第五章《三角函数》第六章《平面向量及其应用》章末综合检测-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第五章《三角函数》第六章《平面向量及其应用》 章末综合检测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则m等于（ ） A. B. 4 C. D. 3. 在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，则值为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，若，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 7. 已知的外接圆圆心为，且， ，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的值为2 B. 当时，求与夹角为 C. 若在方向上的投影向量的模为，则或 D. 若与夹角为钝角，则的取值范围是 11. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，有如下判断，其中正确的是（ ） A. 若，则为等腰直角三角形 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，则是钝角三角形 D. “”是“为等边三角形”的充要条件 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量满足，且，，则与的夹角等于__________. 13. 已知，，则______． 14. 设向量，的夹角为，定义，若平面内互不相等的两个非零向量，满足：，与的夹角为，则的最大值为_________． 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）求； （2）当为何值时，与垂直? 16. 在平面直角坐标系中，角的始边在x轴的正半轴上，终边与单位圆的交点为，其中. （1）求和的值； （2）设向量，若，求的值. 17. 在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若的重心为，且，求． 18. 如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点． （1）若，求的值； （2）若，，求的最小值． 19. 在中，内角，，的对边分别为，，．已知． （1）若，求； （2）求的取值范围； （3）设是边上一点，若，，记，的面积分别为，，求的值． ( 第 1 页 共 4 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $第五章《三角函数》第六章《平面向量及其应用》 章末综合检测 参考答案 选择题 题号 1 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 C A A A O D ABD BC BCD 一，单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1.sin17°cos43°+cos17°sin43°=() A. B② c v3 D.2+V6 2 2 4 【解折】Csin17cos43+cos17sin43=sin17°+43)=sin60=5 2.已知向量a=(（3,2),b=(2,-2),c=(m,-1,若c1(2a+b,则m等于() A.-4 B.4 ci D._1 4 【解析】C由向量a=(3,2,b=2,-2,c=（m,-1,可得2a+b=(8,2), 因为c1(2a+b),可得c(2a+)=8m-2=0,解得m= 4 3.在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，若AF=mAB+nAD, 则m-n=() A4 B. e D.4 【解析】A如图，由题， F-亚+承}西+c-+画+c)6+5. 2 m=31 ,n= 4 21 1 所以m-n=。 4 A E B 4若sin0 =2,则tan0值为() 1-c0s0 4 B. 3 A. 3 3 2 D. 【解析】A因为 0 0 00 sin0 2sincos 2sin -CoS- °2 2 2 1 1-cos0 sin20 c0s2 20 0 =2 +c0s1 2 +sin20 2 2 2sin20 tan 2 0 1 2 tan 2× 2 2 4 an2=),则tan0= 所以tan】 1-tan20 1 3 2 1\2 A、 C、9 D. 2 3 10 2-3 3 【解析】Bcos 3 6在ABC中，若sinC.sinB=cos2A,则ABC是() A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 【解析】A因为sinC.sinB=cos2A_1+cos4 整理得到 22 2sinC.sinB=1+cos A=1-cos(C+B)=1-cos C cos B+sinC.sinB, 即cos C cos B+sinC·sinB=cos(C-B)=1, 又0<C<π，0<B<π，得到-π<C-B<π，所以C-B=0,即C=B 7.