专题08 矩形、菱形、正方形中新定义型问题的三类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版八年级下册

专题08 矩形、菱形、正方形中新定义型问题的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、矩形中的新定义型问题 类型二、菱形中的新定义型问题 类型三、正方形中新定义型问题 压轴专练 类型一、矩形中的新定义型问题 方法总结 1. 理解定义：仔细阅读新定义（如“和谐矩形”“黄金矩形”），准确将其转化为矩形边、角或对角线的数学关系。 2. 代数转化：将新定义条件用矩形性质（对边相等、四直角、对角线相等）表示，建立方程或不等式求解。 解题技巧 1. 举例验证：用简单数值代入新定义试算，理解其本质后再进行一般化处理。 2. 分类讨论：新定义常涉及多种情况（如边长比例不同），需分类讨论求解。 例1．阅读理解：我们定义：①把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．例如，平行四边形，梯形等都是凸四边形．②有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，已知四边形是“等对角四边形”，．求的度数． (2)如图2，在中，，为斜边边上的中线，过点作交于点，证明：四边形是“等对角四边形”． (3)如图3，已知在“等对角四边形”中，，，，请你直接写出对角线的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】此题是四边形综合题， 主要考查了新定义“等对角四边形”的理解和应用，矩形的判定和性质， 勾股定理， 正确作出辅助线是解本题的关键 ． （1） 利用“等对角四边形”的定义借助四边形的内角和定理即可得出结论； （2） 先判断出，进而判断出，最后判断出，即可得出结论； （3） 先构造直角三角形求出和，最后用勾股定理即可得出结论 ． 【详解】（1）解：四边形是“等对角四边形“，， ， ， ， ， ∴； （2）证明：∵在中，为斜边的中线， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形是“等对角四边形”； （3）解：如图 3 ，过点作于，于， ， ， ， 根据勾股定理得，， ， ，，， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， 由勾股定理得， ∴， ， ， 在中，． 【变式1-1】定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有______（填字号） (2)如图1．已知四边形是邻等对补四边形，，，，过点B作于点E，过C作于点F； ①证明：； ②若，，求的长． (3)如图2，在中，，，，分别在边，上取点M、N，连接，使四边形是邻等对补四边形，连接，求的长． 【答案】(1)②④ (2)①证明见解析  ②14 (3)或或 【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义判断即可； （2）①根据四边形是邻等对补四边形，，，，，得出，证明四边形是矩形，得出，，证明，得出，，结合，即可证明； ②根据四边形是矩形，得出，，再根据，得出，，求出，设，在中，勾股定理求出，即可求出． （3）根据四边形是邻等对补四边形，，得出，分为①如图1：当时，②如图2：当时，③如图3：当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：观察图知，图①和图③中不存在对角互补，图2和图4中存在对角互补且邻边相等，故图②和图④中四边形是邻等对补四边形， 故答案为：②④； （2）解：①∵四边形是邻等对补四边形，，， ，， ， ，， ，， ∴四边形是矩形， ，， ，， ， ，， ， ，， ， ； ②∵四边形是矩形， ，， ， ，， ，， ， 设， ， ， ， 在中，， 解得：， ． （3）解：∵四边形是邻等对补四边形，， ， ①如图1：当时，连接， 则， ， ， ， 为等边三角形， ； ②如图2：当时， ，，， ， 过点N作， ， ，， ， ； ③如图3：当时，设， ， ，， ， ， ， ，，， ， ， 综上：或或． 【变式1-2】【定义阅读】 若两个等腰三角形有公共底边，且满足两个顶角和是180°，则称这两个顶角的顶点关于这条底边互为“和谐点”．      【定义理解】 （1）如图1，点与点都在线段的垂直平分线上，且均在直线上侧， ①与的数量关系是_____； ②若，且点与点关于互为“和谐点”，则_____； 【性质操作】 （2）如图2，矩形中，点为边上一点，且，平分，射线交于点．点与点是否关于互为“和谐点”？说明理由； 【思维拓展】 （3）在矩形中，，，点是直线上的动点，点是平面内一点，在点运动过程中，当点与点关于互为“和谐点”，且，，三点共线时，请直接写出的长． 【答案】（1）①；②；（2）点与点是关于互为“和谐点”，理由见解析；（3）或 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）①利用线段垂直平分线的性质可得答案； ②根据题中定义可得，再根据线段垂直平分线和等腰三角形的性质求得，，进而可求解； （2）证明得到，进而可得，根据题中定义可得结论； （3）分当点F在的延长线上时，当点F在的延长线上时，当点F在线段上时三种情况，根据题中定义，结合勾股定理和矩形性质分别求解即可． 【详解】解：（1）①∵点与点都在线段的垂直平分线上，且均在直线上侧， ∴； ②点与点关于互为“和谐点”，且， ， 又点与点都在线段的垂直平分线上， ，， ∴，， ∴； （2）点与点是关于互为“和谐点”，理由如下： 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 又均为等腰三角形，其中， 点与点关于互为“和谐点”； （3）∵四边形是矩形，，， ∴，，， 当点F在的延长线上时，如图， ∵点与点关于互为“和谐点”， ∴，，， ∴， 在中，， ∴； 当点F在的延长线上时，如图， ∵点与点关于互为“和谐点”， ∴，，， ∴， 在中，， ∴； 当点F在线段上时，不存在，故不存在点与点关于互为“和谐点”，综上，满足条件的的长为或． 类型二、菱形中的新定义型问题 方法总结 1. 