝都能被加速，交流电源的频率必须等于粒子在磁场中做圆周运动的频率，即 。若只增大磁感应强度，则交流电源频率必须适当增大，故C错误； D．由可知，粒子的回旋频率与比荷有关。不同质量、相同电荷量的粒子比荷不同，其回旋频率也不同，而加速器的电源频率是固定的，因此它们不能在同一加速器中正常加速，故D错误。 故选B。 巩固练习 一、单选题 1．现代质谱仪可用来分析比质子重很多的离子，其示意图如图所示，加速电场电压为U，偏转区域匀强磁场的磁感应强度为B。现有一质量为m、电荷量为q的正离子，在加速电场入口处由静止开始被加速，之后垂直进入偏转磁场，最终从磁场边界的某点射出。不计粒子重力，粒子进入磁场的入射点与出射点之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】粒子在加速电场中，由动能定理得 粒子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力得 联立解得粒子的轨道半径为 则粒子进入磁场的入射点与出射点之间的距离为 故选B。 2．由中国科学院合肥物质科学研究院研制的紧凑型超导回旋质子治疗系统加速器是一台回旋加速器。该回旋加速器中磁场的磁感应强度达到3.0T，引出的质子具有200MeV的能量。已知质子的电荷量为，质量约为。则回旋加速器的D形盒的内半径最接近（　　） A．0.1m B．0.7m C．2m D．5m 【答案】B 【详解】设回旋加速器的D形盒的内半径为，则有 可得 可得 故选B。 3．如图所示，地面附近空间存在正交的匀强电场（水平向右）和匀强磁场（垂直纸面向里）。一带电颗粒在该区域恰能做匀速直线运动，则该颗粒（    ） A．一定带正电 B．可能带负电 C．不可能沿电场E方向运动 D．可能沿任意方向运动 【答案】B 【详解】A．若颗粒带正电且水平向右运动，则颗粒受到的电场力（水平向右）、洛伦兹力（竖直向上）、重力（竖直向下）不可能平衡，故A错误； B．若颗粒带负电且斜向左上方运动，则颗粒受到的电场力（水平向左）、洛伦兹力（斜向右上）、重力（竖直向下）可能平衡，故B正确； C．若颗粒沿电场E方向运动，则颗粒受到的电场力（水平方向）、洛伦兹力（竖直方向）、重力（竖直向下）不可能平衡，故C错误； D．综上可知，不可能沿任意方向运动，故D错误。 故选B。 4．质谱仪的工作原理示意图如图所示。带电粒子被加速电场加速后，沿直线经过速度选择器，垂直平板S从狭缝P进入下方的匀强磁场B0。速度选择器内相互正交的匀强磁场和匀强电场分别为B和E，其中电场强度E的方向水平向右，平板S上有记录粒子位置的胶片A1、A2。若粒子在磁场B0中做圆周运动的周期为T，则下列选项正确的是（　　） A．该粒子带负电 B．速度选择器中的磁场方向垂直于纸面向里 C．能通过狭缝P的带电粒子的速率等于 D．粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P，粒子的比荷越小 【答案】C 【详解】A．根据粒子在磁场中的偏转方向，结合左手定则可知，该粒子带正电，故A错误； B．速度选择器中粒子受向右的电场力，则受到向左的洛伦兹力，可知磁场方向垂直于纸面向外，故B错误； C．能通过狭缝P的带电粒子满足 可得速率，故C正确； D．根据 粒子打在胶片上距离P点的距离 粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P，则d越小，则粒子的比荷越大，故D错误。 故选C。 5．如图为同步加速器模型，仅在直通道PQ内有加速电场，三段圆弧内有可调的匀强偏转磁场B。带电荷量为＋q、质量为m的质子以初速度从P进入加速电场后，沿顺时针方向循环加速。已知加速电压为U，磁场中质子的偏转半径均为R，忽略重力和相对论效应，则（　　） A．偏转磁场的方向垂直纸面向里 B．质子相邻两次经过P点的时间变大 C．第1次加速后，质子的速度大小为 D．