专题04矩形性质与判定专项训练 (13大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题04矩形性质与判定专项训练 题型01.矩形的性质及应用 题型02.求矩形在坐标系中的坐标 题型03.矩形与折叠问题 题型04.证明四边形是矩形 题型05.添条件使四边形是矩形 题型06.由矩形的性质与判定求角度 题型07.由矩形的性质与判定求线段长 题型08.由矩形的性质与判定求面积 题型09.矩形与动点问题 题型10.矩形与最值问题 题型11.矩形的存在性问题 题型12.矩形与多结论问题的判断 题型13.矩形与规律探究 解答题6题 知识点01.矩形的定义 知识点02:矩形的性质（必考） 矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形（有 2 条对称轴）。 文字语言 几何语言 对边平行且相等 在矩形 ABCD 中：AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC 四个角都是直角 ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 互相平分且相等 对角线交于 O：OA=OC，OB=OD；AC=BD 中心对称 + 轴对称 中心对称图形，有 2 条对称轴 知识点03:矩形的判定（满足任一条件 ⇒ 矩形） 判定方法 文字语言 几何语言 定义法 有一个角是直角的平行四边形是矩形 在 □ABCD 中，∵∠A=90∘ ∴ 矩形 ABCD 对角线判定 对角线相等的平行四边形是矩形 在 □ABCD 中，∵AC=BD ∴ 矩形 ABCD 角判定 三个角是直角的四边形是矩形 在四边形 ABCD 中，∵∠A=∠B=∠C=90∘ ∴ 矩形 ABCD 知识点04.常用衍生结论（解题神器！） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 高频易错点 1.混淆性质：误认矩形对角线垂直（仅菱形 / 正方形有），忽略矩形对角线相等且平分核心特征。 2.判定缺条件：证矩形时，只证 “一个直角 / 对角线相等”，未先证是平行四边形（除 “三个直角的四边形” 外，其余判定均需先证平行四边形）。 3.概念模糊：分不清矩形与菱形 / 正方形的区别，忘记正方形是特殊的矩形（矩形 + 邻边相等 = 正方形）。 4.结合定理漏用：矩形对角线相交形成的三角形，未用 “直角三角形斜边中线定理”（对角线交点到各顶点距离相等）。 5.折叠问题易错：未找准折叠前后的全等边 / 角，忽略矩形对边相等、邻边垂直的基础性质。 题型01.矩形的性质及应用 1．如图，矩形的对角线、，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点为，作射线与交点为，若，则_______． 【答案】 【分析】本题考查尺规作图——作垂线及矩形的性质，正确得出是的垂直平分线是解题关键．由作图可知，，是的垂直平分线，根据矩形的性质得出，，，即可得答案． 【详解】解：如图，连接， 由作图可知，，是的垂直平分线， ∵四边形是矩形，， ∴，，， ∴． 故答案为： 2．若矩形的对角线长为，两条对角线的一个交角为，则该矩形的边长为___和____． 【答案】 【分析】根据等边三角形的判定，勾股定理和矩形的性质可求得答案． 【详解】解：如图， 四边形是矩形， ，，， ， ， 是等边三角形， ， 矩形， ，， 在中，由勾股定理得： 3．在矩形中，对角线和相交于点，，，则该矩形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，根据含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为； 故答案为：． 4．如图，在矩形中，点在边上，点是的中点，，，则的长为______．    【答案】 【分析】由矩形的性质得，，，而，所以，则，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，正确地求出的长是解题的关键． 5．如图，矩形的对角线、相交于点．若，则四边形的周长为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，以及矩形的性质，证明四边形是菱形是解题的关键． 先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的性质得出，然后证明四边形是菱形，即可求出周长． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴四边形的周长； 故选B． 6．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作构造矩形，利用矩形对角线平分所在矩形面积的性质，证明两个阴影三角形面积相等，算出单个阴影三角形面积进而求得阴影总面积． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 则四边形、四边形、四边形、四边形为矩形，， ，，， ， ， ，， ， ． 7．如图，矩形中，过对角线的中点作的垂线交于点，交于点，是上一动点，若，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由四边形为矩形，则，，故有，然后证明，则，从而得垂直平分，得到，要使有最小值，则需三点共线，最后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴要使有最小值，则需三点共线， 如图， ∵矩形中， ，， ∴， ∴， ∵过对角线的中点作的垂线交于点，交于点， ∴垂直平分， ∴ ∴， ∴的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂直平分线性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，平行线的性质，两点之间线段最短等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 8．如图，矩形的对角线和相交于点，平分交于点，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形性质得出，，，，根据等腰三角形的判定得出，证明为等边三角形，得出，根据等腰三角形的性质得出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型02.求矩形在坐标系中的坐标 9．在平面直角坐标系中，一个长方形三个顶点的坐标为，，，则第四个顶点的坐标为__________． 【答案】 【分析】由矩形的对边平行即可求得第四个点的坐标； 【详解】点和的横坐标相等， 点和的纵坐标相等， 要使这四个点构成矩形，则第四个点的横坐标与相等，纵坐标与相等， ∴第四个顶点的坐标为； 故答案是． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，准确判断是解题的关键． 10．如图，矩形中，，，的平分线交于点，为线段上一动点，点为的中点，则线段长的最大值是 ________________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，二次函数的性质，两点距离公式等知识．首先建立平面直角坐标系，根据是的平分线，可知点的坐标是，利用待定系数法求出直线的解析式为，设点的坐标是，因为点是的中点，所以点的坐标可以表示为，根据平面直角坐标系中两点之间的距离公式可知，根据的取值范围可知当时，的长度最大，最大长度是． 【详解】解：如下图所示，以点为原点，所在直线为轴 ，建立平面直角坐标系， ，， 点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是， 是的平分线， ， ， 点的坐标是， 设直线的解析式为， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的坐标是， 点是的中点， 点的坐标是， ， ， 当时，最大， 最大值． 故答案为： 11．如图，矩形的三个顶点的坐标分别为．若直线平分矩形的周长，则b的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接相交于点E，根据四边形是矩形，可得点E是的中点，即可求出，再将代入即可求出b的值． 