理解定义：准确理解新定义（如“完美菱形”“等角菱形”），将其转化为菱形边、角或对角线的数学关系。 2. 性质应用：利用菱形四边相等、对角线垂直平分且平分对角的性质，将新定义条件转化为方程或不等式求解。 解题技巧 1. 举例验证：用简单数值代入新定义试算，理解其本质后再进行一般化处理。 2. 分类讨论：新定义常涉及边长比例、角度关系，需分类讨论不同情况求解。 例2．定义：如图1，在四边形中，若，，则称这样的四边形为筝形． (1)如图2，在中，点，分别在边，上，且，，求证：四边形为筝形； (2)在图1中，筝形的对角线，相交于点，若，，，求筝形的面积； (3)如图3，在筝形中，对角线，相交于点，过点作于点，交于点，若，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)168 (3) 【分析】（1）根据题意证明出，得到，证明出四边形是菱形，得到，即可证明出四边形为筝形； （2）根据筝形的性质得到，，设，则，根据勾股定理求出，得到，然后利用筝形的面积代数求解即可； （3）首先由（2）得，，然后得到，证明出四边形是菱形，然后利用勾股定理求出，得到，然后利用等面积法求出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）∵在中， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴四边形是菱形 ∴ ∴四边形为筝形； （2）∵四边形是筝形 ∴， ∴垂直平分 ∴， ∵，，， ∴设，则 ∵ ∴ 解得 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴筝形的面积； （3）如图所示，连接 ∵四边形为筝形 ∴由（2）得， ∵ ∴ ∴ ∴四边形是菱形 ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴解得（负值舍去） ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【变式2-1】【问题情境】 定义：如果一个平行四边形一条对角线的长恰好等于另一条对角线长的3倍，那么称这个平行四边形为“倍线平行四边形”． 【数学思考】 如图1，在中，若，，试判断是否为“倍线平行四边形”，并说明理由． 【深入探究】 如图2，为“倍线平行四边形”，E是上的动点，连接交于点． ①若是的中点，，，求的长． ②过点作交于点，若，求证：是的中点． 【答案】【数学思考】是“倍线平行四边形”，见解析；【深入探究】①；②见解析 【分析】数学思考： 由已知可得为菱形，又，故，由勾股定理可得 ，故，即故▱为“倍线平行四边形”； 深入探究： ①：由为“倍线平行四边形”可知，，设，则勾股定理求得， 进而勾股定理求得，根据含度角的直角三角形的性质得出； ②过点作的延长线于点，证明四边形是平行四边形，得出，进而证明，，即可得出，即可得证． 【详解】解：数学思考：是“倍线平行四边形”． 理由如下：在中，，． ， ， ， ， ， ， 是“倍线平行四边形”． 深入探究： ①是“倍线平行四边形”， ， ． 设，则． ，， ， ， ， ． 是的中点，且， ． ②如图，过点作的延长线于点，连接． ， ． ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ． ， ． ， ，． 又， ， ∴， ，， ， ， 是的中点． 【变式2-2】定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． (1)互补四边形中，若，求的度数； (2)如图，在四边形中，平分，，．求证：四边形是互补四边形； (3)如图，互补四边形中，，，点，分别是边，的动点，且，周长是否变化？若不变，请求出不变的值；若有变化，说明理由； (4)如图，互补四边形中，，，，将纸片先沿直线对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为的平行四边形，求的长． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)周长不变，周长为； (4)的长为或． 【分析】（1）由定义可得，设，，，解方程后即可求出的度数； （2）在上取，连接，利用“边角边”证明，由全等三角形的性质得，，再由等量代换、等边对等角得出，根据即可证四边形是互补四边形； （3）延长使，连接、，利用“边角边”证明，由全等三角形的性质得，，可证，再利用“边角边”证明，再结合全等三角形的性质得，即，证明后，结合全等三角形性质、含的直角三角形特征、勾股定理得到，即可得到周长； （4）分两种情况考虑：①四边形是平行四边形；②四边形是平行四边形，结合平行四边形性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、含的直角三角形特征、勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：依题意得：， 设，，， 即， 解得， ，，， ． （2）解：在上取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 又， ， 即对角互补，四边形是互补四边形． （3）解：周长不变，证明如下： 延长使，连接、， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， 故周长不变，周长为． （4）解：分两种情况： ①如下图所示，四边形是平行四边形， ， ，， ，， ， 同（3）得，， ， ， ， 四边形是菱形， ，， 设， 作于点，则， 菱形的面积， 解得或（舍去）， ， ， ，， ； ②如下图所示，四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形， ，， 作交于点，交于点， 设，则， 菱形的面积， 解得或（舍去）， ， ， ， 则中，，，， ，， ， 同①得：， ， 是的外角， ， ， ． 综上所述：的长为或． 类型三、正方形中新定义型问题 方法总结 1. 理解定义：仔细阅读新定义（如“和谐点”“好正方形”），将其转化为正方形边、角或对角线的数学关系。 2. 性质应用：利用正方形四边相等、四角为直角、对角线垂直平分且相等的性质，将新定义条件转化为方程或不等式求解。 