已知ABC的外接圆圆心为0，且2A0=AB+AC,AO=AB，则向量BA在向 量BC上的投影向量为() A. V3 BC B BC c -1Bc D. BC 4 4 【解析】D C 因为2AO=AB+AC,所以O是BC的中点， 因为ABC的外接圆圆心为O,所以BC为圆O的直径， 又AO=AB,则AO=|BO|=AB,即∠ABC=60°， BABC BC BBCcose60 BC 1 BA 1 BA 所以 BC BC-1BC. BC BC BC BC 2 BC 2 2BA A 所以向量BA在向量BC上的投影向量为二BC 8.在锐角 ABC中，角4，B,C所对的边分别为ab,c,若9-1+cos4,则 b cosB 1 1 +2sinA的取值范围为() tan B tan A 5v3 B.(2V2,3 29 c. 5V3 3 【解析】D依题意，由正弦定理可得sinA_1+cos ,即 sin B cos B sin Acos B=sin B+sin B cos A; 所以sin A cos B-sin B cos A=sinA-B)=sinB, 又因ABC为锐角三角形，所以A-B=B,即A=2B, 又0°<A=2B<90°，且0°<C=180°-A-B=180°-3B<90°， 可得30°<B<45°，60°<A<90°： 易知 1 2sin d=cos B cos4+2sin d=sin Acos B-cos Asin B+2sin 1 tan B tan A sin B sin A sin Asin B sin(A-B) sin B +2sin A= -+2sin A=2sin A+- 1 sin Asin B sin Asin B sin A 3 显然sinA∈ 1 由对勾函数性质可知2sinA+ 在sinA 2 上单调 sin A 递增， 所以可得2sinA+ 53 sin A 3 二，多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 1 9已知cososp=4,cosa+B)=3,则(） A.sinasinB=-1 B.cos(a-B)= 12 6 1 C.tana tanB = 3 D.sin2asin2B=-1 12 万AD由cosa+B=cosacosp-sinasin3且cscc 1111 则sin a sin阝=cosacosβ- 3432故A对： 由cosa-β)）=cosacosβ+sina sinβ= 111 =二，故B正确； 4126 1 sina sinβ 由tana tanB= =12=-1 cosacosp=3,故C错； 由 sin2asin2p -2singcosasin pcooo ,故D对 10.已知向量ā=（-2,1)，b=(1,t),则下列说法正确的是(） A.若ā/1b,则t的值为2 B.当t=2时，求a与b夹角为90° C.若b在a方向上的投影向量的模为√5，则t=7或t=-3 D.若a与b夹角为钝角，则t的取值范围是t<2 【解折1BC发于A向最i=-2小，6=L且a/6,所以-2-1，则1= 故A错误； 对于B,t=2时，b=(1,2),则ab=-2+2=0,所以a与6的夹角为90°，故B 正确： 对于C,由已知b在ā方向上的投影向量的模为 a_-2+-5, a 所以-2+=5，解得t=7或t=-3,故C正确： 对于D,若a与b夹角为钝角，则a.b=-2+t<0且a与b不共线， 所以t<2且1≠？，放D错误 11.在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,有如下判断，其中正确的是() A.若a-ccosB=acos C,则ABC为等腰直角三角形 B.若a3+b3=c3,则ABC是锐角三角形 C.若cos2A+cos2B-c0s2C>1,则ABC是钝角三角形 D.“a2+b2+c2=23 absinC”是“ABC为等边三角形”的充要条件 【解析】BCD对于A,a-ccosB=acosC台sinA-sinCcosB=sinAcosC sin(B+C)-sinCcosB sinAcosC sinBcosC sinAcosC sinB=sinA或cosC=0,故ABC是等腰三角形或者直角三角形，故A错误； 对于Bd+w=e(+=1,（8+[②<8+②)所以 + >1,即a2+b2>c2, 所以最大角C锐角，故B正确 C,cos24+cos2B-cos2C >11-sin2A+1-sin2B+sin'C-1>1 台-sin2A-sin2B+sin2C>0台a2+b2<c2，,故C为钝角，故C正确： 对于D,a2+b2+c2=2V3 absinC台2a2+b2）-2 abcosC=2W3 absinC, inCoc)n 6 又+b≥2,2simC+ b a ≤2，要等式成立则需a=b且C= 6 3,故D正确 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知平面向量a,6满足(a+)-(2a-可=4，且d=2,同=4，则a与万的夹角等 于 【解析】由题意可得(a+b)(2ā-b)=2a2-b2+a·b=8-16+a,b=-4,解得 a.b=4 a.b 1 cos0= 丽 2,又因为9∈[0，π]所以0= 3 13.已知 sin2a=l,tanB=3,则tan(a+B)=— 4cos2a 【解析】由sin2a-2 sina cosa1 =二tana=l,解得tano=2, 4cos2a 4cos2a 2 则tan(a+B）= tana+tan阝_2+3 =-1 1-tana tan B1-2×3 14.