【详解】解：连接相交于点E，如下图所示，    ∵， ∴轴， ∵四边形是矩形，相交于点E， ∴，点E是的中点， ∴，即， ∵直线平分矩形的周长， ∴直线经过点， ∴，解得， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和一次函数，求出点E的坐标是解题的关键． 题型03.矩形与折叠问题 12．如图，把一张长方形纸条沿折叠，若，则的度数为________． 【答案】/70度 【分析】本题主要考查平行线的性质、矩形的翻折和几何中角度的计算；根据矩形对边平行，而两直线平行，内错角相等，可以得到和，又，由翻折性质知，代入的值即可； 熟练掌握“两直线平行，内错角相等”和翻折前后的对应角相等是解题的关键． 【详解】在矩形中，， ， 由翻折得：， ， 则； 故答案为：． 13．如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用勾股定理求出值，则即可求得； 【详解】解：由折叠可知： ∵矩形中， ∴ ∴ 故选：B ． 14．小明同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作：第一步，如图①，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平．第二步，如图②，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点，则线段的长为___________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质和折叠的性质推出，进而得出，设，则，根据勾股定理可得：，列出方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可得：，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， 即． 15．如图，在矩形纸片中，，，为边的中点，点在边上，连接，将沿翻折，点的对应点为，连接．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，延长交的延长线于H，根据折叠的性质及矩形的性质，证明，进而得到为直角三角形，设，则，，证明为等腰三角形，求出，即可解答． 【详解】解：如图，连接，延长交的延长线于H， ∵矩形中，，，E为边的中点， ∴，， ∴，， ∵将沿翻折，点D的对应点为， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为直角三角形， 设，则，， ∴，， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，折叠的性质，掌握这些性质定理是解题的关键． 题型04.证明四边形是矩形 16．下列说法正确的是（    ） A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C．两条对角线相等的矩形是正方形 D．两条对角线相等的菱形是正方形 【答案】D 【分析】根据矩形、正方形、菱形的判定方法一一判断即可； 【详解】解：A、有三个角是直角的四边形是矩形，故选项说法错误； B、两条对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故选项说法错误； C、两条对角线相等的菱形是正方形，故选项说法错误； D、两条对角线相等的菱形是正方形，故选项说法正确； 故选：D． 【点睛】本题考查矩形、正方形、菱形的判定方法，属于中考常考题型． 17．如图，在中，添加一个条件________，可使是矩形． 【答案】（或） 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，根据对角线相等的平行四边形是矩形，进行作答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴添加一个条件：或，可使是矩形． 故答案为：（或） 18．如图，在中，点、、分别在边、、上，且，．则下列说法中正确的有___________． ①四边形是平行四边形： ②如果，那么四边形是矩形； ③如果，则的最小值为 ④如果是的平分线，那么四边形是菱形． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形、矩形和菱形的判定，勾股定理，角平分线的性质等知识，根据平行四边形的判定可判断①，根据矩形的判定可判断②，由题意可知当时，最小，由勾股定理求出，再根据三角形面积公式求出，可判断③，由，得到，由是的平分线，得到，从而得到，得出，再根据菱形的判定可判断④，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形，故①符合题意； 又∵， ∴四边形是矩形，故②符合题意； 如图： ∵ ∴四边形是矩形， 当时，最小， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴的最小值为，故③不符合题意； ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，故④符合题意； 综上，符合题意的有， 故答案为：． 19．在平行四边形中，O为的中点，点E，点M为边上任意两个不重合的动点（不与端点重合），的延长线分别与边交于点F，点N.下面四个判断： ①四边形是平行四边形； ②四边形是平行四边形； ③若平行四边形是矩形（正方形除外），则至少存在一个四边形是正方形； ④对于任意的平行四边形，存在无数个四边形ENFM是矩形. 其中，正确的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】由“”可证可得，可证四边形是平行四边形，可得AM与BF不一定相等，故①错误，②正确，由正方形的判定和性质和矩形的判定可判断③错误，④正确即可解答． 【详解】解：如图：连接，    ∵四边形是平行四边形，O为的中点， ∴也经过点O，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得：， ∴四边形是平行四边形， ∴AM与BF不一定相等，故①错误，②正确； 若四边形是矩形，    当时，则， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是正方形，故③正确， 当时，则，    又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形，故④正确， 综上，②③④正确，共3个． 故选B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识点，证明四边形是平行四边形是解题的关键． 题型05.添条件使四边形是矩形 20．数学课上，老师提出如下问题：如图，四边形是平行四边形，请同学们添加个条件使是矩形．小彤添加的条件是：．则小彤判定是矩形的依据是（    ）    A．矩形的四个角都是直角 B．矩形的对角线相等 C．有三个角是直角的四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【分析】根据矩形的判定方法进行解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴添加的条件可以根据对角线相等的平行四边形是矩形说明是矩形，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，解题的关键是熟练掌握对角线相等的平行四边形是矩形． 21．如图，四边形是平行四边形，下列说法正确的是（    ） A．当时，四边形是菱形 B．当时，四边形是正方形 C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是矩形 【答案】D 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴A．当时，四边形是矩形，不一定是菱形，原说法错误； B．当时，四边形是菱形，不一定是正方形，原说法错误； C．当时，四边形是菱形，不一定是矩形，原说法错误； D．当时，四边形是矩形，说法正确． 22．小英在复习几种特殊平行四边形关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的判定，正方形的判定和菱形的判定，熟练掌握特殊四边形的关系是解题的关键． 