解题技巧 1. 举例验证：用简单数值代入新定义试算，理解其本质后再进行一般化处理。 2. 分类讨论：新定义常涉及边长比例、角度关系或动点位置，需分类讨论不同情况求解。 例3．综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“等角线四边形”（如图1）进行研究． 定义：对角线相等的凸四边形为等角线四边形． （1）在我们下列学过的特殊四边形中，一定是等角线四边形的有______（填序号）； ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． 性质探究 （2）如图2，若E，F，G，H分别是等角线四边形四条边，，，的中点，此时以E，F，G，H为顶点的四边形称为它的中点四边形，当时，请判断中点四边形的形状并说明理由； （3）如图3，在中，，D为外一点，若以A，B，C，D四点为顶点的四边形为等对角线四边形且对角线互相垂直，请直接写出以A，B，C，D为顶点的等角线四边形的中点四边形的面积． 【答案】（1）②④； （2）四边形为正方形，理由见解析；（3）或． 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判定和性质． （1）根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质及“等角线四边形”逐一判断即可； （2）由中位线定理及等角线四边形的定义可得，，，，，，，证明四边形是菱形，然后由，故有，所以，从而证明四边形是正方形； （3）分两种情况讨论，由（2）可得中点四边形为正方形，即可求解． 【详解】解：（1）①平行四边形的对角线不相等，故不是等角线四边形； ②矩形的对角线相等且是凸四边形，故是等角线四边形； ③菱形的对角线不相等，故不是等角线四边形； ④正方形的对角线相等且是凸四边形，故是等角线四边形； 综上，一定是等角线四边形的有②④． 故答案为：②④； （2）四边形为正方形，理由如下： ∵E，F，G，H分别是等角线四边形四条边，，，的中点， ∴，，，，，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （3）分以下两种情况： 当点在的上方时，如图，E，F，G，H分别是等角线四边形四条边，，的中点，对角线，， 由（2）可知，四边形为正方形，且， ∴四边形的面积为； 当点在的下方时，如图，E，F，G，H分别是等角线四边形四条边，，的中点，对角线，， 由（2）可知，四边形为正方形，且， ∴四边形的面积为； 综上，以A，B，C，D为顶点的等角线四边形的中点四边形的面积为或． 【变式3-1】定义：若一个凸四边形的对角线相等，那么我们把这个凸四边形叫作“等线四边形”．      (1)以下四边形中，是“等线四边形”的为_______．（填序号） 平行四边形；矩形；菱形；正方形． (2)如图，在正方形中，，分别为，上的点，且，连接，．求证：四边形为“等线四边形”． (3)如图，在中，，． 请用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）； 在的条件下，为直线上一点，若以点为顶点的四边形是“等线四边形”，直接写出这个“等线四边形”的面积． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)见解析；或． 【分析】本题考查了尺规作图——作垂线，平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可求解； （）连接，由四边形是正方形，得，，然后证明即可； （）根据作垂线的方法即可求解； 分当时和当时两种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：平行四边形的对角线互相平分，不符合题意； 矩形的对角线相等，符合题意； 菱形的对角线互相垂直，不符合题意； 正方形对角线相等，符合题意； 故选：， （2）证明：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等线四边形”； （3）解：如图，即为所求； 如图，当时，设交交于点，与交于点， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴“等线四边形”的面积为； 如图，当时，设交交于点，过作交于延长线于点，则， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴“等线四边形”的面积为 ， 综上可知：“等线四边形”的面积为或． 【变式3-2】定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)如图①，垂美四边形两组对边与之间的数量关系是 ． (2)如图②，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由． (3)如图③，在中，点F为斜边的中点，分别以为底边，在外部作等腰三角形和等腰三角形，连接，分别交于点M，N．试猜想四边形的形状，并说明理由． (4)如图④，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，已知，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)四边形是垂美四边形，理由见解析 (3)四边形是矩形，理由见解析 (4) 【分析】（1）根据垂直的定义和勾股定理解答即可； （2）根据垂直平分线的判定定理证明即可； （3）根据在中，点F为斜边的中点，可得，再根据和是等腰三角形，可得，同理（2）可得，，从而判定四边形是矩形； （4）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，连接，交点为点E， ∵四边形是垂美四边形， ， ， 由勾股定理得： ， ， ， 故答案为：； （2）解：四边形是垂美四边形，理由如下： 连接， ∵， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点C在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴ ∴四边形是垂美四边形； （3）解：四边形是矩形，理由如下： 如图，连接， ∵在中，点F为斜边的中点， ， ∵和是等腰三角形， ， 同理（2）得：， ∵， ， ∴四边形是矩形； （4）解：连接， 正方形和正方形中，， ，即， 在和中， ， ， ∵，， ，即， ∴四边形是垂美四边形， 同理（2）得， ， ， ， ． 