第k次加速后，偏转磁场的磁感应强度大小应为 【答案】C 【详解】A．直线通道PQ有电势差为U的加速电场，质子带正电，沿顺时针方向运动，由左手定则可知，偏转磁场的磁感应强度方向垂直纸面向外，故A错误； B．由题可知，质子加速后，在磁场中运动的弧长不变，在加速电场中加速运动的位移大小也不变，而经过加速后，质子在电场中和磁场中的速度都变大，因此质子相邻两次经过P点的时间变小，故B错误； C．第一次加速后，根据动能定理可得 解得第1次加速后，质子的速度大小为，故C正确； D．整个过程中，只有电场力做功，根据动能定理可得 质子在磁场中运动时，其圆周运动的半径不变，洛伦兹力提供向心力，则有 联立解得，故D错误。 故选C。 二、多选题 6．回旋加速器核心部分是分别与高频交流电源两极相连接的两个D型金属盒，两盒间的狭缝中形成周期性变化的电场，使粒子在通过狭缝时都能得到加速，两D型金属盒处于垂直于盒底的匀强磁场中，如图所示。位于D1圆心处的质子源A能不断产生质子（初速度可以忽略，重力不计），它们在两盒之间被电场加速，所加匀强磁场的磁感应强度为B。D型盒半径为R，两盒间所加高频交流电源电压的最大值为U，缝隙的宽度为d，质子的电量为q，质量为m。不考虑相对论效应，忽略缝隙间磁场对质子运动的影响。设质子每次都能在最高电压下加速。下列说法正确的是（　　） A．带电粒子分别从电场和磁场中获得能量 B．两盒间所加交流电源的频率为，不用做任何调试，可以直接用该回旋加速器加速α粒子 C．增大加速电压不能增大粒子获得的最大动能，粒子离开回旋加速器时获得的动能为 D．每个质子在D型金属盒内部和缝隙间运行的时间分别为、 【答案】CD 【详解】A．磁场对运动带电粒子的洛伦兹力始终与速度方向垂直，不做功，因此粒子不能从磁场中获得能量，只有电场力做功使粒子获得能量。A错误； B．回旋加速器中，交变电源的频率需与粒子在磁场中做圆周运动的频率相等，即 对于质子，频率为 对于粒子（，），频率为 两者频率不同，因此不能直接用该加速器加速粒子，需要调整电源频率。B错误； C．当粒子轨道半径达到D型盒半径时，速度最大。由得 最大动能为： 可见最大动能与加速电压无关，增大加速电压只会减少加速次数。C正确； D．粒子在D型盒内做匀速圆周运动，每次加速后轨道半径增大，总时间为所有半周期之和。 最大动能，其中为加速次数， 每个半周期，总时间为： 粒子在缝隙间做匀加速直线运动，总位移，加速度 由得：，D正确。 故选CD。 7．如图为空间站推进器的简化图，在很窄的圆环空间内有沿半径向外的磁场I，其磁感应强度大小可近似认为处处相等；垂直圆环平面加有匀强磁场II和垂直圆环平面向里的匀强电场（图中未画出），磁场II与磁场I的磁感应强度大小相等。已知电子质量为m、电荷量为-e，若电子恰好可以在圆环内做半径为R、速率为v的匀速圆周运动，则（    ） A．电子沿逆时针方向运动 B．垂直环平面的磁场II方向为垂直圆环平面向里 C．电场强度大小为 D．质子也可以在圆环空间内做半径为R、速率为v的匀速圆周运动 【答案】BC 【详解】A．电子由于带负电，故所受电场力垂直圆环平面向外，由平衡条件可知，电子受磁场Ⅰ的洛伦兹力方向垂直圆环平面向里，根据左手定则可知，电子在圆环内沿顺时针方向运动，A错误； B．电子在圆环内受到磁场Ⅱ的洛伦兹力提供电子做圆周运动的向心力，有 解得 由左手定则可知，磁场Ⅱ的方向为垂直圆环平面向里，B正确； C．电子在垂直环平面方向受力平衡，则有 解得，故C正确； D．质子带正电，不能在圆环内做半径为R、速率为v的匀速圆周运动，D错误。 故选BC。 8．如图所示，竖直放置的光滑绝缘曲面处于方向垂直竖直平面（纸面）向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，一带电荷量为q（q>0）的滑块自a点由静止沿曲面滑下，下降高度为h时到达b点，滑块恰好对曲面无压力。关于滑块自a点运动到b点的过程，下列说法正确的是（重力加速度为g）（　　） A．