根据正方形、矩形、菱形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形， （1）处可填是正确的，故该选项不符合题意； B、一组邻边相等的矩形是正方形， （2）处可填是正确的，故该选项不符合题意； C、一组邻边相等的平行四边形是菱形， （3）处可填是正确的，故该选项不符合题意； D、有一个角是直角的菱形是正方形， 无法判定两角是不是直角，故该选项符合题意； 故选：D． 题型06.由矩形的性质与判定求角度 23．如图，在中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为______度．    【答案】60 【分析】想办法求出，利用平行四边形的性质即可解决问题． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故答案为：60． 【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题． 24．如图，正方形ABCD中，点E是BC上一点，连接DE，将沿DE翻折得到，GD交BC于点F，连接CG，若，则_____． 【答案】 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质得出,，由折叠的性质得，，利用辅助线构造矩形并由其性质得出，再由等量代换得出，最后由特殊直角三角形的性质得出结论． 【详解】解：如图，过点作直线于点，过点作直线于点K， 正方形ABCD中，，， ,． 由沿DE翻折得到， ， ，， ，，， ,， ∴四边形是矩形． ， ∴，， ． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形—翻折问题．具体考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的性质，特殊直角三角形的性质，矩形的判定和性质等的综合运用能力．灵活添加辅助线是解本题的关键． 25．如图，在中，，，把绕点A逆时针旋转得到，点D与点B对应，点D恰好落在上，过E作交的延长线于点F，连接并延长交于点G，连接交于点H．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】连接，可证四边形是矩形，，即可判断①③；根据①③的结论可推出垂直平分，进而可得是等腰直角三角形，从而可判断②；证明，推出，设，推出，，判断④即可． 【详解】解：连接，如图所示：    ∵，， ∴ 由题意得： ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点是的中点 即：，故①正确； ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 同理可证 ∴，故③正确； ∵ ∴垂直平分 ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则：， ∴， ∴， ∴；故④正确； 故选：A． 【点睛】本题综合考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、斜中半定理等知识点，综合性较强，需要学生具备扎实的几何基础． 题型07.由矩形的性质与判定求线段长 26．如图，在中，D是斜边的中点，作于点E，于点F，连接．若，，则的长为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、直角三角形的性质、矩形的判定与性质，由勾股定理得出，连接，由直角三角形的性质得出，再证明四边形为矩形，即可得出答案． 【详解】解：在 中，， ， 如图，连接， ∵是斜边的中点， ， ， ， ∴四边形为矩形， ， 故选：D． 27．如图，正方形的周长为，是对角线上任意一点，于点，于点，则四边形的周长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质的运用，矩形的性质的运用及矩形的周长的计算方法的运用．由正方形的周长为，得，又由矩形，得与是等腰直角三角形，继而求得答案． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 正方形的周长为， ， ∵， ∴四边形是矩形， ， 与是等腰直角三角形， ，， 矩形的周长是：． 故选：B． 28．在矩形中，为对角线上与，不重合的一个动点，过点作垂足为，垂足为，连接，若，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查矩形的判定与性质、垂线段最短的性质、勾股定理的应用．关键是通过矩形的性质将的长度转化为的长度，将求最小值的问题转化为求点到直线的最短距离，再利用面积法求解该垂线段长度． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， 由勾股定理得； ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴； 根据垂线段最短的性质，当时，的长度最小，此时的长度即为点到的距离； 设点到的距离为， ∵，又， ∴，解得， ∴的最小值为； 故答案为：． 题型08.由矩形的性质与判定求面积 29．如图所示，矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】本题主要考查全等三角形的应用，运用已知条件证明与面积相等，则将阴影部分面积转化为求的面积即可，解答本题的关键在于证明两个三角形全等． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， （两直线平行内错角相等）， 在与中， ∴（） ∴ ． 故答案为：． 30．如图，菱形 的面积为，O为对角线 ，的交点，点E，F，G分别为 ，，的中点，连接 ，，则四边形 的面积为________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了菱形的性质的运用，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直平分． 连接，依据菱形的性质以及等腰三角形的性质，即可得到都是直角，即可得到四边形是矩形；再根据菱形的面积即可得到矩形的面积． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 又 ∵是的中点， ∴， 又 ∵分别是的中点， ∴， ∴四边形是矩形， ∵菱形的面积为， ∴，即， ∴四边形的面积． 故答案为：3． 31．如图，在中，、分别为边、的中点，是对角线，，交的延长线于点，连接，．有下列结论：①；②四边形是菱形；③四边形是矩形；④．其中正确结论的个数是(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题重点考查平行线的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，推导出，且，是解题的关键． 连接，由平行四边形的性质得，，，而、分别为边、的中点，则，，则四边形是平行四边形，所以，可判断①正确；由，得，则，所以四边形是菱形，可判断②正确；由，交的延长线于点，得，则四边形是平行四边形，而，所以四边形是矩形，可判断③正确；设，，则，求得，则，所以，则四边形：：：，可判断④错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形， ，，， 、分别为边、的中点， ，，， ， 四边形是平行四边形， ， 故①正确； ， ， ， 四边形是菱形， 故②正确； ，交的延长线于点， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 故③正确； 设，，则， ，， ， ，， ∴， 故④错误， 故选：C． 32．如图，在中，，以的各边为边分别作正方形，正方形与正方形．延长，分别交，于点，，连结，．