一、单选题 1．（25-26九年级上·山西晋中·月考）如图矩形与正方形的形状有差异，我们将矩形与正方形的接近程度称为矩形的“接近度”，已知矩形的对角线、相交于点O，我们将矩形的“接近度”定义为，若时，则矩形的“接近度”为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质，易证是等边三角形，进而得出，再利用勾股定理，求得，即可得到矩形的“接近度”． 【详解】解：矩形， ，，， ， 是等边三角形， ， ， 在中，， 矩形的“接近度”为， 故选：B． 二、填空题 2．（25-26九年级上·河南郑州·期末）定义：若有一组邻边相等，且另一组邻边也相等的凸四边形，我们把这类四边形叫做筝形．如图，矩形中，，，点为的中点，点在上，且，点，，分别为，上一个动点，连接，，，，，若四边形为筝形，则的长为 ． 【答案】9或 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理的运用，掌握以上知识是关键，根据筝形的定义，分类讨论，结合矩形，勾股定理列式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵四边形为筝形， ∴①当时，，则， 设，则， ∴，即， 整理得，， 解得，， ∴， ∴， ∴此时，符合题意， 如图所示，过点作于点， ∴， ∴， ∴； ②当时，，如图所示， ∴， 设，则， ∴，即， 解得，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形， ∴； 综上所述，四边形为筝形，的长为或， 故答案为：或 ． 三、解答题 3．（2025八年级下·全国·专题练习）定义：若一个四边形满足三个条件①有一组对角互补，②一组邻边相等，③相等邻边的夹角为直角，则称这样的四边形为“直角等邻对补”四边形，简称为“直等补”四边形．根据以上定义，解答下列问题． (1)如图1，四边形是正方形，点E在边上，点F在边的延长线上，且，连接，，请根据定义判断四边形是否是“直等补”四边形，并说明理由． (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，若，，求的长． 【答案】(1)四边形是“直等补”四边形，理由见解析． (2)28． 【分析】（1）本题考查了对于“直等补”四边形定义的理解，要判断四边形是否是“直等补”四边形，关键在于根据定义，找到满足定义的三个条件即可．根据已知可证，由此可得到，，，即证明四边形是“直等补”四边形． （2）本题同样考查了“直等补”四边形定义的理解，作辅助线构造直角三角形是解决问题的关键．根据“直等补”四边形定义，可得到，然后利用勾股定理即可求得的长． 【详解】（1）解： 四边形是正方形， ，， ， 在与中， （）， ，， ， ， ， 四边形满足三个条件：①一组对角和互补，②一组邻边，③相等邻边夹角． 故四边形是“直等补”四边形； （2）连接，如下图所示 四边形是“直等补”四边形，， ， ， ， ， ， ， ． 故的长为28． 4．（24-25八年级下·湖南长沙·月考）菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或甲形的“接近度” (1)设菱形相邻两个内角的度数分别为，，若我们将菱形的“接近度”定义为，于是越小，菱形就越接近正方形． ①当菱形的一个内角为时，“接近度”=________； ②当菱形的“接近度”=________时，菱形就是正方形； (2)若我们将菱形的“接近度”定义为，则： ①菱形的一个内角为时，“接近度”=________； ②在这种情况下，菱形的“接近度”=________时，菱形就是正方形； (3)甲、乙两位同学仿照菱形的“接近度”定义，给出了两种矩形的“接近度”定义，在你认为合理的定义后面打“√”，不合理的定义后面打“×”． ①甲：设矩形相邻两条边长分别为，，将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形．________ ②乙：设矩形相邻两条边长分别为，，将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形．________ 【答案】(1)①  ② (2)①  ② (3)①×  ②× 【分析】此题主要考查了正方形的判定和性质，菱形的性质，正确理解“接近度”的意思是解决问题的关键． （1）①②根据菱形的“接近度”定义，越小，菱形就越接近正方形，解答即可； （2）①②根据菱形的“接近度”定义为，解答即可； （3）①不合理，举例进行说明； ②根据矩形的“接近度”定义为，只有矩形的越接近，矩形才越接近正方形，进行说明． 【详解】（1）解：①∵内角为， ∴与它相邻内角的度数为， ∴菱形的“接近度”：， 故答案为：； ②当菱形的“接近度”等于时，菱形是正方形， 故答案为：； （2）解：若我们将菱形的“接近度”定义为，则： ①当菱形的一个内角为时，“接近度”； 故答案为：； ②当菱形的“接近度”时，菱形就是正方形， 故答案为：； （3）解：①×， 例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但却不相等. 故答案为：×； ②×， 理由如下： 越接近，矩形越接近于正方形； ∴当时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形， 故答案为：×. 5．（24-25八年级下·河南南阳·期末）定义：有一组邻边相等，且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形． (1)请在你学习过的四边形中，写出一个符合等腰直角四边形定义的特殊四边形； (2)如图1，等腰直角四边形中，，．若，，请利用如图2的辅助线，求的长； (3)如图3，在矩形中，，，点P是对角线的中点，过点P作直线分别交边、于点E、F．当四边形是等腰直角四边形时，直接写出四边形的面积． 