滑块在a点受重力、支持力和洛伦兹力作用 B．滑块在b点受到的洛伦兹力垂直曲面切线向上 C．滑块的机械能增大 D．滑块在b点受到的洛伦兹力大小为 【答案】BD 【详解】A．滑块自a点由静止沿斜面滑下，在a点不受洛伦兹力作用，所以滑块在a点受重力和支持力作用，故A错误； B．滑块带正电，根据左手定则可知，滑块在b点受到的洛伦兹力垂直曲面切线向上，故B正确； CD．滑块自a点运动到b点的过程中，洛伦兹力和支持力总是不做功，只有重力做功，所以滑块的机械能守恒；则有 解得 滑块在b点受到的洛伦兹力大小为，故C错误，D正确。 故选BD。 9．如图甲所示为一个质量为m、电荷量为q的带正电的圆环，从竖直放置的足够长的粗糙绝缘细杆顶端由静止释放，细杆处于磁感应强度为B的匀强磁场中（不计空气阻力）。圆环运动的速度图像如图乙所示，下列有关说法正确的是（重力加速度为g）（　　） A．圆环与细杆间的动摩擦因数为 B．圆环对竖直杆的压力就是圆环受到的洛伦兹力 C．若将磁场的方向改为竖直方向，圆环将做自由落体运动 D．若磁感应强度的方向反向则圆环的最大速度将变为2v0 【答案】AC 【详解】A．带正电圆环向下运动，由左手定则可得洛伦兹力方向水平向右，大小 水平方向受力平衡，杆对圆环的弹力 当速度达到最大值时，圆环加速度为0，竖直方向受力平衡 整理得，故A正确； B．圆环对竖直杆的压力是圆环对杆的弹力，施力物体是圆环，受力物体是杆；洛伦兹力是磁场对圆环的作用力，二者性质、施力物体、受力物体都不同，仅大小相等，不能说“就是”，故B错误； C．若磁场方向改为竖直方向，圆环速度方向也为竖直，与平行，洛伦兹力 因此水平方向杆对圆环的弹力，摩擦力，圆环只受重力，且初速度为0，符合自由落体运动的定义，故C正确； D．若磁感应强度方向反向，仅洛伦兹力的方向变为水平向左，大小仍为，水平方向弹力大小仍满足 最终平衡时仍有 解得最大速度，故D错误。 故选AC。 三、解答题 10．如图所示,直角坐标系xOy位于竖直平面内，在水平的x轴下方存在匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应强度为B，方向垂直xOy平面向里，电场线平行于y轴，质量为m、电荷量为q的带正电的小球，从y轴上的A点以初速度v0水平向右抛出，经x轴上的M点进入电场和磁场，恰能做匀速圆周运动，从x轴上的N点第一次离开电场和磁场，已知OM=2OA，不计空气阻力，重力加速度为g，求: （1）电场强度E的大小和方向； （2）M、N两点之间的距离； 【答案】（1），电场强度方向竖直向上；（2） 【详解】（1）小球在电场、磁场中恰能做匀速圆周运动，说明电场力和重力平衡，有 求得 电场强度方向竖直向上； （2）小球做匀速圆周运动，为圆心，弦长为，，如图所示 设半径为，由几何关系知 根据牛顿第二定律有 在第一象限中，小球做平抛运动可得 联立求得 11．现代科学仪器中常利用电磁场控制带电粒子的运动。如图，电子枪发出的电子（初速度可以忽略）经M、N之间的加速电场加速后，从A点进入宽度的虚线方形框内，虚线方形框内只有垂直纸面方向的匀强磁场或只有竖直向下的匀强电场时，电子都从B点飞出打在足够长的竖直荧光屏上。已知M、N之间的加速电压，A、B两点之间的竖直距离，虚线框的右边界到竖直荧光屏的距离，忽略电子的重力，电子的比荷。求： (1)虚线方形框内只有垂直纸面方向的匀强磁场时，匀强磁场的磁感应强度B； (2)虚线方形框内只有竖直向下的匀强电场时，匀强电场的电场强度E的大小； (3)电子两次打在荧光屏上的距离L。 【答案】(1)，方向垂直纸面向外 (2) (3) 【详解】（1）电子带负电，根据左手定则可知磁感应强度B方向垂直纸面向外，根据洛伦兹力提供向心力有 由几何关系可得 电子经过电场加速过程，根据动能定理可得 解得   方向垂直纸面向外。 （2）电子带负电，匀强电场的方向竖直向下，电子在电场中做类平抛运动，假设在电场中的时间为t，水平方向有 竖直方向有 加速度 解得 （3）只有垂直纸面方向的匀强磁场时，设从B点飞出的速度方向与水平方向的夹角为，由几何关系可得 电子打在荧光屏上与B点的竖直距离 只有匀强电场时，电子打在荧光屏上与A点的竖直距离设为，由几何关系可得， 解得电子两次打在荧光屏上的距离 12．如图所示，在平面直角坐标系xOy的第二象限内，存在沿轴负方向的匀强电场，在轴与PQ之间的区域存在大小相等、方向相反的匀强磁场，轴上方的磁场垂直纸面向外，轴下方的磁场垂直纸面向里，直线PQ过坐标为的点且与轴平行。一质量为、电荷量为的带电粒子从坐标为的点以初速度沿平行于轴正方向运动，一段时间后从坐标原点与轴正方向成进入第四象限的磁场，假设电场与磁场有理想边界。（不计粒子重力） (1)求匀强电场的电场强度的大小； (2)若带电粒子只在第四象限运动一段时间后，垂直GQ边界离开磁场区域，求磁感应强度的大小； (3)若，求带电粒子在磁场中的运动时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）带正电的粒子从M沿x轴正方向射入电场区域做类平抛运动，在水平方向做匀速直线运动，则 在竖直方向做匀加速直线运动 其中，根据牛顿第二定律可得 联立，解得 （2）带电粒子进入磁场的速度大小为 带电粒子垂直边界离开磁场区域，则带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为 根据牛顿第二定律可得 联立，解得 （3）带电粒子进入磁场速度不变，则由 解得粒子在磁场中的半径 当带电粒子穿过磁场时 解得 粒子在磁场中运动的周期为 由于粒子在上下磁场中运动的圆心角均为，所以带电粒子在磁场中运动的时间正好为半个周期，则 13．一个质量为m电荷量为q的带电粒子从x轴上的P（a，0）点以速度v沿与x正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限，进入第二象限的匀强电场中，电场强度为E。不计粒子重力，求： (1)匀强磁场的磁感应强度的大小； (2)带电粒子在电场中速度第一次为零时的坐标。 (3)带电粒子从开始到第二次打到y轴上的运动时间 【答案】(1) (2)（- ，a） (3) 【详解】（1）设磁感应强度为B，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r．粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得 粒子运动轨迹如图所示 由几何知识得 联立解得 （2）粒子离开磁场时，离O的距离为 粒子在电场中做匀减速直线运动 粒子速度第一次为零时的坐标为（- ，a） （3）粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期 粒子在磁场中运动的时间 粒子从y轴进入电场至速度为0的过程中，可得 又有 解得 粒子从P点射入到第二次到达y轴的时间 14．如图所示的xOy平面内，轴上方存在平行于轴向下的匀强电场，轴下方存在垂直xOy平面向外的匀强磁场，在轴上坐标为处的点有一质量为、电荷量为的带电粒子，以的速度平行轴进入电场强度为的电场。从轴上的点（图中未标出）首次进入磁场中，粒子在磁场中做匀速圆周运动，随后从轴上的点（图中未标出）首次离开磁场，且恰能回到点，不计粒子重力，求： (1)点到点的距离； (2)粒子从点首次进入磁场时的速度及方向； (3)匀强磁场的磁感应强度大小以及粒子第一次在磁场中运动的时间。 【答案】(1) (2)，与水平夹角为 (3)， 【详解】（1）粒子从到做类平抛运动，有， 根据牛顿第二定律有 联立解得 （2）粒子在点速度大小为 与水平方向的夹角满足 可得 （3）粒子在磁场中做匀速圆周运动，随后从轴上的点首次离开磁场，且恰能回到点，粒子在磁场中的运动轨迹如图所示 根据洛伦兹力提供向心力有 又有 联立解得 14 学科网（北京）股份有限公司 $