图中两块阴影部分面积分别记为，，若，四边形，则四边形的面积为（ ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】结合题意，根据正方形面积比，计算得，从而得；根据勾股定理性质，计算得；再根据勾股定理计算，得；结合，通过计算得；通过证明，得，结合矩形和四边形、的面积关系计算，即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴ ∵四边形与四边形是正方形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∵四边形+梯形 ∴ ∴ ∴ ∵， ∴，即 ∵四边形与四边形是正方形 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴四边形 ∵ ∴四边形是矩形 ∴矩形四边形四边形四边形 ∴四边形矩形 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形、正方形、勾股定理、全等三角形、平方根、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、正方形、勾股定理、全等三角形的性质，从而完成求解． 题型09.矩形与动点问题 33．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求证四边形是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用三角形面积求得最短时的长，然后即可求出的最小值． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，，， ∴， ∵于E，于F， ∴四边形是矩形， ∴，与互相平分， ∵M是的中点， ∴M为的中点， ∴， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短， 即时，最短，同样也最短， ∴当时，， ∴最短时，， ∴当最短时，． 34．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C的坐标分别为，，D是的中点，点P在线段上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为______． 【答案】 或 或 【分析】先求出，，然后根据题意分情况讨论：当时，当时，当时，分别利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵矩形的顶点、的坐标分别为，， ∴． ∵D是OA的中点， ∴． 过作于，则 ①当时，如图1所示： 由勾股定理得：， ； ②当时，如图1所示： 由勾股定理得：, ∴，这与矛盾，此种情况不存在； ③当时，如图2所示： 由勾股定理得：， ， ； 如图3所示： 由勾股定理得：， ， ； 综上，点的坐标为 或 或． 35．如图，在矩形纸片中，，，点E是的中点，点F是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，则长度的最小值是______． 【答案】 【分析】连接，由已知易得，，由此在中易得，由折叠的性质可知，这样由三角形三边之间的关系可知，当落在上时，最短． 【详解】如下图，连接， ∵点是的中点，， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∵点是由点沿折叠得到的， ∴， ∴由三角形三边之间的关系可知：当落在上时，最短， 此时，． 36．在矩形中，，是中点，连接，，点是射线上一动点（不与点，重合），过点作交直线于点． (1)如图1，若点是中点，猜想与的数量关系：______ (2)若是线段上任意一点，其他条件不变（1）中的猜想还成立吗？若成立，请给予证明，若不成立请说明理由． (3)若点是射线上一点，，，则______．（请直接写出的长） 【答案】(1) (2)（1）中的猜想还成立．证明见解析 (3)或10 【分析】（1）取的中点H，连接，由边的关系得出，再根据角的关系得出，，利用证明，由全等三角形的性质即可得出． （2）在上取一点M，使，连接，同（1）证明，利用全等三角形的性质得出． （3）分两种情况，当F点在E点左侧时和当F点在E点右侧时，画出图形，分别求解即可． 【详解】（1）解∶取的中点H，连接， ∵，E是中点 ∴， ∵F是中点，H是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴． （2）解：成立， 证明如下∶在上取一点M，使，连接， ∵，E是中点， ∴， ∵， ∴， ， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴； （3）解：①当F点在E点左侧时， 由(2)知，， ∵，， ∴， ∴，即． 当点F在E点右侧时，延长至N使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴，． ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上：的值为或10． 题型10.矩形与最值问题 37．如图，在直角三角形中，，，，点是边上一点（不与点，重合），作于点，于点，若点是的中点，则的最小值是______． 【答案】 【分析】连接，根据矩形的判定与性质可得，由点是的中点可得，当时，取得最小值，利用勾股定理求出的长，再利用等面积法求出的最小值，进而可得的最小值． 【详解】解：如图，连接， ，，， 四边形是矩形， ， 点是的中点， ， 当时，取得最小值，此时也取得最小值， 在中，，， ， ， ， 的最小值为 38．如图，在矩形中，，点在边上，点是矩形内一点，，则的最小值是（    ）． A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】如图：过F作交于G，于H，先根据直角三角形30度角的性质可知，即，得的长是的最小值，再根据矩形的性质以及已知条件即可解答． 【详解】解：如图：过F作交于G，于H， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵点E是边上一点， ∴，即的最小值是， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，即的最小值是6． 39．如图，点是矩形内部一个动点，满足为上一点且，当时，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】在上截取，先证，得到，从而得出，当且仅当C、E、G三点共线时取等，再根据题干条件求解即可． 【详解】解：如图，在上截取，连接，， 在和中， ， ， ， ，当且仅当C、E、G三点共线时取等， ，且， ， ， 四边形是矩形，， 在中，， 即， 的最小值为． 40．如图，在矩形中，E是上的点，点F在对角线上，． (1)如图①，若点F为中点，连接，写一个与相等的角______； (2)如图②，若点E为中点，连接，若．判断线段与线段的关系，并说明理由； (3)若，是否存在点F，使得最小，若存在，画出点F的位置，并求其最小值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)（或） (2)且；理由见解析 (3)存在；画图见解析；最小值为3 【分析】（1）根据矩形的性质，得出，根据平行线的性质得出；根据直角三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出； （2）根据平行线的性质得出，根据直角三角形的性质得出，，根据勾股定理得出，，根据，得出； （3）作点B关于的对称点，过点作于点E，交于点F，交于点G，根据轴对称可知，，，得出，根据两点之间线段最短，且垂线段最短，得出此时最小，即最小，再求出最小值即可． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴； ∵在中，点F为中点， ∴， ∴； ∴与相等的角为或； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵点E为中点， ∴， ∴， ∴． （3）解：作点B关于的对称点，过点作于点E，交于点F，交于点G，如图所示： 根据轴对称可知：，，， ∴， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵， ∴， ∵矩形中， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为3． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，垂线段最短，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 题型11.矩形的存在性问题 41．如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A向点D以1cm/s的速度运动，点Q以3cm/s的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动．