【答案】(1)正方形 (2) (3)或 【分析】（1）根据等腰直角四边形定义求解即可； （2）如图所示，过点C作交于点D，证明出，得到，，证明出是等腰直角三角形，求出，得到，进而求解即可； （3）分，，，四种情形讨论求解即可． 【详解】（1）解：符合等腰直角四边形定义的特殊四边形可以为正方形； （2）解：如图所示，过点C作交于点D， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵四边形是矩形， ∴，，，， 如图，连接，当时，四边形是等腰直角四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴四边形的面积； 如图，连接，当时，四边形是等腰直角四边形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴四边形的面积； 如图，连接，当时， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴此时，四边形不是等腰直角四边形， 同理可得当时，四边形不是等腰直角四边形； 综上可得，四边形的面积为或． 6．（24-25八年级下·江西宜春·期末）定义引入： 定义：如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么我们称这个四边形为“对垂”四边形． （1）问题1：举例：写一个你学过的特殊四边形是“对垂”四边形的图形的名称：______； 猜想与验证： （2）①如图1，在四边形中，对角线于点，下列结论正确的是（    ）． A．         B．      C． ②证明①中正确的结论： 拓展思考： （3）如图2，正方形和正方形的边长分别是和，连接，且，的面积和的面积会相等吗？如果会，请证明并求的面积，如果不会，请说明理由． 【答案】（1）菱形或正方形；（2）①B；②证明见解析；（3）会，面积为： 【分析】（1）由“对垂”四边形定义，结合菱形、正方形性质即可得到答案； （2）①由“对垂”四边形定义，根据勾股定理、三角形面积公式求解即可得到答案；②由“对垂”四边形定义，即可证明； （3）连接，连接交于点，过点作于点，过点作交延长线于点，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到，进而由三角形面积公式即可得到的面积和的面积相等，代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1）菱形的对角线相互垂直， 菱形是“对垂”四边形； 正方形的对角线相互垂直， 正方形是“对垂”四边形； 故答案为：菱形或正方形； （2）①A、， 在中，由勾股定理可得；在中，由勾股定理可得； ； 在中，由勾股定理可得；在中，由勾股定理可得； ； 当时，； 而题中并未明确与是否相等，该选项不一定正确，不符合题意； B、，选项正确，符合题意； C、由题中四边形的任意性，无法保证，选项错误，不符合题意； 故选：B； ②证明如下：， ； （3）的面积和的面积相等， 证明如下： ∵正方形和正方形的边长分别是和， ， 连接，连接交于点，过点作于点，过点作交延长线于点，如图所示： ， ，即， 又， ， ， 又，， 的面积和的面积相等； ， 即， 又， ， ， 又， ， ， ∴四边形AECG是“对垂”四边形， ， 又， ， ， 的面积为． 7．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，以菱形的一边为边向外作正方形，、分别是菱形和正方形的对角线交点，连接．    求证：四边形是“直等补”四边形． ②若，求四边形的面积． (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，其中，，过点作于点且，连接，若点是线段上的动点，请你直接写出周长的最小值．    【答案】(1)①详见解析；②1 (2)周长的最小值： 【分析】（1）①由正方形的性质和菱形的性质可得，，，即可解答； ②过点作于点，交的延长线于点，“”可证，所以，即，由正方形的面积公式，即可解答； （2）先证四边形是正方形，利用勾股定理求出，，即可解答． 【详解】（1）证明：①如图1中，   四边形是菱形， ，， 四边形是正方形， ，， ，， 又， 四边形是“直等补”四边形； ②如图1中，过点作于点，交的延长线于点， ， 四边形是矩形， ， 即， ， 在和中，， ， ，， 四边形是正方形， ； （2）周长的最小值：； 延长到点，过作于点，   四边形是“直等补”四边形，，， ， ，即， ，， ，， 四边形是矩形， ， 又，， ， 在和中，， ， ， 矩形是正方形， ，； ∵， 即当点C、P、三点共线时，的最小值是， 在中，，， ，； 在中，，， ， 周长的最小值为：； 8．（2025·河南·模拟预测）【定义学习】 定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对直四边形”． 【判断尝试】 （1）在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“对直四边形”的是______；（填序号） （2）如图1，四边形是对直四边形，若，，，，则边的长是______； 【操作探究】 如图2，在菱形ABCD中，，，于点E，请在边上找一点F，使得以点A、E、C、F组成的四边形为“对直四边形”，画出示意图，并直接写出的长是______； 【拓展延伸】 如图3，在正方形中，，点E、F、G分别从点B、B、C同时出发，并分别以每秒1、1、2个单位长度的速度，分别沿正方形的边、、方向运动（保持），再分别过点E、F作、的垂线交于点H，连接、．试说明：四边形为对直四边形． 【实践应用】 某加工厂有一批四边形板材，形状如图4所示，其中米，米，，．现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对直四边形”板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余．请直接写出分割后得到的等腰三角形的腰长是______． 【答案】（1）②④；（2）；操作探究：；拓展延伸：见解析；实践应用：或4． 