设向量a,B的夹角为O,定义d⊙B=d‖B|sin0,若平面内互不相等的两个非零 向量ā，b满足：d=1,(a-b)与6的夹角为135°，则a⊙b的最大值为 【解析】 设OA=a,OB=b,则a-b=BA,因为(a-b与6的夹角为135 如图由向量减法法则可知，已知一边长OA=1,其对角为45°， 设OB=b,AB=c,则由余弦定理得1=b2+c2-√2bc, 由基本不等式得b2+c2≥2bc,所以1≥2bc-V2bc,即bc≤，1 -V2,当且仅当 b=c时取等号， 因为a0万=a5sin0=bsin0=2×,ab sin0=2S,og,即ao⊙6的儿何意义即为 三角形面积的两倍， 所以ao6=2S.oe=besin45≤，1.2-2+1 2-√222 所以a⊙6的最大值为V2+1 2 四解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知=2,5l=3,(a+b)-6=8. (1)求a+: (2)当k为何值时，ka-b与ā+2b垂直？ 【解析】(1)因为d=2,=3,(ā+6)6=8， 所以a.b+b2=8,即a.b+32=8,则āb=-1, 所以a+=Vā+=va2+2ā6+-V2+2x-l)+3=: (2)若ka-b与a+2b垂直， 则(kā-)a+2b)=0, ka2+2ka.b-a.6-262=0, 即k×2+2k×-1刂-(-1刂-2x32=0,解得k=17 16.在平面直角坐标系中，角α的始边在x轴的正半轴上，终边与单位圆的交点为 4 A(-5m),其中m>0, (1)求cosa+2sin和tana的值： (2)设向量a=(sinx,cosx,若OA/a,求sin2x-cos(2x+ 5π、 2)的值 cos 2x+2cos2x+1 【解】0架西意，（封+后=1，面m>0邻两m号则 sina-3cosa= 5 所以cosa+2sina=-4 +2x3-2 tana=-3 5 55 4 2由0如，4.0=（而=smo 55 h0i8a得nx=号s,月能m=- 3 5 5π、 所以sin2x-cos(2x+ 2 sin2x+sin 2x sin2x+2sin xcosx cos 2x+2cos2x+1 4cos2x 4cos2x mx+m-g号号 1 1 A=c. 17.在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos B+bsin二 (1)求A; (2)若4BC的重心为0，且340=V2a,求nB sinC 【解析】(1)因为acos B+bsin4 =C, 2 sin Acos B+sin Bsin =sin C=sin(+B)=sin Acos B+cos Asin B, 化简得sin Bsin=cos Asin B,B∈(0，元，sinB≠0， 即sin4=cosA, 2 由sn1-2sm号样得如子该n子1（合去入。 2 2 2 A_π 261 -3 (2)记ABC中BC边上的中线长为I,由重心的性质得AO 21, 所以A0=AB+AC), 即3AO=AB+AC, 等式两边平方可得940-(+aC+2cosA84C=2+c2+bc, 所以2a2=b2+c2+bc, 又由余弦定理得a2=b2+c2-bc, 所以b2+c2+bc=2(b2+c2-bc, 整理得b2-3bc+c2=0,解得b=3±5 C, 2 由正弦定理得sinB_b_3±√5 sinC c 2 18.如图，在ABC中，点P满足PC=2BP,O是线段AP的中点，过点O的直线与边 AB,AC分别交于点E,F. B （D若AF=2AC,求E的值， EB 1+ （2》若EB=1AE2>0),F元=uAF(u>0),求元++ 1 的最小值. 【解析】(1)因为PC=2BP, 所以=亚+即：丽+C=亚++0)-号+C. 因为0是线段4P的中点，所以A0=}P=B+AC, 6 又因为-号4C,设=x证，则有0=正+4F, 3 3 9 因为E.0,F三点共线，所以六+=1，解得x4:即AEs4 AB, 34 所以AE、4 EB 5 (2)因为AB=AE+EB=AE+入AE=(I+)AE, AC=AF+FC=AF+uAF=(1+AF, 由1)可知，A0=!AP=A8+AC,所以A0=1+2花+1+AF, 3 6 3 6 因为E,0,F三点共线，所以1+入+1+业-1，即2元+u=3. 一十 3 6 吃投e*n+3周 3+22 4 当且仅当μ+1=√22，即元=4-2√2，u=4V2-5时取等号， 所以+，的最小值为3+2V2 1 1 2+1 4 19.在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C.己知 cos 2B-cos 2A=2sin Bsin C. (1)若B=C,求A; (2)求的取值范围； b 设D是边BC上一点，若B=)tan ZCAD=Y,记△ABD,△4 的面积分别为S,S,求三 的值 S, 【解析】(1)因为在ABC中，cos2B-cos2A=2 sin B sin C, 由和差化积公式得2sinA-B)sinA+B)=2 sin B sin C, 又在ABC中，A+B+C=元，则sinA-B)sinC=sin B sin C, 因为C∈(0，π)，所以sinC≠0， 则sinA-B=sinB, 所以A-B=B或A-B+B=元（舍去），所以A=2B, 已知B=C,所以A+B+C=A+A=2A=π，则A=T (2)由(1)知A=2B, 0<A<π [0<2B<π 在三角形中0<B<π，所以{0<B<π ,即0<B<刀 0<C<π 0<π-3B<π 则cosB 2小 所以，由正弦定理 a-sinA-sin2B_2 sin B cos=2cosB∈1,2)， b sin B sin B sin B 即9的取值范围为(1,2) b