两点同时出发，点P到达点D停止运动（同时点Q也停止运动）．这段时间内，当运动时间为________________________时，以P，Q，C，D四点为顶点可以组成矩形． 【答案】3s或6s或9s 【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键； 根据矩形的性质，当以P、Q、C、D四点为顶点的四边形是矩形时，需满足，分情况讨论点Q的运动状态来建立方程． 【详解】解：根据题意可知，当点P到达点D时， 点Q的运动轨迹为． ∵四边形ABCD是矩形， ∴，， ∴． 若，则四边形PQCD是矩形． 设运动时间为ts．由题意，得． 分三种情况讨论： ①当时，， ∴， 解得； ②当时，， ∴， 解得； ③当时，， ∴， 解得． 综上所述，当运动时间为3s或6s或9s时，以P，Q，C，D四点为顶点可以组成矩形． 42．如图，在中，对角线，相交于点，点，每秒运动1个单位长度，分别从点，出发，沿，方向运动．若，，则经过__________后，四边形是矩形． 【答案】2或10 【分析】设运动的时间为，则，由平行四边形的性质得或，再根据列方程或，求出的值即可． 【详解】解：设运动的时间为． 四边形是平行四边形，，， ，． 由题意可知，， 或， 四边形是平行四边形， 当时，四边形是矩形， ，即或， 或． 故经过或后，四边形是矩形． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定、动点问题的求解等知识与方法，正确地用代数式表示、的长是解题的关键． 43．如图，在中，，分别是边和的中点，，在对角线上，且，连接，． (1)求证：； (2)连接，，当与满足怎样的数量关系时，四边形是矩形？请证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是矩形，证明见解析 【分析】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，三角形中位线性质，熟练掌握矩形的判定、平行四边形的性质、三角形中位线性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，求得，得到，根据全等三角形的判定定理得到结论； （2）由（1）知，，根据全等三角形的性质得到，求得，得到，当时，求得，推出，于是得到四边形是矩形． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∴， ∵E，F分别是边和的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：当时，四边形是矩形． 证明：连接交于O，如图， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，即， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 题型12.矩形与多结论问题的判断 44．如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，下列结论：；；；；，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】①根据角平分线的定义可得，可得出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，从而得到，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据等腰三角形两底角相等求出，根据平角等于求出，从而判断出①正确； ②求出，，然后根据等角对等边可得，判断出②正确； ③求出，，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，判断出③正确； ④利用全等三角形的性质得到，利用矩形的性质和证明，证明得到，然后结合，可得，判断出④正确； ⑤判断出不是等边三角形，从而得到，即，得到⑤错误． 【详解】解：∵在矩形中，平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴ 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 又∵， ∴， 又∵(对顶角相等)， ∴， ∴． ∵， ， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，，故③正确； ∵在矩形中，，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，所以④正确； ∵，， ∴不是等边三角形， ∴， 又∵， ∴，故⑤错误； 综上所述：结论正确的是①②③④，共4个． 45．如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，取的中点，连接，，，，下列结论： ①；②；③；④若，则．其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先求出，判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，，从而得到；再求出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再求出，然后利用“边角边”证明，得到，由，得到，；由于，得到；由是等腰直角三角形得到，求得，过作于，求得，进而得出答案． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 故①符合题意； ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵点为的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故②不符合题意； ∵， ∴， 故③符合题意； ∵， ∴设，， ∵， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过作于，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键． 46．如图，在矩形中，，的平分线交于点E，于点H，连接并延长交于点F，连接交于点O，则下列结论中错误的是（　　） A．平分 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质等知识；根据角平分线的定义可得，可得出是等腰直角三角形，证出，证明，可得，求出，从而判断出选项A正确；求出，，然后根据等角对等边可得，判断出选项B正确；求出，，证明，可得，判断出选项C正确；根据全等三角形对应边相等可得，根据，，整理得，判断出选项D错误． 【详解】解：在矩形中，平分， ， 是等腰直角三角形， ∴ ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 平分， 故选项A正确，不符合题意； ，， ， ， ，， ， ， ， ， 故选项B正确；不符合题意； ， ， 又，， 在和中， ， ， ，， 故选C正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选项D错误，符合题意． 故选：D． 47．如图，在矩形中，，的平分线交于点E，于点H，连接并延长交于点F，连接交于点O，有下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有_________个． 【答案】3 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 根据角平分线的定义可得，可得出是等腰直角三角形，证出，证明可得，求出，从而判断出①正确；求出，，然后根据等角对等边可得，判断出②正确；求出，证明可得，判断出③正确；判断出不是等边三角形，从而得到，即得到④错误． 【详解】解：∵在矩形中，平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴不是等边三角形， ∴，即，故④错误； ∴①②③是正确的． 故答案为：3． 题型13.矩形与规律探究 48．