【分析】（1）矩形和正方形的对角是直角； （2）连接，根据勾股定理求得结果； 操作探究：连接，则，是等边三角形，故取的中点，进而得出结果； 拓展延伸：延长，交于，可证得，从而，进而得出，进一步得出结论； 实践应用：作于，作于，可得四边形是矩形，和是腰长相等的等腰直角三角形；另一种情形：作，同上可知：四边形是“对直四边形”，和是腰长相等的等腰直角三角形． 【详解】解：（1）∵矩形和正方形的四个角都是直角， ∴矩形和正方形是“对直四边形”， 故答案为：； （2）如图， 连接，， ， ， ， 故答案为：； 操作探究：解：如图， 取的中点，连接， 则四边形是“对直四边形”，， 故答案为：； 拓展延伸 （1）证明：如图， 延长，交于， 四边形是正方形， ，， ，， ， 四边形是矩形， 点、、分别从点、、同时出发，并分别以每秒、、个单位长度的速度运动， ， 四边形 是正方形， ， ， 同理可得：四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， 四边形为对直四边形； 实践应用：解：如图， 作于，作于， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 四边形是“对直四边形”，和是腰长相等的等腰三角形， ， 如图， 作于，作于， 同上可知：，四边形是“对直四边形”，和是腰长相等的等腰三角形，， 综上所述：等腰三角形的腰长为：或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题08矩形、菱形、正方形中新定义型问题的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、矩形中的新定义型问题 类型二、菱形中的新定义型问题 类型三、正方形中新定义型问题 压轴专练 典例详解 类型一、矩形中的新定义型问题 方法总结 1.理解定义：仔细阅读新定义（如“和谐矩形”“黄金矩形”），准确将其转化为矩形边、角或对角线的 数学关系。 2.代数转化：将新定义条件用矩形性质（对边相等、四直角、对角线相等）表示，建立方程或不等式求 解。 解题技巧 1.举例验证：用简单数值代入新定义试算，理解其本质后再进行一般化处理。 2.分类讨论：新定义常涉及多种情况（如边长比例不同），需分类讨论求解。 例1.阅读理解：我们定义：①把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这 样的四边形叫做凸四边形.例如，平行四边形，梯形等都是凸四边形.②有一组对角相等而另一组对角不 相等的凸四边形叫做“等对角四边形”. D 图1 图2 图3 (1)如图1，已知四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A=60°，∠D=95,∠B≠∠D.求∠B的度数. (2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为斜边AB边上的中线，过点D作DE⊥CD交BC于点E,证 明：四边形ACED是“等对角四边形”. (3)如图3，已知在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB=∠BCD=60°，∠B=90°，AB=5,AD=4,请你直接 1/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 写出对角线AC的长. 【变式1-1】定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形. 又450 30 309 4 45 30 459 30 ① ② ③ ④ 图1 图2 (1)用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有 (填字号) (2)如图1.已知四边形ABCD是邻等对补四边形，∠ABC=90°，AB=BC,AD>AB,过点B作BE⊥AD 于点E,过C作CF⊥BE于点F; ①证明：BE=DE; ②若AE=6,AB-CD=8,求AD的长 (3)如图2，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AC=4,分别在边BC,AC上取点M、N,连接MN, 使四边形ABMN是邻等对补四边形，连接BN,求BN的长， 【变式1-2】【定义阅读】 若两个等腰三角形有公共底边，且满足两个顶角和是180°，则称这两个顶角的顶点关于这条底边互为“和谐 点” 图1 图2 图3 【定义理解】 (1)如图1，点A与点P都在线段BC的垂直平分线上，且均在直线BC上侧， ①AB与AC的数量关系是一： ②若∠BPC=130°，且点A与点P关于BC互为“和谐点”，则LACP=; 【性质操作】 (2)如图2，矩形ABCD中，点E为AD边上一点，且BE=BC,BF平分∠CBE,射线BF交CD于点F.点 2/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B与点F是否关于EC互为“和谐点”？说明理由； 【思维拓展】 (3)在矩形ABCD中，AB=2,AD=4,点F是直线CD上的动点，点E是平面内一点，在点F运动过程 中，当点E与点C关于BF互为“和谐点”，且A,B,E三点共线时，请直接写出AF的长. 类型二、菱形中的新定义型问题 方法总结 1.理解定义：准确理解新定义（如“完美菱形”“等角菱形”），将其转化为菱形边、角或对角线的数学 关系。 2.性质应用：利用菱形四边相等、对角线垂直平分且平分对角的性质，将新定义条件转化为方程或不等 式求解。 解题技巧 1.举例验证：用简单数值代入新定义试算，理解其本质后再进行一般化处理。 2.分类讨论：新定义常涉及边长比例、角度关系，需分类讨论不同情况求解。 例2.定义：如图1，在四边形ABCD中，若AB=AD,BC=CD,则称这样的四边形为筝形. B C 图 图2 图3 (I)如图2，在口ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，且AE=AF,∠AEB=∠AFD,求证：四边形 ABCD为筝形； (2)在图1中，筝形ABCD的对角线AC,BD相交于点0，若AB=AD=13,BC=CD=15,AC=14,求 筝形ABCD的面积； (3)如图3，在筝形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,过点D作DM⊥BC于点M,交AC于点N, 若AO=ON=CN=3,请直接写出BM的长 【变式2-1】【问题情境】 定义：如果一个平行四边形一条对角线的长恰好等于另一条对角线长的3倍，那么称这个平行四边形为“倍 线平行四边形” 【数学思考】 如图1，在口ABCD中，若AB=BC=20,AC=4,试判断口ABCD是否为"倍线平行四边形”，并说明理由. 