如图，矩形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙由点同时出发，沿矩形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2022次相遇地点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出矩形的周长，求出两物体每次相遇所需的时间，进而得到相应的规律，进行求解即可． 【详解】解：由图可知，矩形长为，宽为，矩形的周长为， ∴每次相遇需要的时间为：秒， ∵物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动， ∴每次相遇，甲走的路程为个单位长度， ∴第3次相遇时，两个物体回到起点，即每经过3次相遇，两个物体回到起点， ∵， ∴两个物体运动后的第2022次相遇回到起点． 49．如图，矩形的顶点在轴的负半轴上，顶点在第二象限内，对角线与的交点为．将矩形沿轴正方向滚动（无滑动），使其一边保持落在轴上，点的对应点分别为，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质、旋转的性质、点的坐标规律问题，先求出的坐标为，的坐标为，的坐标为，的坐标为，根据此规律写出的坐标即可． 【详解】解：矩形的顶点，顶点， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为． 故选：D． 50．如图，矩形的面积为，对角线交于点；以、为邻边作平行四边形，对角线交于点；以、为邻边作平行四边形；…；依此类推，则平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质以及面积的计算，由矩形的性质和面积公式得出：平行四边形的面积，平行四边形的面积，…，根据规律代入计算，即可得出结论． 【详解】解：设矩形的面积为， 根据题意得：平行四边形的面积矩形的面积， 平行四边形的面积平行四边形的面积，…， ∴平行四边形的面积， ∴平行四边形的面积， ∴平行四边形的面积为， 故选：B． 51．如图，矩形的面积为，它的两条对角线交于点，以，为邻边作平行四边形，平行四边形的对角线交于点，同样以，为邻边作平行四边形……依此类推，则平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题综合考查了矩形及平行四边形的性质，审清题意、找出面积之间的关系是解答本题的关键． 根据矩形和平行四边形的性质得到平行四边形的面积，据此即可求解． 【详解】解：如图，分别交于，连接， ∵矩形， ∴，， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 又∵矩形的宽和平行四边形的底相等，平行四边形的高为， ∴平行四边形的面积， 同理：∵，，平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴ 平行四边形的面积是平行四边形的的面积的一半， ∴平行四边形的面积， 以此类推，可得的面积为 ， 故选：B． 解答题 52．如图，在矩形中，两条对角线相交于点，，，求： (1)求的度数； (2)求矩形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，再根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理求出角度即可； （2）借助角所对直角边是斜边的一半得到，再根据勾股定理求出的长度，进而求出面积． 【详解】（1）解：因为四边形是矩形，根据矩形性质， 对角线，且对角线互相平分， 即， ， 在中，， ， ． （2）在中，， 根据直角三角形中，斜边是角对边的2倍， ， 根据勾股定理可得， 故矩形面积为． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，含角的直角三角形性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 53．已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在射线上以每秒个单位长的速度运动．设动点的运动时间为秒． (1)点在运动过程中，______；（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，以、、、为顶点的四边形为平行四边形； (3)在线段上有一点，且，当四边形的周长最小，求的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据速度时间距离即可得解； （2）根据矩形的性质可得，， ，从而可得，，从而由平行四边形的性质得到，建立方程即可得解； （3）先证明四边形是平行四边形， 得到，从而可判断出四边形周长最小，得出最小，即可确定出点的位置，再用三角形的中位线得出，进而求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：动点在射线上以每秒个单位长的速度运动，动点的运动时间为秒， ； （2）解：四边形为矩形，，， ，， ， 点是的中点， ， ， ， 以、、、为顶点的四边形为平行四边形， ， ， ， ； （3）解：由（2）知，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形的周长为， 当最小时，四边形的周长最小， 如图，作点关于的对称点，连接交于， ， ， ， ，， ， ， ， 是的中位线， ， ， ． 54．已知：如图，是矩形的两条对角线，相交于点O，，． (1)求矩形对角线的长． (2)求矩形的面积． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）根据矩形性质得出，由，得，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得； （2）由勾股定理求出，再根据矩形的面积公式即可求得答案． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ ∴； （2）解：由（1）知，， ∵， ∴． 则矩形的面积是：． 55．如图1，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，且顶点位于原点，顶点、分别位于轴、轴上．若满足． (1)求点的坐标； (2)取的中点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交轴于点．求证：点为的中点； (3)如图2，在（2）的条件下，点位于线段上，且．点为平面内一动点，且满足，连接．请你直接写出线段长度的最大值__________． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据已知条件，算术平方根的非负性以及偶次幂的非负性求得的值，即可求解； （2）证明，得到（），则，即可求解； （3）当点、、三点共线时，的长度最大，进而求解． 【详解】（1）解：∵满足即． ∴， ∴，即 （2）与关于所在直线对称， ，， 连接， ， ，， 设，， 在中，，即， ， ； ，， ， 同理， ， ，， （）， ， 点为的中点； （3）取的中点，连接，． ， ∴ ，点是的中点， ∴， ∵，则， 当点、、三点共线时，的长度最大， 则的最大值． 故答案为． 【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，轴对称的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 56．如图，在中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F．连接． (1)求证：； (2)当四边形是矩形时，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形与平行四边形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理和矩形的性质是解题的关键， （1）根据平行四边形的性质得到，从而得，再利用全等三角形的判定定理即可证得； （2）根据矩形的性质得到，即可推出，再根据平行四边形的性质即可求得的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． 57．综合与探究． 【问题背景】 （1）数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，点E为的边上一点，连接，，请探究的面积与面积的关系？“领航”学习小组在数学活动中发现：的面积等于面积的2倍．请你写出完整的解答过程． 【尝试应用】 （2）如图2，长方形中，点E为边上一点，点F为右侧一点，，若，，，求的长； 【深入思考】 （3）如图3，中，点E为边上一点，点F为边上一点，连接，交于点G，连接，若，证明：平分．    【答案】（1）见解析；（2）12；（3）见解析 【分析】（1）如图，过点作于点，根据得出结论； （2）过点作于点，连接，先证明四边形是矩形，得出，求出，设，则，根据勾股定理求出结论； （3）连接，过点作于点，作于点，证明即可证明结论． 【详解】解：（1）如图，过点E作于点F，    ∴，， ∴； （2）如图，过点D作于点G，连接，    ∵， ∴四边形是矩形． ∴． ∵，， ∴， ∴． ∴． ∵四边形是矩形， ∴，，， 设，则， ∴． ∴． ∴． ∴， ∴， ∴； （3）如图，连接，，过点A作于点M，作于点N，    由（1）知， ∴，即， ∵， ∴， ∴点A在的平分线上，即平分． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04矩形性质与判定专项训练 题型01.矩形的性质及应用 题型02.求矩形在坐标系中的坐标 题型03.矩形与折叠问题 题型04.证明四边形是矩形 题型05.添条件使四边形是矩形 题型06.由矩形的性质与判定求角度 题型07.由矩形的性质与判定求线段长 题型08.由矩形的性质与判定求面积 题型09.矩形与动点问题 题型10.矩形与最值问题 题型11.矩形的存在性问题 题型12.矩形与多结论问题的判断 题型13.矩形与规律探究 解答题6题 知识点01.矩形的定义 知识点02:矩形的性质（必考） 矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形（有 2 条对称轴）。 文字语言 几何语言 对边平行且相等 在矩形 ABCD 中：AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC 四个角都是直角 ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 互相平分且相等 对角线交于 O：OA=OC，OB=OD；AC=BD 中心对称 + 轴对称 中心对称图形，有 2 条对称轴 知识点03:矩形的判定（满足任一条件 ⇒ 矩形） 判定方法 文字语言 几何语言 定义法 有一个角是直角的平行四边形是矩形 在 □ABCD 中，∵∠A=90∘ ∴ 矩形 ABCD 对角线判定 对角线相等的平行四边形是矩形 在 □ABCD 中，∵AC=BD ∴ 矩形 ABCD 角判定 三个角是直角的四边形是矩形 在四边形 ABCD 中，∵∠A=∠B=∠C=90∘ ∴ 矩形 ABCD 知识点04.常用衍生结论（解题神器！） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 高频易错点 1.混淆性质：误认矩形对角线垂直（仅菱形 / 正方形有），忽略矩形对角线相等且平分核心特征。 2.判定缺条件：证矩形时，只证 “一个直角 / 对角线相等”，未先证是平行四边形（除 “三个直角的四边形” 外，其余判定均需先证平行四边形）。 3.概念模糊：分不清矩形与菱形 / 正方形的区别，忘记正方形是特殊的矩形（矩形 + 邻边相等 = 正方形）。 4.结合定理漏用：矩形对角线相交形成的三角形，未用 “直角三角形斜边中线定理”（对角线交点到各顶点距离相等）。 5.折叠问题易错：未找准折叠前后的全等边 / 角，忽略矩形对边相等、邻边垂直的基础性质。 题型01.矩形的性质及应用 1．如图，矩形的对角线、，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点为，作射线与交点为，若，则_______． 2．若矩形的对角线长为，两条对角线的一个交角为，则该矩形的边长为___和____． 3．在矩形中，对角线和相交于点，，，则该矩形的面积为______． 4．如图，在矩形中，点在边上，点是的中点，，，则的长为______．    5．如图，矩形的对角线、相交于点．若，则四边形的周长为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 6．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 7．如图，矩形中，过对角线的中点作的垂线交于点，交于点，是上一动点，若，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．如图，矩形的对角线和相交于点，平分交于点，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 题型02.求矩形在坐标系中的坐标 9．在平面直角坐标系中，一个长方形三个顶点的坐标为，，，则第四个顶点的坐标为__________． 10．如图，矩形中，，，的平分线交于点，为线段上一动点，点为的中点，则线段长的最大值是 ________________ ． 11．如图，矩形的三个顶点的坐标分别为．若直线平分矩形的周长，则b的值为（    ）    A． B． C． D． 题型03.矩形与折叠问题 12．如图，把一张长方形纸条沿折叠，若，则的度数为________． 13．如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 14．小明同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作：第一步，如图①，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平．第二步，如图②，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点，则线段的长为___________． 15．如图，在矩形纸片中，，，为边的中点，点在边上，连接，将沿翻折，点的对应点为，连接．若，则（   ） A． B． C． D． 题型04.证明四边形是矩形 16．下列说法正确的是（    ） A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C．两条对角线相等的矩形是正方形 D．两条对角线相等的菱形是正方形 17．如图，在中，添加一个条件________，可使是矩形． 18．如图，在中，点、、分别在边、、上，且，．则下列说法中正确的有___________． ①四边形是平行四边形： ②如果，那么四边形是矩形； ③如果，则的最小值为 ④如果是的平分线，那么四边形是菱形． 19．在平行四边形中，O为的中点，点E，点M为边上任意两个不重合的动点（不与端点重合），的延长线分别与边交于点F，点N.下面四个判断： ①四边形是平行四边形； ②四边形是平行四边形； ③若平行四边形是矩形（正方形除外），则至少存在一个四边形是正方形； ④对于任意的平行四边形，存在无数个四边形ENFM是矩形. 其中，正确的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型05.添条件使四边形是矩形 20．数学课上，老师提出如下问题：如图，四边形是平行四边形，请同学们添加个条件使是矩形．小彤添加的条件是：．则小彤判定是矩形的依据是（    ）    A．矩形的四个角都是直角 B．矩形的对角线相等 C．有三个角是直角的四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 21．如图，四边形是平行四边形，下列说法正确的是（    ） A．当时，四边形是菱形 B．当时，四边形是正方形 C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是矩形 22．小英在复习几种特殊平行四边形关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 题型06.由矩形的性质与判定求角度 23．如图，在中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为______度．    24．如图，正方形ABCD中，点E是BC上一点，连接DE，将沿DE翻折得到，GD交BC于点F，连接CG，若，则_____． 25．如图，在中，，，把绕点A逆时针旋转得到，点D与点B对应，点D恰好落在上，过E作交的延长线于点F，连接并延长交于点G，连接交于点H．