3/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【深入探究】 如图2，口ABCD为"倍线平行四边形”BD>AC),E是BC上的动点，连接AE交BD于点F. ①若E是BC的中点，AC⊥AB,AB=2√2，求AE的长 ②过点A作AG⊥AE交BD于点G,若OG=OA,求证：E是BC的中点. 图1 图2 【变式2-2】定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形 D 图1 图2 图3 (1)互补四边形ABCD中，若∠B:∠C:LD=2:3:4,求∠A的度数； (2)如图1，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC,AD=CD,BC>BA.求证：四边形ABCD是互补四边形； (3)如图2，互补四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=AD=2√5，点E,F分别是边BC,CD的动点， 且∠EAF=∠BAD=60°，△CEF周长是否变化？若不变，请求出不变的值；若有变化，说明理由： 2 (4)如图3，互补四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=BC,∠B=150°，将纸片先沿直线BD对折，再将 对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为2 的平行四边形，求CD的长 类型三、正方形中新定义型问题 方法总结 1理解定义：仔细阅读新定义（如“和谐点”“好正方形”），将其转化为正方形边、角或对角线的数学关 系。 2.性质应用：利用正方形四边相等、四角为直角、对角线垂直平分且相等的性质，将新定义条件转化为 方程或不等式求解。 解题技巧 1.举例验证：用简单数值代入新定义试算，理解其本质后再进行一般化处理。 2.分类讨论：新定义常涉及边长比例、角度关系或动点位置，需分类讨论不同情况求解。 4/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 例3.综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用己有经验，对“等角线四边形”（如图1） 进行研究. 定义：对角线相等的凸四边形为等角线四边形， (1)在我们下列学过的特殊四边形中，一定是等角线四边形的有 (填序号)： ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形， 性质探究 (2)如图2，若E,F,G,H分别是等角线四边形ABCD四条边AB,BC,CD,DA的中点，此时以E, F,G,H为顶点的四边形称为它的中点四边形，当AC⊥BD时，请判断中点四边形EFGH的形状并说明理 由 (3)如图3，在ABC中，AB=13,BC=11,CA=8,D为ABC外一点，若以A,B,C,D四点为顶点的 四边形为等对角线四边形且对角线互相垂直，请直接写出以A,B,C,D为顶点的等角线四边形的中点四 边形的面积， G 图1 图2 图3 【变式3-1】定义：若一个凸四边形的对角线相等，那么我们把这个凸四边形叫作“等线四边形”. D M B 图1 图2 备用图 (1)以下四边形中，是“等线四边形”"的为一·（填序号） ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形. (2)如图1，在正方形ABCD中，M,N分别为AB,BC上的点，且AM=BN,连接MN,DN·求证：四 边形AMND为"等线四边形” (3)如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2BC=4. 5/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①请用无刻度的直尺和圆规作AC的垂直平分线MN(保留作图痕迹，不写作法)： ②在①的条件下，P为直线MN上一点，若以点A、B、C、P为顶点的四边形是“等线四边形”，直接写出 这个“等线四边形”的面积. 【变式3-2】定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形. ① ③ ④ (1)如图①，垂美四边形ABCD两组对边AB,CD与BC,AD之间的数量关系是_· (2)如图②，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由. (3)如图③，在RtAABC中，点F为斜边BC的中点，分别以AB,AC为底边，在RtAABC外部作等腰三角形 ABD和等腰三角形ACE,连接FD,FE,分别交AB,AC于点M,N.试猜想四边形FMAN的形状，并说明 理由， (4)如图④，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE,连接 CE,BG,GE,已知AC=2,AB=5,求GE的长. D :四边形ABCD是垂美四边形， 压轴专练 一、单选题 1.(25-26九年级上山西晋中月考)如图矩形与正方形的形状有差异，我们将矩形与正方形的接近程度称 6/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 为矩形的接近度，已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,我们将矩形的接近度"定义为4 BC2 若∠B0C=60°时，则矩形的“接近度为() D A昌 B.3 c D.5 二、填空题 2.(25-26九年级上河南郑州期末)定义：若有一组邻边相等，且另一组邻边也相等的凸四边形，我们把 这类四边形叫做筝形.如图，矩形ABCD中，AD=8,AB=9,点M为AD的中点，点N在AB上，且 AN=5,点P,Q,分别为BC,CD上一个动点，连接MN,NP,P?,MQ,MP,若四边形MNPQ为 筝形，则MP的长为 M 三、解答题 3.(2025八年级下.全国·专题练习)定义：若一个四边形满足三个条件①有一组对角互补，②一组邻边相等， ③相等邻边的夹角为直角，则称这样的四边形为“直角等邻对补”四边形，简称为“直等补”四边形.根据以上 定义，解答下列问题。 D B B 图1 图2 (I)如图1，四边形ABCD是正方形，点E在CD边上，点F在CB边的延长线上，且DE=BF,连接AE, AF,请根据定义判断四边形AFCE是否是“直等补”四边形，并说明理由. (②)如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB=AD,若AB=20,CD=4,求BC的长 4.(24-25八年级下·湖南长沙月考)菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接 近程度称为菱形或甲形的“接近度” 7/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 m 6 (1)设菱形相邻两个内角的度数分别为m°，n°，若我们将菱形的“接近度”定义为m-川，于是m-h越小， 菱形就越接近正方形， ①当菱形的一个内角为70°时，“接近度”= ②当菱形的“接近度”= 时，菱形就是正方形： ②)若我们将菱形的“接近度”定义为m(m<m),则： ①菱形的一个内角为60°时，“接近度”=； ②在这种情况下，菱形的“接近度”= 时，菱形就是正方形： (3)甲、乙两位同学仿照菱形的“接近度”定义，给出了两种矩形的“接近度”定义，在你认为合理的定义后面打 “V”,不合理的定义后面打“×”. ①甲：设矩形相邻两条边长分别为a,ba≤b),将矩形的“接近度”定义为a-b,于是a-b越小，矩形越 接近于正方形. ②乙：设矩形相邻两条边长分别为a,b(a≤b),将矩形的接近度定义为P,于是越小，矩形越接近于 a 正方形. 5.(24-25八年级下·河南南阳·期末)定义：有一组邻边相等，且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直 角四边形 P B 图1 图2 图3 ()请在你学习过的四边形中，写出一个符合等腰直角四边形定义的特殊四边形； (②)如图1，等腰直角四边形ABCD中，AB=BC=1,LABC=90°.若AD=DC,∠ADC=45°，请利用如 图2的辅助线，求BD的长； (3)如图3，在矩形ABCD中，AB=5,BC=9,点P是对角线BD的中点，过点P作直线分别交边AD、 BC于点E、F.当四边形ABFE是等腰直角四边形时，直接写出四边形DPFC的面积. 8/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6.(24-25八年级下·江西宜春·期末)定义引入： 定义：如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么我们称这个四边形为对垂”四边形. (1)问题1：举例：写一个你学过的特殊四边形是“对垂”四边形的图形的名称： 猜想与验证： (2)①如图1，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于点O,下列结论正确的是(). A.AB2+BC=CD'+AD B.S四边形ABCD= 2ACxBD C.ABx CD=BC xAD ②证明①中正确的结论： 拓展思考： (3)如图2，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别是3cm和5cm,连接AE,AG,CE,且AE=7cm, △ADG的面积和△DCE的面积会相等吗？如果会，请证明并求△DCE的面积，如果不会，请说明理由. D 图1 图2 7.(24-25八年级下江苏连云港期末)定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹 角为直角，像这样的图形称为“角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形.根据以上定义，解决下列问题： (I)如图1，以菱形ABCD的一边CD为边向外作正方形CDEF,M、N分别是菱形和正方形的对角线交点， 连接MN. B 图1 求证：四边形DMCN是“直等补”四边形. ②若MN=√2，求四边形DMCN的面积， (2)如图2，己知四边形ABCD是“直等补”四边形，其中AB=BC=5,CD>AB,过点B作BE⊥CD于点E且 BE=4,连接BD,若点P是线段BD上的动点，请你直接写出aPEC周长的最小值. 9/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图2 8.(2025河南模拟预测)【定义学习】 定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对直四边形”. 【判断尝试】 (1)在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“对直四边形”的是；（填序号） (2)如图1，四边形ABCD是对直四边形，若∠A=90°，AB=√3，AD=2,CD=1,则边BC的长是 【操作探究】 如图2，在菱形ABCD中，AB=6,∠B=60°，AE⊥BC于点E,请在边CD上找一点F,使得以点A、E、 C、F组成的四边形为“对直四边形”，画出示意图，并直接写出EF的长是： 【拓展延伸】 如图3，在正方形ABCD中，AB=6,点E、F、G分别从点B、B、C同时出发，并分别以每秒1、1、2个 单位长度的速度，分别沿正方形的边BA、BC、CD方向运动（保持CG≤CD),再分别过点E、F作AB、 BC的垂线交于点H,连接AH、HG.试说明：四边形AHGD为对直四边形 【实践应用】 某加工厂有一批四边形板材，形状如图4所示，其中AB=2米，BC=6米，∠B=∠C=90°，∠D=45°.现根 据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对直四边形”板材，且这两个等 腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余.请直接写出分割后得到的等腰三角形的腰长是 B B 图2 图3 图4 备用图 10/10