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型07.由矩形的性质与判定求线段长 26．如图，在中，D是斜边的中点，作于点E，于点F，连接．若，，则的长为（    ） A．4 B．5 C． D． 27．如图，正方形的周长为，是对角线上任意一点，于点，于点，则四边形的周长是（　　） A． B． C． D． 28．在矩形中，为对角线上与，不重合的一个动点，过点作垂足为，垂足为，连接，若，则的最小值为________． 题型08.由矩形的性质与判定求面积 29．如图所示，矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为______． 30．如图，菱形 的面积为，O为对角线 ，的交点，点E，F，G分别为 ，，的中点，连接 ，，则四边形 的面积为________． 31．如图，在中，、分别为边、的中点，是对角线，，交的延长线于点，连接，．有下列结论：①；②四边形是菱形；③四边形是矩形；④．其中正确结论的个数是(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 32．如图，在中，，以的各边为边分别作正方形，正方形与正方形．延长，分别交，于点，，连结，．图中两块阴影部分面积分别记为，，若，四边形，则四边形的面积为（ ） A．5 B．6 C．8 D．9 题型09.矩形与动点问题 33．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 34．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C的坐标分别为，，D是的中点，点P在线段上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为______． 35．如图，在矩形纸片中，，，点E是的中点，点F是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，则长度的最小值是______． 36．在矩形中，，是中点，连接，，点是射线上一动点（不与点，重合），过点作交直线于点． (1)如图1，若点是中点，猜想与的数量关系：______ (2)若是线段上任意一点，其他条件不变（1）中的猜想还成立吗？若成立，请给予证明，若不成立请说明理由． (3)若点是射线上一点，，，则______．（请直接写出的长） 题型10.矩形与最值问题 37．如图，在直角三角形中，，，，点是边上一点（不与点，重合），作于点，于点，若点是的中点，则的最小值是______． 38．如图，在矩形中，，点在边上，点是矩形内一点，，则的最小值是（    ）． A．4 B．6 C．8 D．10 39．如图，点是矩形内部一个动点，满足为上一点且，当时，则的最小值为_____． 40．如图，在矩形中，E是上的点，点F在对角线上，． (1)如图①，若点F为中点，连接，写一个与相等的角______； (2)如图②，若点E为中点，连接，若．判断线段与线段的关系，并说明理由； (3)若，是否存在点F，使得最小，若存在，画出点F的位置，并求其最小值，若不存在，说明理由． 题型11.矩形的存在性问题 41．如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A向点D以1cm/s的速度运动，点Q以3cm/s的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动．两点同时出发，点P到达点D停止运动（同时点Q也停止运动）．这段时间内，当运动时间为________________________时，以P，Q，C，D四点为顶点可以组成矩形． 42．如图，在中，对角线，相交于点，点，每秒运动1个单位长度，分别从点，出发，沿，方向运动．若，，则经过__________后，四边形是矩形． 43．如图，在中，，分别是边和的中点，，在对角线上，且，连接，． (1)求证：； (2)连接，，当与满足怎样的数量关系时，四边形是矩形？请证明你的结论． 题型12.矩形与多结论问题的判断 44．如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，下列结论：；；；；，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 45．如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，取的中点，连接，，，，下列结论： ①；②；③；④若，则．其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 46．如图，在矩形中，，的平分线交于点E，于点H，连接并延长交于点F，连接交于点O，则下列结论中错误的是（　　） A．平分 B． C． D． 47．如图，在矩形中，，的平分线交于点E，于点H，连接并延长交于点F，连接交于点O，有下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有_________个． 题型13.矩形与规律探究 48．如图，矩形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙由点同时出发，沿矩形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2022次相遇地点的坐标是（   ） A． B． C． D． 49．如图，矩形的顶点在轴的负半轴上，顶点在第二象限内，对角线与的交点为．将矩形沿轴正方向滚动（无滑动），使其一边保持落在轴上，点的对应点分别为，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 50．如图，矩形的面积为，对角线交于点；以、为邻边作平行四边形，对角线交于点；以、为邻边作平行四边形；…；依此类推，则平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 51．如图，矩形的面积为，它的两条对角线交于点，以，为邻边作平行四边形，平行四边形的对角线交于点，同样以，为邻边作平行四边形……依此类推，则平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 解答题 52．如图，在矩形中，两条对角线相交于点，，，求： (1)求的度数； (2)求矩形的面积． 53．已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在射线上以每秒个单位长的速度运动．设动点的运动时间为秒． (1)点在运动过程中，______；（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，以、、、为顶点的四边形为平行四边形； (3)在线段上有一点，且，当四边形的周长最小，求的坐标． 54．已知：如图，是矩形的两条对角线，相交于点O，，． (1)求矩形对角线的长． (2)求矩形的面积． 55．如图1，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，且顶点位于原点，顶点、分别位于轴、轴上．若满足． (1)求点的坐标； (2)取的中点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交轴于点．求证：点为的中点； (3)如图2，在（2）的条件下，点位于线段上，且．点为平面内一动点，且满足，连接．请你直接写出线段长度的最大值__________． 56．如图，在中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F．连接． (1)求证：； (2)当四边形是矩形时，若，求的度数． 57．综合与探究． 【问题背景】 （1）数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，点E为的边上一点，连接，，请探究的面积与面积的关系？“领航”学习小组在数学活动中发现：的面积等于面积的2倍．请你写出完整的解答过程． 【尝试应用】 （2）如图2，长方形中，点E为边上一点，点F为右侧一点，，若，，，求的长； 【深入思考】 （3）如图3，中，点E为边上一点，点F为边上一点，连接，交于点G，连接，若，证明：平分．    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $